四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题讲义：11.模为素数的二次剩余
高一竞赛数论专题 11.模为素数的二次剩余
设素数2,p d >是整数,.p d 如果同余方程2
(mod )x d p ≡有解,则称d 是模p 的二次剩余,若无解,则称d 是模p 的二次非剩余.
注意到|.p d 则同余方程2
0(mod )x d p ≡≡,则其有且只有一解0(mod ).x m ≡
若2,p =且.p d 则同余方程2
(mod 2)x d ≡为2
1(mod 2)x ≡有且只有一解1(mod 2).x ≡
1.设素数2p >,证明在模p 的一个既约剩余系中,恰有12p -个模p 的二次剩余,1
2
p -个模p 的二次非剩余.此外,若d 是模p 的二次剩余,则同余方程2
(mod )x d p ≡的解数为2.
2.(Euler 判别法)设素数2,,p p d >那么,d 是模p 的二次剩余的充要条件是12
1(mod );p d p -≡d 是模p
的二次非剩余的充要条件是12
1(mod ).p d
p -≡-
3. 若素数2,p >证明：1-是模p 的二次剩余的充要条件是1(mod 4).p ≡
当1(mod 4)p ≡时,2
1!1(mod ).2p p ?-?
??±≡- ? ?????
4.设p 是奇素数,证明：1,2,
,1p -中全体模p 的二次剩余之和12
22
1(1)
.24p j p p j S p p -=??-=-????
∑
由此可以证明当1(mod 4)p ≡时,1
222
1(1)(1)
.244p j j p p p p p p -=??--=-????
∑
高一竞赛数论专题 11.模为素数的二次剩余解答
设素数2,p d >是整数,.p d 如果同余方程2
(mod )x d p ≡有解,则称d 是模p 的二次剩余,若无解,则称d 是模p 的二次非剩余.
注意到|.p d 则同余方程2
0(mod )x d p ≡≡,则其有且只有一解0(mod ).x m ≡
若2,p =且.p d 则同余方程2
(mod 2)x d ≡为2
1(mod 2)x ≡有且只有一解1(mod 2).x ≡
1.设素数2p >,证明在模p 的一个既约剩余系中,恰有12p -个模p 的二次剩余,1
2
p -个模p 的二次非剩余.此外,若d 是模p 的二次剩余,则同余方程2
(mod )x d p ≡的解数为2.
证明：取模p 的绝对最小既约剩余系11
11
,1,,1,1,,
1,.22
22
p p p p -----
-+-- d 是模p 的二次剩余当且仅当222222
11
11(),(1),,(1),1,
,(
1),().22
22
p p p p d ----≡-
-+-- 由于2
2
()(mod ),j j p -≡所以d 是模p 的二次剩余当且仅当2
22
111,
,(
1),().22
p p d --≡- 当112p i j -≤<≤
时,1
21,10,2p i j p i j -<+<--<-<22()()0(mod ).i j i j i j p -=+-≡/ 所以2
22111,
,(
1),()22p p d --≡-给出了模p 的全部二次剩余,共有
1
2
p -个. 由于模p 的既约剩余系(简系)有1p -个数,所以另外的
1
2
p -个必为模p 的二次非剩余.
当d 是模p 的二次剩余时,必存在唯一的1
,1,2
p i i -≤≤
使得(mod )x i p =是同余方程2(mod )x d p ≡的解,于是在模p 的绝对最小既约剩余系1111
,1,,1,1,,1,.2222
p p p p ------+--中有且仅有
(mod )x i p =±是同余方程2(mod )x d p ≡的解,所以解数为2.
2.(Euler 判别法)设素数2,,p p d >那么,d 是模p 的二次剩余的充要条件是12
1(mod );p d p -≡d 是模p
的二次非剩余的充要条件是1
2
1(mod ).p d
p -≡-
证明：首先来证明对任一,,d p d 112
2
1(mod ),1(mod )p p d p d
p --≡≡-有且仅有一个成立.
由Euler 定理知道1
1(mod ).p d
p -≡因此112
2
(1)(1)0(mod ).p p d d
p --+-≡
由于素数2p >即112
2
(1)(1) 2.p p d
d
--+--≡
所以对任一,,d p d 112
2
1(mod ),1(mod )p p d
p d p --≡≡-有且仅有一个成立.
