数学建模报告公司的销售额预测

公司的销售额预测

一、问题重述

某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量,下表给出了1977—1981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据(单位：百万元)

(1)画出数据的散点图,观察用线性回归模型拟合是否合适.

(2)建立公司销售额对全行业的回归模型,并用DW检验诊断随机误差项的自相关性.

(3)建立消除了随机误差项自相关性之后的回归模型.

二、问题分析与假设

销售收入预测的方法主要有时间序列法、因果分析法和本量利分析法等.

时间序列法,是按照时间的顺序,通过对过去几期实际数据的计算分析,确定预测期产品销售收入的预测值.

表1 的数据是以时间顺序为序列的,称为时间序列.由于公司销售额和行业销售额等经济变量均有一定的滞后性,因此,在这样的时间序列数据中,同一变量的顺序观测值之间出现相关现象是很自然的.然而,一旦数据中存在这种自相关序列,如果仍采用普通的回归

模型直接处理,将会出现不良后果,其观测也会失去意义,为此,我们必须先来检验数据是否存在自相关,一旦存在,就要考虑自相关关系,建立新的模型.

定义与符号说明

三、模型建立与求解

一、基本统计回归模型建立

以行业销售额t x 为自变量、以公司销售额t y 为因变量的散点图,其中1,2

20t =

图1 t y 对t x 的散点图

从图1可以看出,随着行业销售额的增加,公司销售额也增加,而且两者有很强的线性关系,因此可以建立线性回归模型

01t t t y x ββε=++,t ε为随机误差 ()1 假设t ε与t x 是相互独立的,且t ε服从均值为零的正态分布.

由表1的数据以及上述线性回归模型的假设,进行数据处理,得到回归系数估计值及其置信区间和检验统计量,见表2.

表2 模型1的计算结果

将参数估计值代入()1得到,

? 1.454750.176283t t y x =-+ ()2

由表2知21R =,t y 几乎处处可由()2确定.用Matlab 作出其交互式画面,由此可以给出不同水平下的预测值及其置信区间,通过左方的Export 下拉式菜单,可以输出模型的统计

结果,见图2.

图2 回归分析中的交互式画面

二、自相关性的判别

我们可以看到模型()2的拟合度很高(21R =),即可认为t y 可由模型确定.但此模型并未考虑到我们的数据是一个时间序列.在对时间序列数据做回归分析时,模型的随机误差项可能存在相关性,违背于模型对t 独立的基本假设.现在我们考虑如下模型：

011t t t

t t t y x u ββεερε-=++=+ ()3

其中ρ是自相关系数,1ρ≤,t u 相互独立且服从均值为0的正态分布.

模型()3中,若0ρ=,则退化为普通的回归模型;若0ρ>,则随机误差t ε存在正的自相关;若0ρ<,则随机误差t ε存在负的自相关.大多数与经济有关的时间序列数据,在经济规律作用下,一般随着时间的推移有一种向上或向下的变动趋势,其随机误差表现出正相关性.

D W -检验是一种常用的诊断自相关现象的统计方法.首先根据模型()2得到的残差,计算DW 统计量如下：

2

1

2

2

1

()n

t

t t n

t

t e e

DW e

-==-=

∑∑ ()4

其中n 是观察值个数,残差?t t t e y y

=-为随机误差项的估计值.当n 较大时, 122121n

t t t n

t t e e DW e -==??

??

??≈-??????

∑∑

()5

而()5式的右端

1

2

2

1

n

t t t n

t

t e e

e

-==∑∑正是自相关系数ρ的估计值?ρ

,于是 ?2(1)DW ρ

≈- ()6 由于?11ρ

-≤≤,所以04DW ≤≤,并且若?ρ在0附近时,则DW 在2附近,t ε的自相关性很弱(或不存在自相关性);若?ρ

在1±附近时,则DW 在0或4附近,t ε的自相关性很强. 要根据DW 的具体数值来确定是否存在自相关性,应该在给定的检验水平下依照样

本容量和回归变量数目,查D W -分布表,得到检验的临界L d 和U d ,然后由表3中DW 所

三、加入自相关后的模型

根据()4式可计算出0.73465DW =,对于显著性水平0.01,20,1n q α===,查D W -分布表,得到检验的临界值0.95L d =和 1.15U d =,现在L DW d <,由表3可以认为随机误

