高考数学压轴题跟踪演练系列五
备战2012高考数学――压轴题跟踪演练系列五
1．（本小题满分14分）
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，
满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=?TF TF PT （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x a
c
a P F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；
（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，
使△F 1MF 2的面积S=.2
b 若存在，求∠F 1MF 2
的正切值；若不存在，请说明理由.
本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x
由P ),(y x 在椭圆上，得
.
)()()(||22
222
2
2
2
1x a
c
a x
a b b c x y c x P F +=-++=++=
由0,>+-≥+
≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x a
c
a P F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==
则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=
由.||,4,2112
22121x a c
a r P F cx r r a r r +
===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a
c
a
由椭圆第二定义得a c c
a
x P F =+|
|||21，即.||||||2
1x a c a c a x a c P F +=+=
由0,>+-≥+
-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x a
c
a P F +=…………………………3分 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x
当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.
当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=?TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==
||2
1
||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=?TF PT ，得2TF PT ⊥.
又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.
设点Q 的坐标为（y x '',），则???
???
?'=+'=.2,2y y c x x
因此???='-='.
2,
2y y c x x ①
由a Q F 2||1=得.4)(2
22a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+
综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分
（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2
b 的充要条件是
?????=?=+.||22
1,
2
022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤
所以，当c b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c
b a 2
<时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当c
b a 2
≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，
由2
222022021b c a y c x MF MF =-=+-=?，
212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠?=?，
22121sin ||||2
1
b MF F MF MF S =∠?=
，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2
b 的充要条件是
③ ④
?????=?=+.||22
1,
2
022020b y c a y x 由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((22242
20≥+-=-=c b a c b a c
b a x 于是，当c
b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；
当c
b a 2
<时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当c b a 2
≥时，记c
x y k k c x y k k M F M F -==+==0020012
1,，
由,2||21a F F <知?<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 2
1212
1=+-=∠k k k k MF F …………14分
2．（本小题满分12分）
函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设
m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=
（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；
（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[2
3
132
2
+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，
求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.
本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 （Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；
当0)(,0<' 最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分 （Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,12 2≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(22 1b a -≤ ③ ④ 另一方面，由于32 2 3)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知， 32 23x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线32 2 3x y =相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.) 2(2 1b x b y +=- 于是32 2 3x b ax ≥+的充要条件是.)2(21 b a ≥…………………………10分 综上，不等式32 22 3 1x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(2) 2(2 12 1b a b -≤≤- ① 显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2 12 1b b -≤- ② 有解、解不等式②得.4 22422+≤≤-b ③ 因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分 （Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(22 1b a -≤………………………………………………………………8分 令32 23)(x b ax x -+=φ，于是32 2 3x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .0)(≥x φ 由.0)(33 1-- ==-='a x x a x 得φ 当30-<a x 时，0)(>'x φ，所以，当3 -=a x 时，)(x φ取最小值.因此 0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3 ≥-a φ，即.)2(2 1- ≥b a ………………10分 综上，不等式32 2 2 31x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(2) 2(2 12 1b a b -≤≤- ① 显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2 1 2 1)1(2)2(b b -≤- ② 有解、解不等式②得.4 22422+≤≤-b 因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分 3．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列； （II ）令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与2 2313n n -的大小. 解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得 ()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+ 故总有112(1)n n a a ++=+，* n N ∈又115,10a a =+≠从而11 21 n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列； （II ）由（I ）知321n n a =?