浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”
湖南民族职业学院初等教育系2014届毕业生毕业论文
题目：浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”
作者：叶彩凤
班级：初数1102班
学号：201120030230
指导教师：杨洪山
二零一四年六月
湖南民族职业学院学生毕业论文
诚信声明
郑重声明：本人呈交的毕业论文《浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”》是在指导老师的指导下进行研究工作，所取得的成果，成果不存在知识产权争议。如文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人和集体已经发表，和撰写过的作品成果，对本文的研究作出重要贡献的个人，和集体在文中均作了明确的说明，并表示了谢意。
本人完全意识到，本说明的法律结果由本人承担。
毕业论文作者（签名）：
2014年6月
目录
摘要
关键词
一、小学数学“一题多解”的探究 (1)
（一）一题多解的案例 (1)
（二）一题多种解法之数学思想在小教学中的应用 (3)
二、小学数学“一题多变”的探究 (4)
（一）引导学生学会“一题多变”把新题变旧题 (4)
（二）引导学生学会“一题多变”触类旁通，悟出解题规律 5 三、学生学会超级变变，并将所学知识进行拓展 (5)
结语 (7)
参考文献 (7)
致谢 (8)
摘要：数学是小学阶段一门基础学科,并且在小学阶段占主体地位.入学之初,学生所接触到的数学知识,都是比较形象化,直观化的数数及简单的计算,随着数学知识的加深,小学高年级的数学出现了抽象化复杂性的应用题.找到解题的最佳方法,培养学生大胆创新的解题方法及不断尝试解答的精神,是我们为师者必须思考的教学问题.教师如何引导学生学会把新知变旧知寻找最近认识发现区，将复杂问题变为单间问题，学会一题多变，触类旁通，进而悟出解题规律，并经一题多变，拓展知识，使学生真正“学会学习”。
关键词：小学数学；一题多解；一题多变
前言
一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同
的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。心理学研究表明，在解
决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么，就需要进
行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，
常常被视为创造的过程或解决问题的过程。数学问题的解题策略是指探求数学问题的
答案时所采取的途径和方法。在小学阶段，一般包括枚举法、模式识别、问题转化、
中途点法、以退求进、特殊到一般、从整体看问题、正难则反等策略。一题多解则是
诸多解题策略的综合运用。教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于充分
调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有
利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，
引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。教学的某些合理之处．更为广泛地发现。”的观点。因此，本文就教师如何引导学生学会把新知变旧知
寻找最近认识发现区，将复杂问题变为单间问题，学会一题多变，触类旁通，进而悟
出解题规律，并经一题多变，拓展知识，归纳出曲折地反复地不断深化的一题多变导
学悟学训练课程设计模型，使学生真正“学会学习”。克服了传统教辅模式中存在的
教师变题，学生做题的题海战术。形成了学生主动探讨发现问题，解决问题的学习主人。
一、小学数学“一题多解”的探究
（一）一题多解的案例
数学是一种应用非常广泛的学科,它将数与量、结构和空间关系在生活中具体应用和体现。“一花独放不是春，百花齐放春满园”。数学自身同样存在“百花齐放”的状态。数学中存在的“百花齐放”，指的是数学的多种表现形式，数学题中的一题多解便是其中之一。一题多解表现了思维的灵活性和广阔性，对沟通知识引起多路思维大有益处，它是激发学生学习兴趣，调动学生学习积极性的有效方法，与此同时，它也是数学教学的一种重要方法，是在不改变条件和问题的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析和思考，探求不同的解题思路。在探求的过程中，由于学生思维发散点不同，因而能找出多种解题途径，收到培养求异思维的效果。六至十二岁的小学生新鲜感强，目的性不够明确，爱动、好问，注意力不够稳定，很难长时间把注意力集中到同一学习活动上；教师教给学生的是现成的结论、现成的论证、现成的说明，一切都是现成的，无需学生动
