幂的运算法则逆用九类

a m·a n=a m+n

a m÷a n=a m-n(a≠0，m、n为正整数)，

(a m)n=a mn，(ab)n=a n b n

是有关幂的运算的四条运算法则，逆用幂的这四条法则是一种常见的数学思想．巧用这种数学思想解决有关幂的问题，常可使问题得到简捷解决．下面通过举例说明其在九个方面的应用．

一、求整数的位数

例1：求n=212×58是几位整数．

析解：可逆用上述幂的运算法则第1、4条，把n写成科学记数法a×10n形式：

n=24×28×58=16×(2×5)8=1.6×109，

∴ n是10位整数．

二、用于实数计算

例2：计算：

(1)(-4)1995×0.251994

=(-4)×(-4)1994×0.251994

=(-4)×(-4×0.25)1994

=-4×(-1)1994=-4．

三、寻找除数

例3：已知250-4能被60—70之间的两个整数整除，求这两个整数．

析解逆用幂的运算法则第一条将原数进行分解，就可找到解决此题的途径．

250-4=22·248-4

=4×248-4

=4(248-1)

=4(224+1)(212+1)(26-1)(26-1)

=4(224+1)(212+1)×65×63

∴这两个数是65、63．

四、判断数的整除性

例4：若3n+m能被10整除，你能说明，3n+4+m也能被10整除．

析解：若将3n+4+m变形成3n+m与10的整数倍的和的形式，此题就可迎刃而解．逆用幂的运算法则，有

3n+4+m=34×3n+m=81×3n+m

=80×3n+(3n+m)，结论已明．

五、判定数的正、负

=(2m)2-2m+n+1+(2n)2

=(2m)2-2×2m×2n+(2n)2

=(2m-2n)2≥0，(逆用了第3、1条)

∴原数是非负的．

六、确定幂的末尾数字

例6：求7100-1的末尾数字．

析解：先逆用幂的运算法则第三条，确定7100的末尾数字．

∴ 7100-1=(72)50-1=4950-1

=(492)25-1=(2401)25-1，

而(2401)25的个位数字是1，

∴ 7100-1的末尾数字是0．

七、比较实数的大小

例7：比较750与4825的大小．

析解：750=(72)25=4925，可知前者大．

八、求代数式的值

例8：已知10m=4，10n=5．求103m-2n+1的值．

析解：逆用幂的运算法则．

103m-2n+1=103m×10-2n×10

=(10m)3×(10n)-2×10

九、求参数

例9：已知：2.54×210×0.1÷(5×106)=m×10n(1≤m＜10)．求m、n的值．

分解：逆用幂的运算法则，把等式的左边也转化成科学记数法的形式，便可求出m、n 的值．

原式=2.54×(22)5×10-1÷(5×106)

=2.54×44×4×10-1÷5×10-6

=(2.5×4)4×4×10-1÷5×10-6

=8×10-4=m×10n．

由科学记数法定义得m=8，n=-4．

综上所述可知，逆用幂的四条运算法则后，都在不同程度上降低了题目的难度，甚至使那看似束手无策的题目(如例3、例4)，前景也变得柳暗花明了