6.3 二次函数与一元二次方程深度解析 苏科版

６．３一二次函数与一元二次方程

１．会利用对立统一的辩证观点,把一元二次方程a x ２

＋b x ＋c ＝０的问题转化

为相应的二次函数y ＝a x ２

＋b x ＋c 的相关问题．

２．能根据二次函数图象与x 轴的位置关系判断相应的一元二次方程的根的有关情况．

３．会利用二次函数的图象求出一元二次方程的近似解．

要点１一二次函数y ＝a x ２＋b x ＋c (a ?０)与一元二次方程a x ２

＋b x ＋c ＝０(a ?０

)的关系在二次函数y ＝a x ２＋b x ＋c 中,当y ＝０时,就转化成了一元二次方程a x ２＋b x

＋c ＝０,因此可以说一元二次方程a x ２＋b x ＋c ＝０是函数y ＝a x ２

＋b x ＋c 的一种特

殊情况,即函数值为０的情况,这时函数中自变量x 的值就是方程的解．

二次函数y ＝a x ２＋b x ＋

c 的图象与x 轴的交点

一元二次方程a x ２

＋

b x ＋

c ＝０的根

一元二次方程a x ２

＋b x ＋

c ＝０根的判别式b ２

－４a c

有两个公共点有两个不等的实数根b ２

－４a c ＞０有一个公共点有两个相等的实数根

b ２－４a

c ＝０没有公共点

没有实数根

b ２－４a

c ＜０

一一注:

根的判别式是指一元二次方程的求根公式中的被开方式．例１一二次函数y ＝a x ２＋b x 的图象如图所示,若一元二次方程a x ２＋b x ＋m

＝０有实数根,则m 的最大值为(一一)．

图６．３Ｇ１

A．－３B ．３

C ．－６D．９

精析:先根据抛物线的开口向上可知a＞０,由顶点纵坐标为－３得出b２＝１２a,再根据一元二次方程a x２＋b x＋m＝０有实数根可得到１２a－４a m?０,求出m的取值范围即可．

解答:B．

例２一二次函数y＝－x２＋２x＋k的部分图象如图６．３Ｇ２所示,关于x的一元二次方程－x２＋２x＋k＝０的一个解x１＝３,则另一个解x２＝一一一一．

图６．３Ｇ２

精析:观察二次函数y＝－x２＋２x＋k的部分图象可知,它的对称轴是x＝１,因为它与x轴的一个交点是(３,０),所以它与x轴的另一个交点是(－１,０),所以关于x的一元二次方程－x２＋２x＋k＝０的两个解为x１＝３,x２＝－１．

解答:－１．

二次函数图象与x轴交点的问题常转化为一元二次方程的根的问题来解决;反过来,一元二次方程的根的问题,又常用二次函数的图象来解决．

要点２一利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根

通过观察二次函数y＝a x２＋b x＋c的图象与x轴交点在x轴上的位置,估算一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的近似根．

例３一根据下列表格中二次函数y＝a x２＋b x＋c的自变量x与函数值y的对应值,判断方程a x２＋b x＋c＝０(a?０,a,b,c为常数)的一个解x的范围是(一一)．

x６．１７６．１８６．１９６．２０

y＝a x２＋b x＋c－０．０３－０．０１０．０２０．０４

综合应用

图６．３Ｇ３

例１一(要点１)如图６．３Ｇ３是二次函数y ＝a x ２

＋b x ＋c

图象的一部分,其对称轴为直线x ＝１

,若其与x 轴的一交点为A (３,０),则由图象可知:(１)当x 取何值时,y ＝０

?(２)当x 取何值时,y ＞０;当x 取何值时,y ＜０?精析:仔细观察图象,图象与x 轴的一个交点的横坐

标为３,根据抛物线的对称性可得另一个交点的横坐标为－１,

图象与x 轴交点的横坐标即为y ＝０时x 的取值,图象位于x 轴上方的部分对应的x 的值即为y ＞０时x 的取值范围,图象在x 轴下方的部分对应的x 的值即为y ＜０时x 的取值范围．

