有理数与实数专题复习(含答案)-北师大
有理数与实数专题复习（例题及答案）
2013年中考命题趋势：
实数是初中阶段的重要内容．这部分内容的中考题虽然年年有变化,但是其中的核心知识、重要内容是年年必考的，实数是数学知识的基础，也是其他学科的工具，随着新课改的不断深入，命题形式更加多样化，试题进一步以教材和实际生活题材为背景，结合当今社会的热点问题全方位触及，对这部分内容的考查仍将以大容量，小综合的形式单独命题，重点考查内容集中在：一是实数的概念如数轴、倒数、相反数、绝对值、平方根、立方根等以及实数的相关运算；二是加强与生产、生活及科学研究方面的研究的联系，主要体现在用科学记数法表示或估算实际问题中的数据．试题难度为低、中档题为主，题量约占总题量的2%－5%，题型有选择、填空题和简单的计算题，有时还结合开放题、探索性试题结合。 专题一 有理数与无理数的意义
知识回顾 １. 实数的分类
２．在实际生活中正负数表示＿＿＿＿＿的量．
典例分析
例１：（2010四川巴中）下列各数：2π,0．23·,cos60°，22
7
，0．30003……，1
)
A ．2 个
B ．3 个
C ．4 个
D ．5 个
解析：无理数是无限不循环的小数，其中的无理数有2π
,0．30003……，1故选Ｃ．
评注：解决此类问题的关键是准确把握有理数，无理数及实数的概念，不能片面的从形式上判断属于哪一类数，另外对有关实数进行归类时，必须对已给出的某些数进行化简，以最简的结果进行归类． 专题训练一
1．(2010年南宁)下列所给的数中，是无理数的是( )
A ．2
B ． 2
C ．1
2 D ．0．1
２．(2010年湖北襄樊)下列说法错误的是（ )
A
2±
C
D
３．（2010年上海）下列实数中，是无理数的为（ ）
A ． 3．14
B ． 1
3 C ． 3 D ． 9
４．（2010安徽）在－1，0，1，2这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 ５．（2010四川乐山）把温度计显示的零上5℃用+5℃表示，那么零下2℃应表示为_____℃． 6．（2010年乌鲁木齐）在2,1,2,0--这四个数中负整数是______．
专题二 实数的有关概念
知识回顾
１． 数轴：规定了＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿的直线叫数轴．数轴上的点与＿＿＿是一一
对应．
２．相反数:到原点的距离相等且符号不同的两个数称为相反数,实数a 的相反数是＿＿,零的
相反数是＿＿，a 与b 互为相反数，则＿＿＿＿＿；
３．绝对值：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫这个数的绝对值．
??
?
??<=>=)0___()0(___)0(___||a a a a
４．倒数：若实数a 不为０,则a 的倒数为＿＿＿，若1ab =，则a 与b 互为＿＿＿．
典例分析
例1：（2010．湘潭）下列判断中，你认为正确的是（ )
A ．0的绝对值是0
B ．3
1
是无理数 C ．|—2|的相反数是２ D ．1的倒数是1-
解析：Ａ
评注：解决本题的关键是弄清实数中的有关的概念，关于绝对值除了了解几何意义是表示点到原点的距离，还应理解“正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数”的内涵；关于无理数应从概念上突破：表示无限不循环小数；|—2|＝２,２的相反数为－２；对于倒数，掌握它们的乘积为１． 专题训练
１．（2009年滨州）对于式子(8)--，下列理解：（1）可表示8-的相反数；（2）可表示1- 与8-的乘积；（3）可表示8-的绝对值；（4）运算结果等于8．其中理解错误的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
２．（2010年内蒙古鄂尔多斯）如果a 与1互为相反数，则a 等于（ ）． A ．2
B ．2-
C ．1
D ．1-
３．（2010年山东菏泽）负实数a 的倒数是（ ）．
A ．a -
B ．
1a C ．1
a
- D ．a ４．（2010年绵阳）－2是2的（ ）．
A ．相反数
B ．倒数
C ．绝对值
D ．算术平方根 ５．（2010年镇江）
31的倒数是 ；2
1
-的相反数是 ． ６．（2010年四川成都）若,x y 为实数，
且20x +，
则2010
()x y +的值为________． 7．（2010吉林）如图，数轴上点A 所表示的数是_________．
8（2010
河南）若将三个数是 ．
专题三 实数的大小比较
知识回顾
比较实数大小的一般方法：
① 性质比较法：正数大于___,负数____0,正数_____任何负数；
② 数轴比较法：在数轴上的实数，右边的数总是比左边的数___；差值法：
③ 设a ，b 是任意实数，如a －b ．>0,则a ___b ，如a －b ．<0,则a b ，如a －b =0,
则a ___b ;
④ 商值法：如a ÷b ．>1,则a ___b ，如a ÷b ．<1,则a ___b ，如a ÷b ．=1,则a ___b ，
⑤扩大法；⑥倒数比较法，当然还有分子、分母有理化和换元法等。 典例分析
例3：(2010天津)比较2 ）Ｃ
Ａ．2 Ｂ．2 2 2
解析：24和5，可知2
即立方法可得８和７，可知
评注：比较实数大小的一般方法：①性质比较法：②数轴比较法：③差值法：④商值法：⑤扩大法；⑥倒数比较法，当然还有分子、分母有理化和换元法等。本题可采用扩大法比较 专题训练三
１．（2010年温州）给出四个数01
2
-
，0．3，其中最小的是（ ）Ｃ
A ．0
B
C ． 12
- D ．0．3
2．（2010年内蒙古鄂尔多斯）如图，数轴上的点P 表示的数可能是（ ）．
A
B ．－
C ． 3.8-
D ．３.（2010吉林）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是
（ ）．
４．（2010四川自贡）下列各数中，最小的实数是（ ）
A ．－3
B ．－
2
1
C ．－2
D ．3
1
５．（2010山西）估算31－2的值（ ）
A ．在1和2之间
B ．在2和3之间
C ．在3和4之间
D ．在4和5之间 6.（2010呼和浩特）已知：a 、b 为两个连续的整数，且a <15< b ，则a + b = ． 7．（2010
河南）若将三个数数是 ．
8．（2010年东阳） 如图，在数轴上点A 和点B 之间的整数是 ．
专题四 实数的运算 知识回顾：
1.有理数的运算定律在实数范围内都适用,其中常用的运算律有________、__________、___________、___________、____________.
