高数复习大纲同济六版下册

高等数学下册复习提纲 (向量代数—>无穷级数)

第一次课

1、向量与空间几何向量：向量表示((a^b));

向量的模: 向量的大小叫做向量的模.

向量a 、→

a 、→

AB 的模分别记为|a |、||→

a 、||→

AB . 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量.

零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或→

0. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.

向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a 与b 平行, 记作a // b . 零向量认为是与任何向量都平行. 向量运算(向量积)； 1．向量的加法 2. 向量的减法

3．向量与数的乘法

设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )

即 a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ,

则 a +b =(a x +b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )k =(a x +b x , a y +b y , a z +b z ). a -b = (a x -b x )i +(a y -b y )j +(a z -b z )k =(a x -b x , a y -b y , a z -b z ).

λa =λ(a x i +a y j +a z k ) =(λa x )i +(λa y )j +(λa z )k =(λa x , λa y , λa z ). 向量模的坐标表示式 222||z y x ++=r

点A 与点B 间的距离为 →

212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==

向量的方向：向量a 与b 的夹角当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过π的夹角称为向量a 与b 的夹角, 记作^

) ,(b a 或^

) ,(a b . 如果向量a 与b 中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与π之间任意取值. 类似地, 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.

数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及它们的夹角θ 的余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积, 记作a ?b , 即

a ·

b =|a | |b | cos θ .

数量积与投影:

由于|b | cos θ =|b |cos(a ,^ b ), 当a ≠0时, |b | cos(a ,^ b ) 是向量 b 在向量a 的方向上的投影, 于是a ·b = |a | Prj a b .

同理, 当b ≠0时, a·b = |b | Prj b a . 数量积的性质: (1) a·a = |a | 2.

(2) 对于两个非零向量 a 、b , 如果 a·b =0, 则 a ⊥b 反之, 如果a ⊥b , 则a·b =0.

如果认为零向量与任何向量都垂直, 则a ⊥b ? a ·b =0. 两向量夹角的余弦的坐标表示:

设θ=(a , ^ b ), 则当a ≠0、b ≠0时, 有

222222||||cos z

y x z y x z

z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=?=b a b a θ

向量积: 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出:

c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与b 间的夹角

c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定.

那么, 向量c 叫做向量a 与b 的向量积, 记作a ?b , 即 c = a ?b . 坐标表示:

y x z y x b b b a a a k

j i b a =?=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i

= ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k . . 向量的方向余弦:

设r =(x , y , z ), 则 x =|r |cos α, y =|r |cos β, z =|r |cos γ . cos α、cos β、cos γ 称为向量r 的方向余弦.

||cos r x =α, ||cos r y

=β, ||cos r z =γ. 从而 r e r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα

向量的投影

向量在轴上的投影

设点O 及单位向量e 确定u 轴.

任给向量r , 作→

r =OM , 再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M '(点M '叫作点M 在u 轴上的投影), 则向量→

M O '称为向量r 在u 轴上的分向量. 设→

e λ='M O , 则数λ称为向量r 在u 轴上的投影, 记作Prj u r 或(r )u .

按此定义, 向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标a x , a y , a z 就是a 在三条坐标轴上的投影, 即

a x =Prj x a , a y =Prj y a , a z =Prj z a . 投影的性质:

性质1 (a )u =|a |cos ? (即Prj u a =|a |cos ?), 其中?为向量与u 轴的夹角; 性质2 (a +b )u =(a )u +(b )u (即Prj u (a +b )= Prj u a +Prj u b ); 性质3 (λa )u =λ(a )u (即Prj u (λa )=λPrj u a );

空间方程：

曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)； (1)椭圆锥面

由方程22222z b

y a x =+所表示的曲面称为椭圆锥面. (2)椭球面

由方程122

2222=++c

z b y a x 所表示的曲面称为椭球面.

(3)单叶双曲面

由方程1222222=-+c

z b y a x 所表示的曲面称为单叶双曲面. (4)双叶双曲面

由方程12

22=--c

z b y a x 所表示的曲面称为双叶双曲面.

