2018年新人教A版高中数学选修1-1全册学案

人教A版高中数学选修1-1

全册学案

目录

第一章常用逻辑用语

1.1命题及其关系

1.1.1命题

1.1.2四种命题

1.1.3四种命题间的相互关系

1.2充分条件与必要条件

1.2.1充分条件与必要条件

1.2.2充要条件

1.3简单的逻辑联结词

1.3.1且and

1.3.2或or

1.3.3非not

1.4全称量词与存在量词

1.4.1全称量词

1.4.2存在量词

1.4.3含有一个量词的命题的否定

阶段复习课

第二章圆锥曲线与方程

2.1椭圆

2.1.1椭圆及其标准方程

2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质

2.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用

2.2双曲线

2.2.1双曲线及其标准方程

2.2.2双曲线的简单几何性质

2.3抛物线

2.3.1抛物线及其标准方程

2.3.2抛物线的简单几何性质

阶段复习课

第三章导数及其应用

3.1变化率与导数

3.1.1变化率问题

3.1.2导数的概念

3.1.3导数的几何意义

3.2导数的计算

3.2.1几个常用函数的导数

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一 3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二 3.3导数在研究函数中的应用

3.3.1函数的单调性与导数

3.3.2函数的极值与导数

3.3.3函数的最大小值与导数

3.4生活中的优化问题举例

阶段复习课

1.1.1 命题

学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．命题的定义与分类

(1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． (2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题． (3)分类

命题?

??

??

真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句

思考1：(1)“x －1＝0”是命题吗？

(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．

(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题． 2．命题的结构

(1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式． 思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？ [提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)一个命题不是真命题就是假命题． ( ) (2)一个命题可以是感叹句． ( ) (3)x >5是命题．

( )

[解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②2>3； ③一个数不是正数就是负数；④x >2； ⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！ A ．①②③ B ．①③④ C ．①②⑤

D ．②③⑤

A [①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．]

3．下列命题中，真命题共有( )

①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；

③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．

A．1个B．2个

C．3个D．4个

A[①、②、④是假命题，③是真命题．]

[合作探究·攻重难]

命题的判断

(1)下列语句为命题的是( )

A．x2－1＝0 B．2＋3＝8

C．你会说英语吗？D．这是一棵大树

(2)下列语句为命题的有________．

①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.

[解析](1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．

(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．

[答案](1)B (2)①④

对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题

1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．

(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；

(2)x2－3x＋2＝0；

(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.

(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？

(5)一个数不是奇数就是偶数；

(6)2030年6月1日上海会下雨．

[解](1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题．

(2)不是命题，不能判断真假．

(3)是命题．当x ∈R 时，x 2

＋4x ＋7＝(x ＋2)2

＋3>0能判断真假． (4)疑问句，不是命题． (5)是命题，能判断真假． (6)不是命题，不能判断真假．

命题的构成

(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若则q ”

的形式，则p 是________，q 是________.

97792001

(2)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． ①函数y ＝lg x 是单调函数；

②已知x ，y 为正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2； ③当abc ＝0时，a ＝0且b ＝0且c ＝0.

[思路探究] 解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p ，则q 的形式”．

[解析] (1)命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p 是“一条直线是弦的垂直平分线”，q 是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．

[答案] 一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧． (2)①若函数是对数函数y ＝lg x ，则这个函数是单调函数． ②已知x ，y 为正整数，若y ＝x ＋1，则y ＝3，x ＝2. ③若abc ＝0，则a ＝0且b ＝0且c ＝0.

2．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式． (1)当1a >1

b

时，a

(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行； (3)同弧所对的圆周角不相等． [解] (1)若1a >1

b

，则a

(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行； (3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．

命题的真假判断

1．如何判断一个命题是真命题？

提示：根据命题的条件，利用定义、定理、性质论证命题的正确性． 2．如何判断一个命题是假命题？ 提示：举出一个反例即可．

给定下列命题： ①若a >b ，则2a >2b

；

②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题； ③直线x ＝π

2是函数y ＝sin x 的一条对称轴；

④在△ABC 中，若AB →·BC →

>0，则△ABC 是钝角三角形． 其中为真命题的是________．

[思路探究] 命题――――――――→严格的逻辑推理

真命题―――――→恰当的反例

假命题 [解析] 对于①，根据函数f (x )＝2x

的单调性知①为真命题．

对于②，若a ＝1＋3，b ＝1－3，则a ＋b ＝2不是无理数，因此②是假命题． 对于③，函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π

2

＋k π，k ∈Z ，故③为真命题．

对于④，因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →

|cos B >0，故得cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题．

[答案] ①③④

1．下列语句不是命题的个数为( )