2.在实数范围内进行运算的顺序是先算________、________，再算_________，最后算__________，运算中有括号的，先算________，同一级运算从_____到______依次进行。
3. 0__(0)a a =≠，___n
a -=（a ，n 为正整数）
典例分析
例４： (2010年南宁市)计算：－(－1)＋(π－2010)0－3tan60°＋(2)－－1
解析：1)2(60tan 3)2010()1(-+?-?-+--π 2
1
3311+?-+= 2
132+
-= 2
1-
= 评注：实数的运算题 常常将零指数幂、负指数幂、倒数、算术平方根、立方根、特殊角的三角函数值、幂的运算性质等集于一题，综合考查运算能力，对于一个非零数a ，则
01a =，需要注意a 必须是一个非零数，否则没有意义；对于一个数的负指数幂的求法公式：1
n n a a
-=
（a ，n 为正整数）
，对于特殊角的三角函数值，关键是要熟记相关的概念及锐角
三角函数值，实数的运算关键是要理清运算顺序，其次是正确运用运算法则及运算律，切记运算时一定要看清数据及细心。 专题训练四
1．(2010年济南)某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为－8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）D
A ．－10℃
B ．－6℃
C ．6℃
D ．10℃ 2．（2010年云南楚雄州）下列计算正确的是（ ） A ．632
·a a a
=
B ．326=
÷ C ．2)2
1
(1-=-
D ．623)(a a -=-
３．（2010年山东泰安市）如图，数轴上A 、B 两点对应的实数分别为a ，b ， 则下列结论
不．正确．．的是（ ）
A ．0>+b a
B ．0 C ．0<-b a D ．|a |—|b|>0 ４．（2010年，潍坊）如图，数轴上A 、B 两点对应的实数分别是1 A 关于B 点的对称点为点C ，则点C 所对应的实数为（ ）．Ａ A ． 1 B ．1 C ．2 D ． 1 ５．(2010江西南昌)按照下图所示的操作步骤，若输入x 的值为－2，则给出的值 为 ． ６．（2009湖北省荆门市）定义2 *a b a b =-，则(12)3**=______． ７． （2010山西）（1）计算：?-+?--+-)23(45sin 2)2 1 (91 ． ８（2010年广东梅州）计算：10 1|2|()( 3.14)cos 452 π---+-?． 专题五 数的表示与应用 知识回顾： １．科学记数法：将一个数记作n 10a ?（10|a |1<≤，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法．当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n 等于原数的＿＿＿＿＿＿＿；当原数的绝对值＜1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）； ２．有效数字：一个数从左边第一个＿＿＿＿的数字起，到右边精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字． ３． 精确度的形式有两种：（１）＿＿＿＿＿＿＿＿；（２）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，用科学记数法表示数的有效数字位数，只看乘号前的部分． 典例分析 例５：( 2010年湖北襄樊)我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国年可利用的淡水资源总量为27 500亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水， 27 500亿这个数用科学记数法表示并保留两个有效数字为（ ）．Ｄ A ．12 27510?． B ．10 2.710? C ．102.810? D ．12 2.810? 解答：把“亿”转化为810，Ｄ 评注：解答＂近似数、有效数字和科学记数法“这一类题目主要把握以下几点：（１）若遇较大时要注意数清它是几位数，n 应等于原数的整数位数减１,（２）看清数据后面是否带有“万”、“亿”等单位；（３）准确理解精确度，如6 10305.4?与6 103050.4?的区别．用科学记数法表示数的有效数字位数，只看乘号前面的部分 专题训练五 １．（2010青岛）由四舍五入法得到的近似数8．8×103，下列说法中正确的是（ ）． A ．精确到十分位，有2个有效数字 B ．精确到个位，有2个有效数字 C ．精确到百位，有2个有效数字 D ．精确到千位，有4个有效数字 ２．（2010江苏泰州）据新华社2010年2月9日报道：受特大干旱天气影响，我国西南地 区林地受灾面积达到43050000亩．用科学计数法可表示为（ ） A ．8 10305.4?亩 B ． 6 10305.4?亩 C ． 7 1005.43?亩 D ． 7 10305.4?亩 3．(2010年辽宁丹东市)在“2008北京”奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中， 首次使用了我国科研人员自主研制的强度为84.610?帕的钢材，那么84.610?的原数为（ ） A ．4 600 000 B ．46 000 000 C ．460 000 000 D ．4 600 000 000 ４．(2010年浙江省义乌市)28 cm 接近于（ ） A ．珠穆朗玛峰的高度 B ．三层楼的高度 C ．姚明的身高 D ．一张纸的厚度 ５.（2010浙江湖州）2010年5月，湖州市第11届房产会总成交金额约2.781亿元，近似数 2.781亿元的有效数字的个数是（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 ６． （2010年潍坊）将5.62×10 －8 用小数表述为（ ）． A ．0．000 000 005 62 B ．0．000 000 056 2 C ．0．000 000 562 D ．0．000 000 000 562 ７．（2010贵州毕节）2008北京奥运会火炬传递的路程约为13.7万公里．近似数13.7万是精确到（ ） A ．十分位 B ．十万位 C ．万位 D ．千位 ８．（2010年山东东营）上海世博会主题馆屋面太阳能板面积达3万多平方米，年发电量可达 280万度．这里的280万度用科学记数法表示（保留三个有效数字）为____________度． ９.（2010广东珠海）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数 （只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101)2,(1011)2换算成十进制数应为： 5104212021)101(0122=++=?+?+?= 1121212021)1011(01232=?+?+?+?= 按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是_______________. 专题六 平方根 立方根 知识回顾： １. 若2(0)x a a =≥，则x 叫做a 的＿＿＿＿，记做＿＿＿＿；正数的平方根有＿＿个，它 们互为＿＿＿，０的平方根是＿＿,负数没有平方根，正数a 的正的平方根叫做＿＿＿ ２. 若3x a =，则x 叫做a 的＿＿＿＿，记做＿＿＿＿；正数的立方根有１个正的立方根， ０的立方根是０,负数的立方根是负数， 典例分析 例６：(2010年南京)如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是()Ｃ A．4的算术平方根B．4的立方根 C．8的算术平方根D．8的立方根 解答：4的算术平方根是２, 48的算术平方根是，8的立方根２,而点Ａ接近于３,故选Ｃ 评注：本题主要考查算术平方根及立方根的概念，数形结合及数的估算能力，解答这类题关键是弄清相关的概念，并将其计算出结果， 专题训练六 １.