解答:(１)当x ＝－１或x ＝３时,y ＝０．

(２)当x ＜－１或x ＞３时,y ＞０;当－１＜x ＜３时,y ＜０．

分析 对比:求此类问题的解的关键是读懂图形,利用数形结合与抛物线的对称性从图象中获取求解的信息．

一一A．６＜x ＜６．１７

B ．６．１７＜x ＜６．２０

C ．６．１８＜x ＜６．１９D．６．１９＜x ＜６．２０

精析:由于函数值y 满足－０．０１＜y ＜０．０２,

则一元二次方程的一个解x 的范围为６．１８＜x ＜６．１９．

解答:C

．

图６．３Ｇ４

一一例２一(要点１)二次函数y ＝a x ２

＋b x ＋c (a ?０)

的图象所示,若|a x ２

＋b x ＋c |＝k (k ?０)

有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是(一一)．

A．k ＜－３

B ．k ＞－３

C ．k ＜３D．k ＞３

精析:根据题意,得y ＝|a x ２

＋b x ＋c |的图象如图

６．３Ｇ５所示．所以若|a x ２

＋b x ＋c |＝k (k ?０)

有两个不相等的实数根,则k ＞３,故选D ．

解答:D ．

技法 探究:本题考查了二次函数的图象,先根据题意画出y ＝|a x ２

＋b x ＋c |

的图象,即可得出|a x ２

＋b x ＋c |＝k (k ?０)有两个不相等的实数根时,k 的取值范

围．解决本题的关键是根据题意画出y ＝|a x ２

＋b x ＋c |的图象,

根据图象得出k 的取值范围

．

图６．３Ｇ５

例３一(要点１,２

)如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分A C B 和矩形的三边A E 二E D 二D B 组成,已知河底E D 是水平的,E D ＝１６米,A E ＝８米,抛物线的顶点C 到E D 的距离是１１米,以E D 所在的直线为x 轴,

抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系

．

图６．３Ｇ６

(１

)求抛物线的解析式;(２)已知从某时刻开始的４０小时内,

水面与河底E D 的距离h (

单位:米)随时间t (单位:时)的变化满足函数关系式h ＝－１１２８

(t －１９)

２

＋８(０?t ?４０

),且当水面到顶点C 的距离不大于５米时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?

精析:(１

)根据抛物线特点设出二次函数解析式,把点B 的坐标代入即可求解;(２)水面到顶点C 的距离不大于５米时,即水面与河底E D 的距离h 至多为６,把６代入所给二次函数关系式,求得t 的值,相减即可得到禁止船只通行的时间．

