算术平方根的非负性
算术平方根的非负性
“由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的算
术平方根是非负数，即当a≥0≥0”具有两个非负性：
(1)被开方数是非负数；
(2)算术平方根是非负数．
算术平方根的非负性在解题中的应用极其广泛．下面略举几例说明之．
解根据被开方数非负，有
x+1≥0且y-1≥0，
∴x≥－1且y≥1。即当x≥－1且y≥1
解3x
=-成立，由算术根的非负数知3－x≥0，得到x≤0。
解∵
1
y
2
<，由算术根的非负性有x－1≥0且1－x≥0，
=|2y-1|-|y-1|
=(1-2y)-(1-y)=-y．例4化简
解
由被开方数非负，得x-1≥0，∴x≥1．再考虑使第二项绝对值为0的x值，
当1≤x≤2时，
当x＞2时，
∴x-3=0，y+6=0，
∴x=3，y=-6．
这里应用了“有限个非负数之和等于零，则每一个非负数均为零”的性质，这一性质在解题中经常用到．
例6下列六个方程中只有一个方程有实数根，则这个方程是()
解由算术平方根的非负性知，方程(A)和(B)都无实数根，应排除．
在(C)中，必有x+3=0且x-1=0，这是不可能同时成立的，应排除．
在(D)中，由3x-2≥0和1-2x≥0知两个不等式的解集无公共部分，也排除．在(E)中，x-1≥0，x-2≥0，2-4x≥0，也无公共部分．
故应选(F)．
(完整版)平方根和算术平方根教案
平方根与算术平方根概念辨析 教学目标：通过此教学片段使学生掌握平方根与算术平方根的区别与联系。 教学重点：详尽辨析平方根与算术平方根的区别与联系。 教学难点：准确区分平方根与算术平方根的区别。 教学过程： 平方根与算术平方根是初中数学中的两个重要概念，因为它们定义相近，联系紧密，所以初学的同学很容易混淆。为帮助同学们正确理解和区分这两个概念，现将它们的区别与联系总结如下： 一、区别： 1.定义不同。 平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即 ，那么这个数x 叫做a 的平方根。例如， ，2是4的平方根，，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。例如， ，正数2是4的算术平方根。虽然，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根。 2.表示方法不同。 平方根：一个非负数a 的平方根记做。例如，5的平方根记做。 算术平方根：一个非负数a 的算术平方根记作。例如，5的算术平方根记作 。 3.个数不同。 平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。例如，16的平方根有两个，一个是4，另一个是－4。 算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且这个数是正数。例如，16的算术平方根只有一个，是4。 二、联系 1.二者之间存在着从属关系。 一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个。 例如，9的两个平方根是 ，其中3是9的算术平方根。 2.二者被开方数的取值范围相同。 3
只有非负数才有平方根，负数没有平方根。 只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。 一个数没有平方根，它一定也没有算术平方根。 课堂小结： 区别平方根算术平方根 定义不同如果一个数的平方等于a，这 个数就叫做a的平方根 非负数a的非负平方根叫a 的算术平方根 个数不同正数有两个平方根正数的算术平方根只有一个表示方法不同 联系： (1)具有包含关系。 (2)存在条件相同：被开方数为非负数。 (3)0的平方根和算术平方根都是0。 练习： 1.判断下列说法是否正确 （1）6是36的算术平方根。 （2）7是49的一个平方根。 （3）2)4 ( 的平方根是-4。 （4）0的平方根与算术平方根都是0。 2. 求下列各数的算术平方根。 （1）225．（2）（3）0.49 （4） 教学反思：
算术平方根、平方根知识点
学科教师辅导讲义
知识点2：估算 估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结 确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值围是（ ） A.10< 2.平方根与算术平方根的区别与联系 例2.求下列各数的平方根和算术平方根： （1）0.0009 （2）8125 （3）25-）（ 知识点4：平方根的性质 平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ± ，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根. 注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ） A.2 B.-1 C.1 D.0 随堂巩固 一、选择题. 1. 4的算术平方根是（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.16 2.下列说确的是（ ） A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是()2 6-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A.2与3 之间 B.3与4 之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.81的平方根是（ ） A.3± B.3 C.9± D.9 6.