生活中的圆周运动学案

第八节 生活中的圆周运动

知识点 1 火车在弯道上的运动

（1）火车车轮的结构特点：火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运动时，有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，这种结构特点，主要是有助于固定火车运动的轨迹 。

（2）如果转弯处内外轨一样高 ，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外归队轮圆的弹力就是火车转弯的向心力。 但火车质量太大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。

（3）如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力

N

F 的方向不再是竖

直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G 的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力。这就减轻了轮缘与外轨的挤压。在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，时转弯时所需的向心力几乎完全有重力G 和支持力N F 的合力来提供（如图）

设内外轨间的距离为L ，内外轨的高度差为h ，火车转弯的半径为R ，火车转弯的规定速度为

0v 。由上图所示力的合成的向心力为 合F ＝mgtan α≈mgsin α=mg

L

h

由牛顿第二定律得：合F ＝m R v

2

所以 mg L h

＝m R

v 2

即火车转弯的规定速度 0v ＝

L

Rgh

。 (4)对火车转弯时速度与向心力的讨论：

a 、 当火车以规定速度0v 转弯时，合力F 等于向心力，这时轮缘与内外轨均无侧压力。

b 、当火车转弯速度v>0v 时，该合力F 小于向心力，外轨向内挤压轮缘，提供侧压力，与F 共同充当向心力。

c 、 当火车转弯速度v 〈0v 时，该合力F 大于向心力，内轨向外挤压轮缘，产生的侧压力与合共同充当向心力。

例1 铁路转弯处的圆弧半径是300米，轨距是1425米，规定火车通过这里的速度是

差，如果车的速度大于或小于72h

km ，会分别发生什么现象？说明理由。

思路分析 圆周运动是一种常见的运动，常用受力分析的方法去找向心力，从而解决有关问题。本题考察的为圆周运动向心力来源及火车转弯的临界状态问题。

火车在转弯时所需的向心力在“临界”状况时由火车所受的重力和轨道对火车的支持力的合力提供。如图所示。图中h 为内外轨高度差，d 为轨距。

F=mgtan α=m r v 2,tan α=gr

v 2

由于轨道平面与水平面间的夹角一般很小，

可以近似地认为tan α≈sin α＝d

h

带入上式得：d h ＝gr

v 2

所以内外轨的高度差为 h=rg

d v 2=8.9*300435

.1*202m=0.195m

说明 （1）如果车速v>72h km （20s m ），F 将小于向心力，所差的仍需由外轨对轮缘的弹

力来弥补。这样就出现车轮的轮缘向外挤压外轨的现象。

（2）如果车速v<72km/h,F 将大于需要的向心力，超出的则由内轨对内侧车轮轮缘的压力来平衡，这样就出现内侧车轮的轮缘向外挤压内轨的现象。 答案 h ＝0.195m

总结 临界值运动中经常考察的一个重点内容，它是物体在作圆周运动过程中，发生质变的数值或使物体受力情况发生变化的关键数值，今后要注意对临界值的判断和应用。 变式训练1 火车在拐弯时，需要向心力的作用，对与向心力的分析，正确的是（ ）