手实践就可以将知识快速地储存于自己的大脑。因此，教师付出再多辛苦劳动的结果却是学生学习完许多知识便忘。此时巧妙地引入一题多解，更好地好地体现了以学生为本的主导思想，同时又减轻教师教学负担，转变教师教学模式。
例如，有这样一题“两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，5小时后相遇。一辆汽车的速度是每小时55千米，另一辆汽车的速度是每小时45千米，甲、乙两地相距多少千米？”它的解法就有多种。
【分析 1】先求两辆汽车各行了多少千米，再求两辆汽车行驶路程的和，即得甲、乙两地相距多少千米。
【解法1】一辆汽车行驶了多少千米？ 55×5=275（千米）
另一辆汽车行驶了多少千米？ 45×5=225（千米）
甲、乙两地相距多少千米？ 275+225=500（千米）
综合算式： 55×5+45×5 =275+225 =500（千米）【分析2】先求出两辆汽车每小时共行驶多少千米，再乘以相遇时间，即得甲、乙两地相距多少千米。
【解法2】两车每小时共行驶多少千米？ 55+45=100（千米）
甲、乙两地相距多少千米？ 100×5=500（千米）
综合算式：（55+45）×5 =100×5 =500（千米）【分析 3】甲、乙两地的距离除以相遇时间，就等于两辆汽车的速度和。由此可列出方程，求甲、乙两地相距多少千米。
【解法3】设甲乙两地相距x千米。 x÷5=55+45 x=100×5 x=500 【分析4】甲乙两地距离减去一辆汽车行驶的路程，就等于另一辆汽车行驶的路程，由此列方程解答。
【解法4】设甲乙两地相距x千米。 x-55×5=45×5
x-275=225 x=275+225 x=500
答：甲、乙两地相距500千米。
再如：“有两个完全相同的长方体恰好拼成了一个正方体，正方体的表面积是30平方厘米.如果把这两个长方体改拼成一个大长方体，那么大长方体的表面积是多少？”
【分析1】因为正方体有6个相等的面，所以每个面的面积是30÷6=5平方厘米.拼成一个大长方体要减少一个面的面积，同时增加两个面的面积.由此可求大长方体的表面积. 【解法1】30-30÷6+30÷6×2
=30-5+10=35（平方厘米）. 或：30+30÷6×（2-1） =30+5=35（平方厘米）.
【分析2】因为拼成大长方体后，表面积先减少一个面的面积，同时又增加两个面的面积，实际上增加了一个面的面积.
【解法2】 30+30÷6=30+5=35（平方厘米）.
【分析3】把原来正方体的表面积看作“1”.先求出增加的一个面是原来正方体表面积的几分之几，再运用分数乘法应用题的解法求大长方体的表面积.
【分析4】因为原来正方体的表面积是6个小正方形面积的和，拼成大长方体的表面积是7个小正方形面积的和，所以可先求每个小正方形的面积，再求7个小正方形的面积. 【解法4】30÷6×（6+1）
=30÷6×7=35（平方厘米）.
答：大长方体的表面积是35平方厘米.
由此可见，一题多解，从某方面而言，体现了数学思想。我国著名数学教育家姜伯驹院士曾多次强调，应该在教材和教学过程中注入数学思想，发挥数学思想方法的作用，培养应用意识和能力。可见，数学思想和数学方法是数学知识应用的根基和源泉。
（二）一题多种解法之数学思想在小教学中的应用
算术解法正是假设思想的体现，假设思想是一种常用的推测性的数学思考方法.它对一些无从下手的题，先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，最后找到正确答案的一种思想方法。比如，按学生现有的知识，解此题较困难，在实际教学中，数学教师就可以引导学生从假设思想开始推断，得出结论。
代数解法体现了数学思想中的方程思想。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。方程思想在数学中的应用是十分广泛的。哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程。上面的案例就有很好的体现，当然，还有其它的数学思想值得平时教学实践中引导学生进行运用。著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。这些数学思想几乎包摄了全部小学数学内容，符合小学生的思维能力及他们的实际生活经验, 易于被他们理解和掌握，在小学数学教学中, 有机地渗透这些数学思想可以为进一步学数学打下较好的基础。