解答:(１)设抛物线的解析式为y ＝a x ２

＋１１,由题意,得B (８,８

),

?一６４a ＋１１＝８,

解得a ＝－３６４

．?一y ＝－３６４

x ２

＋１１．

(２)水面到顶点C 的距离不大于５米时,即水面与河底E D 的距离h 至多为６,?一６＝－１１２８

(t －１９)２

＋８．解得t １＝３５,t ２＝

３．?一３５－３＝３２(小时)．

答:需３２小时禁止船只通行．

探索 发现:判断出所求二次函数的形式是解决本题的关键;注意结合(１)得到

h 的最大高度．

图６．３Ｇ７

例４一(要点１)如图６．３Ｇ７,

抛物线y ＝１２

x ２

＋b x ＋c 与y 轴相交于点C ,

与x 轴相交于点A 二B ,点A 的坐标为(２,０),点C 的坐标为(０,－１)．

(１

)求抛物线的解析式;(２)E 是线段A C 上的一个动点,过点E 作D E ?x 轴于点D ,连接D C ,当?D C E 的面积最大时,求点D 的坐标．

精析:用待定系数法把点A 二C 的坐标代

入二次函数的解析式即可求出b ,c 的值,表示?D C E 的面积时应先利用相似三角形表示出线段D E 的长,将O D 作为边D E 上的高求三角形的面积．

解答:(１)?一二次函数y ＝１２x ２

＋b x ＋c 的图象经过点A (２,０),C (０,－１

),?一

２＋２b ＋c ＝０,

c ＝－１．

{

解得b ＝－１２

,c ＝－１．

?一二次函数的解析式为y ＝

１２x ２－１

２

x －１．(２)设点D 的坐标为(m ,０)(０＜m ＜２)．?一O D ＝m ．?一A D ＝２－m ．

由?A D E ??A O C ,

得A D A O ＝D E O

C ,?一２－m ２＝

D E

１

．

?一D E ＝２－m

２

．

?一S ?C D E ＝１２?２－m ２?m ＝－m ２４＋m ２＝－１４(m －１)２

＋１４

．

当m ＝１时,?C D E 的面积最大．

?一点D 的坐标为(１,０)．技法 规律:不能正确的表示线段D E 的长是导致错误的主要原因．

例５一(

要点２)阅读材料,解答问题．例:用图象法解一元二次不等式:x ２－２x －３＞０．

解:设y ＝x ２－２x －３,则y 是x 的二次函数．图６．３Ｇ８(１

)?一a ＝１＞０,

?一抛物线开口向上．

当y ＝０时,x ２

－２x －３＝０,

解得x １＝－１,x ２＝

３．由此得抛物线y ＝x ２

－２x －３的大致图象如图６．３Ｇ８(１

)所示．

观察函数图象可知:当x ＜－１或x ＞３时,y ＞０．

?一x ２－２x －３＞０的解集是x ＜－１或x ＞３．

(１)观察图象,直接写出一元二次不等式:x ２

－２x －３＜０

的解集是一一一一;

(２)仿照上例,用图象法解一元二次不等式:x ２

－１＞０．

精析:(１)由阅读材料,可知抛物线位于x 轴下方的部分,即y ＝x ２

－

２x －３＜０,其x 的取值范围为－１＜x ＜３,也即为不等式的解集;图６．３Ｇ８(２

)(２)仿照阅读材料的方法画出图象如图６．３Ｇ８(２

)所示．由图象可知:当x ＜－１或x ＞１时,y ＞０．

?一x ２－１＞０的解集是x ＞１或x ＜－１．

解答:(１)－１＜x ＜３;(２)x ＜－１或x ＞１．

分析 对比:不能由阅读材料归纳出解题的方法是无法解答这类题的根本原因．

探究创新

例６一(要点１,２)已知抛物线y ＝１４

x ２

＋１(如图所示)．

(１)填空:抛物线的顶点坐标是(一一一一,一一一一),对称轴是一一一一;(２)已知y 轴上一点A (０,２),点P 在抛物线上,过点P 作P B ?x 轴,

垂足为B ．若?P A B 是等边三角形,

求点P 的坐标;(３)在(２)的条件下,点M 在直线A P 上．

在平面内是否存在点N ,使四边形

O AMN 为菱形?若存在,

直接写出所有

满足条件的点N 的坐标;若不存在,请说明理由．

图６．３Ｇ９

精析:(１

)根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可;(２)根据等边三角形的性质求得P B ＝４,将P B ＝４代入函数的解析式后求得x 的值即可作为点P 的横坐标,代入解析式即可求得点P 的纵坐标;

(３)首先求得直线A P 的解析式,

然后设出点M 的坐标,利用勾股定理表示出A P 的长即可得到有关点M 的横坐标的方程,求得点M 的横坐标后即可求得其纵坐标．

解答:(１)顶点坐标是(０,１),对称轴是y 轴(或x ＝０)．

(２)?一?P A B 是等边三角形,?一?A B O ＝９０?－６０?＝３０?．?一A B ＝２O A ＝４．?一P B ＝４．

解法一:把y ＝４代入y ＝１４

x ２

＋１,

得x ＝?２３．?一P １(２３,４),P ２(－２３,４)．解法二:?一O B ＝

A B ２－O A ２＝２３,

?一P １(２３,４)．根据抛物线的对称性,得P ２(－２３,４)．

图６．３Ｇ１０

(３)存在．N １(３,

１),N ２(－３,－１),N ３(－３,１),N ４(３,－１)．

分析 对比:解题的关键是仔细读题,并能正确的将点的坐标转化为线段的长,本题中所涉及的存在型问题更是近几年中考的热点问题．

一一?误区?一依据思维定势而出错．

例一抛物线y＝２x２－５x＋３与坐标轴的交点共有一一一一个．

错解:２．

正解:３．

警醒:坐标轴包括x轴和y轴,错解只考虑二次函数的图象与x轴交点的个数,还需考虑二次函数的图象与y轴相交的情况,不重复二不遗漏是分类讨论的关键．

夯基固本

１．(要点１)已知二次函数y＝x２＋b x－２的图象与x轴的一个交点为(１,０),则它与x轴的另一个交点坐标是(一一)．

A．(１,０)B．(２,０)C．(－２,０)D．(－１,０)２．(要点２)抛物线y＝－３x２－x＋４与坐标轴的交点个数是(一一)．A．３B．２C．１D．０３．(要点２)已知函数y＝(k－３)x２＋２x＋１的图象与x轴有交点,则k的取值范围是(一一)．