（2010年山东东营市）64的立方根是( ) （A）4 （B）－4 （C）8 （D）－8 ２. （2010年济宁市) 4的算术平方根是 A. 2 B. －2 C. ±2 D. 4 ３（2010湖南长沙）4的平方根是（）． A B、2 C、±2 D、± ４(2010年眉山市)2） A．3 B．3-C．3±D．9 ５.（2010年山东烟台市）－8的立方根是（） A、2 B、－2 C、 D、 ６．（2010年湖北黄冈）2的平方根是_________. 专题七规律探究题 知识回顾：规律探究题是指在一定的背景或特定的条件下，通过观察、分析、比较、概括和探究，从中发现有关数学对象所具有的某种规律或不变性的结论，进而利用这个规律或结论进一步解决相关的实际问题。它体现了“从特殊到一般”及转化的数学思想方法，一般的解题思路是通过观察，进而寻找规律，猜想出相关的结论并加以验证。出现的形式可能以填空、选择或解答为主． 典例分析 例７：．（2010江苏淮安）观察下列各式： ()1 121230123?= ??-?? ()1 232341233?=??-?? ()1 343452343 ?=??-?? …… 计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)= A ．97×98×99 B ．98×99×100 C ．99×100×101 D ．100×101×102 解析：从材料可以得出1×2，2×3，3×4，……可以用式子表示，即原式=． ()()()1113123012234123991001019899100333?????-??+??-??+??????+??-???? ?? =123012234123991001019899100??-??+??-??+??????+??-?? =99×100×101，所以选择C. 评注：解这类问题的关键在于从简单问题入手，通过观察、分析、推理、发现与猜想，注意把握相关图形的性质与内在联系，进而寻找出解题方法与技巧，逐步进行推广、拓展与应用，化特殊为一般，使问题得以解决与突破。 专题训练七 １．（2010广东湛江市）观察下列算式： ,65613,21873,7293,2433,813,273,93,1387654321========， 通过观察，用你所发现的规律确定2002 3 的个位数字是（ ） A.3 B.9 C.7 D.1 ２.( 2010年盐城)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是（ ） A ．38 B ．52 C ．66 D ．74 ３．(2010年深圳市)观察下列算式，用你所发现的规律得出22010的末位数字是（ ） 21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…， A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 0 2 8 4 2 4 6 22 4 6 8 44 ４．（2010内蒙古赤峰）观察式子： ),71 51(21751),5131(21531),311(21311-=?-=?-=?……．由此计算：+?+?+?751531311…=?+201120091 _____________. ５. （2010重庆江津） 111122=-? 1112323=-? 111 3434 =-? …… 则计算 111111223344556 ++++=????? ． ６．（2010年湖南常德）如图，一个数表有7行7列，设 ij a 表示第i 行第j 列上的数(其中 i=1,2,3,…,7,j=1,2,3,…,7). 例如：第5行第3列上的数 537a =. 则（1）23225253()()a a a a -+-= ； （2）此数表中的四个数,,,np nk mp mk a a a a 满足()()np nk mk mp a a a a -+-= . 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 3 4 5 6 5 4 3 4 5 6 7 6 5 4 5 6 7 8 7 6 5 6 7 8 9 8 7 6 7 8 9 10 9 8 7 参考答案 知识回顾 1． ２. 相反意义 专题训练一 １．Ｂ ２．Ｄ ３．Ｃ ４．Ｂ ５． 2- 6． －2 知识回顾 １． 原点，正方向，单位长度 实数 ２． a - 零 0a b += ３． ?? ? ??<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a ４． 1 a 倒数 专题训练二 １． Ｃ ２． Ｃ ３． Ｂ ４． A 5． 3 2 1 6．１ 7． 2- 8． 知识回顾 ①0 小于 大于 ②大 ③> < = ④> < = 专题训练三 1． Ｃ 2． B 结合数轴上的点Ｐ可知可能表示的数接近于－２,故可排除Ａ和Ｃ选项，而于－４到－３之间，故也可排除，由此可选择Ｂ． ３.Ｃ 这是个实际问题，足球的标准程度关键是看是否接近于０,从选项中可知接近于０的数是Ｃ选项． ４．C ５.C 31介于25到36之间，也就是介于5到6之间,再减去2之后便是3和4之间 6.7 8.2 知识回顾 1.加法交换律 乘法交换律 加法结合律 乘法分配律 乘法结合律 2.乘方 开方 乘除 加减 括号内的 左 右 3.1 1n a 专题训练四 1．D 2．B ３．D 4.A 5. 根据题意得22353(2)51257x -=?--=-= 6.解析：本题是一种新定义运算题，定义2 *a b a b =-， 所以(12)3**=()()2 212*31*3132-=-=--=-，故填－2 7.解：原式＝12 2 2)2(3+? --+＝1123+--＝1． 8.原式=2211232 -+=+= 知识回顾： １.整数位数减1 ２. 不是0 ３. 精确到哪一位 保留几个有效数字 专题训练五 １．Ｃ ２．Ｄ ３.Ｃ ４.Ｃ ５.Ｄ ６.Ｂ ７Ｄ ８.2．80×106； ９.９ 知识回顾： １. 平方根 ２. 相反数 ０ 算术平方根 ３. 立方根 专题训练六 １.Ａ ２.Ａ ３．Ｃ ４.Ａ ５.Ｂ ６. ±2 专题训练七 1．Ｂ 认真研究题中3n （n 为正整数）的末位数字的变化情况，不难发现，3n 的末位数字呈现以3，9，7，1这四个数字为周期的循环规律. 因为2000能被4整除，所以32000的个位数字就是34的个位数字1. ２.Ｄ 根据图形所填数字可以看出：2×4－0=8；4×6－2=22；6×8－4=44；8×10－6=74. ３.Ｂ 观察可知，末位数字每4个算式是一个周期，末位分别为2、4、8、6．把2010除以4余数为2，所以22010的末位数字同22的末位数字4． ４． 20111005 根据题目提供的方法得 +?+?+?751 531311…120092011+? =)2011120091( 21)5131(21)311(21-++-+- =)201111(21-=2011 1005。 ５． 56 . ６. （1）0 （2）0 第二行第三列上的数字是4，第二行第二列上的数字3，第五行 第二列上的数字是6，第五行第三列上的数字是7，所以第（1）题的结果为4―3+6―7=0.（2）中的算式也满足（1）中的运算规律，其结果仍然是0. （1）有理数、实数 〖考试内容〗 有理数，数轴，相反数，数的绝对值；平方根，算术平方根，立方根.无理 数，实数.近似数与有效数字. 〖考试要求〗 ①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小. ②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）. ③了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. ④了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根.会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根. ⑤了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应. ⑥能用有理数估计一个无理数的大致范围. ⑦了解近似数与有效数字的概念，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值. ⑧会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示） 〖考点复习〗 1．