下列语句正确的是（ ） A.-2是-4的平方根 B.2是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ） A.-8 B.8± C.2± D.8±或2± 二、填空题 1.化简：（1）4 12= ； （2） = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。 4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ，则这个数是 5.已知m,n 为两个连续的整数，且n m <<11，则n m += . 3004.0 绝对值与平方的非负性专题练习 一、选择题 1、有理数的绝对值一定是（）． A. 正数 B. 整数 C. 自然数 D. 正数或零 2、下列代数式中，值一定是正数的是（）． A. x2 B. |-x+1| C. （-x）2+2 D. -x2+1 3、设a是有理数，则下列各式的值一定为正数的是（）． A. a2 B. |a| C. a+1 D. a2+1 4、若（a-2）2+|b+3|=0，则（a+b）2014的值是（）． A. 0 B. 1 C. -1 D. 2014 5、若|a-2013|+（b+1）2012=0，则b4的值为（）． A. -1 B. 1 C. -2013 D. 2013 6、若|m+3|+（n-2）2=0，则m n的值为（）． A. 6 B. -6 C. 9 D. -9 7、a为任何有理数，则下列代数式中，正确的有（）． ①-a＜a；②a2≥0；③a≤a2；④a＞1 a ；⑤|a|≥a． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、当式子（2x-1）2+2取最小值时，x等于（）． A. 2 B. -2 C. 0.5 D. -0.5 二、填空题 9、整式（2x-4）2-1的最小值是______． 10、若|m|=-|n-7|，则m+n=______． 11、已知（a-3）2与|b-1|互为相反数，则式子a2+b2的值为______． 12、已知z-|y+2|的最大值为8，y+z=______． 13、-（a-b）2的最大值是______；当其取最大值时，a与b的关系是______． 14、代数式15-|x+y|的最大值是______，当此代数式取最大值时，x与y的关系是______． 15、已知|a+2|+（b-3）2=0，则a-b=______． 16、已知5|3a+4|+|4b+3|=-|c+1|，a-b+c的值为______． 17、如果m、n为整数，且|m-2|+|m-n|=1，那么m+n的值为______． 算术平方根与平方根专项练习 一、填空 1、如果一个__________平方等于a ，即2 x a =，那么________叫做a 的算术平方根。 注：① 数a 的算术平方根记作________，其中a _____0；② 0的算术平方根为________； ③ 只有当a _____0时，数a 才有算术平方根。 2、如果一个__________平方等于a ，即2x a =，那么______叫做a 的平方根(二次方根)。 注：① 一个正数a 有_________个平方根，且它们互为________，记为________； ② 0有一个平方根，就是_________；③负数没有平方根。 3、49的平方根是＿＿＿＿；算术平方根是_____________。 4、36 有 个平方根，它们是 ；它们的和是 ；它们互为 ； 5、0.04的算术平方根是_________,开平方等于±5的数是_______. 6、81的平方根是 ；2(5)-的平方根是___________。 7、算术平方根等于它本身的数_________；平方根等于它本身的数是___________。 8、若5x+4的平方根为1±，则x= ；若m —4没有平方根，则|m —4|= 9、已知12-a 的平方根是4±，3a+b-1的平方根是4±，则a+2b 的平方根是 。 10、若实数x ，y 满足2-x +2)3(y -=0，则代数式2x xy -的值为 。 11、在小于或等于100的非负整数中，其平方根是整数的共有 个。 12、已知2x +与3y -互为相反数，则xy=________。 13、因为没有什么数的平方会等于 ，所以 数没有平方根，因此被开方数一定是 或者 。 14、当m 时，m -3有意义. 二、选择题 16、9的算术平方根是（ ） 15、(-3)2的平方根是( ) A.3 B.-3 C.±3 D.±9 A ．-3 B ．3 C ．±3 D ．81 17、下列个数没有平方根的是（ ） A ．-（-2） B. 3)3(- C.2)1(- D. 11.1 算术平方根的双重非负性 一般地，如果一个正数x 的平方根等于 a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。0的算术平方根是0。其中算术平方根有一个非常重要的性质，就是它的双重非负性，即①被开方数0≥a ；②0≥a 。这一性质在解题中有着极其广泛应用，以下举例说明。 一、利用非负性①被开方数0≥a 例1 x 为何值时，下列各式有意义。 ⑴x -； ⑵x x +-1； ⑶ 14+x ； ⑷12+x ； ⑸11 2--x 解：⑴当0≥-x ，即0≤x ，x -有意义； ⑵当01≥-x 且0≥x ，即10≤≤x 时，x x +-1有意义； ⑶当01>+x ，即1->x 时，14 +x 有意义 ； ⑷当012≥+x ，即x 取任意实数时，12+x 有意义； ⑸当012>--x ，即(),012>+-x 012<+x 时，11 2--x 有意义，但 无论x 取任何数，12+x 都不会是负数，故原式无意义。 