下面来证明d 是模p 的二次剩余的充要条件是12
1(mod ).p d p -≡
先证必要性()?若d 是模p 的二次剩余,则必有0x 使得2
0(mod ),x d p ≡ 因此有11122
2
()
(mod ).p p p x
x d
p ---=≡
由于,p d 所以0.p x 由Euler 定理知道10
1(mod )p x
p -≡,所以12
1(mod ).p d
p -≡
再证充分性,若12
1(mod ).p d
p -≡则.p d 考虑一次同余方程(mod ).ax d p ≡对模p 的绝对最小既约剩余
系1111,1,,1,1,,1,.2222
p p p p ------+--
中的每个j ,当a j =时,必有唯一的j x x =属于模p 的绝对最小既约剩余系,使得(mod ).ax d p ≡ 若d 不是模p 的二次剩余,则必有.j j x ≠这样模p 的绝对最小既约剩余系中的1p -个数就可按,j j x 作为
一对,两两配完.因此有1
211
11(1)!()(1)(1)1
(1)(mod ).22
22
p p p p p p d p ------≡--+--≡ 由Wilson 定理知(1)!1(mod )p p -≡-,所以1
2
1(mod )p d
p -≡-这与1
2
1(mod )p d
p -≡矛盾.
d 是模p 的二次剩余的充要条件是12
1(mod ),p d
p -≡与对任一,,d p d
112
2
1(mod ),1(mod )p p d
p d
p --≡≡-有且仅有一个成立.可以推得d 是模p 的二次非剩余的充要条件是
12
1(mod ).p d
p -≡-
3. 若素数2,p >证明：1-是模p 的二次剩余的充要条件是1(mod 4).p ≡
当1(mod 4)p ≡时,2
1!1(mod ).2p p ?-?
??±≡- ? ??
???
证明：由Euler 判别法知道1-是模p 的二次剩余的充要条件是12
(1)1(mod ).p p --≡
又2p >,所以1
2
(1)
1.p --=即1(mod 4).p ≡
由Wilson 定理,(1)! 1.p -≡-
2
1
211
1111(1)!()(1)
(1)1(1)(1)!(mod )22
222p p p p p p p p -----?-?
??-≡-≡--+--=- ? ?????
当1(mod 4)p ≡时,2
1!1(mod ).2p p ?-?
??±≡- ? ?????
4.设p 是奇素数,证明：1,2,
,1p -中全体模p 的二次剩余之和12
22
1(1)
.24p j p p j S p p -=??-=-????
∑
由此可以证明当1(mod 4)p ≡时,1
222
1(1)(1)
.244p j j p p p p p p -=??--=-????
∑
证明：因为d 是模p 的二次剩余当且仅当2
22
111,
,(
1),()(mod ).22
p p d p --≡- 设2
(1)j j j j pq r r p =+≤<,1
1.2p j -≤≤则
2.j j q p ??=????
于是1
11
11
2222222
2221
1
11111(1)(11)(1)22.624p p p p p j
j j j j j p p p j j p p j S r j p p p p p p -----=====--+-+??????-=
=-=-=-????????????
∑∑
∑∑∑
若1(mod 4)p ≡,则1
222
1(1)
.24p j j p p p S p -=??-=
-????
∑ 因为1(mod 4)p ≡,由Euler 判别法知道j r 与j p r -同为二次剩余或非二次剩余. 又在模p 的一个既约剩余系中,恰好有
1
2
p -个模p 的二次剩余,所以1(1).224p p p p S --=?=
于是
1
22
2
1
(1)(1)
.
244 p
j
j p p p p
p
p
-
=
??--
=-
??
??
∑
四川省成都市第七中学2021届高三年级上学期期末考试文综地理试题及答案
绝密★启用前 四川省成都市第七中学 2021届高三年级上学期期末教学质量检测 文综-地理试题 2021年1月 第Ⅰ卷选择题（共140分) 第Ⅰ卷共35个小题，每个小题有四个选项，只有一个选项最符合题意，每小题4分，共计140分。请用2B铅笔在答题卷上将所选答案的代号涂黑。 “上关花，下关风，下关风吹上关花；苍山雪，洱海月，洱海月照苍山雪”这是大理四绝“风花雪月”。下关，一年四季强风不断，全年无风日很少；苍山(即点苍山），寒冬时节，百里点苍，白雪皑皑，阳春三月，雪线以上仍堆银垒玉，最高峰马龙峰的积雪更是终年不化；洱海，大理第二大淡水湖，水质优良。下图是大理苍山洱海地区示意图。据此完成1～3题。 1.大理下关风特别大的主要影响因素是 A.纬度 B.日照 C.地形 D.植被 2.近年来，点苍山早己不是终年白雪全这主要是由于 A.人类开采 B.全球气候变暖
C.大风吹散 D.热岛效应加剧 3.洱海形成于 A.火山口集水 B.河道淤塞集水 C.滑坡阻断河流 D.地壳断陷集水 人口抚养比又称抚养系数，是指总体 人口中非劳动年龄人口数与劳动年龄人口 数之比。右图为一段时期内中国和美国的 劳动年龄人口比重变化图。读图完成4～6 题。 4.下列年份中，中国人口抚养比最大的是 A.1977年 B.1992年 C.2010年 D.2017年 5.在图示期间,美国劳动年龄人口比重变化不大，说明在此期间美国 A.自然增长率为零 B.人口老龄化严重 C.人口增长比较稳定 D.经济发展比较缓慢 6.与美国相比，影响图示期间中国劳动年龄人口比重的变化特征的主要因素是 A.人口老龄化 B.经济发展水平 C.人口迁移 D.人口政策 不同沉积环境会形成不同的沉积岩。图a为常见沉积岩与沉积环境对应关系示意图，b为我国某山局部岩层垂直剖面示意图。据此完成7～9题。 7.砾岩由砾石沉积而成。据图推断其沉积环境为 A.陆地 B.滨海 C.浅海 D.深海 8.图b所示岩层剖面表明该地在地质历史时期经历了 A.海退过程 B.海侵过程 C.先海侵后海退 D.先海退后海侵 9.在地质演化过程中，形成界面M的地质作用最可能是