正数、负数 [例1]（2005大连）气温升高1°记做＋1°，气温下降6°记做_________。 2．相反数、绝对值、倒数 [例2] （2005常州）31 -的相反数是 ， 31 -的绝对值是 ， 3 1-的倒数是 ． 3．有理数、无理数和实数 [例3] （2005常州）在下列实数中，无理数是（） A 、5 B 、0 C 、 7 D 、5 14 4．数轴 [例4] 4．（2005连云港）北京等5个城市的国际标准时间（单位：小时）可在数轴上表示如下： 如果将两地国际标准时间的差简称为时差，那么（ ） A ．汉城与纽约的时差为13小时 B ．汉城与多伦多的时差为13小时 C ．北京与纽约的时差为14小时 D ．北京与多伦多的时差为14小时 5．平方根、立方根 [例5]（2005无锡）4的平方根是________，8的 立方根是________。 6．科学记数法 [例6]（2005福州）接《法制日报》2005年6月8日报道，1996年至2004年8年 全国耕地面积共减少114000000亩，用科学记数法表示为（ ） A 、1.14×106 B 、1.14×107 C 、1.14×108 D 、0.114×109 7．有理数的比较 [例7]（2005无锡）比较4 1 ,31,21--的大小，结果正确的是（ ） A 、 413121<-<- B 、314121-<<- C 、213141-<-< D 、4 12131<-<- 8．估算 [例8] （2005安徽）5. 一批货物总重1.4×107kg, 下列可将其一次性运走的合适运输工具是 ( ) A. 一艘万吨巨轮 B. 一架飞机 C. 一辆汽车 D. 一辆板车 〖考题训练〗 1．（2005福州）吐鲁番盆地低于海平面155m ，记作—155m 。福州鼓山绝顶峰高于海平面919m ，记作＿＿＿＿＿m 。 2．（2005厦门）－3的相反数是 . 3．（2005海淀区）一个数的相反数是3，则这个数是（ ） A 、 31- B 、3 1 C 、3- D 、 3 4．（2005资阳）1 2 -的绝对值是 1、有理数的分类 2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。 1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 3）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数； 3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零 1）数a 的相反数是-a （a 是任意一个有理数） 2）0的相反数是0. 有理数 整数 分数 正整数（自然数） 零 负整数 正分数 负分数 正数 零 负数 正整数 正分数 负整数 负分数 有理数 3）若a、b互为相反数，则a+b=0. 4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。数a 的绝对值记作︱a︱ 1) 对任何有理数a,总有︱a︱≥0. 2）零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。 3）若a＞0，则︱a︱= a ;若a＜0，则︱a︱= -a ;若a =0，则︱a︱= 0 ; 6、有理数比较大小：1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数； 2）数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大； 3）两个负数，绝对值大的反而小。 7、有理数的运算： （1）五种运算：加、减、乘、除、乘方 （2）有理数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的，对只含乘除，或只含加减的运算，应从左往右运算。 （3）运算法则 1)有理数加法法则 ①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加； ②异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0； 2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 即a-b=a+(-b) 3）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0. ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当因数有偶数个时，积为正. ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0. 4)有理数除法法则①除以一个数 本章复习 【知识与技能】 掌握本章主要知识，会求一个数的相反数和绝对值、倒数，会比较有理数的大小，能灵活运用计算法则和运算律进行有理数的运算. 【过程与方法】 通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，加深对本章知识的理解 【情感态度】 在运用本章知识解决具体问题过程中，进一步体会数学与生活的密切联系，增强数学应用意识，激发学生学习兴趣. 【教学重点】 回顾本章知识点，构建知识体系. 【教学难点】 利用有理数的相关知识解决实际问题. 一、知识框图，整体把握 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立结构框图. 二、释疑解感，加深理解 1.相反数、绝对值、倒数 相反数：如果一两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，数a的相反数为-a. 绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值为｜a｜. 绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的 绝对值是0.用字母表示是 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，数a 的倒数为 (a ≠0).2.科学记数法 一般地，一个大于10的数可以表示成a ×10n 的形式，其中1≤a ＜10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法. 3.有理数的混合运算法则 有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的. 4.有理数的运算律 加法的交换律：a+b=b+a 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法的交换律：a ·b=b ·a 乘法的结合律：（ab ）c=a(bc) 乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac 三、典例精析，复习新知 例1在给出的数轴上，标出以下各数及它们的相反数：-1，2，0， ，-4.观察以上各数在数轴上的位置，解答下列问题： （1）写出以上各数和它们的相反数的绝对值. （2）比较表示在原点左边的各数的大小，并说明这些数的大小与其绝对值的关系. （3）若｜x ｜=2,则x= . （4）若整数x 满足1＜｜x ｜≤4，求x 的值. 解： （1）｜-4｜=4，｜4｜=4；｜-｜=，｜｜=；｜-2｜=2，｜2｜=2；｜-1｜=1，｜1｜=1；｜0｜=0. 1a 5252525252 七年级数学上册《有理数及其运算》知识点 归纳北师大版 有理数: 有理数=整数+分数 整数=正整数+0+负整数分数=正分数+负分数 有理数=正有理数+0+负有理数 正有理数=正整数+正分数负有理数=负整数+负分数 l正数的概念：数轴上0右边的数即比0大的数叫正数，形如+1，+0.5，+10.1，0.001… l负数的概念：数轴上0左边的数，形如-3，-0.2，-100…. l0既不是正数也不是负数，0是整数也是偶数. ①正负数的表示方法： 盈利，亏损；足球比赛胜，负；收入，支出；提高，降低；上升，下降； ②不投入不支出，不盈也不亏，海平面的海拔，某一个标准或基准….