评注：对于⑶、⑸这样的式子，除了应用被开方数0≥a 的性质外，还要注意分母不能为0。 例2 若x 、y 满足42112=+-+-y x x ，则xy 的值为 。 解：由被开方数0≥a 得， 021,012≥-≥-x x 2 1,21≤≥ x x 所以2 1=x 把2 1=x 代入等式得4=y 故2421=?=xy ，应填2。 评注：这里应用了被开方数0≥a ，而x x 2112--与是相反数，互为相反数的只有0，所以012=-x 。可以解出x 、y 值。 例3 比较x -5与()3 6-x 的大小。 解：由被开方数0≥a 得 5,05≤≥-x x 因此，06<-x ，()063 <-x 所以x -5>()3 6-x 评注：本题看起来无从下手，其实隐含着被开方数0≥a 这一条件，应用这一条件可以求出x 的取值范围，然后依据x 的取值范围计算比较大小。 二、利用非负性②0≥a 例4 21++a 的最小值是 ，此时a 的取值是 。 解：因为01≥+a 所以221≥++a 当a+1=0，即a=-1时取等号。 故应填2、-1。 评注：本题利用非负性②0≥a ，因为是求最小值，所以当0=a 是有最小值。 例5 若92+-y x 与105+x 互为相反数，求x 、y 的值。 解：因为92+-y x 与105+x 互为相反数 所以010592=+++-x y x 又因为092≥+-y x ；0105≥+x 即? ??=+=+-0105092x y x 解得?? ???=-=272y x 【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即： 如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． （6）a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2 个正数x 叫做a 的算术平方根．a “根号a”，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x = 。 （2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数； 当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如错误!未找到引用源。=5，错误!未找到引用源。=50。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x = a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x （6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a 算术平方根的双重非负性 算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即a x= 2，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0 0=. 算术平方根定义中的两层含义： a中的a是一个非负数，即0 a≥，a的算术平方根a也是一个非负数， ≥．这就是算术平方根的双重非负性． 例题：已知x，y为有理数，且x－1＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即 ≥，a2≥0， 由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y的值，进而求得答案． ()2 0,20 y ≥-≥，且x－1＋3(y－2)2＝0 ∴x-1=0，y-2=0. ∴x=1,y=2 ∴x－y＝1－2＝－1. 方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即 ≥，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.巩固练习： 1.若|x－2|+3 - y=0,则xy=______. 2.已知()0 2 3 2 2 12 = + + + + -z y x，求x+y+z的值. 3. △ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b 满足04412=+-+-b b a ，求c 的取值范 围． 参考答案： 1. xy =6 2. 解：因为21-x ≥0，()22+y ≥0，2 3+z ≥0，且()0232212=++++-z y x ， 所以21- x =0，()22+y =0，23+z =0， 解得21=x ，2-=y ，2 3-=z ， 所以x +y +z = 3-． 3. 解：由04412=+-+-b b a ，可得0)2(12=-+-b a ， 因为 1-a ≥0，2)2(-b ≥0， 所以1-a =0，2)2(-b =0， 所以a = 1，b = 2， 由三角形三边关系定理有：b- a < c < b +a ，即1 < c < 3． 文章算术平方根的双重 非负性 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 算术平方根的双重非负性 一般地，如果一个正数x 的平方根等于 a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。