自动控制原理 ch 2-5_2 信号流图、梅森公式

梅逊公式

2.4 控制系统的方块图、信号流图与梅逊公式控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。 2.4.1 方块图元素（1）方块（Block Diagram ）:表示输入到输出单向传输间的函数关系。 C(s) 图2-14 方块图中的方块信号线方块r(t)c(t) 信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。（2）比较点（合成点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 “+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。 2 ) 2+Υ3 图2-15比较点示意图注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。 (3)分支点（引出点、测量点）Branch Point 表示信号测量或引出的位置

图2-16 分支点示意图注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。 2.4.2 几个基本概念及术语 R(s) N(s) 打开反馈图2-17 反馈控制系统方块图 (1) 前向通路传递函数假设N(s)=0 打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。在图中等价于C(s)与误差E(s)之比。 )()()() () (21s G s G s G s E s C == (2) 反馈回路传递函数 Feedforward Transfer Function 假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。 )() () (s H s C s B = (3) 开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。

信号流图与梅森公式

2.5 信号流图与梅森公式 2.5.1 信号流图信号流图是表示复杂的又一种图示方法.信号流图相对于结构图更简便明了,而且不必对图形进行简化,只要根据统一的公式,就能方便地求出系统的传递函数. 1. 信号流图的组成及基本性质信号流图由节点和支路组成.一个节点代表系统中的一个变量,用小圆圈”Ο”表示;连接两个节点之间有箭头的定向线段为支路.支路相当于信号乘法器,乘法因子(或支路增益)表在支路上;信号只能沿箭头单方向传递,经支路传递的信号应乘以乘法因子;只有输出支路,无输入支路的节点称为输入节点,代表系统的输入变量;只有输入支路,无输出支路的节点称为输出节点,代表系统的输出变量;既有输入支路,也有输出支路的节点称为混合节点.信号流图的特征描述还需要以下专用术语: 前向通路信号从输入节点到输出节点传递时,对任何节点只通过一次的通路称为前向通路.而前向通路上各支路增益之积,为前向通路总增益. 回路如果信号传递通路的起点和终点在同一节点上,且通过任何一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路.回路中各支炉增益的乘积称为回路增益. 不接触回路两个或两个以上回路之间没有任何公共节点,此种回路称为不接触回路. 由图2-31的信号流图可以说明以上的基本元素,即 74321X X X X X 是节点； j h d c b a ,,,,, 为支路增益； 4,1X X 为输入节点； 7X 为输入节点； 6532X X X X 为混合节点。信号流图共有三条前向通道，第一条是7 65321X X X X X X → → → → →；第二条是 76531X X X X X → → → →；第三条是765324X X X X X X → → → → → 。有两个单独回路，一个是565X X X →→，起点和终点是5X ；另一个起点、终点在3X 的自回路。而且这两个回路无公共节点，是不接触回路。图2-31 信号流图注意：对于确定的控制系统，其信号流图不是唯一的。 2.5.2 信号流图的绘制信号流图可以根据系统方框图的绘制，也可以根据数学表达式绘制。 1．根据系统方框图绘制将方框图中比较点和引出点分别作为信号流图的节点，方框图中的方框变为信号流图中标有传递函数的线段，便得到支路。从系统方框图绘制信号流图是时应尽量精简节点数目。若在方框图的比较点之前没有引出

信号流图与梅逊公式

信号流图与梅逊公式控制系统的信号流图与结构图一样都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形。对于结构比较复杂的系统，结构图的变换和化简过程往往显得繁琐而费时。与结构图相比，信号流图符号简单，更便于绘制和应用，而且可以利用梅逊公式直接求出任意两个变量之间的传递函数。但是，信号流图只适用于线性系统，而结构图不仅适用于线性系统，还可用于非线性系统。一、信号流图的组成信号流图起源于梅逊利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式，它是由节点和支路组成的一种信号传递网络。图中节点表示系统中的变量或信号，以小圆圈表示；支路是连接两个节点的有向线段，支路上的箭头表示信号传递的方向，支路的增益（相当于动态结构图方框中的传递函数）标在支路上。支路相当于乘法器，信号流经支路后，被乘以支路增益而变为另一信号。支路增益为1时不标出。节点变量表示所有流向该节点的信号之和。 5 在信号流图中，常使用以下名词术语： 1、源节点（或输入节点）只有输出支路的节点称为源节点，如图中的 x。 1它一般表示系统的输入量。 2、阱节点（或输出节点）只有输入支路的节点称为阱节点，如图中的 x。 5