(5)椭圆抛物面

由方程z b

y a x =+2222所表示的曲面称为椭圆抛物面 (6)双曲抛物面.

由方程z b y a x =-2222所表示的曲面称为双曲抛物面. 椭圆柱面122

22=+b y a x ,

双曲柱面122=-b

y a x , 抛物柱面ay x =2, .

直线方程(参数方程和投影方程) 空间直线的一般方程

空间直线L 可以看作是两个平面∏1和∏2的交线.

如果两个相交平面∏1和∏2的方程分别为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0和A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0, 那么直线L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程, 即应满足方程组 ???=+++=+++002222

1111D z C y B x A D z C y B x A .

空间直线的对称式方程与参数方程

方向向量: 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 容易知道, 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.

确定直线的条件: 当直线L 上一点M 0(x 0, y 0, x 0)和它的一方向向量s = (m , n , p )为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.

直线方程的确定: 已知直线L 通过点M 0(x 0, y 0, x 0), 且直线的方向向量为s = (m , n , p ), 求直线L 的方程.

设M (x , y , z )在直线L 上的任一点, 那么

(x -x 0, y -y 0, z -z 0)//s , 从而有

z z n y y m x x 0

00-=

-=-. 这就是直线L 的方程, 叫做直线的对称式方程或点向式方程 ???

??+=+=+=pt

z z nt y y mt

x x 000 直线L 1和L 2的夹角?可由 |) ,cos(|cos 2^

1s s =?2

2222212121212121|

|p n m p n m p p n n m m ++?++++=

直线与平面的夹角

设直线的方向向量s =(m , n , p ), 平面的法线向量为n =(A , B , C ), 直线与平面的夹角为? , 那么

|) , (2

|^n s -=π?, 因此|) , cos(|sin ^

n s =?. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 有

22222|

|sin p n m C B A Cp Bn Am ++?++++=

平面方程：

点法式(法向量)、

一般式、任一平面都可以用三元一次方程来表示 . Ax +By +Cz +D =0.

其中x , y , z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标, 即 n =(A , B , C ). 提示:

D =0, 平面过原点.

n =(0, B , C ), 法线向量垂直于x 轴, 平面平行于x 轴. n =(A , 0, C ), 法线向量垂直于y 轴, 平面平行于y 轴. n =(A , B , 0), 法线向量垂直于z 轴, 平面平行于z 轴.

n =(0, 0, C ), 法线向量垂直于x 轴和y 轴, 平面平行于xOy 平面. n =(A , 0, 0), 法线向量垂直于y 轴和z 轴, 平面平行于yOz 平面. n =(0, B , 0), 法线向量垂直于x 轴和z 轴, 平面平行于zOx 平面.

截距式；

平面夹角和距离

两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.

设平面∏1和∏2的法线向量分别为n 1=(A 1, B 1, C 1)和n 2=(A 2, B 2, C 2), 那么平面∏1和∏2的

夹角θ 应是) ,(2^1n n 和) ,() ,(2^12^1n n n n -=-π两者中的锐角, 因此, |) ,cos(|cos 2^

1n n =θ. 按两向

量夹角余弦的坐标表示式, 平面∏1和∏2的夹角θ 可由

22222

121212121212^

1|||) ,cos(|cos C B A C B A C C B B A A ++?

++++=

=n n θ.

来确定.

从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论: 平面∏1和∏2垂直相当于A 1 A 2 +B 1B 2 +C 1C 2=0;

平面∏ 1和∏ 2平行或重合相当于

12121C C B B A A == 空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设

F (x , y , z )=0和

G (x , y , z )=0

是两个曲面方程, 它们的交线为C . 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组

???==0),,(0),,(z y x G z y x F

空间曲线的参数方程（33）

空间曲线C 的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C 上动点的坐标x 、y 、z 表示为参数t 的函数:

???

??===)

()()(t z z t y y t x x .