①2<1；②x <1；③若x <1，则x <2；④函数f (x )＝x 2

是R 上的偶函数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

B [语句①、③、④都能判断真假，是命题，语句②不能判断真假，不是命题．] 2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( ) A ．这个四边形的对角线互相平分 B ．这个四边形的对角线互相垂直

C ．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直

D ．这个四边形是平行四边形

C [把命题改写成“若p ，则q ”的形式后可知C 正确．故选C.] 3．下列命题是真命题的为( )

97792002

A ．若a >b ，则1a <1

b

B ．若b 2

＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列 C ．若|x |

D ．若a ＝b ，则a ＝b

C [对于A ，若a ＝1，b ＝－2，则1a >1

b

，故A 是假命题．

对于B ，当a ＝b ＝0时，满足b 2

＝ac ，但a ，b ，c 不是等比数列，故B 是假命题． 对于C ，因为y >|x |≥0，则x 2

是真命题．

对于D ，当a ＝b ＝－2时，a 与b 没有意义，故D 是假命题．]

4．命题“关于x 的方程ax 2

＋2x ＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a 的取值范围为________．

(－∞，0)∪(0,1) [由题意知?

??

??

a ≠0Δ＝4－4a >0，解得a <1，且a ≠0.]

5．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)末位数字是0的整数能被5整除； (2)偶函数的图象关于y 轴对称； (3)菱形的对角线互相垂直.

97792003 [解](1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．

(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称，为真命题．

(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．

1.1.2 四种命题

1.1.3 四种命题间的相互关系

学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．四种命题的概念及表示形式

对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是

另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做

原命题为“若p ，则q ”；否命题为“若p ，则q ” 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题原命题为“若p ，则q ”；逆否命题为“若q ，则p ” (1)四种命题之间的关系

(2)四种命题间的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？

(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？

[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．

(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．( )

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )

(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．

[答案](1)×(2)√(3)√

2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( )

A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”

B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”

D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”

B[根据逆命题的定义知，选B.]

3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )

97792008 A．原命题、否命题B．原命题、逆命题

C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题

C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.]

[合作探究·攻重难]

四种命题

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)相似三角形对应的角相等；

(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；

(3)正方形的对角线互相平分．

[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；

逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；

否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；

逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．

(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；

逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；

否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；

逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.

(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；

逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；

逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．

[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法

(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．

(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．

2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：

1．(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是( )

97792009 A．若y≠kx，则x与y成正比例关系

B．若y≠kx，则x与y成反比例关系

C．若x与y不成正比例关系，则y≠kx

D．若y≠kx，则x与y不成正比例关系

D[条件的否定为y≠kx，结论的否定为x与y不成比例关系，故选D.]

(2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．

若a，b至少有一个为零，则ab＝0 [“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b都不为零”的否定是“a，b中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a，b至少有一个为零，则ab＝0”．]

四种命题的关系及真假判断

(1)对于原命题：“已知a、b、c∈R，若a>b，则ac>bc”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．4个

(2)判断命题“若a ≥0，则x 2

＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． [思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可． (2)思路一 写出原命题的逆否命题→判断其真假

思路二 原命题与逆否命题同真同假即等价关系

→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假

[解析] (1)当c ＝0时，ac 2

>bc 2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac 2

>bc 2

，则a >b ”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.

[答案] C

(2)法一：原命题的逆否命题：若x 2

＋x －a ＝0无实根，则a <0. ∵x 2

＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，解得a <－14<0，

∴原命题的逆否命题为真命题．

法二：∵a ≥0，∴4a ≥0，∴对于方程x 2

＋x －a ＝0，根的判别式Δ＝1＋4a >0，∴方程x 2

＋x －a ＝0有实根，故原命题为真命题．

∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题． 解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要

简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个

.

[跟踪训练2．判断下列四个命题的真假，并说明理由． (1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的否命题； (2)“若x >y ，则x 2

>y 2

”的逆否命题； (3)“若x ≤3，则x 2－x －6>0”的否命题； (4)“对顶角相等”的逆命题．

[解] (1)命题“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的否命题是真命题．

(2)令x ＝1，y ＝－2，满足x >y ，但x 2

，所以“若x >y ，则x 2

>y 2

”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x >y ，则x 2

>y 2

”的逆否命题也是假命题．

(3)该命题的否命题为“若x >3，则x 2

－x －6≤0”，令x ＝4，满足x >3，但x 2

－x －6＝6>0，不满足

x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．

(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．

等价命题的应用

1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？

提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．

2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．

提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．

(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

97792010 [思路探究] (1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．

[解析](1)∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”

等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，

若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．

若a≠0，由题意知{aΔ＝4a2＋12a≤0，即{a－3≤a≤0，

∴－3≤a<0

综上知，a的取值范围是－3≤a≤0.

[答案][－3,0]

(2)证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

若a＋b<0，则a<－b，b<－a.