A 由于火车本身作用而产生了向心力

B 主要是由于内外轨高度差的作用，车身略有倾斜，车身所受重力的分力产生

了向心力

C 火车在拐弯时的速率，小于规定速率时，内轨将给火车侧压力，侧压力就是

向心力

D 火车在拐弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，侧压力作为火

车拐弯时向心力的一部分 答案 D

知识点2 拱形桥

（1） 汽车过拱桥时，车对桥的压力小于其重力。

汽车在桥上运动经过最高点时，汽车所受重力G 及桥对其支持力N F 提供向心力。如图

所以N F =G-R

m v 2

汽车对桥的压力于巧对其车的支持力是一对作用力与反作用力，故汽车对桥的压力小于其重力。

思考 汽车的速度不断增加，会发生什么现象？

由上面表达式N F =G-R

m v 2

可以看出，v 越大N F 越小。当N F ＝0时， 由G ＝m R

v 2

可得v=gR 。若速度大于gR 时，汽车所需的向心力会大于重力，

这时汽车将“飞”离桥面。我们看摩托车越野赛时，常有摩托车飞起来的现象，就是这个原因。

（2） 汽车过凹桥时，车对桥的压力大于其重力。

如图所示，汽车经过凹桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，其合力

充当向心力。则有N F －G ＝R m v 2，所以N F =G ＋R

m v 2

由牛顿第三定律知，车对桥的压力'N F ＝G ＋R

m v 2

，大于车的

重力，而且还可以看出,v 越大，车对桥的压力越大。

例2 如图所示，汽车车厢顶部悬挂以轻质弹簧，弹簧拴一质量为m 的小球。当汽车在水

平面上匀速行使时，弹簧长度为1L ，当汽车以同一速度通过一桥面为弧形的凸形桥的最高点时，弹簧长度为2L ，下列正确的是（） A 1L ＝2L B 1L >2L

C 1L <2L

D 前三种情况均有可能

思路分析 由题知k 1L =mg ①

对整体分析知，加速度a 向下，对小球有：mg-k 2L =ma ② 由①②得，1L >2L 。

答案 B

方法总结 汽车过凸形桥时，向心加速度指向圆心，加速度向下，处于失重状态。支

变式训练 汽车以一定的速度v 通过一圆形的拱桥顶端时，汽车受力的说法中正确的是：（如右图所示）（）

A 汽车的向心力就是它所受的重力

B 汽车所受的向心力是它所受的重力和支持力的合力 方向指向圆心

C 汽车受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用

D 以上均不正确

答案 B

知识点3 航天器的失重现象

飞船环绕地球作匀速圆周运动，当飞船距地面高度为一二百千米时，它的轨道半径近似等于地球半径R ，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力N F 。引力与支持力的合力为他提

供了绕地球作匀速圆周运动所需的向心力F ＝m R

v 2

，即

mg-N F ＝m R v 2也就是N F ＝m(g-R

v 2

) 由此可以解出，当v=gR 时，座舱对航天员的支

持力N F ＝0，航天员处于失重状态。

2 离心运动

3 （1）定义：作匀速圆周运动的物体，在所受合理突然消失或者不足以提供圆周运动

（2） 本质：离心运动是物体惯性的表现

（3） 如图所示：

向心力的作用效果是改变物体运动方向， 物体就做匀速圆周运动。此时F ＝mr 2

ω

化，由于惯性，物体将沿此时的速度方向（即切线方向）按此时的速度大小飞出。这时F ＝0。

③如果提供的外力小于物体做匀速圆周运动所需的向心力，虽然物体的速度方向还要变化，但速度方向变化较慢，因此物体偏离原来的圆周做离心运动。其轨迹为圆周和切线间的某条线，这时，F 〈mr 2ω。

（4） 离心运动的应用和危害

① 利用离心运动制成离心机械。例如离心干燥器，洗衣机的脱水筒和离心转速

计等等。

② 在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦

力提供的。如果转弯时速度过大，所需向心力F 很大，大于最大静摩擦力max F ，

汽车将做离心运动而造成交通事故。因此，在转弯处，为防止离心运动造成危害：一是限定车辆的转弯速度； 二是把路面筑成外高内地的斜坡以增大向心力。

例3 在下面所介绍的各种情况中，哪种情况将出现超重现象？

① 荡秋千经过最低点的小孩 ② 汽车过凸形桥 ③ 汽车过凹形桥

④ 在绕地球作匀速圆周运动的飞船中的仪器 A ①② B ①③ C ①④ D ③④

思路分析 物体在竖直平面内做圆周运动，受重力和拉力（支持力）的作用，若向心力加速

度向下，则mg-N F ＝m R v 2

，有N F 〈mg 物体处于失重状态；若向心加速度向上，则

mg-N F ＝m R v 2，有N F 〉mg ，物体处于超重状态，mg ＝m R

v 2

，则N F ＝0。

答案 B

总结 物体在竖直平面内作圆周运动时，在最高点处于失重状态，在最低点处于超重状态。 变式训练3 下列关于匀速圆周运动的说法中正确的是（）

A 因为向心加速度的大小不变，故是匀变速运动

B 由于向心加速度的方向变化，故是变加速运动

C 用线系着的物体在光滑水平面上作匀速圆周运动，线断后，物体受到“离心力”作用，而背离圆心运动

D 向心力和离心力一定是一对作用力和反作用力 答案 B

难点精析 例 4 长l ＝0.5m ，质量可忽略的杆，其下端固定于o 点，上端连有质量m=2kg 的小球，它绕o 点在竖直平面内做圆周运动，当通过最高点时，如图，g=10m/2s 。求：（1）当