当给定t =t 1时, 就得到C 上的一个点(x 1, y 1, z 1); 随着t 的变动便得曲线C 上的全部点. 方

程组(2)叫做空间曲线的参数方程. 切平面和切线：切线与法平面；

设空间曲线Г的参数方程为

),(),(),(t z t y t x ωφ?=== 曲线在点),,(000z y x M 处的切线方程为

)(00t x x ?'-=

()(00

00t z z t y y ωφ'-='- 向量 )}('),('),('{000t t t T ωφ?=就是曲线Г在点M 处的一个切向量法平面的方程为

0))(('))(('))( ('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωφ?

切平面与法线

隐式给出曲面方程

((,,)0F x y z =)

法向量为：)},,,(),,,(),,,({000000000z y x Fz z y x F z y x F n y x = 切平面的方程是

))(,,())(,,())(,,(000000000000z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x -+-+-

法线方程是

,,(),,(),,(0000

00000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-

),(y x z =在点),(00y x

如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为 ,1cos 22y

x f

f f ++-=

α ,1c o s 22

y f

f f ++-=

.11cos 22y

f ++=γ

2、多元函数微分学

多元函数极限：简单复习讲解偏微分

全微分：如果三元函数),,(z y x u φ=可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之

和， du =

x u ??dx +y u ??dy ＋z

u ??dz 第二次课

3、重积分

二重积分：

利用直角坐标计算二重积分

我们用几何观点来讨论二重积分f x y d D

(,)σ

??的计算问题。

讨论中,我们假定 f x y (,)≥0；

假定积分区域D 可用不等式 a x b x y x ≤≤≤≤??12()()表示,

其中

?1()x , ?2()x 在[,]a b 上连续。

据二重积分的几何意义可知,f x y d D (,)σ

??的值等于以

D 为底,以曲面z f x y =(,)为

顶的曲顶柱体的体积。

在区间

[,]a b 上任意取定一个点x 0,作平行于yoz 面的平面x x =0,这平面截曲顶柱体所得

截面是一个以区间

[(),()]??1020x x 为底,曲线z f x y =(,)0为曲边的曲边梯形,其面积为

A x f x y dy

x x ()(,)()()

0010

20=

???

一般地,过区间[,]a b 上任一点x 且平行于yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

A x f x y dy

x x ()(,)()()=

???1

利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为

V A x a dx f x y dy dx

x x a b ==?????

??????()(,)()()

从而有

dy y x f d y x f b

a x x D

????

???

???????=)(2)(1),(),(??σ (1)

上述积分叫做先对Y,后对X 的二次积分,即先把

x 看作常数,),(y x f 只看作y 的函数,对

),(y x f 计算从)(1x ?到)(2x ?的定积分,然后把所得的结果( 它是x 的函数 )再对x 从a 到b 计

算定积分。

这个先对

y , 后对x 的二次积分也常记作

f x y d dx f x y dy

x x (,)(,)()

()σ??????=12

重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状

前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I 型(或II 型)区域, 用平行于y 轴(x 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多

于两点。

如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I 型(或II 型)区域的并集。 2、积分限的确定

二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法 -- 几何法。

极坐标：

r →cos θr →sin θrdrd →θ

f x y dxdy

(,)??f r r rdrd D

(cos ,sin )θθθ

极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。

【情形一】积分区域

D 可表示成下述形式

αθβ?θ?θ≤≤≤

≤12()()r

其中函数

?θ1(), ?θ2()在[,]αβ上连续。

则

f r r rdrd d f r r rdr

(cos ,sin )(cos ,sin

)()

()θθθθθθα

?θ?θ????=12

【情形二】积分区域

D 为下述形式

显然,这只是情形一的特殊形式

?θ10()≡( 即极点在积分区域的边界上 )。

故 f r r rdrd d f r r rdr

(cos ,sin )(cos ,sin )()

θθθθθθα

?θ????=0

【情形三】积分区域

D 为下述形式

显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域

D 的内部 ),D 可剖分成D 1与D 2,而

D r D r 120020:,():,()≤≤≤≤≤≤≤≤θπ?θπθπ?θ

故

D r :,()020≤≤≤≤θπ?θ

则 f r r rdrd d f r r rdr

(cos ,sin )(cos ,sin )()