它一般表示系统的输出量。 3、混合节点既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点，如图中的 2x 、3x 、4x 。它一般表示系统的中间变量。 4、前向通路信号从输入节点到输出节点传递时，每一个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益，一般用k p 表示。在图中从源节点到阱节点共有两条前向通路，一条是 54321x x x x x →→→→，其前向通路总增益为abc p =1；另一条是5431x x x x →→→，其前向通路总增益为ec p =2。 5、回路起点和终点在同一节点，而且信号通过每一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路，简称回路。如果从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点的，称为自回路。回路中所有支路增益之乘积叫回路增益，用a L 表示。在图中共有一个回路，起始于节点2x ，经过节点3x 最后回到节点2x 的回路，其回路增益为bcd L -=1； 6不接触回路如果一信号流图有多个回路，而回路之间没有公共节点，这种回路叫不接触回路。二、信号流图的绘制信号流图可以根据系统的微分方程绘制，也可以根据动态结构图绘制。结构图中的信号用有向线段表示，它对应于信号流图中的节点。

梅森公式

3.梅森公式对于一个确定的信号流图或方框图，应用梅森公式可以直接求得输入变量到输出变量的系统传递函数。梅森公式可表示为（3.78）式中 ——系统总传递函数； ——第条前向通路的传递函数； ——流图的特征式式中 ——所有不同回路的传递函数之和； ——每两个互不接触回路传递函数乘积之和； ——每三个互不接触回路传递函数乘积之和； ——第条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式，将与第条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的即为。下面通过求图3.48f 所示二级电路网络信号流图的传递函数来说明梅森公式的用法。 ∑??=k k k P P 1P k P k ? +- +-=?∑∑∑f e f e d d c c b b a a L L L L L L ,,,1∑a a L c c b b L L ∑,f e f e d d L L L ∑,,k ?k ?k ?k ?RC

这个系统中，输入变量与输出变量之间只有一条前向通道，其传递函数为信号流图里有三个不同回路，它们的传递函数分别为回路不接触回路（回路接触回路，并且回路接触回路），因此，流图特征式为（3.79）从中将与通道接触的回路传递函数、和都代以零值，即可获得余因子。因此，得到所以 i ()U s o ()U s s C R s C R P 221111 111=s C R L 1111 1-=s C R L 2221 1-=s C R L 1231 1- =1L 2L 1L 3L 2L 3L 21321)(1L L L L L +++-?＝s C R s C R s C R s C R s C R 2211122211111111++++＝?1P 1L 2L 3L 1?11=?

系统的信号流图与梅森公式

二、三种运算器的信号流图表示三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。由该表中看出：在信号流图中，节点“o ”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。三、模拟图与信号流图的相互转换规则模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是： (1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。 (2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即 ()()()s F s F s Y 21+=。 (3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。

(4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。见例6-17)。 (5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。 (6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。 )s(F)s( () a )s(Y ()b 图6-30 (a) 模拟图；(b) 信号流图

系统信号流图和梅森公式

3.5 系统信号流图和梅森公式利用对称性几秒钟既可以记住！ 3.梅森公式对于一个确定的信号流图或方框图，应用梅森公式可以直接求得输入变量到输出变量的系统传递函数。梅森公式可表示为 ∑??=k k k P P 1 （3.78）式中 P ——系统总传递函数； k P ——第 k 条前向通路的传递函数； ?——流图的特征式 +- +-=?∑∑∑f e f e d d c c b b a a L L L L L L ,,,1 式中 ∑a a L ——所有不同回路的传递函数之和； c c b b L L ∑,——每两个互不接触回路传递函数乘积之和； f e f e d d L L L ∑,,——每三个互不接触回路传递函数乘积之和； k ?——第 k 条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式 ?，将与第 k 条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的 ?即为 k ?。下面通过求图3.48f 所示二级 RC 电路网络信号流图的传递函数来说明梅森公式的用法。

这个系统中，输入变量 i ()U s 与输出变量 o ()U s 之间只有一条前向通道，其传递函数为 s C R s C R P 221111 111= 信号流图里有三个不同回路，它们的传递函数分别为 s C R L 1111 1-= s C R L 2221 1-= s C R L 1231 1- = 回路 1L 不接触回路 2L （回路 1L 接触回路 3L ，并且回路 2L 接触回路 3L ），因此，流图特征式为 21321)(1L L L L L +++-?＝ s C R s C R s C R s C R s C R 2211122211111111++++＝（3.79）从 ?中将与通道 1P 接触的回路传递函数 1L 、 2L 和 3L 都代以零值，即可获得余因子 1?。因此，得到 11=? 所以 s C R s C R P P k k k 2211111111=?=?∑ （3.80）