高中数学竞赛中数论问题的常用方法
高中数学竞赛中数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的 最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡； (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+； (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系； (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相
2016-2017学年四川省成都七中高一(上)期末数学试卷
2016-2017学年四川省成都七中高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}2,1,0=A ，{}3,2=B ，则=B A （ ） A ．{}3,2,1,0 B ．{}3,1,0 C ．{}1,0 D ．{}2 【答案】A 【解析】∵集合{}2,1,0=A ，{}3,2=B ， =B A {}3,2,1,0 故选：A ． 【考点】并集及其运算． 【难度】★★★ 2．下列函数中，为偶函数的是（ ） A ．2log y x = B ．12 y x = C ．2x y -= D ．2 y x -= 【答案】D 【解析】对于A ，为对数函数，定义域为+R ，为非奇非偶函数； 对于B ．为幂函数，定义域为[)+∞,0，则为非奇非偶函数； 对于C ．定义域为R ，为指数函数，则为非奇非偶函数； 对于D ．定义域为{} R x x x ∈≠,0，()()x f x f =-，则为偶函数． 故选D ． 【考点】函数奇偶性的判断． 【难度】★★★ 3．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 【答案】B 【解析】由弧长公式可得r 36=，解得2=r ． ∴扇形的面积6262 1 =??=s ． 故选B ． 【考点】扇形的弧长和面积公式 【难度】★★★
4．已知点()1,0A ，()1,2-B ，向量()0,1=，则在e 方向上的投影为（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2- 【答案】D 【解析】解：()0,2-=， 则在方向上的投影.2 1 2 -=-= = 故选：D ． 【考点】平面向量数量积的运算． 【难度】★★★ 5．设α是第三象限角，化简：=+?αα2tan 1cos （ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．2 【答案】C 【解析】解：α 是第三象限角，可得：0cos <α， cos α∴= . 1sin cos cos sin cos cos tan cos cos 2 2222 2 2 2 2 =+=?+=+ααα αααααα . 1tan 1cos 2-=+?∴αα 故选：C ． 【考点】三角函数的化简求值． 【难度】★★★ 6．已知a 为常数，幂函数()a x x f =满足231=?? ? ??f ，则()=3f （ ） A ．2 B ．21 C ．2 1 - D ．2- 【答案】B 【解析】解：a 为常数，幂函数()a x x f =满足231=??? ??f ，23131=?? ? ??=??? ??∴a f
【地理】四川省成都市第七中学2017届高三上学期周测.docx
成都七中2017届文科12月23日综合测试卷 第I 卷 本卷共35题， 每题4分，共140分。在每题给出的四个选项小，只有一项是最符合题 冃要求的。 河北小镇燕郊，毗邻北京市通州区，随着北京市城市空间“东移南扩匕 燕郊成了白天 比较冷清、晚上很热闹的“睡城”，每天大约40万人屮的80%乘公交到北京上班，燕郊镇虽 然早已是国家级高新技术开发区，但大部分产业仍以房地产为主。完成1?3题。1?燕郊称 为“睡城”的直接原因是 2?日前“睡城”燕郊面临最大的问题是 达州市地处大巴山南麓，以屮低山、丘陵地貌为主，占辖区面积的98.8%。每年8月下 句至9月上句，正值达州市的水稻收割期，农村不少地方依靠外地来的机械收割团队收割稻 谷，完成4?5题。 4.达州市水稻种植区在空间分布上有较大差异，其主要影响因素是 地机械收割团队来作业的主要原因是达州 A.水平梯田增多 B.经济收入增加 C.农业劳动力减少 古“丝绸Z 路”是东西方物资和文化交流 的主要通道。北方“丝绸 之路”主要经过水草 丰美的欧亚草原，沿线有许多古文明中 心；南 方“丝绸Z 路”所经Z 地江河横溢、山峦叠嶂, 原始 森林茂密，山路崎岖，右图为古“丝绸之 路”路线示意图。 读图完成6?7题。 6. 从地理环境变化的角度考虑，北方“丝绸Z 路”衰落的根本原因是 A. 北京市产业转移 B. 北京房价不断攀升 C. 燕郊坏境质量好 D. 燕郊基础设施完善 A.交通压力增大 B.环境污染严重 C.就业压力增大 D.治安问题突出3?燕 郊要摆脱“睡城S 走上可持续发展道路, 切实可行的措施是 A.改善与北京之间的交通 控制燕郊的房产开发 C.降低北京房价，减少跨省上班 D.发展高新产业和第三产业 A.地形 B.气候 C.水源 D.市场＜5.导致外 D.交通条件改善 ”0市登■之话
四川省成都市第七中学2021年高三上学期期末考试物理试题