用0表示； 数轴：概念：规定了原点，正方向和单位长度的直线 数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，数轴有三要素：原点，正方向，单位长度； 画法：首先画一条直线；在这条直线上任取一点，作为原点；再确定正方向，一般规定向右为正，画上箭头，反方 向为负方向；最后选取适应的长度作为单位长度； 数轴上的点与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。 有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 相反数： 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0； a,b互为相反数a+b=0; 求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即得原数的相反数，当原数是多个数的和差时，要用括号括起来再添“-”；下面的a,b即可以是数字，字母，也可以是代数式； 一般地，数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数、0. 绝对值： 几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值； 代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数的绝对值相等. 一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难） 1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0； （1）点A表示的数为________；点B表示的数为________； （2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）， ①当t=1时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________； 当t=3时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．________ 【答案】（1）-2 ；4 （2）3 ；2 ；5 ；2 ；能. 理由： 当0＜t≤2时，t+2=4-2t 解之： 当t＞2时，t+2=2t-4 解之：t=6 ∴当或6时，甲乙两小球到原点的距离相等. 【解析】【解答】解：（1）∵a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0， ∴a+2=0且b-4=0 解之：a=-2且b=4， ∵在数轴上A点表示数a，B点表示数b， ∴点A表示的数是-2，点B表示的数是4. 故答案为：-2，4. （2）当0＜t≤2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（4-2t）个单位长度； 当t＞2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（2t-4）个单位长 度； ①当t=1时，甲小球到原点的距离为：1+2=3；乙小球到原点的距离为4-2×1=2； 当t=3时，甲小球到原点的距离为：3+2=5；乙小球到原点的距离为2×3-4=2； 故答案为：3，2；5，2 【分析】（1）利用几个非负数之和为0，则每一个数都是0，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，就可得到点A，B所表示的数。 （2）①根据两个小球的运动方向及速度，可以分别用含t的代数式表示出当0＜t≤2时，甲小球距离原点的距离和乙小球离原点的距离，当t＞2时，甲小球距离原点的距离和乙小球离原点的距离，然后将t=1和t=3分别代入相关的代数式，即可求解；②利用（2）中的结论，分情况分别根据甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间，建立关于t的方程，解方程求出t的值。 2．同学们都知道表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： （1）求 ________． （2）找出所有符合条件的整数，使得．满足条件的所有整数值有________ （3）由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最大值或最小值？如果有最大值或最小值是多少？有最________（填“最大”或“最小”）值是________． 【答案】（1）7 （2）-3，-2，-1，0，1，2; （3）最小；3 【解析】【解答】（1）原式=|5+2|=7. 故答案为: 7;（2）令x+3=0或x-2=0时，则x=-3或x=2. 当x<-3时，- (x+3) - (x-2) =5 , -x-3-x+2=5，解得x=-3(范围内不成立) 当-3≤x≤2时，(x+3) - (x-2) = 5, x+3-x+1=4，0x=0，x为任意数, 则整数x=-3，-2，-1, 0，1， 当x>2时，(x+3) + (x-2) = 5， x=2(范围内不成立) . 综上所述，符合条件的整数x有: -3, -2, -1, 0，1，2. 故答案为:-3，-2，-1，0，1，2;(3) 由(2) 的探索猜想,对于任何有理数x，有最小值为3, 令x-3=0或x-6=0时,则x=3，x=6 当x＜3时，-(x-3)-(x-6)=-2x+3﹥3 当3≤x≤6时，x-3-(x-6)=3, 当x＞6时，x-3+x-6=2x-9＞3 第二章：有理数及其运算 知识重点： 绝对值的概念和有理数的运算（包括法则、运算律、运算顺序、混合运算）是本章的重点。 知识难点： 绝对值的概念及有关计算，有理数的大小比较，及有理数的运算是本章的难点。 考点： 绝对值的有关概念和计算，有理数的有关概念及混合运算是考试的重点对象。 知识点： 一、有理数的基础知识 1、三个重要的定义： （1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数。 2、有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质符号分类： ???? ? ??? ??? ??????负分数 正分数分数负整数正整数 整数有理数0 ??? ? ? ? ????? ??? ?负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 4、相反数 如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。0的相反数是0，互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。 5、绝对值 （1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。 （2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a 表示如下： ?? ???<-=>=)0()0(0)0 (a a a a a a （3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 二、有理数的运算 1、有理数的加法 （1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 （2）有理数加法的运算律： 班级_________ 座号_________姓名__________ 得分________ 一、选择题 (每小题2分，共24分) 1、下列说法正确的是( ) A 、一个数前面加上“－”号这个数就是负数； B 、非负数就是正数； C 、正数和负数统称为有理数 D 、0既不是正数也不是负数； 2、 在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-中，负数有，)5 11(-|32+( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、 一个数的倒数是它本身的数 是( ) A 、1 B 、-1 C 、±1 D 、0 4． 