杨辉三角说课稿

“杨辉三角”说课稿

一、教材分析

杨辉三角是人教B版选修2-3第一章的内容,是在学生学习过二项式定理后,进一步学习其性质的一个课例。杨辉三角所蕴含的丰富的数学规律、数学思想、方法给学生提供了一个很好的数学探究的课题。

根据杨辉三角在整个教材内容中的地位与作用,本节课教学应实现如下教学目标:

知识与技能:了解杨辉三角的简单历史,掌握杨辉三角的基本性质;

过程与方法: 通过探究过程培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题、解决问题能力;

情感态度与价值观:通过了解有关杨辉三角的简史,体会我国古代数学家的伟大成就,进行爱国主义教育,从而激发学生学习和探究杨辉三角的热情;通过小组讨论,培养学生发现问题、探究问题、建构知识的研究型学习习惯以及合作化学习的团队精神。

根据上述教学目标,确定本节课的教学重点是:杨辉三角中数字的规律的探究;本节课的学习难点是:杨辉三角中数字规律的发现和总结。

二、教学学法

教法:为了实现本节课的教学目标,在教法上我采取了:“观察、探究、发现、合作交流”的方法。采用问题导引的方式,让学生通过对低阶杨辉三角的观察,再到n阶杨辉三角的猜想。探究时采用先个人思考后小组合作交流,重点在于发现规律,不要求在课堂上证明。

学法:根据本节课的教学目标和教学方法,主张多给学生一点空间、时间,把角色还给学生,先由学生观察、探索,再发现与交流.引导学生逐步提高,发展学生有条理的思考与表达的能力,提高归纳猜想能力,使学生获得较全面的发展。

三、教学过程

为了实现本节课的教学目标,突出教学重点,突破教学难点,在教学设计上采用了以下六个教学环节,分三个探究层次来完成本节课的教学任务。

教学环节(一):创设情境,提出问题

(复习旧知)1:二项式定理及其特例:

(1) ,

(2) .

2:二项展开式的通项公式: .

(提出问题)3:提出问题:(a+b)n展开式的二项式系数

有什么规律?课件演示:当n依此取1,2,3,…,时,二项式系数的列表,该列表叫做二项式系数表,因为它形如三角形,并且我国南宋的数学家杨辉对其有过深入的研究,所以又称它为杨辉三角。

简单介绍杨辉三角的发展历史(目的是对学生进行爱国主义教育):

首先,我国北宋数学家贾宪约在1050年使用“贾宪三角”进行高次开方运算;

到了国南宋,我国数学家杨辉在《详解九章算数》(1261)中记载并保存了“贾宪三角”,故称杨辉三角;再后来我国元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成为“古法七成方图”;而在欧洲一般认为是该图形是由法国数学家帕斯卡(Pascal)于1654年发现的,并称这个图形为“帕斯卡三角”,由此可见,对于杨辉三角的研究,我国比西方在了大约600年;到了近代又有许多数学家对“杨辉三角”有过深入研究,特别是华罗庚在他的科普著作《从杨辉三角谈起》中,对杨辉三角的构成,提出了一些有趣的看法,并将研究成果应用于其他工作。

今天,我们在前人研究的基础上,来探究杨辉三角中蕴含的一些有趣的数量关系。

[设计意图]通过了解有关杨辉三角的简史,体会我国古代数学家的伟大成就,进行爱国主义教育,从而激发学生学习和探究杨辉三角的热情。

教学环节(二):自主探究,揭示性质(源于教材,重在完成教材内要求的教学任务)让学生观察上面给出的杨辉三角图示(或更多阶的杨辉三角图),并且探究以下问题:

探究1:观察杨辉三角你能发现那些数量关系?由此得到二项式系数具有哪些性质?

(提示学生:观察方法:横看各行数字间的大小关系,组合数间的关系,以及不同横行间的数字间的关系)

学生先自己观察(主要工作在于课前),后小组交流观察结果(主要工作在于课堂)。

[设计意图]通过对杨辉三角的观察,引导学生发现其规律,培养学生的观察能力,由特殊到一般的归纳、猜想能力。

学生分小组展示探究结果(幻灯片展示),归纳出二项式系数的几条基本性质:

1、对称性:每一行中,与首末两端“等距离”的两个数相等,即:

;

2、最值:在(a+b)n的展开式中,当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大,最大系数为:;当n奇数时,中间两项与的二项式系数最大,最大系数为: ;

3、递推规律:每一行两端的数字都是1,而其余数字都等于其肩上的两个数字之和,即: ;

4、二项式系数的和:二项展开式各二项式系数的和为2n;

即:。

[设计意图]以上四条数量关系是二项式系数的基本性质,也是本节课教学的重点,是解决后面问题的基础,学生展示自主探究的结论,让学感受到自主探究的成就,同时激发继续探究的热情(特别说明,在这里学生可能提出一些与教材内容不相符的探究结果,可以留待下一环节进行解决)。

教学环节(三):拓展探究,开阔视野(高于教材,重在培养学生的求异思维和创新能力)

引导学生继续探究,看看还能发现那些有趣的数量关系?