二、选择题：共8小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分 14．光滑水平桌面上有相距不远的P 、Q 两个小球，它们的形状完全相同，P 的质量是Q 的3倍；它们都带正电，P 的电量是Q 的2倍，在彼此间库仑力的作用下，P 、Q 由静止开始运动，P 和Q 的动量大小之比为 A ．1：1 B ．2：1 C ．3：1 D ．6：1 15．关于磁感的磁感线，下列说法正确的是 A ．条形磁铁的磁感线从磁铁的N 极出发，终止于磁铁的S 极 B ．磁感线的疏密表示磁场的强弱，磁感线疏的地方磁场弱，磁感线密的地方磁场强 C ．磁感线是客观存在的物质，没画磁感线的地方就表示磁场不存在 D ．通电长直导线周围的磁感线是以导线为圆心的均匀分布的同心圆 16．利用引力常量G 和下列某一组数据，不能计算出月球质量的是 A ．月球的半径及月球表面的重力加速度（不考虑月球自转和地球对月球的影响） B ．人造卫星在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的速度和周期 C ．人造卫星绕月球做匀速圆周运动的半径和周期 D ．月球绕地球做匀速圆周运动的半径和周期 17．如图，EOF 和'''E O F 为空间一匀强磁场的边界，其中''EO E O ，''FO F O ，且EO OF ，'OO 为∠EOF 的角平分线，'OO 间的距离为L ；磁场方向垂直于纸面向里，一边长为L 的正方形导线框沿'OO 方向匀速通过磁场，t=0时刻恰好位于图示位置，规定导线框中感应电流沿逆时针方向为正，则感应电流i 随时间t 的关系图线可能正确的是
高中数学竞赛数论部分
高中数学竞赛数论部分文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
初等数论简介 绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1．请看下面的例子： （1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。(1894年首 届匈牙利 数学竞赛第一题) （2） ①设n Z ∈，证明2131n -是168的倍数。 ②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++能整除123n ???（1956年上海首 届数学竞赛第一题） （3） 证明：3231 122 n n n ++-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。（1956年 北京、天津市首届数学竞赛第一题） （4） 证明：对任何自然数n ，分数 214 143 n n ++不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹 克竞赛第一题） （5） 令(,, ,)a b g 和[,, ,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数， 试证：[][][][]()()()() 2 2 ,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =??（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题） 这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字： （1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。 （2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占% 。
四川省成都市第七中学2019-2020学年高一下学期半期考试语文试题 Word版含答案
成都七中2019~2020 学年度下期高2022 届半期考试 语文试题 考试时间：150 分钟总分：150 分 一、现代文阅读（36 分） （一）论述类文本阅读（本题共3小题，9 分） 阅读下面的文字，完成1～3 题。20 世纪70年代，西方学者多次断言:“东方或中东没有修辞学。”西方学者的断言，是基于怎样的逻辑呢？在此问题上，难道上帝真的漠视了东方子民了吗?显然不是，中国从古至今都一直存在修辞和修辞学。只要人类使用语言，使用符号，就存在修辞和修辞学，因为修辞是人们能动地使用语言以提高传播效果的行为。西方学者的断言，是基于古希腊、古罗马的修辞或修辞学观念作出的判断，其中折射着文明的偏见。西方的古典修辞，就是以城邦社会为语境的演说、劝服和论辩。其经典模式是由“诉讼”“议政”“典礼”三种演说和“觅材取材”“布局”“谋篇”“文体风格”“记忆”“表达技巧”等五个步骤，以及“人格”“情感”“逻辑”等说服要素构成的范畴体系。我们称之为“三说”“五艺”“三素”。以此模式框定其他文化和文明中的修辞或修辞学形态，是不合适的。“西方之外无修辞学”的观点是狭隘的。什么是“修辞”“修辞学”，众说纷纭。我们认为，“修辞”“修辞学”不仅是一个历史概念，也是一个民族、国家和文化乃至文明概念，即在不同的时代、民族、国家乃至文化和文明中存在不同的修辞形态，“修辞学”也具有不同的含义。但是，这不等于说，众多的“修辞”“修辞学”观不存在任何交集。相反，尽管存在上述方面的差异，“修辞”“修辞学”依然是一个相对明晰的概念。简单地说，“修辞是人类的一种以语言为主要媒介的符号交际行为，是人们依据具体的语境，有意识、有目的地建构话语和理解话语以及其他文本，以取得理想的交际效果的一种社会行为”。显然，运用语言等媒介符号进行思想、观念、情感交流，以实现信息共享、行为协调的传播行为，是人类修辞的共性。修辞学就是研究修辞规律，即揭示如何高效地实现人类语言等信息交流规律的学问。从现存文献看，说服、论辩现象，或者说“长短术”“纵横术”，是我国先秦时期典型的修辞形态，特别是在战国时期，以门客、游说之士为最。但是，除此之外，当时还有许多其他的修辞形态。《春秋左传》《战国策》等古籍中有许多关于策士论辩的记载，属于论辩修辞。而《诗经》《论语》等，则是文学和教育话语，也是当时的修辞形态。而当时关于修辞的思想和学说，则遍布先秦诸子的著作。随着国际修辞学研究全球化趋
四川省成都市第七中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题