下列计算正确的是( ) A 、(-4)2=-16 B 、(-3)4=-34 C 、(-3 4 -)31(-D 1251)5143=-=、 5、 2002× 52002+(-1)2002+(-1)2001的值是( ) A 、3 B 、-2 C 、 -1 D 、1 6、 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是( ) A 、互为相反数 B 、相等 C 、积为0 D 、互为相反数或相等 7、 下列说法正确的是( ) A 、若两具数互为相反数，则这两个数一定是一个正数，一个负数； B 、一个数的绝对值一定不小于这个数； C 、如果两个数互为相反数，则它们的商为-1； D 、一个正数一定大于它的倒数； 8、 若a<0，b<0，则下列各式正确的是( ) A 、a-b<0 B 、a-b>0 C 、a-b=0 D 、(-a)+(-b)>0 9、 若0 代数（二） 根式计算（二） ——无理数与实数 【知识要点】 1．无理数： 定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926 1.414213= ， －1.010010001…，都是无理数。 注意： ①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足； ②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数； 2．实数：有理数和无理数统称为实数。 ????????????????????????? 正有理数有理数零 有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念： ①相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。a+b=0?a 、b 互为相反数。 ②倒 数：若0a ≠，则1a 称为a 的倒数，0没有倒数。1ab a =?、b 互为倒数。 ③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 即()()() 0000a a a a a a >??==??- 七年级数学第二单元测试卷 1．－3的相反数是（ ）． A ．3 1 - B ．3 C ．－3 D ．3 1 2．设m ，n 是有理数，要使| m |+| n |=0，则m ，n 的关系是（ ） A ．互为相反数 B ．相等 C ．符号相反 D ．都为零 3．与算式22222222+++的运算结果相等的是（ ）． A ．42 B ．28 C ．82 D ．162 4．3)2(-与32-的值（ ）． A ．相等 B ．互为相反数 C ．互为倒数 D ．和为16 5．若1 二、填空题（每小题2分，共20分） 11． 5-= ；3 2 -的倒数是 ． 12．用“＞”或“＜”填空：（1）―1 2；（2）21- 3 2 -． 13．计算20082008 )1(1 -+-的值是____ _____． 14．若a 与b 互为相反数，c 的绝对值为5，并且a+b+c>0，则a+b+c=__ ____． 15．甲、乙两位同学进行数字游戏：甲说一个数a 的相反数就是它本身，乙说一个数b 的倒数也 等于它本身，请你猜一猜︱a-b ︱= . 16．当a ＝2，b ＝－1，c ＝－3时， ac b 42 -的值是 ． 17．如图所示，黑珠、白珠共26个，穿成一串，这串珠子中最后一个珠子是 颜色的，这种颜色的珠子共有 个 . …… 18．如下图所示，数轴上与点M 的距离为2的点表示的数是 ． 19．－1减去65-与6 1 的和，所得的差．．．．是 ． 20．有理数a,b 在数轴上的对应点的位置如下图所示．则a －b a ＋b(填“<”或“>”) 20分） 21． )25.0(5)4 1 (8----+． 22． 3 1 )321()1(?-÷-． 23．)48()12 1 4361( ． 24．)4(3 1 )5.01(13 -÷?+--． M 01 2 -1 有理数和实数 试卷简介:有理数的分类，数轴、相反数、绝对值、平方根、立方根、实数的相关概念 一、单选题(共10道，每道4分) 1.据某市统计局公布的第六次人口普查数据,该市常住人口760.57万人,其中760.57万人用科学记数法表示为( ) A.7.6057×105人 B.7.6057×106人 C.7.6057×107人 D.0.76057×107人 答案：B 解题思路：∵1万人=人 ∴760.57万人=7.6057×万人=7.6057×人 试题难度：三颗星知识点：科学记数法 2.下列各数中是无理数的有( ) -0.333…,,,-π,,3.141 592 6,2.010 101…(相邻两个1之间有1个0),76.0123456…(小数部分由相继的自然数组成) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案：A 解题思路：根据定义“无限不循环小数叫做无理数”可以判断有：，-π，76.0123456…（小数部分由相继的自然数组成）三个，选A 试题难度：三颗星知识点：无理数 3.下列说法中正确的是( ) A.无限小数都是无理数 B.实数都能用数轴上的点表示 C.带根号的数都是无理数 D.无理数的和都是无理数 答案：B 解题思路：无限不循环小数是无理数，所以A错误，带根号的数不一定是无理数，例如， 所以C错误；无理数的和可以是无理数也可以是有理数，例如+（-）=0，故D错误，因此选择B 试题难度：三颗星知识点：无理数、实数 4.下列说法正确的是( ) A.一个有理数的平方根有两个,它们互为相反数 B.一个有理数的立方根,不是正数就是负数 C.如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是-1,0,1中的一个 D.如果一个数的平方根是这个数本身,那么这个数一定是1或者0 答案：C 解题思路：负数是没有平方根的，所以A错误；0的立方根不是正数也不是负数，因此B不对；1的平方根是±1，因此D错误 试题难度：三颗星知识点：立方根 5.若x,y为实数,且,则的值为( ) A.1 B.-1 C.2013 D.-2013 答案：B 解题思路：绝对值和平方根都是非负，而相加的和为零，因此x+2=0且y-2=0，得x=-2，y=2， ==-1 试题难度：三颗星知识点：平方根 6.计算使用什么运算律可使计算简便( ) A.加法交换律 B.乘法交换律 C.乘法结合律 D.乘法分配律 答案：D 解题思路：用-36乘以括号内的每一项，然后把结果相加，这是利用有理数的乘法分配律，故D选项正确 试题难度：三颗星知识点：有理数乘法分配律 7.下列说法正确的是( ) A.-2是-4的平方根 B.2是(-2)2的算术平方根 C.(-2)2的平方根是2 D.8的平方根是4 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 A B C D 初一数学 有理数及其运算 期末复习题 班级:_______ 姓名:_______ 学号:_______ 第一部分 知识点 一、 数的分类 1、下列各数中 7，25.9-，743，10 9-，301-，25.31，0，427-，3.0-，5 正整数有_________ 负整数有__________ 正分数有________ 负分数有__________ 正数有__________ 负数有__________ 整数有__________ 分数有__________ 2、下列各说法中，正确的是 （ ） A 、 数0的意义就是表示没有 B 、 一个有理数，不是整数就是分数 C 、 一个有理数，不是正数就是负数 D 、 正整数和负整数统称为整数 3、如果飞机上升4100米记作+4100米，那么飞机下降650米记作__________ 4、某天A 市早晨的气温是3-℃，到中午升高了6℃，晚上又降低了4℃，到半夜再降低3℃，这时，半夜的温度是________ 5、纽约与北京的时差为13-时。