0的算术平方根是0。其中算术平方根有一个非常重要的性质，就是它的双重非负性，即①被开方数0≥a ；②0≥a 。这一性质在解题中有着极其广泛应用，以下举例说明。 一、利用非负性①被开方数0≥a 例1x 为何值时，下列各式有意义。 ⑴x -；⑵x x +-1；⑶ 14+x ； ⑷12+x ；⑸11 2--x 解：⑴当0≥-x ，即0≤x ，x -有意义； ⑵当01≥-x 且0≥x ，即10≤≤x 时，x x +-1有意义； ⑶当01>+x ，即1->x 时，14 +x 有意义； ⑷当012≥+x ，即x 取任意实数时，12+x 有意义； ⑸当012>--x ，即(),012>+-x 012<+x 时，11 2--x 有意义，但 无论x 取任何数，12+x 都不会是负数，故原式无意义。 评注：对于⑶、⑸这样的式子，除了应用被开方数0≥a 的性质外，还要注意分母不能为0。 例2若x 、y 满足42112=+-+-y x x ，则xy 的值为。 解：由被开方数0≥a 得， 所以21= x 把21= x 代入等式得4=y 故242 1=?=xy ，应填2。 评注：这里应用了被开方数0≥a ，而x x 2112--与是相反数，互为相反数的只有0，所以012=-x 。可以解出x 、y 值。 例3比较x -5与()3 6-x 的大小。 解：由被开方数0≥a 得 因此，06<-x ，()063 <-x 所以x -5>()3 6-x 评注：本题看起来无从下手，其实隐含着被开方数0≥a 这一条件，应用这一条件可以求出x 的取值范围，然后依据x 的取值范围计算比较大小。 二、利用非负性②0≥a 例421++a 的最小值是，此时a 的取值是。 解：因为01≥+a 所以221≥++a 当a+1=0，即a=-1时取等号。 故应填2、-1。 评注：本题利用非负性②0≥a ，因为是求最小值，所以当0=a 是有最小值。 例5若92+-y x 与105+x 互为相反数，求x 、y 的值。 解：因为92+-y x 与105+x 互为相反数 所以010592=+++-x y x 巧用算术平方根的非负性求值 数学中的求值题类型颇多，下面例谈巧用算术平方根的非负性求值。 例1 已知：（1－2a ）2+2-b =0，求（ab ）b 的值。 分析：清楚完全平方数和算术平方根的非负性是解这类题的关键。 解：∵（1－2a ）2≥0，2-b ≥0且（1－2a ）2+2-b =0 ∴1－2a =0，b －2=0 ∴a =21，b =2 ∴（ab ）b =（21 ×2）2=1 点评：若干个非负数的和为零，则它们分别为零 例2 已知3+-b a 与5-+b a 互为相反数，求a 2+b 2的值。 分析：利用绝对值的非负性和算术平方根的非负性解题 解：∵3+-b a 与5-+b a 互为相反数 ∴3+-b a +5-+b a =0 又3+-b a ≥0，5-+b a ≥0 ∴a －b +3=0且a +b －5=0，解方程即可求得：a =1，b =4 ∴a 2+b 2=12+42=17 点评：如果两个非负数互为相反数，则这两个非负数分别为零 例3 若m ＜0，n ＜0，求2)1(m -+（n -）2的值 分析：运用公式2a =a 解题 解：∵m ＜0 ∴2)1(m -=－m ； ∵n ＜0，∴（n -）2=－n ∴2)1(m -+（n -）2=－m +（－n ）=－m －n 点评：2a =a 中，注意a 的取值范围。 例4 △ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 满足1-a +b 2－4b +4=0，求c 的取值范围。 分析：要清楚完全平方数和算术平方根的非负性及三角形的性质。 解：由1-a +b 2－4b +4=0，可得1-a +（b －2）2=0 ∵1-a ≥0，（b －2）2≥0 ∴1-a =0，（b －2）2=0 ∴a =1，b =2 由三角形三边关系定理有：b －a ＜c ＜b +a 即1＜c ＜3 点评：此处除用到算术平方根和完全平方数的非负性外，还利用了三角形边的关系。 例5：已知实数，满足等式132--y x +（x －2y +2）4 =0，求2x －53y 的平方根。 分析：利用算术平方根的非负性及完全平方数的非负性解题。 解：∵132--y x ≥0，（x －2y +2）4≥0且132--y x +（x －2y +2）4=0 ∴2x －3y －1=0，x －2y +2=0 解上二方程组成的方程组，得? ??==58y x ∴2x －53y =2×8－53 ×5=13 ∴2x －53y 的平方根为±13 点评：已知等式中含有偶次根式要考滤被开方数大于等于零；含有偶次方幂 要考滤偶次方幂大于等于零。 实数 一、 算方术平根 1. 算术平方根的概念： 4 的算术根平根________________ 0.49的算方术平根________________ 16 25的算术平方根_________________ 144的算术平方根是_________________ 2. 计算：121 09.0 1691 ()23- 3、（-2）2的算术平方根是_____________;(-0.05)2 的算术平方根是_________________ 4、下列说法正确的是（ ） A.1是1的算术平方根 B.-1是-1的算术平方根 C.(-3)2 的算术平方根是-3 D.一个数的的算术平方根等于它本身，这个数是0。 5. 估计16+的值在_________________ A. 39±= B. 33-=- C.39= D -32=9 6. 若x -4是在64的算术平方根，则x -4的算术平方根是______________ 7. 已知043=-++b a ，求22b a +的值。 