1v ＝1m/s

（2）当2v ＝4m/s 思录分析 设杆对小球没有作用力时的速度为0v ，根据牛顿第二定律

mg=m l

v

2

0,0v =gl =5.0*10m/s=5m/s 。显然，v<0v 时，重力大于向心力，小球将有向心

运动趋势，杆对小球有向上的支持力；当v>0v 时，重力小于向心力，小球有离心运动趋势，

杆对小球有向下的拉力。

（1） 当1v ＝1m/s 时，杆中出现压力（对小球为支持力），小球受到了重力mg 和干的支持力

1N F ，则mg －1N F ＝l m v 2

1，1N F ＝mg －l

m v

2

1＝16N

（2） 2v ＝4m/s 时，杆中出现拉力，则mg+2N F =l mv 2

2,2N F =l

mv

2

2-mg=44N 。

根据牛顿第三定律，在（1）情况下感受到的压力1N F ’=16N;在（2）情况下，杆受到的拉力2N F ’＝44N 。

答案 （1）16N ，杆受到向下的压力（2）44N ，杆受到向上的拉力。

方法总结 （1）所谓假定法，就是假定一个可能的物理状态或物理过程，然后依此状态与题给状态进行比较，来确定题给状态的受力情况和运动情况。在题设状态无法确定的情况下，假定法是一种重要方法。

（2）本题中两种情况，都可以假定杆对小球的作用力向下（为拉力），根据规律列式求解，若求得的力为正值，则力是向下的（拉力），若求得的力位负值，则力是向上的（支持力）。 （3） 竖直平面内的圆周运动有两种模型:一种是没有支撑的小球（绳系小球；小球在圆轨道

内侧运动）；另一种是有支撑的小球（杆连小球；小球套在光滑圆环上或小球在弯曲管内），它们在最高点受力不同，要注意区分。

变式训练4 北京时间2004年8月23日，中国选手滕海滨为中国体操队夺得一枚雅典奥运会金牌，中国体操运动员过去曾在单杠项目上实现了“单臂大回环”：用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动。假设一体操运动员的质量是65kg ，那么，他在完成“单臂大回环”的过程中，他的单臂至少要承受多大的力？（g 取10m/2s ） 答案 至少承受3250N 的力。 难点精析2

例4 如果高速公路转弯处弯道圆半径R ＝100m ，汽车轮胎与路面间的静摩擦因数s μ＝

0.23。若路面是水平的，文汽车转弯时不发生径向滑动（离心运动）所许可的最大速率m v 多大？

思路分析 设汽车质量为m ，则最大静摩擦力m f ＝s μmg ，汽车转弯时所许可的最大速率由运动方程决定：

m R

v

m 2

=s μmg, m v =gR s μ

取g ＝9.8 m/2s 可得m v ＝15m/s ＝54km/h 。

答案 54km/h 。

方法总结 在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦力提供。

变式训练5 如图所示，质量为m 的物块计与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的k 倍，它与转轴OO ’相距为R ，物块随转台有静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块

