数学归纳法练习题

数学归纳法练习题

一、选择题

1. 用数学归纳法证明12

1

*11(,1)1n n a a a a

n N a a

++-+++

+=∈≠-,在验证1n =成立时,左边所得的项为( )

A. 1

B. 1+a

C. 2

1a a ++ D. 2

3

1a a a +++ 2. 用数学归纳法证明1111111

11234

21212

2n n n n n

-

+-++

-=+++

-++ *()n N ∈,则从k 到k+1时,左边所要添加的项是( )

A.

121k + B. 112224k k -++ C. 121k -+ D. 11

2122

k k -++

3. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,n n

x y +能被x y +整除”第二步的归纳假设应写成( )

A. 假设*

21()n k k N =+∈正确,再推23n k =+正确; B. 假设*

21()n k k N =-∈正确,再推21n k =+正确; C. 假设*

()n k k N =∈正确,再推1n k =+正确;

D. 假设(1)n k k =≥正确,再推2n k =+正确.

二、填空题

4. 数列{}n a 中,111

,21

n n n a a a a +=

=+,则数列的前5项为 , 猜想它的通项公式是 5. 猜想1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3, ……的第n 个式子为 6. 用数学归纳法证明“当*23

51,12222n n N -∈++++

+时是31的倍数”时,1n =时的原式

是 ,从k 到1k +时需添加的项是

三、解答题

7. 求证:对于整数0n ≥时,221

1112n n +++能被133整除.

8. 若*

n N ∈,求证:2

3

sin cos

cos

cos

cos

2

2

2

2

2sin

2n

n n

α

α

α

α

αα

=

.

9. 若*

n N ∈,且2n ≥,求证:

1111312

224

n n n +++

>++. 10. 数列{}n a 满足,2n n S n a =-*

n N ∈,先计算前4项后,猜想n a 的表达式,并用数学归纳法证明.

11. 是否存在自然数m ,使得 ()(27)39n f n n =+⋅+ 对于任意*

n N ∈都能被m 整除,若存在,求出m ;若不存

在,请说明理由. 12. 正数数列{}n a 中,11

()2n n n

S a a =

+.⑴ 求123a a a 、、;⑵ 猜想n a 的表达式并证明. 13. 设*

n N ∈,试比较 3(1)!n

n +和 的大小.

【答案】

一、选择题

1. C

2. D

3. B 二、填空题

4. 11111,,,,23456. 11

n a n =+(*n N ∈)

5. 12114916(1)(1)(1234)n n n n ++-+-+

+-=-++++

+

6. 2

3

4

12222++++, 55152535422222k

k k k k ++++++++.

三、解答题(略解)

7. ① 0n =时,原式=2

1112133+=能被133整除;

② 设n k =时,221

1112k k +++ 能被133整除

1n k =+时,原式=3232212123111211(1112)111212k k k k k k +++++++=+-⋅+ =2212111(1112)12133k k k +++++⋅能被133整除. 8. ① 1n =时,左=cos

2

α

, 右=

sin cos

2

2sin

2

αα

α

=,左=右

② 设n k =时, 2

3

sin cos

cos

cos

cos

2

2

2

2

2sin

2k

k k

α

α

α

α

αα

=

1n k =+时, 2

3

1

1

sin (cos

cos

cos

cos

)cos cos

2

222

222sin

2k

k k k

k

α

α

α

α

α

αα

α

++⋅=

⋅

=

1

111

1

1

sin sin cos

22sin

cos

2sin

2

2

2k k k k k k αα

α++++++⋅=

9. ① 2n =时,左=

11713

341224+=> ② 设n k =时, 1111312224

k k k +++>++ 1n k =+时, 左=1111

222122k k k k +++++++ =111111()12212122k k k k k k +++-+++++++ ∵111110*********k k k k k -++=->+++++,∴左>1324

. 10. 计算得: 123437151,,,248a a a a ====.猜想 121

2

n n n a --=

① 1n =时,计算得11a =,结论成立;

② 设n k =时, 121

2

k k k a --=, 则

1n k =+时, 11

111121

[2(1)](2)2

k k k k k k k k a S S k a k a a +++++--=-=+---=-

∴11

212

k k k

a ++-=. 11. (1)36,(2)108,(3)360f f f ===.猜想m 的值应为其最大公约数36. ① 1n =显然正确.

② 设n k =正确即 ()(27)39k f k k =+⋅+ 能被36整除. 则1n k =+时 ,

11(1)[2(1)7]393[(27)39]27239k k k f k k k +++=++⋅+=+⋅+-+⋅+

13[(27)39]18(31)k k k -=+⋅++-能被36整除.

12. ⑴ 11a =,

21a =,

3a = ⑵ 猜想

: n a =

① 1n =显然正确. ② 设n k =正确即

n a =

则 1n k =+ 时

111111[()2k k k k k a S S a a ++++=-=+-

2

1110k k a ++⇒+-=,解得(取正值

) 1k a +=13. 3=31>(1+1)!=2, 9=32>(2+1)!=6, 27=33>(3+1)!=24, 81=34<(4+1)!=120, ……

猜想: 1,2,3n = 时,3(1)!n n >+; 当 4n ≥ 时, 3(1)!n

n <+

① 4n = 时,

显然成立;

② 设n k =时,结论成立, 即 3(1)!k

k <+ 则 1n k =+ 时

1333(1)!3(1)!(2)(2)!k k k k k k +=⋅<+⋅<+⋅+=+ (∵4,32k k ≥∴<+ )

即 1

3(11)!k k +<++