A．k＜４B．k?４C．k＜４且k?３D．k?４且k?３４．(要点１)如图,将二次函数y＝３１x２－９９９x＋９８２的图形画在坐标平面上,判断方程式３１x２－９９９x＋９８２＝０的两根,下列叙述正确的是(一一)．

A．两根相异,且均为正根B．两根相异,且只有一个正根C．两根相同,且为正根D．两根相同,且为负根

(第４题)一一

(第５题)

５．(要点１)已知二次函数y＝a x２＋b x＋c(a?０)的图象如图所示,则下列结论中正

确的是(一一)．

A．a ＞０

B ．当x ＞１时,y 随x 的增大而增大

C ．c ＜０

D．３是方程a x ２

＋b x ＋c ＝０的一个根

综合应用

６．(要点１)如图,函数y ＝－３x

与y ＝a x ２

＋b x (a ＞０,b ＞０)

的图象交于点P ,点P 的纵坐标为１,则关于x 的方程a x ２＋b x ＋３x

＝０的解为一一一一．(第６题)

一

(第７题)

一

(第８题)

７．(要点２)已知二次函数y １＝a x ２

＋b x ＋c (a ?０)与一次函数y ２＝

k x ＋m (k ?０)的图象相交于点B (－２,４),A (８,２),如图,则能使y １＞y

２成立的x 的取值范围是一一一一一一一．

８．(要点２)如图是二次函数y ＝a x ２＋b x ＋c 的部分图象,由图象可知不等式a x ２

＋b x ＋

c ＜０的解集是一．

９．(要点１)已知关于x 的方程a x ２－(１－３a )x ＋２a －１＝０．

(１)当a 取何值时,二次函数y ＝a x ２

－(１－３a )x ＋２a －１的对称轴是x ＝－２;

(２)求证:a 取任意实数时,方程a x ２

－(１－３a )x ＋２a －１＝０总有实数根．

探究创新

(第１０题)

１０．(要点２)如图,经过原点的抛物线y ＝－x ２

＋２m x (m ＞０)与x 轴的另一个交点为A ．过点P (１,m )

作直线P M ?x 轴于点M ,

交抛物线于点B ．记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C (点B 二C 不重合)．连接C B 二

C P ．(１)当m ＝３时,求点A 的坐标及B C 的长;

(２)当m ＞１时,连接C A ,问m 为何值时C A ?C P ?(３)过点P 作P E ?P C 且P E ＝P C ,

问是否存在m ,使得点E 落在坐标轴上?若存在,求出所有满足要求的m 的值,并定出相对

应的点E 的坐标;若不存在,请说明理由．

(第１０题(１

))由已知,得?A C P ＝?B C H ＝９?一?A C H ＝?P C B ．一?AH C ＝?P B C ＝９０?

,?一?A C H ??P C B ．AH C H ＝P

B B

C ．抛物线y ＝－x ２

＋２m x 的轴为直线x ＝m ,其中m ＞１,

点B 二C 关于对称轴对称,

B C ＝２(m －１)．

B (１,２m －１),P (１,m )．B P ＝m －１．

A (２m ,０),C (２m －１,２m －H (２m －１,０)．

AH ＝１,C H ＝２m －１．１２m －１＝m －１２(m －１

)．m ＝

３

２

．?一点B 二C 不重合,m ?１．当m ＞１时,B C ＝２(m －１m ,B P ＝m －１．

若点E 在x 轴上(如图(１?一?C P E ＝９０?,?M P E ＋?B P C ＝?M P E P ＝９０?．

?一?B P C ＝?M E P ．

P N?y N,

(第１０题(２))

?B P C??N P E,

B P＝N P＝O M＝１．

m－１＝１．

m＝２．

此时点E的坐标为(０,４)．当０＜m＜１时,B C＝２P M＝m,B P＝１－m,若点E在x轴上(如图(?B P C??M E P,

B C＝P M．

２(１－m)＝m．

m＝２３,

３,０

(第１０题(３))

)若点E在y轴上(如图(４))

(第１０题(４))

P作P N?y轴于点N, P C??N P E,

B P＝N P＝O M＝１．

１－m＝１．

m＝０(舍去)．

综上所述,当m＝２时,点E的,０)或(０,４);

＝２３时,点E的坐标是４３(

学世界

１＝２?

