专题五 第2讲 空间中的平行与垂直

第2讲空间中的平行与垂直

考情解读

1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.

2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．

热点一空间线面位置关系的判定

例1(1)设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是()

A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β

C．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β

(2)平面α∥平面β的一个充分条件是()

A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a?α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α

设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：

①若α⊥β，m∥α，则m⊥β②若m⊥α，n⊥α，则m∥n

③若m⊥α，m⊥n，则n∥α④若n⊥α，n⊥β，则β∥α

其中真命题的序号为()

A．①③B．②③C．①④D．②④

热点二平行、垂直关系的证明

例2如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.

如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F

为CD 的中点．

求证：(1)AF ∥平面BCE ；(2)平面BCE ⊥平面CDE .

热点三 图形的折叠问题

例3 如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点， 将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)．

(1)求证：DE ∥平面A 1CB ；(2)求证：A 1F ⊥BE ；

(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？请说明理由．

如图(1)，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2

，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，EF ∥BC ，AE ＝x .沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图(2)所示)，G 是BC 的中点．

(1)当x ＝2时，求证：BD ⊥EG ；

(2)当x 变化时，求三棱锥D －BCF 的体积f (x )的函数式．

真题感悟

1．(2014·辽宁)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n?α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

2．(2014·辽宁)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．

(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积．

押题精练

1.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线P A垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：

①P A∥平面MOB；②MO∥平面P AC；

③OC⊥平面P AC；④平面P AC⊥平面PBC.

其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．

2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．

(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；

(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？并证明你的结论．