- 因为212()n n f x a x a x a x =+++ 所以112()2n n f x a a x na x -'=+++ 从而12(1)2n f a a na '=+++ =()() 23212321(321)n n ?-+?-++?- =() 232222n n +?++? -()12n +++ =()1 (1) 312 62 n n n n ++-?- + 由上() ()22(1)23131212n f n n n '--=-?-() 2 1221n n --= ()()1212121(21)n n n n -?--+=12(1)2(21)n n n ??--+??① 当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-； 当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<- 当3n ≥时，10n -> 又()011211n n n n n n n n C C C C -=+=++++ ≥2221n n +>+ 所以()()12210n n n ??--+>?? 即①0>从而2(1)f '>2 2313n n - 4．(本小题满分14分) 已知动圆过定点,02p ?? ??? ，且与直线2p x =-相切，其中0p >. （I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程； （II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标. 解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p ?? ??? 为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题 y A x o B ,02p F ?? ??? M N 2 p x =- 意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2 p x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ?? ??? 为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>； （II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线AB 的斜 率存在，设其方程为y kx b =+，显然2212 12,22y y x x p p == ，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pb y y y y k k += ?=① （1）当2πθ=时，即2π αβ+=时，tan tan 1αβ?=所以121212121,0y y x x y y x x ?=-=，22 12 12204y y y y p -=所 以2124y y p =由①知： 224pb p k =所以2.b pk =因此直线AB 的方程可表示为2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=所以直线AB 恒过定点()2,0p - （2）当2 π θ≠ 时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+= tan tan 1tan tan αβ αβ +-= 122 122() 4p y y y y p +-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pk θ=-，所以22tan p b pk θ=+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+ 22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ? ?+--= ?? ? 所以直线AB 恒过定点22, tan p p θ? ? - ??? 所以由（1）（2）知，当2 π θ=时，直线AB 恒过定点()2,0p -，当2 π θ≠ 时直线AB 恒过定点22, tan p p θ? ? - ??? . 5．（本小题满分12分） 已知椭圆C 1的方程为14 22 =+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6 解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12 2 22=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由 故C 2的方程为.13 22 =-y x （II ）将.0428)41(14 22222 =+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得 ,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=?k k k 即 .4 1 2 > k ① 0926)31(13 22222 =---=-+=kx x k y x kx y 得代入将. 由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得 . 13 1 .0)1(36)31(36)26(,0312222222 <≠?????>-=-+-=?≠-k k k k k k 且即 ) 2)(2(,66319 ,3126),,(),,(2 2+++=+<+ +B A B A B A B A B A B A B A B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设 .1 37 3231262319)1(2 )(2)1(222 222-+=+-?+--? +=++++=k k k k k k k x x k x x k B A B A .0131315,613732 222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得 .3 1 151322<> k k 或 ③ 由①、②、③得 .115 13 314122<<< 13 ()33,21()21,33()1513,1( ---- 6．（本小题满分12分） 数列{a n }满足)1(21 )11(1211≥+++ ==+n a n n a a n n n 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ； （Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828…. （Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k 那么22 1 ))1(11(1≥+++ =+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立. 根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一： 由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2 1 11(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n n n n n 两边取对数并利用已知不等式得 n n n a n n a ln )2 1 11ln(ln 21 ++++≤+ .211ln 2n n n n a +++ ≤ 故n n n n n a a 21 )1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n 上式从1到1-n 求和可得 1212 1 2121)1(1321211ln ln -++++-++?+?≤ -n n n n a a .2211112 1121 121111)3121(211<-+-=-- ?+--++-+-=n n n n n 即).1(,2ln 2≥< （Ⅱ）证法二： 由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n 对成立，故 ).2()1(1 )1(11(21)11(21≥-+-+<+++ =+n n n a n n a n n a n n n n 令).2()) 1(1 1(),2(1 1≥-+ ≤≥+=+n b n n b n a b n n n n 则 取对数并利用已知不等式得 n n b n n b l n )) 1(1 1 l n (l n 1+-+≤+ ).2() 1(1 ln ≥-+ ≤n n n b n 上式从2到n 求和得 ) 1(1321211l n l n 21-++?+?≤ -+n n b b n .11113121211<--++-+- =n n 因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n e e b b a b n n 故 故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立. 7．（本小题满分12分） 已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,2 1 ,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 解：（1）方法一 用数学归纳法证明： 1°当n=1时，,2 3)4(21,10010=-= =a a a a ∴210< 1 )4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---= -+=--+时 ).4)((2 1 ) )((2 1 )(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=----- 而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a 又.2])2(4[2 1 )4(2121<--=-= +k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确. 由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明： 1°当n=1时，,2 3 )4(21,10010=-=