中考数学压轴题解法探究(5)—新定义新概念阅读理解型问题

中考数学压轴题解法探讨

新定义新概念阅读理解型问题

【专题解析】

考题研究：

新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题。在新定义和阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维。https://www.360docs.net/doc/593567390.html,

解题攻略：

新定义和阅读理解型问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专题对规律探究型问题进行命题。www-2-1-cnjy-com

解题思路：

解决此类问题的关键是（1）深刻理解“新定义”—明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；（2）重视“举例”检验是否理解

和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

【真题精讲】

类型一：选择型压轴问题

典例1：（2016·浙江省湖州市·3分）定义：若点P（a，b）在

函数y=1

的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二

次函数y=ax2+bx称为函数y=1

x 的一个“派生函数”．例如：点（2，

）

在函数y=1

的图象上，则函数y=2x2+

x称为函数y=

的一个“派生函

数”．现给出以下两个命题：

（1）存在函数y=1

的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y

轴的右侧

（2）函数y=1

的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，下

列判断正确的是（）

A．命题（1）与命题（2）都是真命题

B．命题（1）与命题（2）都是假命题

C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题

D．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题

【考点】命题与定理．

【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx的性质a、b同号对称轴在y 轴左侧，a、b异号对称轴在y轴右侧即可判断．

（2）根据“派生函数”y=ax2+bx，x=0时，y=0，经过原点，不能得出结论．

【解答】解：（1）∵P（a，b）在y=1

上，

∴a和b同号，所以对称轴在y轴左侧，

∴存在函数y=1

的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的

右侧是假命题．

（2）∵函数y=1

的所有“派生函数”为y=ax2+bx，

∴x=0时，y=0，

∴所有“派生函数”为y=ax2+bx经过原点，

∴函数y=1

的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，是真命

题．

故选C．

变式训练1：

（2016·浙江省绍兴市·4分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）

A．84 B．336 C．510 D．1326

类型二：填空型压轴问题

典例2：（2016·四川宜宾）规定：log a b （a ＞0，a≠1，b ＞0）表示a ，b 之间的一种运算．

现有如下的运算法则：log n a n =n ．log N M=

（a ＞0，a≠1，N ＞0，N≠1，M ＞0）．

例如：log 223=3，log 25=

，则log 1001000= ．【考点】实数的运算．

【分析】先根据log N M=（a ＞0，a≠1，N ＞0，N≠1，M ＞0）将所求式子化成以10为底的对数形式，再利用公式

进行计算．

【解答】解：log 1001000===．

故答案为：．

变式训练2：

（2015?浙江省绍兴市，第16题，5分）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1:2:1，，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通（即管子底端离容器底

5cm ），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm ，如图所示。若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升65

cm ，则开始注入分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm

类型三：解答型压轴问题

典例3：（2016·山东省德州市·4分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．

求证：中点四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；21·世纪*教育网

（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）

【考点】平行四边形的判定与性质．

【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．

（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．

（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC ≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．【出处：21教育名师】

【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．

∵点E，H分别为边AB，DA的中点，

∴EH∥BD，EH=1

2 BD，

∵点F，G分别为边BC，CD的中点，

∴FG∥BD，FG=1

2 BD，

∴EH∥FG，EH=GF，

∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．

证明：如图2中，连接AC，BD．

∵∠APB=∠CPD，

∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD

即∠APC=∠BPD，

在△APC和△BPD中，

，

∴△APC≌△BPD，

∴AC=BD

∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，

∴EF=1

AC，FG=

BD，

∵四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH是菱形．

（3）四边形EFGH是正方形．

证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC 与EH交于点N．

∵△APC≌△BPD，

∴∠ACP=∠BDP，

∵∠DMO=∠CMP，

∴∠COD=∠CPD=90°，

∵EH∥BD，AC∥HG，

∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，

∵四边形EFGH是菱形，

∴四边形EFGH是正方形．

变式训练3：

（2016·湖北荆州·14分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．21*cnjy*com

（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；

（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；

（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？21教育名师原创作品

【过关检测】

1.（2016·重庆市A卷·10分）我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n

的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q

是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所

以F（12）=．

（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；

（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．

2.（2016·山东省济宁市·3分）已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，

则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d=计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．

解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．

所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：

d====．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；

（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y=x+9的位置关系并说明理由；

（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．

3.（2016·重庆市B卷·10分）我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n

的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q

是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所

以F（12）=．

（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；

4.（2016·江西·10分）如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．

【探究证明】

（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；

（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．

【归纳猜想】

（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为，；

（4）图n中，“叠弦三角形”是等边三角形（填“是”或“不是”）

（5）图n中，“叠弦角”的度数为（用含n的式子表示）

【参考答案】

变式训练参考答案：

变式训练1：

A．84 B．336 C．510 D．1326

【考点】用数字表示事件．

【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数．21·cn·jy·com

【解答】解：1×73+3×72+2×7+6=510，

故选C．

变式训练2：

5cm ），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm ，如图所示。若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升65

cm ，则开始注入分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm

【解析】：一元一次方程的应用．分类讨论．.由甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升cm ，得到注水1分钟，丙的水位上升103

cm ，设开始注入t 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm ，甲与乙的水位高度之差是0.5cm 有三种情况：①当乙的水位低于甲的水位时，②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，分别列方程求解即可．

【解答】：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，

∵注水1分钟，乙的水位上升cm ，

∴注水1分钟，丙的水位上升103

cm ，