杭电 高等数学
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杭州电子科技大学学生考试卷（ ）卷
考试课程
考试日期 年 月 日 成 绩
课程号 教师号 任课教师姓名 考生姓名 学号（8位）
年级
专业
一、
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
1．极限为不等于零的常数）
其中x n
x n n (sin
2lim 2
∞
→的值等于x .
2．设函数??
?≥+<=0
,,
0,)(x x a x e x f x
是),(+∞-∞内的连续函数，则=a 1
3．设曲线的参数方程为??
?==,s i n
,c o s t b y t a x ，则其在4
π
=
t 处的切线方程为
20bx ay ab +-=.
4．函数)1l n (x +的带佩亚诺余项的
n
阶麦克劳林公式为
2
31
11 (1)
()2
3
n n n
x x x x o x --
+
-+-+.
5．=
-?
x
x dx arcsin 12
ln |arcsin |x C +
6．函数1433
4
+-=x x y 的拐点为211
(0,1),(,)327
. 二、
选择题 （本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．函数)(x f 在0x 处的某一领域内有界是)(x f 在0x 处极限存在的（B ）
(A)充分但非必要条件； (B)必要但非充分条件； (C)充分必要条件； (D) 既非充分也非必要条件 ．
2．设函数)(x f 在a x =的某个领域内有定义，则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是（ D ）
（Ａ）)]()1([lim a f h
a f h h -++∞
→存在， （B ）h
h a f h a f h )
()2(lim
+-+→存在，
(C) h
h a f h a f h 2)
()(lim
--+→存在, （Ｄ）h
h a f a f h )
()(lim 0
--→存在.
3.设在［0,1］上0)(>''x f ，则)0()1(),1(),0(f f f f -''或)1()0(f f -这三个数的大小顺序为（ B ）
)
0()1()0()1()()
0()1()0()1()()0()0()1()1()()0()1()0()1()(f f f f D f f f f C f f f f B f f f f A '>->''>'>-'>->'->'>'
４.
?+=C x F dx x f )()(，且b at x +=则?=dt t f )(（ B ）
（A ）C x F +)(； （B ）C t F +)(; （C ）C b at F a
++)(1; （D ）C b at F ++)( . 5．已知y x =sin ，则y ()10=(A )
(A) -sin x ； (B) -cos x ； (C)x
sin
； (D) cos x ．
6．当0→x 时，x 3arctan 与
x
ax cos 是等价无穷小，则a 为( B )
(A) 4； (B)3； (C)2； (D)1．
7. 由两条抛物线x y =2和2x y =所围的平面图形面积为( C )
(A) 1； (B)
2
1； (C)3
1； (D)
4
1．
8.
反常积分?
+∞
1
p
x
dx 是（ A ）
（A ）当1>p 收敛 ； （B ）当收敛1->p ； （C ）当1
得分
得分
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三、计算题（共7小题，每小题5分，共35分）
1．求极限.lim
2
1
cos 0
2
x
dt
e
x
t x ?
-→
12e
2．.)tan(22
dx
y d y x y 导数
所确定的隐函数的二阶求由方程+=
3. 计算：.,arctan
y e y x
'=求设.
4．求不定积分：.sin ?xdx e x .
5.
.11dx e
x
?
+
6. .2cos 14
?
+πx
xdx
7.?
>-+
a a dx x
a x 0
2
2
)0(.
1.
四、应用题[本题9分] 设非负函数
上满足
在]1,0[)(x f ,
)()(2
2
3x x f x f x a +
='曲线
)(x f y =与直线1
=x 及坐标轴所
围图形面积为 2 , (1)求函数;)(x f (4分)
(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体体积最小 ? (提示考虑?])([
='x
x f )（5
分）
五、综合题[本题8分]
设)(x f 可导，且1)(lim =+∞
→x f x ，求dt
t f t
t x x
x ?
++∞
→2
)(3sin
lim
.
运用积分中值定理求解 (定积分中值定理) 如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续, 则在
积分区间[a ,b ]上至少存在一个点ξ, 使下式成立: ?-=b
a
a b f dx x f ))(()(ξ.
证明 由性质6 ?-≤≤-b
a a
b M dx x f a b m )()()(,各项除以b -a 得?≤-≤b a
M dx x f a b m )(1,
再由连续函数的介值定理, 在[a ,b ]上至少存在一点ξ, 使?-=b
a dx x f a
b f )(1)(ξ,
于是两端乘以b -a 得中值公式?-=b
a
a b f dx x f ))(()(ξ.
六、证明题[本题6分]
)].
0()1([2)(),1,0(:,)1,0(,]1,0[)(f f f x f -='∈ξξξ使至少存在一点
证明内可导在上连续在设函数
运用柯西中值定理证明