8.若023=++-b a ，则a+b 的值____ 9.233+-+ -=x x y ,求x y 的值 10. 二．平方根。 平方根的概念：1.一般地，如果一个数的平方根等于a ，那么这个数叫做a 的______________- 2. 求一个数a 的平方根的运算，叫做________________________ 3. 正数有____________个平方根，它们互为_______________;0的平方根是_______________;负数_____________平方根。 4. 下面说法错误的是（ ） A.6是36的平方根 B.-6是36的平方根 C.36的平方根是6± D.36的平方根是6. 5. 若正方形的边长为a ，面积为s ，则（ ） A S 的平方根是a .B. a 是s 算术平方根 C. a=s ± D.s=a 7. m 是4的平方根，n 是4的算术平方根，则m,n 的关系是（ ） A. m=n ± B.m=n C.m=-n D.n m ≠ 8.下列式子中错误的是（ ). A. 24±=± B.11±= C.39-=- D.23412= 9.计算： （1）()2233-÷ （2）()()82-?- （3）()()164-?-- 10.求下列各式中的x 的值： （1）x 2=25 (2)9x 2=16 (3)3x 2-12=0 (4) (x+1)2=144 (5)4(x -2)2-25=0 (6)2(x 2-8)=0 (7) 94512=+x (8)174 1152122+=-x x (9)8(x -3)2=5x -3)2+27 11. 已知x,y 为实数，且()0232=++-y x ，求y x 的值 巧用算术平方根的非负性求值 数学中的求值题类型颇多，下面例谈巧用算术平方根的非负性求值。 例1 已知：（1-2a ）2+2-b =0，求（ab ）b 的值。 分析：清楚完全平方数和算术平方根的非负性是解这类题的关键。 解：∵（1-2a ）2≥0，2-b ≥0且（1-2a ）2+2-b =0 ∴1-2a=0，b-2=0 ∴a=21 ，b=2 ∴（ab ）b =（21 ×2）2=1 点评：若干个非负数的和为零，则它们分别为零 例2 已知3+-b a 与5-+b a 互为相反数，求a 2+b 2的值。 分析：利用绝对值的非负性和算术平方根的非负性解题 解：∵3+-b a 与5-+b a 互为相反数 ∴3+-b a +5-+b a =0 又3+-b a ≥0，5-+b a ≥0 ∴a-b+3=0且a+b-5=0，解方程即可求得：a=1，b=4 ∴a 2+b 2=12+42=17 点评：如果两个非负数互为相反数，则这两个非负数分别为零 例3 若m ＜0，n ＜0，求2)1(m -+（n -）2的值 分析：运用公式2a =a 解题 解：∵m ＜0 ∴2)1(m -=-m ； ∵n ＜0，∴（n -）2=-n ∴2)1(m -+（n -）2=-m+（-n ）=-m-n 点评：2a =a 中，注意a 的取值范围。 例4 △ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 满足1-a +b 2-4b+4=0，求 c 的取值范围。 分析：要清楚完全平方数和算术平方根的非负性及三角形的性质。 解：由1-a +b 2-4b+4=0，可得1-a +（b-2）2=0 ∵1-a ≥0，（b-2）2≥0 ∴1-a =0，（b-2）2=0 ∴a=1，b=2 由三角形三边关系定理有：b-a ＜c ＜b+a 即1＜c ＜3 点评：此处除用到算术平方根和完全平方数的非负性外，还利用了三角形边的关系。 例5 已知实数，满足等式132--y x +（x-2y+2）4 =0，求2x-53y 的平方根。 分析：利用算术平方根的非负性及完全平方数的非负性解题。 解：∵132--y x ≥0，（x-2y+2）4≥0且132--y x +（x-2y+2）4=0 ∴2x-3y-1=0，x-2y+2=0 解上二方程组成的方程组，得? ??==58y x ∴2x-53y=2×8-53×5=13 ∴2x-53y 的平方根为±13 点评：已知等式中含有偶次根式要考滤被开方数大于等于零；含有偶次方幂 要考滤偶次方幂大于等于零。 ` 绝对值与平方的非负性专题练习 一、选择题 1、有理数的绝对值一定是（）． A. 正数 B. 整数 C. 自然数 D. 正数或零 2、下列代数式中，值一定是正数的是（）． A. x2 B. |-x+1| C. （-x）2+2 D. -x2+1 3、设a是有理数，则下列各式的值一定为正数的是（）． A. a2 B. |a| C. a+1 D. a2+1 ( 4、若（a-2）2+|b+3|=0，则（a+b）2014的值是（）． A. 0 B. 1 C. -1 D. 2014 5、若|a-2013|+（b+1）2012=0，则b4的值为（）． A. -1 B. 1 C. -2013 D. 2013 6、若|m+3|+（n-2）2=0，则m n的值为（）． A. 6 B. -6 C. 9 D. -9 7、a为任何有理数，则下列代数式中，正确的有（）． ①-a＜a；②a2≥0；③a≤a2；④a＞1 a ；⑤|a|≥a． ? A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、当式子（2x-1）2+2取最小值时，x等于（）． A. 2 B. -2 C. D. 二、填空题 9、整式（2x-4）2-1的最小值是______． 10、若|m|=-|n-7|，则m+n=______． 11、已知（a-3）2与|b-1|互为相反数，则式子a2+b2的值为______． 