θθθθθθπ?θ????=0

由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域D 用

极坐标变量

r ,θ表示成如下形式

αθβ?θ?θ≤≤≤≤,()()12r

三重积分：

()???V

dxdydz z y x f ,,

直角坐标：若平面区域xy D 可以用不等式()()x y y x y b x a 21,≤≤≤≤表示，则

()???Ω

dV z y x f ,,()

()

()()

()

?=y x z y x z x y x y b

dz z y x f dy dx ,,2121,,．

这个公式也将三重积分化为了三次积分．柱坐标

()()??????=V

dz rdrd z r r f dV z y x f θθθ,sin ,cos ,,

球坐标；???

??≤≤≤≤+∞≤≤π?πθ0200r

??===?θ?θ?cos sin sin cos sin r z r y r x

()()??????=V

d drd r

r r r f dV z y x f θ???θ?θ?sin cos ,sin sin ,cos sin ,,2

重积分的应用：曲面面积；

A z x z y dxdy D xy

=+?? ?

??+?? ??

???

????

4、曲线与曲面积分曲线积分：

对弧长的曲线积分

),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为 =?ds y x f L

),(i

i i

S f ?∑=→1

0),(lim ηξλ

注意：（1）若曲线封闭，积分号?ds y x f ),(

（2）若),(y x f 连续，则

ds y x f L

?),(存在，其结果为一常数.

（3）几何意义),(y x f =1，则ds y x f L

?),(=L （L 为弧长）

（4）物理意义 M =

ds y x L

?),(ρ

（5）此定义可推广到空间曲线

ds y z x f ?Γ

),,(=i n

i i

S f ?∑=→1

0),,(lim ζηξλ

设),(y x f 在弧L 上有定义且连续，L 方程?

?==)()

(t y t x ψ? （βα≤≤t ），)(),(t t ψ?

在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(2

2≠'+'t t ψ?，则曲线积分

ds y x f L

?),(存在，且

ds y x f L

?),(=?'+'L

dt t t t t f )()()]

(),([22?φ?φ。

说明：从定理可以看出

（1）计算时将参数式代入),(y x f ，dt t t ds )()(2

2?φ'+'=，在],[βα上计算定积

分。

（2）注意：下限α一定要小于上限β，α<β （∵i S ?恒大于零，∴ i t ?>0）（3） L ：)(x y ?=, b x a ≤≤时，

ds y x f L

?),(=dx x x x f b

2)]([1)](,[??'+?

同理L ：)(y x φ=，d y c ≤≤时，ds y x f L

?),(=

dy y y y f d

2)]([1]),([φφ'+?

(4) 空间曲线P ：)(t x ?=，)(t y ψ=，)(t z ?=，

ds y x f P

),(=

dt t t t t t t f )()()()]

(),(),([222?ψ??ψ?β

α'+'+'?

坐标曲线积分(参数方程)；

（1）当),(y x P ),(y x Q 在L 上连续时，则?L

dx y x P ),(，?L

dy y x Q ),(存在

（2）可推广到空间有向曲线Γ上

※ （3）L 为有向曲线弧，-

L 为L 与方向相反的曲线，则

dx y x P ),(=?

-L dx y x P ),(， ?L

dy y x Q ),(=?

-L dy y x Q ),(

（4）设L =21L L +，则

?+L

Qdy Pdx =?

L Qdy Pdx +?+2L

Qdy Pdx

此性质可推广到L =n L L L ++ 21组成的曲线上对坐标的曲线积分的计算公式

dy y x Q dx y x P ),(),(=dt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{ψψ??ψ?β

'+'?

两类曲线积分之间的关系：

?+L

Qdy Pdx =ds ds

dy s y s x Q ds dx s y s x P l

})](),([)]

(),([{0

=ds s y s x Q s y s x P l

}sin )](),([cos )](),([{0βα+?