推理的艺术触及到我们生活的方方面面,比如决定吃什么,用一张什么样的地图,买一件什么样的礼物,或者证明一个几何定理等等．有关推理的种种技巧,都融入了问题的解决之中．在推理中一个小小的毛病将导致十分怪异和荒谬的结果．例如,你是一名计算机的程序员,你就会担心由于某一步骤的忽略而导致了一种无限的循环．我们谁能保证在我们的解释二解答或证明中不会发生一点错误呢?在数学

中,除以零是一种常见的错误,它能引发像下面 １＝２

的证明那样的荒谬的结果．若a ＝b ,且a ,b ＞０,

则１＝２．(１)a ,b ＞０．

(已知)(２)a ＝b ．

(已知)(３)a b ＝b ２．(在第２步 ＝

的两边同乘以b )(４)a b －a ２＝b ２－a ２．(在第(３)步 ＝

的两边同减去a ２

)(５)a (b －a )＝(b ＋a )(b －a )．(在第(４)步的两边同时分解因式)(６)a ＝(b ＋a )．(在第(５)步 ＝ 的两边同除以(b －a ))(７)a ＝a ＋a ．(第(２)二(６)步替换)(８)a ＝２a ．(把第(７)步同类项相加)(９)１＝２．(在第(８)步 ＝ 的两边同除以a )你能发现它错在哪里吗

?

P ２２练习

１．能．令x ２

＋x －６＝０

,解得x 的值即为交点的横坐标,即(－３,０)或(２,０)．

２．(１)b ２－４a c ＝(－１)２－４?１?０＝１＞０,

所以该函数图象与x 轴有两个公共点;

(２)b ２－４a c ＝６２

－４?(－１)?(－９)

＝０,

所以该函数图象与x 轴有一个公共点;

(３)b ２－４a c ＝６２

－４?３?１１＝－９６＜

０

,所以该函数图象与x 轴无公共点．P ２４练习

１．如下表所示．

x －２．０－２．１－２．２－２．３－２．４－２．５

y －０．

６０－０．３７５－０．１４０．１０５０．３６０．６２５由图表可知,方程１２x ２

－１５

x －３＝０的根介于－３和－２之间,x ?－２．３．２．－x ２＋x ＋５＝０,

x １＝－１＋１－４?(－１)?５

－２

＝

－１＋２１－２?－１＋４．６

－２＝－１．８,

x ２＝－１－１－４?(－１)?５

－２

＝

－１－２１－２

?－１－４．６

－２＝２．８．

P ２４习题６．３(１)x ２＋５x －３＝０,设函数y ＝x ２

＋５x －３,当x ＝０时,y ＝－３;当x ＝１时,y ＝３;当x ＝－５时,y ＝－３;当x ＝－６时,y ＝３．所以方程x ２

＋５x －３＝０的两根在０和

１及－６和－５之间．

当x ＝０．５时,y ＝－０．２５;当x ＝０．６时,y ＝０．

３６．由于|－０．２５－０|＝０．２５,|０．３６－０|＝０．３６,且０．

２５＜０．３６,所以x １?０．５．当x ＝－５．５时,y ＝－０．２５;当x ＝－５．６时,y ＝０．３６．

因为|－０．２５－０|＝０．２５,|０．３６－０|＝０．３６

,且０．２５＜０．３６,所以x ２?－

５．５．(２)１２x ２－x －１＝０,

设函数y ＝１２

x ２－x －１,

当x ＝０时,y ＝－１;

当x ＝－１时,y ＝０．

５;当x ＝２时,y ＝－１;

当x ＝３时,y ＝０．

５．所以方程１２

x ２

－x －１＝０的两根在－１

和０及２和３之间．

当x ＝－０．８时,y ＝０．

１２;当x ＝－０．７时,y ＝－０．０５５;当x ＝２．７时,y ＝－０．０５５;当x ＝２．８时,y ＝０．１２．所以x １?－０．７,x ２?

２．７．