成都七中 2017～2018 学年度下期高 2020 届数学期末考 试 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1．数列 -1, 1 , - 1 , 1 , - 1 ……的一个通项公式为（ ） 2 3 4 5 (-1)n A. n B. - 1 C. n (-1)n -1 1D. n n 2．已知 a = (cos 75?, sin15?) ,b = (cos15?, s in 75?) ，则 a ? b 的值为（） A. 0B . 1 C. 2 3 D. 1 2 3．在?ABC 中， AB = 4 ， BC = 3， CA = 2 ，则?ABC 为（） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4．以下不等式正．确．的是（） A. (x - 3)2 < (x - 2)(x - 4) B. x 2 + y 2 > 2(x + y - 1) C. 2 + 3 7 > 4 D. 7 +10 > 3 + 14 5．两平行直线 3x + 4 y -1 = 0 与 6x + ay + 18 = 0 的距离为（） A. 19 B. 2 C. 5 8 D. 1 5 6．若关于 x 的不等式 - 1 x 2 + 2x > mx 的解集为 (0, 4) ，则实数 m 的值为（） 2 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 7．过点 P (2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相．反．数．的直线方程为（） A. x - y + 1 = 0或3x - 2 y = 0 B. x + y - 5 = 0 C.x - y + 1 = 0 D. x + y - 5 = 0或3x - 2 y = 0 8．一个棱长为 5cm 的表面涂为红色的立方体，将其适当分割成棱长为 1cm 的小正方体，则两．面．涂．色．的小正 方体的个数为（ ）
高中数学竞赛资料-数论部分 (1)
初等数论简介 绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1． 请看下面的例子： （1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞 赛第一题) （2） ①设n Z ∈，证明213 1n -是168的倍数。 ②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++ 能整除123n ??? ？（1956年上海首届数学竞赛第一题） （3） 证明：3 231 122 n n n + +-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题） （4） 证明：对任何自然数n ，分数 214 143 n n ++不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题） （5） 令(,,,)a b g 和[,,,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证： [][][][]()()()() 2 2 ,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =??（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题） 这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字： （1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。 （2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。 这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。 3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题： (1)方程323652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ） A 、 0 B 、1 C 、3 D 、无穷多 （2007全国初中联赛5） （2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2 1 02 x abx a b -++=是否有两个整数解？ 如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。 （2007全国初中联赛12）
2020年四川省成都七中高考物理热身试卷
第 1 页 共 14 页 2020年四川省成都七中高考物理热身试卷解析版 二、选择题：本题共8个小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 1．（6分）物理学是一门以实验为基础的科学，任何学说和理论的建立都离不开实验。关于 下面几个重要的物理实验，说法正确的是（ ） A ．α粒子散射实验是原子核式结构理论的实验基础 B ．光电效应实验表明光具有波粒二象性 C ．电子的发现揭示了原子核可以再分 D ．康普顿效应证实了光具有波动性 【解答】解：A 、α粒子散射实验表明了原子具有核式结构，故A 正确。 B 、光具有波粒二象性，光电效应证实了光具有粒子性，故B 错误。 C 、电子的发现表明了原子不是构成物质的最小微粒，而电子原子核的组成部分，不能够说明原子核可以再分，故C 错误。 D 、在康普顿效应中，散射光子的动量减小，根据德布罗意波长公式判断光子散射后波长的变化，康普顿效应进一步表明光子具有动量，体现光的粒子性，故D 错误。 故选：A 。 2．（6分）2019年12月16日，我国的西昌卫星发射中心又一次完美发射两颗北斗卫星，标 志着“北斗三号”全球系统核心星座部署完成。若北斗卫星运行时都绕地心做匀速圆周运动，则（ ） A ．北斗卫星的发射速度应小于7.9km/s B ．北斗卫星的运行速度都小于7.9km/s C ．线速度小的北斗卫星，运行周期小 D ．北斗卫星内的设备不受重力作用 【解答】解：卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力， GMm r 2=m 4π2T 2r =m v 2r 解得线速度：v =√GM r ，周期：T ＝2π√r 3GM ， A 、7.9km/s 是卫星最小的发射速度，北斗卫星的发射速度一定大于7.9km/s ，故A 错误； B 、轨道半径大的，线速度小，7.9km/s 是近地卫星的运行速度，轨道半径为地球半径R ，北斗卫星的轨道半径大于地球半径，则运行速度小于7.9km/s ，故B 正确；