12、已知z-|y+2|的最大值为8，y+z=______． { 13、-（a-b）2的最大值是______；当其取最大值时，a与b的关系是______． 14、代数式15-|x+y|的最大值是______，当此代数式取最大值时，x与y的关系是 ______． 15、已知|a+2|+（b-3）2=0，则a-b=______． 16、已知5|3a+4|+|4b+3|=-|c+1|，a-b+c的值为______． 17、如果m、n为整数，且|m-2|+|m-n|=1，那么m+n的值为______． 18、用字母a表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它为正数或0，∴|a|的最小值为0，而-|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，∴-|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题： （1）|a|+1有最______值______． （2）5-|a|有最______值______． < （3）当a的值为______时，-3|a-1|+2有最______值______． 三、解答题 19、若（a+6）2+|11 2 b -|+（a+2c）2=0，求（a+b+c）2017的值． 20、对于任意有理数a． ? （1）求|-1-a|+5的最小值．（2）求4-|a+1|的最大值． 21、若2|a+1|+|b|+3（c-2）2=b，求 ac a c - 的值． { 例1、 求下列各数的算术平方根与平方根 （1）()2 5- （2）100 （3）0 例2、 计算 （1）81 （2）4 1 （3）-169 （4） ()2 64 （5）2 4925??? ? ?? （6）()2 2.7 （7） ()2 2- （8）254436 9 ++ （9）416925 -? 例3求x 的值 （1）、()x -=292 （2）、()3010752 x -=.. （3） (x -1)2－121=0； （4） 81(3x －2)2=625； 例5 已知536.136.2=，858.46.23= ① 求236和00236.0的值； ② 若x =0．4858，求x 的值； 例6、求下列各数的立方根 （1）512 （2）8 3 3- （3）0 例7、求下列各式的值： ①38- ②33 3 8 ③30.064- ④ 3343256-+ ⑤ 43419181 98 ??-?-? ? ?? ? ⑥32222912510+++ ⑦23148()2 +-+- 例7.⑴ 填表： a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 3 a ⑵ 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律。 ⑶ 根据你发现的规律填空： ① 已知442.133=，则=33000 ，=3003.0 ② 已知07696.0000456.03=，则=3456 ； ③已知0157053953.. = 15711623..= 15725043..= 0000015715703 3.和的值。 例8求x 的值 (1)(x+3)3+27＝0； (2)(x-0.5)3+10-3＝0. (3) (x-1)3＝8 (4)(0.1+x)3＝-27000； 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根. 算术平方根的非负性说题稿 在本学期《实数》这一章进行测验时有这样一道题，“若011-2=++y x ，求20102009y x +的值。”同学们错的比较多。以下是我对这道题的说题过程。 一、此题的解法 若011-2=++y x ，求20102009y x +的值。 分析：因为01-2≥x ，01≥+y ，而011-2=++y x ，所以01-2=x ，01=+y ，从而可求出y x 、的值，进而求出结果。 解答：由011-2=++y x ，得01-2=x ，01=+y ，即1±=x ， 1-=y 。 ①当1-,1==y x 时， .2)1-(12010200920102009=+=+y x ②当1-1-==y x ，时，.01-)1-(2010200920102009=+=+）（y x 二、学生产生错误的原因 面对这道题，很多学生都不知道怎么下手，有答题时有的乱写一通，有的干脆就空在那里。经过分析，我认为出现这样的情况是因为，学生没有弄清，正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根的含义。没有理解一个数的平方总是非负数，负数没有平方根的概念。 三、试题的变式 1、已知06-34-52=+y x ，求y x 、的值。 分析：因为06-04-2≥≥y x ，，而06-34-52=+y x ，所以04-2=x ， 06-=y ，从而可求出y x 、的值。 解：由06-34-52 =+y x ， 得04-2=x ，06-=y ， 所以6,2=±=y x 。 2、已知23-222-34++=a a b ，求b a 11+的算术平方根。 分析：此题中含有算术平方根，因此被开方数必须大于或等于0，从而可求出a 的值，再求出 b 的值，即可求出结果。 解：根据题意，得.03-2,02-3≥≥ a a 则32=a ，所以2= b ， 所以2212311=+=+b a ，所以b a 11+的算术平方根为 211=+b a 。 四、试题的教学功能 1、算术平方根和绝对值一样，都是非负数，当几个非负数的和等于0时，其中每一个非负数都为0. 2、因为负数没有算术平方根，所以a 中的被开方数a 要大于或等于0，当a <0时，a 没有意义。 