差存在正自相关,且ρ的估计值可由()6式得?0.63268ρ

=. 作变换,

'1t t t y y y ρ-=-,'1t t t x x x ρ-=-, ()7 则模型()3化为

''''01t t t y x u ββ=++,其中()'001ββρ=-,'11ββ= ()8

以ρ的估计值代入()7式作变换,利用变换后的数据't y 、't x 估计模型()8的参数,得到

对模型()8也做一次自相关检验,即诊断随机误差t u 是否还存在自相关,从模型()8的残差

可计算出 1.65199DW =,对于显著性水平0.01,1q α==以及19n =时,检验的临界值为0.93, 1.13L U d d ==,故4U U d DW d <<-,所以可以认为随机误差不存在自相关.因此经变换()7得到的回归模型()8是适用的.

最后,将模型()8中的't y 和't x 还原为原始变量t y 和t x ,得到结果为：

11?0.391410.632680.173740.10992t t t t y

y x x --=-++- ()9 四、结果分析与预测

从机理上看,对于带滞后性的经济规律作用下的时间序列数据,加入自相关的模型

()9更为合理,而且在本例中,衡量与实际数据拟合程序的指标——剩余标准差从模型()2的0.081减少到0.0671.当用模型()9对公司的销售额t y 作预测时,先估计未来的全行业销

售额t x ,比如,设t=21时,t x =174.1,容易由模型()9得到?t y

=29.1860.

四 、模型的评价

一、模型的优点

经D W -检验认为普通回归模型()1的随机误差存在自相关,由()4,()7式估计出自

相关系数ρ后,采用变换()8的方法得到模型()9,成称为广义差分法.这种方法消除了原模型随机误差的自相关性,得到的()9式是一阶自相关模型.

二、模型的缺点

D W -检验和广义差分法在经济数据建模中有着广泛的应用,但是也存在着明显的不足：若DW 的数值落在无法确定自相关性的区间,则只能设法增加数据量,或选用其他方法;如果原始数据序列存在高阶自相关性,则需要反复使用D W -检验和广义差分,直至判定不存在自相关为止.另外,D W -分布表中数据容量n 的下限是15.

参考文献

[1] 徐金明,张孟喜,丁涛,《MATLAB 实用教程》,北京:清华大学出版社;北京交通大学出版社,2005.7(2007.8重印).

[2]. 姜启源,谢金星、叶俊,《数学模型(第四版)》,北京:高等教育出版社,20011.1(2012.5重印).

附录

1.散点图的程序

clear;

x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;

y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.01

24.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;

plot(x,y,'*')

2.模型(1)的计算程序

clear;

x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3

148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;

y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.01

24.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;

x=[ones(20,1),x];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)

输出结果:

b =

-1.45475004139634

0.176282811457384

bint =

-1.90465420468789 -1.00484587810479

0.173247525367995 0.179318097546773

r =

-0.0260518571286674

-0.0620154480636046

0.0220209610014628

0.163754238810824

0.046570494649476

0.0463765905889701

0.043617063613695

-0.058435434718124

-0.0943990256530576

-0.149142463361581

-0.147990897733738

-0.0530535559647056

-0.0229282395027646

0.105851607270822

0.0854637991498031

0.106102240194701

0.0291124000938581

0.0423164640535205

-0.0441602514643726

-0.0330086858365206

rint =

-0.195385871759251 0.143282157501916

-0.231871886037631 0.107840989910421

-0.152853753861225 0.19689567586415

0.0131634673388031 0.314345010282846

-0.128820728276878 0.22196171757583

-0.130374632908482 0.223127814086423

-0.135221944162416 0.222456071389806

-0.236666572408848 0.119795702972601

-0.26910531130757 0.0803072600014548

-0.313617420748614 0.0153324940254506

-0.31288219186159 0.0169003963941133

-0.232314787682902 0.126207675753491

-0.203701178032592 0.157844699027063

-0.0664228030147936 0.278126017556437

-0.0879446576592735 0.25887225595888

-0.0620923905849254 0.274296870974328

-0.144034956949209 0.202259757136925

-0.128748679311955 0.213381607418996

-0.211614739705066 0.123294236776321

-0.197152337494454 0.131134965821413

stats =

Columns 1 through 3

0.998792444207198 14888.1435565111 1.01315527327091e-027

Column 4

0.00740568340707954

3. 散点图的交互式程序

clear;

x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;

y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.01

24.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;

rstool(x,y,'linear')