综合拓展 本节中学习了火车转弯，拱形桥，航天器中的失重现象和离心现象 核心问题是 圆周运动问题的解决步骤

（1） 明确研究对象：明确所研究的是哪一个作圆周运动的物体。 （2） 确定物体作圆周运动的轨道平面，并找出圆心和半径。

（3） 确定研究对象在某个位置所处的状态，分析物体的受力情况，判断哪些力提供向

心力。这是解题的关键。 （4） 根据向心力公使列方程求解

例 2 一根细绳系着装有水的水桶，在竖直平面内作圆周运动，水的质量m=0.5kg ，绳长l=60cm ，水桶质量不计，求： （1） 最高点水不流出的最小速率

（2） 水在最高点速率v=3m/s 时，水对桶底的压力

思路分析 （1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力

即：mg<=m R

v

2

0。

则所求最小速率0v ＝Rg ＝8.9*6.0m/s ≈2.42m/s 。

（3） 当水在最高点速率大于0v 时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下

的压力，设为N F ，有牛顿第二定律有N F ＋mg=m R v 2,N F = m R

v 2

-mg ＝2.6N 。

由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力N F ’=N F =2.6N ，方向竖直向上。 答案 （1）2.42m/s (2) 2.6N ，方向竖直向上。

方法总结 （1）分析临界状态，找出临界条件是解这类极值问题的关键。

（2）水桶在最高点，若桶与水之间无压力，则0v ＝Rg 。这一公式在竖直方向的圆周运动中经常用到。

（3）如果是杆的一端固定一个小球，它绕另一端在竖直平面内作圆周运动，在最高点杆不仅可以提供拉力，还能提供支持力，故小球在最高点，速度可以为零。 基础达标 活学活练

1 在水平面上转弯的汽车，向心力是（） A 重力和支持力的合力 B 静摩擦力

C 滑动摩擦力

D 重力、支持力和牵引力的合力

2 火车在倾斜的弯道上转弯，弯道的倾角为θ，半径为R ，则火车内外轨都不受轮边缘挤压时的转弯速率是（） A

θsin gR B θcos gR

3 用长为l 的细绳，拴着质量为m 的小球，在竖直平面内作圆周运动，则下列说法中正确的是（）

A 小球在最高点所受的向心力一定是重力

B 小球在最高点绳子的拉力可能为零

C 小球在最低点绳子的拉力一定大于重力

D 若小球恰恰正好能在竖直平面内作圆周运动，则它在最高点的速率为gl

4 如图所示，从光滑的

4

1

圆弧槽的最高点滑下的小铁块，滑出槽口时的速度为水平方向，槽口与一半球面顶点相切，半球的底面为水平。若要使小铁块滑出槽口以后不与球面接触，弧

形槽半径1R 和半球面的半径2R 之间的关系是（） （提示：小铁块滑至球面顶时的速度为12gR A 1R 〈＝2R B 1R 〉＝

4

2

R C 1R 〈＝

2R

D 1R 〉＝2

2R 5 汽车通过半圆形拱桥顶端时，关于汽车的受力，下列说法正确的是（）

A 汽车的向心力就是它受到的重力

B 汽车的向心力就是它受到的重力与支持力的合力，方向指向圆心

C 汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和向心力的作用

D 以上说法均不正确

6 有一种惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车先在如图所示的大型圆筒底部做速度较小、半径较小的圆周运动，通过逐步加速，圆周运动半径逐步增大，最后能以较大的 A 圆筒壁对车的静摩擦力

B 筒壁对车的弹力

C 摩托车本身的动力

D 重力和摩擦力的合力

7 如图所示，小球黏在长为R 球运动到最高点时，下列关于球的线速度的描述中，正确的是（） A v=0时，F ＝0 B v ＝Rg 时，F ＝0

C v 〉Rg 时，F 表现为拉力

D v 〈Rg 时，F 表现为压力

滑，圆筒的转速至少为＿＿r/s 。

9 如图所示，一细绳长L=1m ，上端系在滑轮的轴上，下端拴一质量为m=1kg 的物体，滑轮与物体一起以2m/s 的速度匀速向右运动，当滑轮碰上固定障碍物B 突然停止的瞬间，细绳受到的拉力为＿＿N 。（g 取10m/2s ）

