3 刚体转动定律

刚体：彼此间距离保持不变的“质点系”

转动：物体中各点都围绕某一固定直线（轴）作

圆周运动。

第三章刚体的转动

均相同

平动：运动物体上各点a v

,基本研究方法：

质点运动规律

＋

微积分

刚体基本运动规律

（大量质点运动的总效应）

二、匀变速转动)

(为常量α)

(22

1020202

00θθαωωαωωαωθθ-=-+=++=t

t 一、力矩是改变刚体转动状态的原因

§§3-2 刚体的转动定律

3-2 刚体的转动定律

1. 力在转动平面内F

r M

?=sin =F r ?

M （标量）

＋：刚体逆时针转－：刚体顺时针转

M r

F =12r F )(在定轴转动问题中，如不讨论轴上受力，所考虑的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。

2. 力不在转动平面内变形，对转动无贡献。

F 只能引起轴的

F 2

1r r F

整个刚体：

i ΣΣ

Σ2θF f i i i i i sin sin +=Δm r ?r i r i α0

J α

转动定律：α

J M

三、转动惯量（J ）ma

F =平动：　α

J M =转动：　是转动惯性大小的量度物体的质量J 的大小与???

??转轴的位置

质量的分布

有关

??????∑=?m i

i i def

r m r J 质量连续分布

质量非连续分布22为质元到转轴距离

r dm

质量元线分布：dx

dm λ=ds

dm σ=面分布：dV

dm ρ=体分布：2.转动惯量的计算示例

1.均匀细棒m,l

(1).绕过中心与棒⊥轴的转动惯量解:dJ= x = x 2λdx

2dm ?-=2

/2/2

l l O dx x J λ2

31l l x -λ=3121l λ=2121ml =

(2).绕过棒端与棒⊥轴的转动惯量

?=l A dx x J 02λλ3=l

x 0331

=33

1l λ=2

1ml ，且二轴平行

轴间距轴与2

d A O =2

222)2

(12131md l

m ml ml J J O A ==-=-平行轴定理:

md J J O +=其中:J O:刚体对过质心轴的转动惯量

J A:刚体对平行于过质心轴的轴的转动惯量d:两平行轴间的距离

2.均匀园环m,R

dm R dJ λ2

==?

=?==?R

R R

R dl R J πππλ20

222解:

(1)绕过中心与环面⊥轴的转动惯量(2)绕沿直径轴的转动惯量

θλθλRd R dc R dm r dJ 22222cos cos ===2

cos 2

mR d R J =

=??

θθλλdl

3.均匀盘m,R 绕过中心与环面⊥rdr

r ds r dm r dJ πσσ2222===20

2mR r dr r J R R ===?

πσπσma

T mg =-α)21(2

MR TR =R a

?=α[例题]已知：M=2Kg,m=5Kg,R=0.1m,ω0=10rad/s ,(1)求α、(2)ω=0时,m 上升h 、(3)m 回到原位置时,求ω。

M,m 解:(1)受力如图所示

}2/22MR mR mgR +=α2

/7.81s rad =(2)0

0=α-ωt 2

1t t α-ω=θθ

=R h }

h 21012.6-?=?(3)从静止态回到原位置

αθ=ω-ω2202αθ=ω?2s

rad /10=

解：列方程(???=-=-)2()12222

1111a m T g m a m g m T

)3()2

121(22

22111122α+=-R M R M R T R T ???α=α=)

5()4(22

11R a R a

已知:m 1= m 2, M 1,R 1 M 2,R 2

求：α、T 1 、T 2[例题](课本p127，3-11)

,R 222受力分析如图所示

2 g

由（1）（2）（3）（4）（5）解得：α、T 1、T 2

质元的动能：Δi m 刚体的转动动能：2221)(21=ω∑?∑==J r m E E i i i i ki k 222221)(2121ω?=ω?=?=i i i i i i ki r m r m v m E 二、力矩的功