案例的一题多解，通过算术解法、和代数的方程解法得道答案，正是发散性思维的体现，在平时，倘若学生遇到每一道习数学题，能够做到一图多问，一题多议；在条件和问题不变的情况下多角度、多侧面地进行分析思考，探求不同的解答，从不同方面多解，对学生的益处不言而喻。无论答案对错，教师应积极地诱导并鼓励他们别出心裁地思考问题，大胆地提出与众不同的意见与质疑，独辟蹊径地解决问题，这样才能使学生思维从求异、发散向创新推进。
还有一点就是“一题多解”可以激发学生学习的兴趣。从学生的角度出发，兴趣是做好任何事情的前提，数学也不外乎于此。一题多解，可以提高学生对数学学习的兴趣。
小学生具有挑战自我的特性，用于表现自我，在课堂上进行一题多解式探讨教学，使学生对学习数学更有兴趣，学生便会真正投入到数学的世界里。众所周知，兴趣是最好的老师。从教育心理学的角度而言，兴趣是感情的体现，是学生学习的内在因素。事实上，对于任何学生而言，只有感兴趣才能自觉地、主动地、竭尽全力去观察它、思考它、探究它，才能最大限度地发挥学生的主观能动性。只有打开学生学习数学的兴趣大门，让小学生学习数学经历一定的学习过程,才能在头脑中形成数学的知识和认知结构。
最后，“一题多解”可以减轻教师教学负担，转变教师教学模式。从教师的角度出发，“讲解——接受”的教学模式，恪守陈规，忽视了学生的课堂主体，教学方法单一，枯燥，容易使学生失去学习兴趣，如果将此案例的多种解法转变成教师一人的讲解，无论你怎样讲，怎样去解出此题，一节数学课下来，整个课堂就是老师一个人的舞台，学生像个听众，只是被动的接受。结果一堂课死气沉沉，学生感觉不到兴趣，从而昏昏欲睡，学生对教学难点的掌握可想而知，学习效果也同样可想而知。同样放手放给学生，教学效果、学习效果就有大不同。
《新课标》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。教学中应尊重每一个学生的个性特征，允许不同的学生从不同的角度认识问题，采用不同的方式表达自己的想法，用不同的知识与方法解决问题。鼓励学生解决问题策略的多样化，是因材施教，促进每一个学生充分发展的有效途径。”因此，课堂需要注入新的模式，从根本上去革新。教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者。学生是课堂的真正主人。通过上面案例我们可以得出结论：教师在课堂上要给学生充足的实间去自主学习，合作交流，探究，解决问题。在一题多解方面，是学生通过课本知识从原有思维模式想新型思维模式的转型。同时“一题多解”，从某种程度上，减轻了数学教师的教学负担。将教师从课堂走到学生身边，将一味的大量讲解转变成学生主动参与，积极交流合作探究，教师只在适当的时候做以提示，不用教师领着讲解学习，学生自己会有能力去解决知识间的关系。
小学数学的“一题多解”，正是学生解决问题、学好数学的形式之一，它正如春天的“百花”一样，让数学变得绚丽多姿。
二、小学数学“一题多变”的探究
（一）引导学生学会“一题多变”把新题变旧题
联想以前所学的知识中，与例题的意义比较相似的题目，寻找新知的最近认知发现区，引导学生以旧导新；把不常见的事变成本地常有的事情；把数目大的变成数目小的问题。
人们对客观事物的认识，有一个由简到繁，由低级到高级，由直观到抽象的循“序”过程，人们对任何事物都不可能一步就达到对其本质的认识。孔子强调学习要按一定顺序，不可杂乱无章，学习是由浅入深、由简到繁、由具体到抽象的过程，不可能一蹴而就。孔子说“无欲速”，因为“欲速则不达”。颜渊称赞孔子“循循然善诱人”，表明孔子善于依据教学内容的客观顺序，又能考虑到学生的接受能力，一步一步地进行诱导，使学生能够由浅入深、由近及远、有步骤地学习，越学越有兴趣。而利用一题多变就能很好实现这个目标。在教学中，应该引导学生想一想能不能变成以前曾经学过类似的题目（二）引导学生学会“一题多变”触类旁通，悟出解题规律
变事情、变数字。
这样通过学生由此及彼联想同类变题训练，使学生及时巩固算法，特别是小学所学的计算题就能体会到一题多变的意义。当然，在实际教学中，也许不会在同一课时完成这一教学任务。但不管用了几课时，教师都应引导学生发现数的大小发生变化时，我们的计算步骤思路并不变，只在计算法则上有所变化。感受其中所渗透的“以不变应万变”的意图。因此在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。
三、学生学会超级变变，并将所学知识进行拓展
保持条件不变，变换问题；保持问题不变，变换条件；条件和问题同时改变