四川省教育厅关于批准四川省成都市第七中学等65所学校为“四川省
四川省教育厅关于批准四川省成都市第七中学等65所学校为“四川省一级示范性普通高中”、四川大学附属中学等122所学校为“四川省二级示范性普通高中”的通知 【法规类别】教育综合规定 【发文字号】川教函[2013]942号 【发布部门】四川省教育厅 【发布日期】2013.12.23 【实施日期】2013.12.23 【时效性】现行有效 【效力级别】XP10 四川省教育厅关于批准四川省成都市第七中学等65所学校为“四川省一级示范性普通高中”、四川大学附属中学等122所学校为“四川省二级示范性普通高中”的通知 （川教函〔2013〕942号） 各市（州）教育局： 按照《四川省教育厅关于印发＜四川省示范性普通高中管理办法（试行）＞的通知》（川教〔2012〕178号）的要求，在各市（州）自查和初评的基础上，我厅组织专家组采取现场查看、召开座谈会、走访群众等方式对部分学校进行了抽查，并对各地上报的有关材料进行了审核认定，现批准四川省成都市第七中学等65所原四川省国家级示范性普通高中学校为“四川省一级示范性普通高中”，四川大学附属中学等122所原四川省示
范性普通高中为“四川省二级示范性普通高中”。上述学校的“四川省国家级示范性普通高中”、“四川省示范性普通高中”称号停止使用。 希望各市（州）继续加强对省级（一级、二级）示范性普通高中的管理和指导，按照《四川省示范性普通高中管理办法》（试行）的要求和此次复核确认时对学校提出的整改要求认真整改，进一步改善办学条件，进一步规范办学行为，加强教育教学管理，深入推进新课程改革，大力推动学校特色化多样化发展，发挥示范性普通高中在规范办学行为、多样化特色化办学、深化课程改革、推进素质教育、培养创新型人才中的示范引领作用。 附件：1.四川省一级示范性普通高中名单 2.四川省二级示范性普通高中名单 四川省教育厅 2013年12月23日附件1 四川省一级示范性普通高中名单 成都市（14所） 四川省成都市第七中学四川省成都市石室中学 四川省成都市树德中学四川省双流县棠湖中学 四川师范大学附属中学四川省彭州中学 四川省成都市新都一中成都市第二十中学校 四川省成都市大弯中学校四川省双流县中学
七年级数学竞赛讲座数论的方法与技巧(含答案详解)
数学竞赛讲座 数论的方法技巧(上) 数论是研究整数性质的一个数学分支,它历史悠久,而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明,“很多数论问题可以从经验中归纳出来,并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚,但要证明它却远非易事”。因而有人说:“用以发现天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生,如能把当今任何一本数论教材中的习题做出,就应当受到鼓励,并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中,数论问题总是占有相当大的比重。 小学数学竞赛中的数论问题,常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有: 1.带余除法:若a,b是两个整数,b>0,则存在两个整数q,r,使得abq+r(0≤r 4.约数个数定理:设n的标准分解式为(1),则它的正约数个数为: d(n)(a1+1)(a2+1)…(ak+1)。 5.整数集的离散性:n与n+1之间不再有其他整数。因此,不等式x 成都七中 2018 年外地生招生考试数学 （考试时间：120 分钟 总分：150 分） 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 5 分，共 5 分） 1、满足|a-b|=|a|+|b| 成立的条件是（） A 、ab>0 B 、ab<0 C 、ab≤0 D 、ab≤1 2、已知 a 、b 、c 为正数，若关于 x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0有 两个实数根，则关于 x 的方程 a 2x 2+ b 2x+ c 2=0解的情况为（） A 、有两个不相等的正根 B 、有一个正根，一个负根 C 、有两个不相等的负根 D 、不一定有实数根 3、已知数据 的平均数为 a ， 的平均数为 b ，则数据 的平均数为（） A 、2a+3b B 、 3 2 a+b C 、4a+9b D 、2a+b 4、若函数y=2 1 (x 2-100x+196+|x 2-100x+196|) ，则当自变量 x 取 1、2、3……100 这 100 个自然数时，函 数值的和是（ ） A 、540 B 、390 C 、194 D 、97 5、已知(m 2+1)(n 2+1)=3(2mn-1) ，则n( m 1 -m)的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、-2 D 、-1 6、如果存在三个实数 m 、p 、q ，满足 m+p+q=18，且 p +m 1+q p 1++q +m 1=97 ，则q p +m +q m +p +p m +q 的值是（ ） A 、8 B 、9 C 、10 D 、11 7、已知如图，△ABC 中，AB=m ，AC=n ，以 BC 为边向外作正方形 BCDE ，连结 EA ，则 EA 的最大 值为（ ） A 、2m+n B 、m+2n C 、3m+n D 、m+3n 8、设 A 、B 、C 、D 为平面上任意四点，如果其中任意三点不在同一直线上，则△ABC 、△ABD 、△ACD 、 △BCD 中至 少存在一个三角形的某个内角满足（ ） A 、不超过 15° B 、不超过 30° C 、不超过 45° D 、以上都不对 9、将抛物线T:Y=X2-2X+4绕坐标原点 O 顺时针旋转 30°得到抛物线T’，过点A （33,-3）、B(3,33) 的直线l 与抛物线T’相交于点 P 、Q 。