4.模型(2)的残差

x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;

y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.01

24.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;

for i=1:1:20

z(i)=-1.45475+0.17628*x(i);

e(i)=y(i)-z(i);

end

z

e

输出结果:

z =

Columns 1 through 3

20.985694 21.46165 21.937606

Columns 4 through 6

21.355882 22.34305 22.713238

Columns 7 through 9

23.435986 23.718034 24.19399

Columns 10 through 12

24.158734 24.687574 24.352642

Columns 13 through 15

25.022506 25.533718 26.274094

Columns 16 through 18

26.873446 27.490426 27.737218

Columns 19 through 20

28.283686 28.812526

e =

Columns 1 through 3

-0.0256939999999979 -0.0616500000000002 0.0223940000000056 Columns 4 through 6

0.164118000000002 0.0469500000000025 0.0467620000000046 Columns 7 through 9

0.0440140000000042 -0.0580339999999993 -0.093989999999998 Columns 10 through 12

-0.148733999999997 -0.147574000000002 -0.0526419999999987 Columns 13 through 15

-0.0225059999999964 0.106282000000004 0.0859059999999978 Columns 16 through 18

0.106554000000003 0.0295740000000038 0.0427820000000025 Columns 19 through 20

-0.0436859999999974 -0.0325259999999936

5.计算DW和

e =[-0.0256939999999979

-0.0616500000000002

0.0223940000000056

0.164118000000002

0.0469500000000025

0.0467620000000046

0.0440140000000042

-0.0580339999999993

-0.093989999999998

-0.148733999999997

-0.147574000000002

-0.0526419999999987

-0.0225059999999964

0.106282000000004

0.0859059999999978

0.106554000000003

0.0295740000000038

0.0427820000000025

-0.0436859999999974

-0.0325259999999936];

s=0;

for t=2:1:20

s=s+(e(t)-e(t-1))^2;

end

m=0;

for i=1:1:20

m=m+e(i)^2;

end

DW=s/m

p=1-1/2*DW

输出结果:

DW =

0.734645539224993

p =

0.632677230387503

6.模型(3)中的数据变换

x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;

y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.01

24.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;

p=0.63268

for t=1:1:19

y1(t)=y(t+1)-p*y(t);

x1(t)=x(t+1)-p*x(t);

end

y1

x1

输出结果:

p =

0.63268

y1 =

Columns 1 through 3

8.1390272 8.420648 7.6263472

Columns 4 through 6

8.7747264 8.5942948 9.0802032

Columns 7 through 9

8.8046736 9.1307912 8.762412

Columns 10 through 12

9.3493532 8.7740328 9.625876 Columns 13 through 15

9.823 10.1380848 10.3025552 Columns 16 through 18

10.4502936 10.3686464 10.6641496 Column 19

10.9131168

x1 =

Columns 1 through 3

49.459836 50.4516 45.443364 Columns 4 through 6

53.131208 51.6882 54.459572 Columns 7 through 9

53.465584 55.153296 53.24506 Columns 10 through 12

56.371596 52.573556 57.575648 Columns 13 through 15

58.071464 60.436692 61.179436 Columns 16 through 18

62.528324 61.713944 63.928192 Column 19

64.966884

7.模型(3)的计算结果

y1 =[8.1390272

8.420648

7.6263472

8.7747264

8.5942948

9.0802032

8.8046736

9.1307912

8.762412

9.3493532

8.7740328

9.625876

9.823

10.1380848

10.3025552

10.4502936

10.3686464

10.6641496

10.9131168];

x1 =[49.459836

50.4516

45.443364

53.131208

51.6882

54.459572

53.465584

55.153296

53.24506

56.371596

52.573556

57.575648

58.071464

60.436692

61.179436

62.528324

61.713944

63.928192

64.966884];

x2=[ones(19,1),x1];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y1,x2)