1.填空题 (1)121 4的平方根是_________；(2)(－41)2的算术平方根是_________； (3)一个正数的平方根是2a －1与－a +2，则a =_________，这个正数是_________； (4)25的算术平方根是_________；(5)9－2的算术平方根是_________； (6)4的值等于_________，4的平方根为_________； (7)(－4)2的平方根是_________，算术平方根是_________. 2.选择题 (1)2)2(-的化简结果是 A.2 B.－2 C.2或－2 D.4 (2)9的算术平方根是 A.±3 B.3 C.±3 D. 3 (3)(－11)2的平方根是 A.121 B.11 C.±11 D.没有平方根 (4)下列式子中，正确的是 A.55-=- B.－6.3=－0.6 C.2)13(-=13 D.36=±6 (5)7－2的算术平方根是 A.71 B.7 C.41 D.4 (6)16的平方根是 A.±4 B.24 C.±2 D.±2 (7)一个数的算术平方根为a ，比这个数大2的数是 A.a +2 B.a －2 C.a +2 D.a 2+2 (8)下列说法正确的是 A.－2是－4的平方根 B.2是(－2)2的算术平方根 C.(－2)2的平方根是2 D.8的平方根是4 (9)16的平方根是 A.4 B.－4 C.±4 D.±2 (10)169+的值是 A.7 B.－1 C.1 D.－7 三、解答题 11.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数. 12.已知:2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值. 13.已知a<0,b<0,求4a2+12ab+9b2的算术平方根. 14.要切一块面积为36 m2的正方形铁板，它的边长应是多少？ 平方根和开平方（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 如果2x a =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义 正数a 的两个平方根可以用“ 表示a的正平方根（又叫算术平 方根），读作“根号a” ；a的负平方根，读作“负根号a”. 要点诠释： a 0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 ||00 a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者 向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、下列说法错误的是（ ） A.5是25的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根 C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C ； 【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项． A.因为25＝5，所以本说法正确； B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确； C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误； D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确； 【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三： 【变式】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）9-没有平方根．（ ） （2）164=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110 ±．（ ） （4）25-- 是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（2）164=；（4）25是425 的算术平方根． 2、 填空： （1）4-是 的负平方根． （2116表示 的算术平方根，116 = ． （3181的算术平方根为 ． 平方根和开平方（提高） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 如果2x a =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义 正数a 的两个平方根可以用“ 表示a的正平方根（又叫算术平 方根），读作“根号a” ；a的负平方根，读作“负根号a”. 要点诠释： a 0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 ||00 a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = 0.25 =. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、（2016?饶平县期末）已知x-1的平方根为±2，3x+y-1的平方根为±4，求，3x+5y 的算术平方根． 【思路点拨】根据平方根的平方等于被开方数即可求解． 