拓展探究1:观察第1,3,7行各个数的特点,你能发现什么规律?你能否总结一个一般性的结论?

结论:第2n-1行的所有数都是奇数,即: 为奇数(m=0,1,2,3,L,2k-1);

拓展探究2:观察第2,4,8行各个数的特点,你能发现什么规律?你能用一个

式子表示吗?

结论:第2n的所有数(除两端的1)都是偶数,即:

为偶数(m=1,2,3,… 2k-1),(用基本性质3和拓展探究1的结论可以解释这个结论);

拓展探究3:每一行的各数,从左到右按顺序形成一个数,试归纳一下有何特点?

第0行:1=110;第1行:11=111 ;第2行:121=112;…,

猜想一般规律:第n行的各数,从左到右按顺序形成一个数,其结果为:11n (进一步体现本节课的探究思路:由特殊问题,过渡到一般结论,这是我们研究数学问题的常用思路);

拓展探究4:第m条斜线上的前n个数的和与第m+1条斜线上的第n个数有什么关系?

特例:1+1+1+1+1+1+1=?

提问:这是第一条斜线上的前几个数?这是第二条斜线上第几个数呢?

答案:第一条斜线上的前七个数的和=第二条斜线上的第七个数

同理可以解释1+2+3+4+5+6=? 和1+3+6+10+15=?……(让学生回答)

第2条斜线上的前6个数的和=第3条斜线上的第6个数;

追问一下:能否用文字语言将这个规律推广吗?

结论:第m条斜线上前n个数字的和=第m+1条斜线上第n个数;

[设计意图]对于杨辉三角的进一步探究,既可以加深学生对杨辉三角基本性质的理解,又可激发学生更大的学习热情,提高学生的思维水平,发展学生的创新能力。

教学环节(四):创新探究,横向联系(探究与其他知识的联系,培养学生联想创新能力)

创新探究1: 莱布尼兹三角形:

莱布尼茨三角形有许多跟杨辉三角类似的性质,请根据前面推理方法,给出结论。

创新探究2:请写出斜线上各个数字的和,再观察这些和,你能发现什么规律?

1,1,2,3,5,8,13,21,34,…

此数列an满足:a1=1,a2=1, 且an=an-1+an-2(n≥3)。

这就是著名的斐波那契数列。这是中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作。

教学环节(五):归纳小结,体验方法

1、知识方面:自主探究的基本性质;创新探究的数字规律;

2、方法方面:认识事物的一般方法“观察-分析-猜想-证明”;从特殊到一般的思想方法;

3、情感方面:爱国主义精神,合作学习,团队精神;

[设计意图]让学生自己归纳本节课的内容,从知识、方法及情感体验等方面进行总结,使学生在掌握知识的同时,提高归纳总结的能力。进一步培养学生自主探究知识,建构知识的研究型学习习惯。

教学环节(六):布置作业,学以致用

1.必做题:P30A组、B组;

2.选做题:探索结论的证明方法。

四、教学评价

本节课例的教学过程设计力求体现探究性课题的主要特征:问题性、探究性、自主性、过程性、体验性。

教学过程的设计,尊重教材,挖掘教材,但又高于了教材。情境的设计、探究内容的设计,多数是以教材内容为主,充分开发教材的功能。

在问题探究环节设计方面分了三个层次,第一个层次:是对二项式系数规律的探究,引导学生从杨辉三角横行的数字规律横行各数字之间的大小关系、组合关系以及不同横行数字之间的关系,发现并总结二项式系数的基本规律,也是本节课的重点;第二个层次是拓展探究,高于课本内容,其主要目的是培养学生的求异思维,拓展学生的视野为今后的研究学习打下基础;第三个层次是探究杨辉三角与其他知识的联系,让学生体会探究方法的应用。

参考资料:

普通高中实验教科书数学(人教B版选修2—3)

名师课堂(山东人民出版社)