输出结果:

b =

-0.391413728791626

0.173739484728835

bint =

-0.743959505289538 -0.0388679522937137 0.167481672152938 0.179997297304732 r =

-0.0626854926210676

0.0466267410463246

0.122454283086727

-0.0648485721489394

0.00542729423064792

0.00983895095872533

-0.0929956860946302

-0.060100299345299

-0.0969435599642878

-0.0532051135904403

0.0313439989890654

0.0141263123428352

0.125107495982524

0.0292588019963098

0.0646852421508761

-0.0219314639260322

0.0379112976474367

-0.0512878089344184

0.0172175781936197

-0.194112737017012 0.0687417517748767

-0.0885336593085636 0.181787141401213

0.0161292648746043 0.228779301298849

-0.201462271956211 0.0717651276583323

-0.133792997199822 0.144647585661118

-0.131797031575754 0.151474933493204

-0.225302669864897 0.0393112976756366

-0.1985101568317 0.0783095581411017

-0.228268383451548 0.0343812635229727

-0.192519727444524 0.0861095002636433

-0.107973506382257 0.170661504360388

-0.127481451736758 0.155734076422428

-0.000122557504840748 0.250337549469889

-0.109224013348295 0.167741617340915

-0.0693312030770827 0.198701687378835

-0.157373208239308 0.113510280387243

-0.0980543981169386 0.173876993411812

-0.181348373667138 0.0787727557983009

-0.112564188002673 0.146999344389912

stats =

Columns 1 through 3

0.995069834050953 3431.159******** 4.68398711682588e-021 Column 4

0.00450814925050438

8.模型(3)的残量

clear;

y1 =[8.1390272

8.420648

7.6263472

8.7747264

8.5942948

9.0802032

8.8046736

9.1307912

8.762412

9.3493532

8.7740328

9.625876

9.823

10.1380848

10.3025552

10.4502936

10.3686464

10.6641496

10.9131168];

x1 =[49.459836

50.4516

45.443364

53.131208

51.6882

54.459572

53.465584

55.153296

56.371596

52.573556

57.575648

58.071464

60.436692

61.179436

62.528324

61.713944

63.928192

64.966884];

for i=1:1:19

z(i)=-0.39141+0.17374*x1(i);

e(i)=y1(i)-z(i);

end

z

e

输出结果:

z =

Columns 1 through 3

8.20174190664 8.374050984 7.50392006136

Columns 4 through 6

8.83960607792 8.588897868 9.07039603928

Columns 7 through 9

8.89770056416 9.19092364704 8.8593867244

Columns 10 through 12

9.40259108904 8.74271961944 9.61178308352

Columns 13 through 15

9.69792615536 10.10886086808 10.23790521064

Columns 16 through 18

10.47226101176 10.33077063056 10.71547407808

Column 19

10.89593642616

e =

Columns 1 through 3

-0.0627147066400013 0.0465970159999998 0.122427138639998 Columns 4 through 6

-0.0648796779199987 0.00539693200000002 0.00980716071999943 Columns 7 through 9

-0.0930269641599999 -0.0601324470399991 -0.0969747244000008 Columns 10 through 12

-0.0532******* 0.0313131805599998 0.0140929164799992 Columns 13 through 15

0.125073844640001 0.0292239319199989 0.0646499893599994 Columns 16 through 18

-0.0219674117599986 0.0378757694399994 -0.0513244780799997 Column 19

0.0171803738400005

9.求模型(3)的DW值

e =[-0.0627147066400013

0.0465970159999998

0.122427138639998

-0.0648796779199987

0.00539693200000002

0.00980716071999943

-0.0930269641599999

-0.0601324470399991

-0.0969747244000008

-0.0532*******

0.0313131805599998

0.0140929164799992

0.125073844640001

0.0292239319199989

0.0646499893599994

-0.0219674117599986

0.0378757694399994

-0.0513244780799997

0.0171803738400005];

s=0;

for t=2:1:19

s=s+(e(t)-e(t-1))^2;

end

m=0;

for i=1:1:19

m=m+e(i)^2;

end

DW=s/m

输出结果:

DW =

1.6519922652328