【答案与解析】 解：由x-1的平方根为±2，得x-1=4，x=5 由3x+y-1的平方根为±4，得3x+y-1=16， ∵x=5 ∴3×5+y-1=16， 解得y ＝2， ∴3x+5y=25 25的算是平方根为5. 【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的那个叫做这个数的算术平方根． 举一反三： 【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值. 【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22 212111a -=?-= ②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以()()22221[2(1)1]39a -=?--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？ ． 【答案与解析】 解：(1)因为20x ≥，所以当x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥ (3)由题意可知：1010x x +≥??-≥? 解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤义． (4)由题意可知：1030 x x -≥??-≠?，解得1x ≥且3x ≠． 所以当1x ≥且3x ≠有意义． 【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 七年级数学《平方根》典型例题及练习 【知识要点】 1、平方根:一般地,如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根式)， 2、算术平方根： ３、平方根的性质: (1)一个正数有 个平方根，它们 ； (2）0 平方根,它是 ; (3) 没有平方根． 4、重要公式: (1)=2)(a （２){==a a 2 ５、平方表： 【典型例题】 例1、判断下列说法正确的个数为( ） ① -５是-2５的算术平方根; ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0; ④ 0．01是0．1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根. Ａ．0 个 Ｂ．1个 C ．2个 D ．３个 例2、36的平方根是（ ) Ａ、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中,哪些有意义? (1)5 （2）2- (３)4- （4）2)3(- (5)310- 例4、一个自然数的算术平方根是ａ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A.()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a 例5、求下列各式中的x ： （１)0252=-x （2）4(ｘ+1)2-169=0 【巩固练习】 一、选择题 1. ９的算术平方根是（ ) A.-3 B ．3 C.±3 D.81 2．下列计算正确的是（ ) A ±2 B 9 Ｃ.636=± D.992-=- ３.下列说法中正确的是( ) A.9的平方根是3 B 2 Ｃ． 4 Ｄ 2 4. ６4的平方根是( ) Ａ.±８ B.±4 C.±2 D 5. 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 Ｄ．14 6．下列结论正确的是（ ） A 6)6(2-=-- Ｂ9)3(2=- Ｃ16)16(2±=- Ｄ251625162=???? ??-- ７.以下语句及写成式子正确的是（ ） Ａ、7是49的算术平方根，即749±= Ｂ、７是2)7(-的平方根,即7)7(2=- C 、7±是49的平方根，即749=± D 、7±是49的平方根,即749±= 8．下列语句中正确的是( ） Ａ、9-的平方根是3- B 、9的平方根是3 C 、 9的算术平方根是3± D 、9的算术平方根是3 9．下列说法:（1）3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±;（3)3是9的平方根；(４)9的平方根是３，其中正确的 有( ) Ａ．3个 B.2个?C ．１个 D ．4个 10.下列语句中正确的是（ ) Ａ、任意算术平方根是正数 B 、只有正数才有算术平方根 C 、∵３的平方是９,∴9的平方根是３ Ｄ、1-是1的平方根 11.下列说法正确的是（ ） A ．任何数的平方根都有两个 B ．只有正数才有平方根 C.一个正数的平方根的平方仍是这个数? D ．2a 的平方根是a ± 12.下列叙述中正确的是（ ） A.（-11)2的算术平方根是±11 Ｂ．大于零而小于1的数的算术平方根比原数大 C.大于零而小于１的数的平方根比原数大 D ．任何一个非负数的平方根都是非负数 １３.25的平方根是（ ） A 、5 B 、5- C 、5± Ｄ、5± 1４.36的平方根是（ ) A 、６ Ｂ、6± C 、 6 Ｄ、 6± 15．当≥m 0时，m 表示（ ） A.m 的平方根? B.一个有理数 ?Ｃ.m 的算术平方根 D.一个正数 １６．用数学式子表示“169的平方根是43±”应是( ) A ．43169±= B.43169±=± C.43169= D.43169-=-绝对值和平方的非负性专题练习(学生版)
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