例：二年级上册数学例3：36+35
第一步：引导学生“一题多变”把题目变简单化
师：想一想，能不能将这道36+35计算题，变成一道一位数加法和一道不进位的两位数加法的计算题？
生1：36+5=41 生2： 41+30=71，
然后通过学生对比分析讨论很快悟出例题的算理： 36+35的两位数加两位数(进位加）的算理: (1)先加个位，个位满十向十位进一，个位写1 (2)再加十位并加上个位进上的“1”第二步：“一题多变”触类旁通。
师：想一想一个加数36不变，另一个加数的个位是几才满十？谁能变？生1：变成了：36+34= 同桌到黑板前列竖式笔算生2：变成了36+36= 同桌到黑板前列竖式笔算生3：变成了36+37= 同桌到黑板前列竖式笔算生4：变成了 36+38= 同桌到黑板前列竖式笔算生5：变成了36+39= 同桌到黑板前列竖式笔算
师：想一想一个加数35不变，另一个加数的个位是几才满十？谁能变？
生6：变成了 35+35=
生7：变成了37+35=
同桌到黑板前列竖式笔算
生8：变成了 38+35=
同桌到黑板前列竖式笔算
生9：变成了39+35=
同桌到黑板前列竖式笔算又想一想两个加数都变，但是要求只是个位上相加满十的计算题有哪些？
生1：变成了 58+27=
同桌到黑板前列竖式笔算
生2：变成了 54+39=
同桌到黑板前列竖式笔算
生3：变成了 47+28=
同桌到黑板前列竖式笔算
第三步：“一题多变”实行知识的拓展，一个加数不变，另一个加数的十位上是几相加才满十？
生1：变成了36+75= 生2：变成了36+85= 生3：变成了 36+95= 把知识拓展到连续进位加的新知识点。
相信类似这样的例子还很多，需要我们不断的归纳，分类，总结。
教师在立足教材，引导学生如何进行一题多变面，使学生学会用联想旧知，联想同类，改变事情，改变问题中的条件或问题等等变题方法，从中悟出解题规律、方法，同时也激发了学生的学习兴趣，有效地避免题海战术，巩固数学知识，可培养学生独立思考，举一反三的学习态度。但在利用典型习题培养学生的发散思维时，应注意几个方面问题：要有的放矢，适度进行课堂调控，一题多变训练时要适度，不要牵扯太远，避免学生陷入太多的类同之处，造成事倍功半，事与愿违；教学过程应是以学生提出一题多变的问题、教师为主导，引导学生如何变，解题方法也由学生悟出，师生双方互动的过程。变题不是由教师提出，使学生处于被动接受的地位，从而影响学生的学习积极性和主动性，不利于培养学生的创新思维能力。所以，教师一定要注重学生的主体作用，切忌包办代替；“一题多变”不仅单是在新授课时使，也可以在复习课充分发挥它的作用，改变复习课单调的教学过程，起到温故而知新的效果。
结语
总之，在教学中，教师一定要注意运用各种方法培养和激发学生学习英语的兴趣，在课堂中应根据课堂教学的实际需要，有选择地运用恰当的教学方法与手段，努力让我们的课堂变得生动、有趣，充分调动起学生的学习积极性，提高学生学习英语的兴趣，改变英语最难的局面，全面提高我们的英语教学质量。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准[M].北京师范大学出版社,2001.
[2]魏春杰,在小学数学教学中如何贯彻素质教育[J].现代阅读,2011,12.
致谢
行文至此，我的这篇论文已接近尾声；岁月如梭，我三年的大学时光也即将敲响结束的钟声。离别在即，站在人生的又一个转折点上，心中难免思绪万千，一种感恩之情油然而生。生我者父母。感谢生我养我，含辛茹苦的父母。是你们，为我的学习创造了条件；是你们，一如既往的站在我的身后默默的支持着我。没有你们就不会有我的今天。谢谢你们，我的父亲母亲！
在这三年中，老师的谆谆教导、同学的互帮互助使我在专业技术和为人处事方面都得到了很大的提高。感谢湖南民院在我三年的大学生活当中对我的教育与培养，感谢湖南民院信息学院的所有专业老师，没有你们的辛勤劳动，就没有我们今日的满载而归，感谢大学年曾经帮助过我的所有同学。在制作毕业设计过程中我曾经向老师们和同学们请教过不少的问题，老师们的热情解答和同学们的热心帮助才使我的毕业设计能较为顺利的完成。在此我向你们表示最衷心的感谢。
毕业论文成绩评审表
注: (1)论文指导老师根据学生的写作态度和论文质量写出评语，答辩组根据论文质量和答辩情况写出答辩评语，并按照《湖南民族职业学院初等教育系2014届高职毕业生毕业论文工作方案》中成绩评定标准，分别给出具体分数。
(2)论文最终成绩＝指导教师评分×50％＋答辩小组评分×50％
(3)毕业论文成绩等级由毕业论文的最终成绩按以下标准折合而成：优秀（90－100分）；良好（75—89）；及格（60－74分）；不及格：（60分以下）。