1.9连续函数的运算与间断点

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的和、差、积及商的连续性

由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，立即可以得出下面的定理。 定理1 若函数(),()f x g x 都在点0x 连续，则函数

()()f x g x ±，()()f x g x ?，0()(()0)()

f x

g x g x ≠ 也在点0x 连续。

例1 因为sin tan cos x x x =，cos cot sin x x x

=，而sin ,cos x x 都在(,)-∞+∞内连续，所以tan ,cot x x 在它们的定义域内连续。

二、反函数与复合函数的连续性

定理 2 如果函数()y f x =在区间x I 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数1()x f y -=也在对应的区间{|(),}y x I y y f x x I ==∈上单调增加（或单调减少）且连续。

例2 由于sin y x =在闭区间[,]22

ππ

-上单调增加且连续，所以它的反函数arcsin y x =在闭区间[1,1]-上单调增加且连续。 同理，arccos y x =在闭区间[1,1]-上单调减少且连续；arctan y x =在区间(,)-∞+∞上单调增加且连续；arccot y x =在区间(,)-∞+∞上单调减少且连续。即反三角函数在它们的定义域内连续。

定理3（略）

例3（略）

定理 4 设函数()u x ?=在点0x x =连续，且00()x u ?=，而函数()y f u =在点0u u =连续，那么复合函数[()]y f x ?=在点0x x =也是连续。

例4 讨论函数1sin y x

=的连续性。

解 1sin y x =可看成1sin ,y u u x ==复合而成。而sin y u =在(,)-∞+∞上连续，1u x =在(,0)(0,)-∞+∞上连续，所以1sin y x =在(,0)(0,)-∞+∞上连续。 三、初等函数的连续性

前面我们证明了三角函数与反三角函数在它们的定义域内是连续的。 我们指出（不作证明）：指数函数(0,1)x y a a a =>≠在(,)-∞+∞上单调且连续，

其值域为(0,)+∞，由反函数的连续性可得，对数函数log (0,1)a y x a a =>≠在(0,)+∞内单调且连续。

幂函数y x μ=的定义域与μ有关，但无论μ为何值，y x μ=在开区间(0,)+∞内总是有定义的。当0x >时，ln x y x a μμ==，因此，它可以看成由,ln y e x ννμ==复合而成，由定理4，它在(0,)+∞内连续。对于μ取各种不同值的情况分别加以讨论，则可以证明幂函数在它的定义域内是连续的。

综合可得：基本初等函数在它们的定义域内是连续的。

根据初等函数的定义，基本初等函数的连续性及定理1、定理4可得：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

利用初等函数的连续性求极限，往往比较方便。

P64例5-例8

作业：P66 3.（1）、（2）、（3）、（4），4.（2）、（3）、（4）、（5），6

小结：本节讲述了连续函数的和、差、积及商的连续性、反函数与复合函数的连续性和初等函数的连续性。