上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：平面向量

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练

平面向量

一、填空、选择题

1、（2016年上海高考）在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是 .

2、（2016年上海高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .

任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0i j OP OA OA ++

＝，则点P 落在第一象限的概率是

.

3、（2015年上海高考）在锐角三角形 A BC 中，tanA=

1

2

，D 为边 BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥A B 于 E ，DF ⊥AC 于F ，则DE DF ?

= ．

4、（2014年上海高考）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，

(1,2,,8)i P i = 是上底面上其余的八个点，则(1

, 2, , 8)i AB AP i ?=

的不同值的个数为 （ ）

P 2

P 5

P 6P 7

P 8

P 4

P 3

P 1

B

A

(A) 1. (B) 2. (C) 4.

(D) 8.

5、（浦东新区2016届高三三模）已知2a = ，3b = ，且a ，b 的夹角为3

π

，则32a b -=

6、（杨浦区2016届高三三模）如图，已知AB AC ⊥，3AB =，3AC =，圆A 是以A 为圆心、半径为1的圆，圆B 是以B 为圆心、半径为2的圆，设点P 、Q 分别为圆A 、圆B 上的动点，且

12

AP BQ = ，则CP CQ ?

的取值范围是

7、（虹口区2016届高三三模）在锐角ABC ?中,60,B =?2,AB AC -=

则AB AC ? 的取值范围

为 ( )

（A ）（0， 12） （B ）1,124??

-????

（C ）(]0,4 （D ） (]

0,2 8、（崇明县2016届高三二模）矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，P 为矩形内部一点，且1AP =．若

AP AB AD λμ=+

(,)R λμ∈，则23λμ+的最大值是 ．

9、（奉贤区2016届高三二模）已知△ABC 中，2AB = ， 3AC =

，0AB AC ?< ，且△ABC

的面积为3

2

， 则BAC ∠=_______．

10、（黄浦区2016届高三二模）已知菱形ABCD ，若||1AB = ，3

A π

=，则向量AC 在AB 上的

投影为

11、（静安区2016届高三二模）已知△ABC 外接圆的半径为2，圆心为O ，且2AB AC AO +=

，AB AO = ，则CA CB ?=

.

12、（闵行区2016届高三二模）平面向量a 与b 的夹角为60?，1a = ，(3,0)b =

，则2a b +=

.

13、（闵行区2016届高三二模）若AB 是圆2

2

(3)1x y +-=的任意一条直径，O 为坐标原点，则

OA OB ?

的值为

14、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知a r ，b r

是平面内两个互相垂直的单位向

量，若向量c r 满足()()0c a c b -?-=r

r r r ，则||c r 的最大值是（ ）．

（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）

2

2 15、（青浦区2016届高三上学期期末）已知平面向量OA 、OB 、OC 满足0OA OB ?=

，且1OA OC == ，3OB = ，则CA CB ?

的最大值是

16、（松江区2016届高三上学期期末）已知抛物线2

:4C y x =的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为k 的

直线与l 相交于点A ，与抛物线C 的一个交点为B ．若2AM MB =

，则 k = ▲ ．

17、（杨浦区2016届高三上学期期末）如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，

且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈

,

则=μ+λ____________.

18、（闸北区2016届高三上学期期末）在菱形ABCD 中，1AB =，

60DAB ?

∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ?

的值是

19、（宝山区2016届高三上学期期末）P 是ABC ?所在平面内一点，若PB PA CB +=λ，其中R ∈λ， 则P 点一定在……（ ）

（A ）ABC ?内部 （B ）AC 边所在直线上 （C ）AB 边所在直线上 （D ）BC 边所在直线上

20、（金山区2016届高三上学期期末）已知a ,b 是单位向量，0=?b a ，且向量c 满足||b a c --=1，则|c |的取值范围是( )．

(A) ]12,12[+- (B) ]2,12[-

(C) ]12,2[+ (D) ]22,22[+-

二、解答题

1、（虹口区2016届高三二模）在锐角ABC ?中， 2sin sin sin(

)sin(

).4

4

A B B B π

π

=++-

(1) 求角A 的值；

(2) 若12,AB AC ?=

求ABC ?的面积.

2、（宝山区2016届高三上学期期末）已知角C B A 、、是ABC ?的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量??? ??-+-=2cos ),cos(1B A B A m ,??? ??-=2cos ,8

5

B A n ,且89=?n m .

（1）求B A tan tan ?的值； （2）求2

22sin c b a C

ab -+的最大值.

O

A

E B F

C

3.（嘉定区2016届高三上学期期末）已知R ∈x ，设)c o s s i n ,c o s 2(x x x

m +=

，)cos sin ,sin 3(x x x n -=

，记函数n m x f ?=)(．

（1）求函数)(x f 取最小值时x 的取值范围；

（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2)(=C f ，3=c ，求△ABC 的面积S 的最大值．

4、（浦东新区2016届高三上学期期末）已知两个向量()()2221log ,log ,log ,1a x x b x =+=r r

（1）若a b ⊥r r

，求实数x 的值；

（2）求函数1(),,24f x a b x ??

=?∈????

r r 的值域。

5、（金山区2015届高三上期末）a 、b 、c 分别是锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，向量p =(2–2sin A ，cos A +sin A )，q =(sin A –cos A ，1+sin A )，且p ∥q ．已知a =7，△ABC 面积为2

3

3，求b 、c 的大小．

6、（浦东区2015届高三上期末）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c b =，

A ∠的平分线为AD ，若.A

B AD mAB A

C ?=?uu u r uuu r uu u r uu u r

（1）当2m =时，求cos A 的值；

(2) 当23

(1,

)3

a b ∈时，求实数m 的取值范围.