如果现在的北京时间是7：00，那么现在的纽约时间是________；小明乘坐的航班飞行约20时到达纽约，那么小明到达纽约的时间是________。 二、数轴 1、规定__________、 __________ 、__________ 的直线叫做数轴。 2、如图，正确表示数轴的是 （ ） 3、把表示下列各数的点画在数轴上，再按从大到小的顺序，用＂＞＂号把这些数连接起来： 5-，3+，5.2-，23，2 15，0 三、相反数、绝对值 1、 7.3-的相反数是_____，2 1和_____ 互为相反数 ，_____和0互为相反数。 2、已知数轴上的点A 表示2的相反数，若点A 向右移动3个单位长度，再向左移动 8个单位长度到达点B ，则点B 表示的数是_____ 3、已知代数式x 32-和代数式x 2-是互为相反数，则x 的值是_____ 4、 9.2-的绝对值是__ ， 0的绝对值是__ ， 9 4+=___， 绝对值是4的数是___。 6 5-的倒数是___ 5、已知代数式43-y 和3-是互为倒数，则y 的值是_____ 6、如右图，a = ___ ，b =___ ，b a -=___ 7、绝对值大于2且小于5的所有负整数__________ -2 -1 0 1 2 如意湖中学2012-2013学年七年级上册数学第二章测试题4 （总分：120分；时间：100分钟） 姓名 班级 成绩 一、填空题（每空3分，共24分） 1、52-的绝对值是 ，相反数是 ， 2、数轴上表示有理数－3.5与0.5的两点的距离是 ． 3. 比较下列各组数的大小： （1）-4 -2； （2） -2 0；（3）；-2 1. 4、绝对值等于2.5的整数是 5.把下列各数填在相应的集合内： 6 ，-3 ，2.5 ，-，0 ，-1，-|-9| ，-（-3.15） （1）整数集合｛ …｝ ； （2）负数集合｛ …｝ （3）非负数集合｛ …｝ 6. 数轴上到原点的距离是2个单位的点表示的数是 ； 7. 计算：（1）1-5= ； （2）-12+5= ； （3）-2-8= . 8.已知a ,b 互为相反数，m 、n 互为倒数，| s |=3求a+b+mn+s 的值是_____. 二、选择题（每小题3分,共24分） 1. 在数轴上，一动点A 向左移动2个单位长度到达点B ，再向右移动5个单位长度到达点C ．若点C 表示的数为1，则点A 表示的数为 ( ) A ．7 B ．3 C ．－3 D ．－2 2. 如图，数轴上A B 、两点分别对应实数a b 、，则下列结论正确的是（ ） A ．a>b B ．a 1 下列说法正确的是（ ） （A ）绝对值较大的数较大； （B ）绝对值较大的数较小； （C ）绝对值相等的两数相等； （D ）相等两数的绝对值相等。 3 若与互为相反数，则下列式子成立的是（ ） （A ） ； （B ） ； （C ）； （D ） 4 零是（ ） （A ）自然数； （B ）正数； （C ）非正数； （D ）有理数 5 数轴上原点和原点左边的点表示的数是（ ） （A ）负数； （B ）正数； （C ）非正数； （D ）非负数 6 若m=-m 则m 为（ ） （A ）1； （B ）-1； （C ）0； （D ）1，-1 7 下列各数65 4.0 、2 3π、0)(π-、14.3、80108.0、ππ--1、 1010010001.0、4、 544514524534.0,其中无理数的个数是 ( ) (A) 1 ( B) 2 (C) 3 (D) 4 8 数 032032032.123是 ( ) (A) 有限小数 (B) 无限不循环小数 (C) 无理数 (D) 有理数 9 边长为3的正方形的对角线的长是 ( ) (A) 整数 (B) 分数 (C) 有理数 (D) 以上都不对 10 下列说法正确的是 ( ) (A) 无限小数都是无理数 (B) 正数、负数统称有理数 (C) 无理数的相反数还是无理数 (D) 无理数的倒数不一定是无理数 11下列说法中不正确的是 ( ) (A) 1-的立方是1-，1-的平方是1 (B) 两个有理之间必定存在着无数个无理数 (C)在1和2之间的有理数有无数个，但无理数却没有(D) 如果62 =x ，则x 一定不是有理数 12 下列语句中正确的是 （ ） (A) 9-的平方根是3- (B) 9的平方根是3 (C) 9的算术平方根是3± (D) 9的算术平方根是3 13 下列运算中，错误的是 （ ） ①125 1 14425 1 =，②4) 4(2 ±=-，③22 2 2 2 -=-=-，④ 20 95 14 1251 161 = + = + (A) 1个 ( B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 14 2 2)4(+x 的算术平方根是 （ ） (A) 4 2 )4(+x (B) 2 2 )4(+x (C) 42 +x (D) 42 +x 15 下列计正确的是 （ ） (A) 5.00125.03 = (B) 4 364 273 =- (C) 2 118 33 3 = (D) 5 2125 83 - =- - 2．1有理数 一、 选择题： 1.下面说法中正确的是 （ ）A ．“向东5米”与“向西10米”不是相反意义的量； B ．如果汽球上升25米记作+25米，那么-15米的意义就是下降-15米； C ．如果气温下降6℃记作-6℃，那么+8℃的意义就是零上8℃； D ．若将高1米设为标准0，高1.20米记作+0.20米，那么-0.05米所表示的高是0.95米．.. 2、0是（ ）A. 正数 B. 负数 C. 整数 D. 正有理数 3、 下列说法中正确的是（ ） A. 整数又叫自然数 B. 0是整数 C. 一个数不是正数就是负数 D. 0不是自然数 4、下面说法中，不正确的是 （ ） A ．在有理数中，零的意义仅表示没有； B ．0不是正数，也不是负数，但是有理数； C ．0是最小的整数； D ．0不是偶数． 二、 填空题： 1.用正数或负数表示下列各题中的数量： (1)如果火车向东开出400千米记作+400千米，那么火车向西开出4000千米，记作______； (2)球赛时，如果胜2局记作+2，那么-2表示______； (3)若-4万表示亏损4万元，那么盈余3万元记作______； (4)+150米表示高出海平面150米，低于海平面200米应记作______； 2、最小的自然数是 ，最大的负整数是 ，最小的非负整数是 。 3. 将下列各数分别填入相应的大括号里：5，-65 ，2013，-0.2，6.8，0，-9 2 ，-10，85 ，-2。 正数集合{ } 整数集合{ } 负数集合{ } 分数集合{ } 4. 不用负数，请讲出下列各题的意义。 （1）某公司在2013年上半年营销情况是-20万元。 （2）向西走了-40米。 （3）运走-60吨大米。 三、 解答题： 1、 把下列各数分别填在题后相应的集合中：-15 ，0，-1，0.7，2，-3， 27 8 ，-15.1，+28。 （1）正数集合： （2）负数集合： （3）整数集合： （4）分数集合： （5）正整数集合： 《有理数及其运算》 单元测试卷 一、耐心填一填：(每题3分,共30分) 1、52-的绝对值是 ，52-的相反数是 ，5 2 -的倒数是 ． 2、某水库的水位下降1米，记作 －1米，那么 ＋1.2米表示 ． 3、数轴上表示有理数－3.5与4.5两点的距离是 ． 4、已知|a －3|＋2 4） （+b =0，则2003）（b a +＝ ． 5、已知p 是数轴上的一点4-，把p 点向左移动3个单位后再向右移1个单位长度，那么p 点表示的数是______________。 6、最大的负整数与最小的正整数的和是_________ 。 7、() 1 -2003 +() 2004 1-= 。 8、若x 、y 是两个负数，且x ＜y ，那么|x | |y | 9、若|a |＋a ＝0，则a 的取值范围是 10、若|a |＋|b |＝0，则a ＝ ，b ＝ 二、精心选一选：（每小题3分，共24分.） 1、如果一个数的平方与这个数的差等于0，那么这个数只能是（ ） A 0 B －1 C 1 D 0或1 2、绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（ ） A 8 B 7 C 6 D 5 3、两个负数的和一定是（ ） A 负 B 非正数 C 非负数 D 正数 4、已知数轴上表示－2和－101的两个点分别为A ，B ，那么A ，B 两点间的距离等于（ ） A 99 B 100 C 102 D 103 5、若x ＞0，y ＜0，且|x|＜|y|，则x ＋y 一定是（ ） A 负数 B 正数 C 0 D 无法确定符号 6、一个数的绝对值是3，则这个数可以是（ ） A 3 B 3- C 3或3- D 31 有理数与实数 数分为实数和虚数实数分为有理数和无理数 实数包括有理数和无理数。 