杨浦区2015年度第二学期高三年级学业质量调研理科数学试卷(2015年二模卷)

杨浦区2014学年度第二学期高三年级学业质量调研

数学学科试卷（理科）2015.4

考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上

2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 1.

函数()f x =

的定义域是 . 2.若集合()(){}22,1,,,2x A x y y B x y x Z y Z ????

=+<=∈∈??????，则A B 的元素个数为 .

3.若

4232

1

x

x

=，则x 的值是 .

4.6

2x ?

- ?

的展开式中的常数项的值是 .

5.某射击选手连续射击5枪命中环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为 .

6.对数不等式()()331log log 0x a x +->的解集是为 .

7.极坐标方程sin 3πρθ?

?=- ??

?8.如图，根据该程序框图，若输出的y 为2，

9.若正数,a b 满足3ab a b =++，则ab

10.已知12,e e 是不平行的向量，设12,a e ke b =+=充要条件是实数k 等于 .

11.已知方程()2

10x px p R -+=∈的两根为12x x 、若121x x -=，则实数p 的值为 .

12.已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为 .

13.已知*N n ∈，在坐标平面中有斜率为n 的直线n l 与圆222x y n +=相切，且n l 交y 轴的正半

A

轴于点n P ，交x 轴于点n Q ，则2

lim

2n n x P Q n →∞

的值为 .

14.对于自然数*N 的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}1,2,4,6,9的交替和是964216-+-+=；则集合{}1,2,3,4,5,6,7的所有非空子集的交替和的总和为 .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15.“2a ≤-”是“函数()()21R f x x ax x =++∈只有一个零点”的 （ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 16.在复平面中，满足等式112z z +--=的z 所对应点的轨迹是（ ） A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.两条射线

17.设反比例函数()1

f x x

=

与二次函数()2g x ax bx =+的图像有且仅有两个不同的公共点()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，则12

y

y = （ ） A.2或12 B.2-或12- C.2或12- D.2-或1

2

18.如图，设店A 是单位圆上的一个定点，动点P 从点A 出发， 在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ， 弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图像大致是（ ）

A.

B. C. D.

三 .解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

A

B

C

19.（本题满分12分）

如图，一条东西走向的大江，其河岸A 处有人要渡江到对岸B 处，江面上有一座大桥AC ，已知B 在A 的西南方向，C 在A 的南偏西15?，10BC =公里.现有两种渡江方案： 方案一：开车从大桥AC 渡江到C 处，然后再到B 处； 方案二：直接坐船从A 处渡江到对岸B 处.

若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B 处，应选择哪个方案？说明理由.

20.（本题满分14分，其中第一小题7分，第二小题7分）

在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点. （1）试确定点F 的位置，使得1D E ⊥平面1AB F ;

（2）当1D E ⊥平面1AB F 时，求二面角1C EF A --的大小（结果用反三角函数表示）.

21.（本题满分14分，其中第一小题4分，第二小题5分，第三小题5分）

已知函数()()31

R 31

x x t f x t ?-=∈+是奇函数.

（1）求t 的值；

（2）求()f x 的反函数()1f x -；

（3）对于任意的0m >，解不等式：()131log x

f x m

-+>.

1

A B

C

D 1

D 1

C 1

B F

E

A

22.（本题满分16分，其中第一小题5分，第二小题5分，第三小题6分）

数列{}n a 满足11a =，2a r =（0r >），令1n n n b a a +=?，{}n b 是公比为()0,1q q q ≠≠-的等比数列，设212n n n c a a -=+. （1）求证：()11n n c r q -=+?； （2）设{}n c 的前n 项和为n S ，求1

lim

n n

S →∞的值； （3）设{}n c 前n 项积为n T ，当1

2

q =-时，n T 的最大值在8n =和9n =的时候取到，求n 为

何值时，n T 取到最小值.

23.（本题满分18分，其中第一小题6分，第二小题6分，第三小题6分） 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦. （1）若弦PQ 过焦点F ，求证：

11FP FQ

+为定值； （2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有

22

11

MP MQ +为定值； （3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ=，点N 在x 轴的负半轴上，且满足

()

NM NP NQ λ⊥-，求N 点坐标.