格林公式

设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 和),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导

数，则有

dxdy y

x Q D

????-??)(

=?-L Qdy Pdx 。L 为D 的取正向的边界曲线。

面积积分：对面积积分；??∑

ds z y x f ),,(

（1）

ds z y x f ??∑

),,(为封闭曲面上的第一类曲面积分

（2）当),,(z y x f 连续时，

??∑

ds z y x f ),,( 存在

（3）当),,(z y x f 为光滑曲面的密度函数时，质量=M ??∑

ds z y x f ),,(

（4）),,(z y x f =1时，??∑

ds S 为曲面面积

对面积的曲面积分的计算法（216）

定理：设曲面∑的方程),(y x z z =，∑在xoy 面的投影xy D ，若),,(z y x f 在xy D 上具有一阶连续偏导数，在∑上连续，则

??∑

ds z y x f ),,(=dxdy z z y x z y x f xy

D y x ??

++2

21)),(,,(

说明：（1）设),(y x z z =为单值函数

（2）若∑：),(z y x x =或),(z x y y =可得到相应的计算公式。（3）若∑为平面里与坐标面平行或重合时??∑

ds z y x f ),,(=dxdy y x f xy

D ??

)0,,(

坐标面积积分；）

∑

Pdydz +??∑

Qdzdx +??∑

Rdxdy =??∑

++Rdxdy Qdzdx Pdydz

设∑为有向曲面，∑-表示与∑相反的侧则??

∑

-Pdydz =??∑

-Pdydz

??∑

-Qdzdx =??∑

-Qdzdx

∑

-Rdxdy =??∑

-Rdxdy

说明：（1）将z 用),(y x z z =代替，将∑投影到y x 面上，再定向，则

∑

Rdxdy =??xy

D dxdy y x z y x R )],(,,[

（2）若∑：),(y x z z =取下侧，则0cos <γ，xy i xy i S )()(σ?-=? ∴??

∑

dxdy y x z y x R )],(,,[=??-xy

D dxdy y x z y x R )],(,,[

（3）

∑

Pdydz ，??∑

Qdzdx 与此类似

∑：),(z x y y =时，右侧为正，左侧为负 ∑ ：),(z y x x =时，前侧为正，后侧为负高斯公式

()()()[]()[]{}dxdy y x z y x R y x z y x R dxdy dz z R dv z R xy xy D D y x z y x z ????????-=??

?????????=??Ω,,,,,,12,,21 ()()[]()()[]????????∑∑=-=xy

D D dxdy

y x z y x R dxdy z y x R dxdy

y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,,,,,,2

()0,,3

??∑=dxdy z y x R

())1(,,?????

∑

=??∴dxdy z y x R dv x R

类似：若过Ω内部且平行于x 轴，y 轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点也且由两个时有

()())3(,,)2(,,??????????∑

Ω∑Ω=??=??dzdx z y x Q dv y Q

dydz z y x P dv x P

(1)+(2)+(3)即可证得高斯公式

若Ω不满足上述条件，可添加辅助面将其分成符号条件的若干块，且在辅助面两侧积分之和为零

第三次课

5、矢量分析与场论(空间场基础) 1、方向导数与梯度

方向导数：

f ??,sin cos ??y f x f ??+??= 其中?为x 轴到方向l 的转角。梯度(grad)：与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度.在二元函数的情形，设函数

),(y x f z =在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点),(y x ∈D ，都可定出一

个向量

,j y

f i x f ??+?? 这向量称为函数z =),(y x 在点P ),(y x 的梯度，记作grad f ),(y x ，即

grad f ),(y x =

,j y

i x f ??+?? 方向导数的最值

如果设j i e ??sin cos +=是与方向l 同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知

{}).

,)^,(cos(),(),(sin ,cos ,sin cos e y x gradf y x gradf e

y x gradf y f x f y f

x f l f =?=???????????=??+??=?????? 这里，(grad f ),(y x ＾，e)表示向量grad f ),(y x 与e 的夹角。由此可以看出，就是梯度在射线l 上的投影，当方向l 与梯度的方向一致时，有 cos (grad f ),(y x ＾，e ) =1，从而

??有最大值.所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说,梯度的方向是函数f ),(y x 在这点增长最快的方向；

梯度的模为

.),(2

????+??? ????=y f x f y x gradf 梯度方向：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值