有理数包括整数和分数。 无理数是无限不循环小数。通常有以下三种形式： 一、某些特殊的无理数，如pai(圆周率），e等。 二、非平方数的开方，如根号2，三次根下2 等。 三、形如0.101001000100001.........的数。 实数包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括无限循环小数、整数。 有理数（rational number)：能精确地表示为两个整数之比的数。包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。 如-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。 有理数还可以划分为正有理数、负有理数和0。 全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示 有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）： ①加法的交换律a+b=b+a； ②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c； ③存在数0，使0+a=a+0=a； ④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0； ⑤乘法的交换律ab=ba； ⑥乘法的结合律a(bc)=(ab)c； ⑦分配律a(b+c)=ab+ac； ⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a； ⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。 此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。 有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。 值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。 有理数及其运算练习题 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温为零上10 ℃记作＋10 ℃，则－3 ℃表示气温为( ) A ．零上3 ℃ B ．零下3 ℃ C ．零上7 ℃ D ．零下7 ℃ 2．1 6的倒数为( ) A ．6 B ．－6 C.16 D ．－1 6 3．下列四个数中，最小的数是( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．－1 4．大米包装袋上(10±0.1)kg 的标识表示此袋大米重( ) A ．(9.9～10.1) kg B ．10.1 kg C ．9.9 kg D ．10 kg 5．鄂州市凤凰大桥坐落于鄂州鄂城区洋澜湖上，是洋澜湖上在建的第5座桥梁．大桥长1100 m ，宽27 m ．鄂州有关部门公布了该桥新的设计方案，并计划投资人民币2.3亿元.2015年开工，预计2017年完工．请将2.3亿用科学记数法表示为( ) A ．2.3×108 B ．0.23×109 C ．23×107 D ．2.3×109 6．数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图1所示，则正确的结论是( ) 图1 A ．a >－4 B ．bd >0 C ．|a |>|b | D ．b ＋c >0 7．－7的相反数是________． 8．如图2，数轴上点A 所表示的数的绝对值为________． 图2 9．计算－(－1)＋|－1|，其结果为________． 10．若数a 满足??????a －12＝3 2 ，则a 对应于图3中数轴上的点可以是A ，B ，C 三点中的点 ________． 图3 11．如果m 是最大的负整数，n 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，那么代数式m 2015 ＋2016n ＋c 2017 的值为________． 12．填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m 的值为________． 图4 13．计算：(－2)2 ×(1－34)． 有理数复习 知识点1：有理数的基本概念（有理数 数轴 相反数 绝对值） 有理数:按定义整数与分数统称有理数. ()????????????????????正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数 ()()????????? ?????? 正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数 注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数. 板块一、基本概念 例题讲解 1、选择下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个数是（ ） ①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数. A.0 B.1 C.2 D.3 2、下面关于有理数的说确的是（ ）． A ．有理数可分为正有理数和负有理数两大类. B. 正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C. 整数和分数统称为有理数 D. 正数、负数和零的统称为有理数 板块二、数轴、相反数、倒数、绝对值 3、a 和b 是满足ab ≠0的有理数，现有四个命题：( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ①224a b -+的相反数是224 a b -+；②a b -的相反数是a 的相反数与b 的相反数的差； ③ab 的相反数是a 的相反数和b 的相反数的乘积；④ab 的倒数是a 的倒数和b 的倒数的乘积．其中真命题有 4、一个数的绝对值大于它本身，那么这个数是( )A 、正有理数 B 、负有理数 C 、零 D 、不可能 5、数轴上离开原点2个单位长度的点表示的数是____________； 6、有理数-3，0，20，-1.25，1.75，-∣-12∣，-（-5）中，正整数有________个，非负数有______个； 7、绝对值最小的有理数是________；绝对值等于3的数是______； 绝对值等于本身的数是_______；绝对值等于相反数的数是_________数；一个数的绝对值一定是________数。 8、-2.5的相反数是________，绝对值是________，倒数是________。 9、平方是它本身的数是 ；倒数是它本身的数是 ； 相反数是它本身的数是 ；立方是它本身的数是 。 绝对值小于4的所有整数的和是________； 绝对值大于2且小于5的所有负整数的和是________。 10、在数轴上任取一条长度为1 19999 的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 知识点2：比较大小 比较大小的主要方法： ① 代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小． ② 数轴法：数轴右边的数比左边的数大． ③ 作差法：0a b a b ->?>，0a b a b -=?=，0a b a b -，0b >，1a a b b >?>，1a a b b =?=，1a a b b 实数、有理数
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