参考答案

一、填空、选择题 1、【答案】[0,12]+

2、【答案】

528

【解析】共有2828C =种基本事件，其中使点P 落在第一象限共有2

325C +=种基本事件，故概率为

528

. 3、解：如图，

4、【解析】：根据向量数量积的几何意义，i AB AP ? 等于AB 乘以i AP 在AB

方向上的投影，而i AP 在AB

方向上的投影是定值，AB 也是定值，∴i AB AP ? 为定值1，∴选A

5、【答案】6

【解析】223294123636126cos 7236363

a b a b ab π

-=+-=+-??=-= ，所以326a b -=

6、［－1,11］

7、A

8、－1

9、

56π 10、3

2

11、12 12、19 13、8 14、C 15、3 16、22± 17、3

2

18、1 19、B 20、A

二、解答题 1、

()2222sin sin sin(

)sin(

)sin sin(

)cos(

)

4

4

4

4

111

sin sin(2)sin cos 1242222

A B B B B B B B B B B π

π

π

π

π=++-=+++=++=+=

解：因分

故由ABC ?为锐角三角形，得.

6

A π

=

……6分

（2）由（1）知3

cos ,2A =由已知，有 3

12cos ,

2AB AC cb A bc =?=?=

故8 3.

bc = ……9分

从而111

sin 832 3.

222

ABC S bc A ?=

?=??= ……12分 2、解：（1）由(1cos(),cos )2A B m A B -=-+u r ,5(,cos )82A B

n -=r ，且98

m n ?=u r r ， 即259[1cos()]cos 828

A B A B --++=.-----------------------------------------------------2分 ∴4cos()5cos()A B A B -=+,--------------------------------------------------------------------4分

即cos cos 9sin sin A B A B =,∴1

tan tan 9

A B =

.----------------6分 （2）由余弦定理得2

22sin sin 1

tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+-，-----------------8分 而∵tan tan 9

tan()(tan tan )1tan tan 8A B A B A B A B ++=

=+-------------------------------------------10分 由1

tan tan 9A B =知：0tan ,tan >B A ------------------------------------------11分

93

tan()2tan tan 84

A B A B +≥?=,

当且仅当1

tan tan 3

A B ==时取等号，-------------------------------------------------------------12分

又tan tan()C A B =-+,∴tan C 有最大值3

4

-，

所以222sin ab C a b c +-的最大值为3

8

-.---------------------------------14分

3、（1）x x x x x x n m x f 2cos 2sin 3cos sin cos sin 32)(22-=-+=?=

??? ?

?

-=62sin 2πx ． ………………………………………………………（3分）

当)(x f 取最小值时，162sin -=?

?

?

?

?

-

πx ，2262πππ-=-k x ，Z ∈k ，……（6分） 所以，所求x 的取值集合是?

??

?

??∈-

=Z k k x x ,6π

π． …………………（7分） （2）由2)(=C f ，得162sin =??

?

?

?

-πC ， …………………………（1分） 因为π<

116

26

π

π

π

<

-

<-C ， 所以2

6

2π

π

=

-

C ，3

π

=

C ． ……………………………………（3分）

在△ABC 中，由余弦定理C ab b a c cos 22

2

2

-+=， ………………（4分） 得ab ab b a ≥-+=2

2

3，即3≤ab ， …………………………（5分） 所以△ABC 的面积4

3323321sin 21=??≤=

C ab S ， ……………（6分） 因此△ABC 的面积S 的最大值为4

3

3． ……………………（7分）

4、解：（1）()222,1log log log 0a b x x x ⊥∴+?+=r r

Q

22log (log 2)0x x ??+= 22log 0log 2x x ∴==-或

经检验1

14

x x ==

或为所求的解；………………………………………………4分 （2）由条件知()2

222()log (log 2)log 11f x x x x =?+=+-

[]21,2,log 2,14x x ??

∈∴∈-????

Q

[]()[]2

22log 11,2log 10,4x x ∴+∈-?+∈

所以值域为[]1,3-。………………………………………………………………8分

5、解：()A A A p sin cos ,sin 22+-=，()A A A q sin 1,cos sin +-=，又p ‖q (2–2sin A )(1+sin A )–(cos A+sin A )(sin A –cos A )=0， 即：03sin 42

=-A 又A ∠为锐角，则3

sin 2

A =

，所以∠A =60?…………………………………………6分 因为△ABC 面积为

233，所以21bc sin A =2

33，即bc =6，

又a =7，所以7=b 2+c 2–2bc cos A ，b 2+c 2=13， 解之得：??

?==23c b 或?

??==32

c b ………………………………………………………………12分 6、解：（1）由.b c = 又2.AB AD AB AC ?=?uu u r uuu r uu u r uu u r 得A bc A

A b b cos 22

cos )2cos (?=?………2分

2cos 2cos 2A

A ∴=…………………………………………………………………4分

1cos 2cos .2A A += 1

cos .3A ∴= ……………………………………………6分 （2）由.AB AD mAB AC ?=?uu u r uuu r uu u r uu u r 得1

cos 21

A m =-；…………………………………8分

又222cos 2b c a A bc +-==2

222

21122b a a b b -??=-∈ ???

11(,)32，…………………10分 所以

111(,)2132m ∈-，3

(,2)2

m ∴∈.……………………………………………12分