系统的信号流图与梅森公式

6-5 系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即图6-29 二、三种运算器的信号流图表示三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。由该表中看出：在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。三、模拟图与信号流图的相互转换规则模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是： (1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。

(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即。 (3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。 (4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。见例6-17)。 (5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。 (6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。图6-30 (a) 模拟图；(b) 信号流图图6-31 (a) 模拟图；(b) 信号流图

梅逊公式

2-7 结构图等效变换及梅逊公式求传递函数时，需要对微分方程组（或变换方程组）进行消元，最后仅剩下输入、输出两个变量，因此中间变量的传递过程得不到反映。若采用结构图，它就能形象地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。另外，下面将会看到，利用结构图，也便于求取传递函数。所以，结构图在控制理论中应用十分广泛。一、结构图在第2-6节中，我们曾采用消元法求得图2-24所示RC 网络的传递函数。这里，我们采用结构图的方法求其传递函数。 RC 网络的微分方程组如下： ?? ? ??=+=?idt C u u Ri u c c r 1 对上两式进行拉氏变换，得 )()()(s U s RI s U c r += 或 [])()()(1 s I s U s U R c r =- （2-54） )(1 )(s I Cs s U r = （2-55）方程（2-54）可用图2-29)(a 表示，方程（2-55）可用图 2-29)(b 表示。将图2-29)(a )(b 按信号传递方向结合起来，网络的输入量置于图示的左端，输出量置于最右端，并将同一变量的信号连在一起，如图2-30)(a 所示，即得RC 网络结构图。对图2-30)(a 进行所谓“等效变换”就可得出网络传递函数，因此网络结构就更为简单,如图2-30)(b 所示。关于结构图等效变换的方法将另作介绍。

（1）建立控制系统各元、部件的微分方程。（2）对各元、部件的微分方程进行拉氏变换，并做出各元、部件的结构图。（3）按系统中各信号的传递顺序，依次将各元件结构图连接起来，便得到系统的结构图。下面以图1-7所示随动系统为例。把组成该系统各元部件的微分方程（2-18）进行拉氏变换，可得方程组（2-56e a ~），其中比较元件 )()()(s s s c r θθθε-= （2-56a ）电位器 )()(1s K s U εεθ= （2-56b ）放大器 )()(2s U k s U ε= （2-56c ）电动机 )()()1(s U K s s T s m m =+εθ （2-56d ）减速器 )(1 )(s i s c θθ= （2-56e ）各元、部件的结构图如图2-31所示。然后将各方框图按信号传递顺序连接起来，可得到图1-7所示随动系统的结构图，如图2-32所示。由上讨论可知，系统结构图，实质上是系统原理方框图和数学方程二者的结合。在结构图上，用记有传递函数的方框，取代图2-5原理方框图中的元件名称，也就是用传递函数取代了各元、部件的具体物理结构。可见结构图对系统特性进行了全面描述，它也是一种数学模型。所以，控制系统结构图，是一种描述系统各组成元、部件之间信号传递关系的数学图形。它表示了系统输入变量与输出变量之间的关系，同时也表示了系统各变量之间的运算关系。二、结构图的等效变换

自动控制原理——梅森公式应用考题

（13分）控制系统结构如图所示，分别求系统的传递函数 C(s)/ R(s)，M(s)/R(s)。（13分） 1）求 () () C s R s ： 4个单独回路，1组两两不相接触回路 01230301230123 012303 1 1()(()) 1 a b c L L L G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G ?=-+ =----+?- =-++ ∑∑ 两条前向通路：101231 2032 ,1 ,1 P G G G G P G G =?= =?= 则012303 1122 012303 () ()1 G G G G G G P P C s R s G G G G G G + ?+? == ?-++ 2）求 () () M s R s ：两条前向通路：1011 2032 ,1 ,1 P G G P G G =?= =-?= 则0103 1122 012303 () ()1 G G G G P P M s R s G G G G G G - ?+? == ?-++

一、（20分）求如下图所示系统的输出1()C s 和2()C s 的表达式解： 1）单独回路： 113224332 4415112263443 ,,,,L G H L G H L G H L G H L G H G H L G H G H =-=-=-=-== 2）两两不接触回路： 121324343241,L L G H G H L L G H G H == 3） 6 1234 1 132432411122344313243241 11i i L L L L L G H G H G H G H G H G H G H G H G H G H G H G H =?=-++=++++--++∑ 4） 1111124 23442:,1,1 a c a c R C P G G G G H P G G H G G →=?=+=-?=