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

即原命题的逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

[证明]“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1

＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1

＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.

∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．

由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．

[当堂达标·固双基]

1．命题“若a?A，则b∈B”的逆命题是( )

A．若a?A，则b?B B．若a∈A，则b?B

C．若b∈B，则a?A D．若b?B，则a?A

C[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a?A”．]

2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.]

3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4

B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]

4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.

97792011 若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]

5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假．

[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．

(2)命题p的否命题是真命题．

判断如下：

因为ac<0，

所以－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根?ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．

1.2 充分条件与必要条件

1.2.1 充分条件与必要条件

1.2.2 充要条件

学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)

[自主预习·探新知]

1．充分条件与必要条件

p q

p不是q的充分条件

(2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；

⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？

[提示](1)相同，都是p?q(2)等价

2．充要条件

(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．

(2)若p?q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．

(3)若q?p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．

(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？

(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q.

(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．

②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )

(2)q不是p的必要条件时，“pD?/q”成立．( )

(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．( )

[答案](1)√(2)√(3)×

2．“x >2”是“x 2

－3x ＋2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

A [由x 2

－3x ＋2>0得x >2或x <1，故选A.]

3．下列各题中，p 是q 的充要条件的是________(填序号)． (1)p ：b ＝0，q ：函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c 是偶函数； (2)p ：x >0，y >0，q ：xy >0； (3)p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋c .

97792015

(1)(3) [在(1)(3)中，p ?q ，所以(1)(3)中p 是q 的充要条件，在(2)中，q ?p ，所以(2)中p 不是q 的充要条件．]

[合 作 探 究·攻 重 难]

充分条件、必要条件、充要条件的判断

指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要

条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ；

(2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：a b

＜1.

[思路探究] 判断p ?q 与q ?p 是否成立，当p 、q 是否定形式，可判断q 是p 的什么条件． [解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ?BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件．

(2)因为x ＝2且y ＝6?x ＋y ＝8，即q ?p ，但p ?q ，所以p 是q 的充分不必要条件． (3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．

(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b

＞1；

当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a b

＜1； 当a ＞0，b ＞0，a b

＜1时，可以推出a ＜b ；

当a ＜0，b ＜0，a b

＜1时，可以推出a ＞b . 因此p 是q 的既不充分也不必要条件．

(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． 若p ?q ，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件； 若p ?q ，且

q

p ，则p 是q 的必要不充分条件；

若p ?

q ，则p 与q 互为充要条件； 若p

q ，且q

p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．

1．(1)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2

>b 2

”的( )

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A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

D [令a ＝1，b ＝－1，满足a >b ，但不满足a 2

>b 2

，即“a >b ”不能推出“a 2

>b 2

”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2

>b 2

，但不满足a >b ，即“a 2

>b 2

”不能推出“a >b ”，所以“a >b ”是“a 2

>b 2

”的既不充分也不必要条件．]

(2)对于二次函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)，下列结论正确的是( ) ①Δ＝b 2

－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件； ②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac >0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac <0是函数f (x )没有零点的充要条件． A ．①④ B ．①②③ C ．①②③④

D ．①②④

D [①Δ＝b 2－4ac ≥0?方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根?f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故①正确．

②若Δ＝b 2

－4ac ＝0，则方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故②正确．

③函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，未必有Δ＝b 2

－4ac >0，也可能有Δ＝0，故③错误．

④Δ＝b 2

－4ac <0?方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根?函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)无零点，故④正确．]

充要条件的探求与证明

(1)“－4<0”的一个充分不必要条件为( ) A ．00

D ．x <4

(2)已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1

y

的充要条件是xy >0.

[思路探究] (1)先解不等式x 2－4x <0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x 2

－4x <0的解集的子集．

(2)充要条件的证明可用其定义，即条件?结论且结论?条件．如果每一步的推出都是等价的(?)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“?”写出证明．

[解析] (1)由x 2

－4x <0得0

(2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy

，即1x <1

y

.

必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x

xy

<0.

因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1

y

的充要条件是xy >0.

法二：1x <1y ?1x －1y <0?y －x xy

<0.

由条件x >y ?y －x <0，故由y －x

xy

<0?xy >0. 所以1x <1

y

?xy >0，

即1x <1

y

的充要条件是xy >0.

2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是( )

97792017 A．x∈(0,2)B．x∈[－1，＋∞)

C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)

B[由x(x－2)<0得0

(2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

[证明]假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，

q：a＋b＋c＝0.

①证明p?q，即证明必要性．

∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，

∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

②证明q?p，即证明充分性．

由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.

∵ax2＋bx＋c＝0，

∴ax2＋bx－a－b＝0，

即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.

故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

∴x＝1是方程的一个根．

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

充分条件、必要条件、充要条件的应用