则△OPQ 的面积为（ ） A 、8 B 、9 C 、10 D 、11 10、如图，锐角△ABC 的三条高线 AD 、BE 、CF 相交于点 H ，连结 DE 、EF 、DF 则图中的三角形个 数有（ ） A 、40 B 、45 C 、47 D 、63 二、填空题 11、将一个各面都涂油漆的正方形切割成 125 个同样大小的小正方体，那么仅有 2 面涂油漆的小正方体 共有 个。 12、已知x≠y ，且x 2=2y+5,y 2=2x+5 ，则x 3-2x 2y 2+y 3= 。 13、如图，多边形 ABDEC 是由边长为 m 的等边△ABC 和正方形 BDEC 组成，☉O 过 A 、D 、E 三 点，则∠ACO= 。 14、已知实数 a 、b 、c 满足a≠b ，且2(a-b)+2(b-c)+(c+a)=0，则) )(() )(b -c b a b a a c ---（= 。 15、将小王与小孙现在的年龄按从左至右的顺序排列得到一个四位数，这个数为完全平方数，再过 31 年， 将他们的年龄按同样方式排列，又得到一个四位数，这个数仍然为完全平方数，则小王现在的年龄是 岁。 16、设合数 k 满足，1 高中数学竞赛 数论 剩余类与剩余系 1.剩余类的定义与性质 (1)定义1 设m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分成m 类，相应m 个集合记为：K 0,K 1,…,K m-1,其中K r ={qm+r|q ∈Z,0≤余数r ≤m-1}称为模m 的一个剩余类(也叫同余类)。K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类. (2)性质(ⅰ)i m i K Z 1 0-≤≤=Y 且K i ∩K j =φ(i ≠j). (ⅱ)每一整数仅在K 0,K 1,…,K m-1一个里. (ⅲ)对任意a 、b ∈Z ，则a 、b ∈K r ?a ≡b(modm). 2.剩余系的定义与性质 (1)定义2 设K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类，从每个K r 里任取一个a r ，得m 个数a 0,a 1,…,a m-1组成的数组，叫做模m 的一个完全剩余系,简称完系. 特别地,0,1,2,…,m -1叫做模m 的最小非负完全剩余系.下述数组叫做模m 的绝对最小完全剩余系:当m 为奇数时,2 1 ,,1,0,1,,121,21--+----m m m ΛΛ;当m 为偶数时,12 ,,1,0,1,,12,2--+-- m m m ΛΛ或2,,1,0,1,,12m m ΛΛ-+-. (2)性质(ⅰ)m 个整数构成模m 的一完全剩余系?两两对模m 不同余. (ⅱ)若(a,m)=1，则x 与ax+b 同时遍历模m 的完全剩余系. 证明:即证a 0,a 1,…,a m-1与aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 同为模m 的完全剩余系, 因a 0,a 1,…,a m-1为模m 的完系时,若aa i +b ≡aa j +b(modm),则a i ≡a j (modm), 矛盾!反之,当aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 为模m 的完系时,若a i ≡a j (modm),则有 aa i +b ≡aa j +b(modm),也矛盾! 四川省成都市成都市第七中学2020-2021学年上学期高三期 中数学（文）试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，集合B ＝{x|1＜x ＜3}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x|－1＜x ＜3} B ．{x|－1＜x ＜1} C ．{x|1＜x ＜2} D ．{x|2＜x ＜3} 2．观察下列散点图，其中变量x ，y 之间有线性相关关系的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．命题“()0000,,sin x x x π?∈>”的否定是（ ） A ．()0000,,sin x x x π??> B ．()0000,,sin x x x π?∈< C ．()0000,,sin x x x π?∈≤ D ．()0000,,sin x x x π??≤ 4．函数 ()43log f x x x =- 的零点所在区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4） D ．（4，5） 5．某路口的交通信号灯在绿灯亮15秒后，黄灯闪烁数秒，然后红灯亮12秒后，如此反复，已知每个交通参与者经过该路口时，遇到红灯的概率为0.4，则黄灯闪烁的时长为（ ） A ．2秒 B ．3秒 C ．4秒 D ．5秒 6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A ．9 B ．16 C ．20 D ．25 7．设实数x ，y ，满足022x y x y x -??