)90cos(cos 0?-θ=α=Frd Fds dA ??==→2

:21θθθ

θθMd dA A

三、定轴转动中动能定理

121212

ωωωωθωθαθωωθθθθθ

θJ J d J d dt d J

d J Md A -=====????合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于刚体转动动能的增量四、定轴转动的机械能守恒

1。定轴转动过程中只有保守力作功的刚体其机械能

（转动动能+重力势能）守恒

2。对于刚体、弹簧、质点的混合系统，此时系统机械能守恒条件为整个系统只有保守力作功！

※

1P P E E A A -==保守力保守力矩※刚体的重力势能：E p =mgh c

其中：h c 为刚体质心到参照面的距离

[例题]已知均质棒m,l ,半径忽略的小球m 组成图示

系统，求图(1)α;图(2)棒中心a t ,a n ,ω

解(1)mgl

3mgl l mg M +=22

=1J 3

=223ml ml +=2

4ml }

J /M =α?l

89=(2) I 态→II 态,E 守恒

21E E =0022602603421sin l

mg sin mgl )ml (+=ω?l

g 839=

ω?

030302

sin mgl sin l mg M +=mgl 43=J /M =α?l

169=l a 32

2t α=9g l a 16

)(22n ω=39g

一般情况：求：α用M=J α

ω用动能定理或E 守恒定律a t 、a n 、v 用线量和角量关系式

J =即刚体绕定轴转动动量矩为绕该轴转动惯量与角速度

矢量之积

二、刚体定轴转动的角动量定理

质点：)(v m r dt d dt L d M

?==）（刚体：ω J dt d dt dL M ==d dt dL +=※定轴转动：dt

dt J J d dt M ωωω==

）（1）若质点系为刚体（J 为常数）

转动定律则： αω

J dt

d J

M ==2）若质点系不是刚体（J 变化）

）　成立

（　不成立　但则：ωαJ dt

M J M ==刚体定轴转动的角动量定理(积分式)?

??-===2

21211

2)(ωωωωωωωωJ J d J J d Mdt t t 冲量距

其中： ?2

t t Mdt 作用于刚体上冲量矩等于刚体动量矩增量三、角动量守恒

由角动量定理可知，当M=0，则：J ω=J 0 ω0

即若系统的合外力矩为零，则系统的角动量守恒。

讨论：1. J 、ω均不变，J ω=常数

2. J 、ω都改变，但J ω不变

花样滑冰运动员通过改变身体姿态

解：由角动量守恒得：ωωωJ J J =

+12

211J 2

ωωJ J J J =+111222)([例]若对接前两轮的角速度分别为ω1、ω2求：1.对接后共同的角速度ω2.对接过程中的机械能损失

J =++2((J J J 1ωω22)

)112＜01(Δω++

1)1J J 22E k 11222(J 1ω2

22=

摩擦力矩作负功，

有机械能损失。

[ 例2] 人和转盘的转动惯量为J 0 , 哑铃的质量为

m ，初始转速为ω1。求：双臂收缩由r 1变为r 2时的

角速度及机械能增量。

r r 1

m J ω1

解：由角动量守恒

202

10222ωω）

（）

（解得：mr J mr J ++=22

2012

1022ωω）（）（mr J mr J +=+（2

2102222022

1221ωω）（）mr J mr J E k +-+=?01222212

202

021210>??

????-+++=mr J mr J mr J ω）（非保守内力作正功

3.系统角动量守恒的条件:

a ).系统中各物体均绕同一转轴转动条件: ∑M 外力=0

b ).系统中各物体均绕不同转轴转动

条件: ∑M 外力=0, 且∑M 内力=0

4.角动量定理、角动量守恒定律中各角速度或速度均需

相对同一惯性参照系。

)cos 1(2

)cos 1(43])43(31[21222θ-+θ-=ω+L Mg L mg L m ML gL M m M m v m )31169)(2143(3291cos 2

max ++-=θ?-(2)棒(泥)绕转轴上升过程，棒(泥)地球系统E 守恒