10 如图所示，物体A 在水平面内作匀速圆周运动，忽略一切阻力。若减少m 的重力，则A 的半径R ＿＿，角速度ω＿＿，线速度v ＿＿。（填增大、不变、减小）

11 汽车顶棚上拴着一根细绳，细绳下端悬挂一小物体，当汽车在水平地面上以10m/s 的速度

匀速向右转弯时，细绳偏离竖直方向 30，则汽车转弯半径为＿＿。（g 取10m/2s ）

12 如图所示，水平面上方挂一个摆长为L ，摆球质量为m 的单摆。若摆球位于光滑水平面上，悬点到水平面的距离为h （h

13 据广东《新快报》报道2004年11月，在珠海航展“迎2008奥运，飞跃神州万里行”的新闻发布会上，珠海女子陈燕宣布将成为首个持此有驾照的女飞行员。如图所示，如果陈燕在操纵飞机又俯冲向上爬行的过程中，飞机在最低点附近曲率半径为1000m ，由于女性的生理特点，在飞行中座椅对人体的压力不允许超过人体体重的5倍，则飞机在最低点的速度有什么要求》？

14 一段铁道弯轨，内外轨道高度差为h=10cm ，弯道半径为900m ，轨道平面宽L ＝144cm ，求这段弯道的设计速度，试讨论当火车速度大于或小于这以速度时将发生什么现象。

15 如图所示，直径为d 的纸制圆筒，使它以角速度ω绕轴O 匀速转动，然后使子弹沿直径穿过圆筒，若子弹在圆筒旋转不到半州市在圆筒上留下a 、b ；两个弹孔，已知ao 、bo 夹角为φ

基础达标

1、

B 2、

C 3 、BC

D 4、 D 5、 B 6、 B 7、 BCD 8、 r

g

021μπ

9 、14 10、增大、减少、减少 11、17.3m 12、n=

h

g

π21 13、v<200m/s 14 设计速度90km/h ，当速度大于设计速度，外轮与外轨的侧压力会损坏外轨；当速度小于设计速度，内轮与内轨的侧压力会损坏内轨。

15 解析 （1）子弹从a 穿入到从b 穿出圆筒时，圆筒转过角度为-π ψ，（小于π，圆筒旋转不到半周），则子弹穿过圆筒的时间为：t=

ω

ψ

π- 在这段时间内子弹的位移为d ，则子弹的速度为v=

t d =ψ

πω-d . （2）当没有“圆筒旋转不到半周”的条件限制时，圆筒旋转的角度有多种可能n π+(π-ψ),(n 为转过的周数，n=0,1,2,…)时间t=ω

ψππ)

(-+n 则v=

t d ＝)(ψππω-+n d ＝()[]

ψπω-+1n d 式中n=0,1,2…

能力提升

1 重2t 的飞机以100m/s 的速度沿水平圆周盘旋，如图所示，若飞机旋转一周用20πs ，则飞机机翼倾角α为＿＿，飞机所受升力为＿＿N 。（飞机的升力有飞机机身上下的压强差产生，方向垂直机翼，g 取10m/2s ）

2 如图所示，滑雪者滑到圆弧山坡处，圆弧的半径为R ， 长度是圆周长的

4

1

，为了能腾空飞起并直接落在地面上，滑雪者在坡顶的速度至少为＿＿，这时落地点离坡顶的水平距离为＿＿

3 如图所示，一个人用一根长1m ，只能承受46N 拉力的绳子，拴着一个质量为1kg 的小球，在竖直平面内作速度逐渐增大的圆周运动。已知圆心O 离地面h=6m ，转动时绳子在最低点

时断了（g 取10m/2s ）。求：

（1）绳子断时小球运动的角速度多大？ （2）绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离。

4、如图所示，质量m=0.2kg 的小球固定在长为L ＝0.9m 的轻杆一端，杆可绕O 点的水

平转轴在竖直平面内转动，g 取10m/2s 。求：

（1） 当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？

（2） 当小球在最高点的速度分别为6m/s

5 汽车与路面的动摩擦因数为 ，公路某转弯处半径为R ，（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），问：

（1） 若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？

（2） 若将公路转弯处设计成外侧高，内侧低，使路面与水平面有一倾角α，如图所示，汽

车以多大速度转弯时，可使车与路面间无摩擦力？

能力提升答案

1、45°；2.8*410

2、gR ；R 2

3、（1）6m/s (2) 6m

4、（1）3m/s (2) 6N 向上（3）1.5N 向下

5、（1）Rg （2）2tan Rg