+??? ＞＞＜，则2x +y 的取值范围（ ） A ．（4，6） B ．（3，6） C ．（3，5） D ．（3，4） 8．已知m 是直线，α，β是两个不同平面，且m ∥α，则m ⊥β是α⊥β的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．函数()2212x f x sin sinx ? ?=- ??? （ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小周期为π的偶函数 C ．最小周期为2π的奇函数 D ．最小周期为2π的偶函数 11．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，设c xa yb =+（其中x ，y ∈R ），若|c |＝3，则xy 的最大值（ ） 2020四川省成都市第七中学届高三上学期期中考试文综地理试题 届半期考试2020 学年度上期高 2019—2020 成都七中文科综合试卷 考试时间：150 分钟满分：300 分 )题非选择和第Ⅱ卷 ()本试卷分为第 I 卷 (选择题 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。 考试结束，监考人只将第Ⅱ卷和答题卡一并收回。3. 第 I 卷(选择题，每题 4 分，35 小题，共 140 分) 题。2 1～的常住人口(居住半年以上)的普查数据。据此完成下图是我国四省(市)）占全国总人口数的比重（% 9第五次人口普查 8 第六次人口普查 7 6 5 4 3 2 1 0 甲省乙省丙省丁市 年间，人口增长率最高的是年第六次人口普查的 10 2000 年第五次人口普查到 2010 1．从A．甲省 B．乙省 C．丙省 D．丁市 2．近年来，四省(市)产业转移的方向可能是 A．从甲到乙 B．从乙到丙 C．从丁到乙 D．从丙到丁 轨道交通TOD 模式是以轨道交通（地铁、轻轨等）作为城市交通系统的主要方式，将 轨道交通与城市用地方式紧密结合，以轨道站点为中心，400-800m（5-10 分钟步行路程） 为半径建立集商业等为一体的城区，实现土地集约化利用，引导城市空间布局的拓展。回 答第3～5 题。 3.基于轨道交通 TOD 模式，不适合大规模布局在轨道站点的是 A. 仓储物流 B.高密度住宅 C.零售娱乐 D. 商业办公 优化 A.4.城市新建城区，利用轨道交通 TOD 模式的主要目的是城市内部空间结构 B.缓解交 通拥堵 D.减少环境污染 C.引导城市土地利用布局 模式发展的新城，城市空间形态会形成5. 基于轨道交通 TOD B.同心圆布局团块状布局A. 组团状布局 C. D.串珠式布局1 / 5 2020届高三上学期期中考试文综地理试题四川省成都市第七中学题。8 6～下图为我国某 山地等高线（单位：米）和植被分布示意图。读图回答N 图例 2000 3000 高高山冰雪 4000 山稀疏植被 竞赛中的数论问题的思考方法 一. 条件的增设 对于一道数论命题，我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。 1. 大小顺序条件 与实数范围不同，若整数x ，y 有大小顺序x 2016-2017学年四川省成都七中七年级（上）期末数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1．（3分）9的算术平方根是（） A．3 B．﹣3 C．±3 D．±9 2．（3分）下列实数中是无理数的是（） A．B．0.212121 C．D．﹣ 3．（3分）下列计算正确的是（） A．=B．=6 C．D． 4．（3分）等腰三角形的底边长为12，底边上的中线长为8，它的腰长为（）A．6 B．8 C．10 D．3 5．（3分）数据5，7，5，8，6，13，5的中位数是（） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（3分）下列命题中是真命题的是（） A．对顶角相等B．内错角相等C．同旁内角互补D．同位角相等 7．（3分）二元一次方程组的解是（） A．B．C．D． 8．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于y轴的对称点在第（）象限． A．一B．二C．三D．四 9．（3分）对于一次函数y=x+6，下列说法错误的是（） A．y的值随着x值的增大而增大 B．函数图象与x轴正方向成45°角 C．函数图象不经过第四象限 D．函数图象与x轴交点坐标是（0，6） 10．（3分）如图：图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线AB表示甲的路程与时间的函数关系； ②甲的速度比乙快1.5米/秒； ③甲让乙先跑了12米； ④8秒钟后，甲超过了乙 其中正确的说法是（） A．①②B．②③④C．②③D．①③④ 二、填空题：（每小题4分，共16分） 11．（4分）若x m+2﹣2y=5是关于x，y的二元一次方程，则m=．12．（4分）函数y=中，自变量x的取值范围是． 13．（4分）已知实数x，y满足+（3x﹣y）2=0，则的值为．14．（4分）一次函数y=﹣2x+b与x轴交于点（3，0），则它与直线y=x的交点坐标为． 三、计算与解方程（组）（15、16每小题10分，17题6分，共26分）15．（10分）计算： （1） （2）． 16．（10分）解方程（组） （1）4（x﹣1）2=25 （2）． 17．（6分）已知x=，y=，求x2﹣xy+y2的值． 18．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；四川成都七中 2018 年外地生招生考试数学试卷(含答案)
高中数学竞赛数论
四川省成都市成都市第七中学2020-2021学年上学期高三期中数学(文)试题
四川省成都市第七中学2020届高三上学期期中考试文综地理试题
高中数学竞赛专题讲座---竞赛中的数论问题
2016-2017年四川省成都七中七年级(上)期末数学试卷和参考答案