高三数学不等式选讲 知识点和练习

不等式选讲

一、绝对值不等式 1．绝对值三角不等式

定理1：如果a,b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab ≥0时，等号成立。

注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当，不共线时，|+|≤||+||，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。

（2）不等式|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab ≥0，左侧“=”成立的条件是ab ≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab ≤0，左侧“=”成立的条件是ab ≥0且|a|≥|b|。

定理2：如果a,b,c 是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。

2．绝对值不等式的解法

（1）含绝对值的不等式|x|＜a 与|x|＞a 的解集

注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x 到原点的距离；| x-a |±|x-b|）表示数轴上的点x 到点a,b 的距离之和（差）

（2）|ax+b|≤c(c ＞0)和|ax+b|≥c(c ＞0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c -c ≤ax+b ≤c;

②| ax+b|≥c ax+b ≥c 或ax+b ≤-c.

（3）|x-a|+|x-b|≥c(c ＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c ＞0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。

a b a b a

b

O ??

二、证明不等式的基本方法 1．比较法 （1）作差比较法

①理论依据：a ＞b a-b ＞0;a ＜b a-b ＜0. ②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论。

注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。

（2）作商比较法 ①理论依据： ②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论。 2．综合法

（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。

（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。

3．分析法

（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。

（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止。

注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程。

4．放缩法

（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。

??0,

1;a

b a b b

>>?>0,

1;a

b a b b

<>?<

（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。 5.除此之外还有反证法和数学归纳法

【绝对值不等式习题】

【例1】不等式|5||3|10x x -++≥的解集为

（A ）[-5.7] （B ）[-4,6]

（C ）(,5][7,)-∞-?+∞ （D ）(,4][6,)-∞-?+∞ 【答案】D 【解析】由不等式的几何意义知，式子|3||5|++-x x 表示数轴的点)(x 与点（5）的距离 和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D 正确

【例2】 已知集合{}

1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t

??=∈++-≤=∈=+∈+∞???

?

，则集合A B ?=________. 【答案】{}52|≤≤-∈x R x

【解析】∵{}{}54|9|4||3||≤≤-∈=≤-++∈=x R x x x R x A ，

()()?

?

????

+∞∈-?≥∈=??????+∞∈-+=∈=,0,6142|,0,614|t t t x R x t t t x R x B {}2|-≥∈=x R x ，

∴{}{}{}52|2|54|≤≤-∈=-≥∈≤≤-∈=x R x x R x x R x B A .

【例3】对于实数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为.【答案】5

【例4】不等式130x x +--≥的解集是______.

【解析】}1|{≥x x 。由题得1)3()1(|3||1|2

2≥∴-≥+∴-≥+x x x x x 所以不等式

的解集为}1|{≥x x 。

【例5】若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 【答案】(,3][3,)-∞-+∞

【解析】：因为12|12|3x x x x ++-≥+-+=所以12a x x ≥++-存在实数解，有

3a ≥3a ≤-或3a ≥

【例6】已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|.

（I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2

-8x+15的解集.

解：（I ）3,

2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤??

=---=-<

当25,327 3.x x <<-<-<时 所以3() 3.f x -≤≤ （II ）由（I ）可知，

当2

2,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；

当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为； 当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.

综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为

【例7】已知函数 （1）解关于的不等式；

（2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围。

解：（1）不等式，即。 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集为；

()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++x ()10()f x a a R +->∈()f x ()g x m ()10f x a +->210x a -+->1a =(,2)(2,)-∞+∞ 1a >R

当时，即，即或者，即或者

，解集为。 （5分）

（2）函数的图象恒在函数图象的上方，即对任意实数

恒成立。即对任意实数恒成立。

由于，故只要。 所以的取值范围是。

【不等式证明习题】

【例1】若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：

lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2

＞lg a ＋lg b ＋lg c.

证明： 由a ，b ，c 为正数，得

lg a ＋b 2≥lg ab ；lg b ＋c 2≥lg bc ；lg a ＋c 2≥lg ac.

而a ，b ，c 不全相等，

所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2

＞lg ab ＋lg bc ＋lg ac ＝lg a 2b 2c 2

＝lg(abc)＝lg a

＋lg b ＋lg c.

即lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c.

【例2】证明不等式1+

).(21

...3121+∈+++N n n n

证法一 (1)当n 等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立

(2)假设n=k(k ≥1)时，不等式成立，即1+k

1

3121+

++ ＜2k ， ,

121

1

)1(1

1

)1(21

12113

12

11+=++++<

+++=

++

<++++

+k k k k k k k k k k 则

∴当n=k+1时，不等式成立

综合(1)、(2)得 当n ∈N *

时，都有1+

n

13

12

1+

++

＜

证法二 对任意k ∈N *

，都有

1a <21x a ->-21x a -<-21x a ->-1x a <+3x a >-(,1)(3,

)a a -∞+-

+∞ ()f x

()g

x 23x x m ->-++x 23x x m -++>x 23(2)(3)5x x x x -++≥--+=5m

.

2)1(2)23(2)12(221

31211),

1(21

2

2

1n n n n

k k k k k k k

=--++-+-+<++++--=-+<

+=

因此

证法三 设f(n)=),13

12

11(2n

n +

++

+

-

那么对任意k ∈N *

都有

1

)1(])1(2)1[(1

1]1)1(2)1(2[111

1)1(2)()1(2

>+-+=

++-+?+=

-+-++=+--+=-+k k k k k k k k k k k k k k k k f k f

∴f(k+1)＞f(k)

因此，对任意n ∈N *

都有f(n)＞f(n －1)＞…＞f(1)=1＞0，

∴.2131211n n <++++

【例3】已知a ＞0，b ＞0，且a+b=1 求证(a+

a 1)(b+

b 1)4

25

证法一 (分析综合法）

欲证原式，即证4(ab)2+4(a 2+b 2

)－25ab+4≥0，

即证4(ab)2

－33(ab)+8≥0，即证ab ≤

4

1

或ab ≥8 ∵a ＞0，b ＞0，a+b=1，∴ab ≥8不可能成立 ∵1=a+b ≥2ab ，∴ab ≤4

1

，从而得证 证法二 (比较法）

∵a+b=1，a ＞0，b ＞0，∴a+b ≥2ab ，∴ab ≤

4

1 425)1)(1(0

4)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥

++∴≥--=++=-+?+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法三 (综合法)

∵a+b=1， a ＞0，b ＞0，∴a+b ≥2ab ，∴ab 4

1

2

2

2

25(1)1139(1)1251611(1)144164

4ab ab ab ab ab ab

?-+≥?-+?∴-≥-=?-≥??≥

??≥??

4

25

)1)(1(≥

++b b a a 即 【例4】已知*21().n n a n N =-∈求证：

*12

231

1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111

.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k k

k a k n a +++-==-=-≥-=--+-

1222311111111

...(...)(1),2322223223

n n n n a a a n n n a a a +∴

+++≥-+++=-->-

*122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +∴-<+++<∈ 【例5】若02<

<

证明：由题意知202020->->->a b c ，，

假设有()()()21

2121->->->???

?

?a b b c c a

那么

()()2221

-+≥->a b

a b 同理，

()22

1

-+>b c

()22

1

-+>c a

①＋②＋③，得33>矛盾，假设不成立。 故()2-ab ，()2-bc ，()2-ca 不能同时大于1。 【例6】设函数f (x )＝x －a (x ＋1)ln(x ＋1)(x ＞－1，a ≥0).

(1)求f (x )的单调区间；

(2)求证：当m ＞n ＞0时，(1＋m )n

＜(1＋n )m

. 【解析】(1)f ′(x )＝1－a ln(x ＋1)－a ，

①a ＝0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数； ②当a ＞0时，f (x )在(－1，

a

a

-1e －1]上单调递增，在[

a

a -1e －1，＋∞)单调递减.

(2)证明：要证(1＋m )n ＜(1＋n )m

，只需证n ln(1＋m )＜m ln(1＋n )，只需证ln(1＋m )m

＜

ln(1＋n )

n

.

设g (x )＝ln(1＋x )x (x ＞0)，则g ′(x )＝x

1＋x －ln(1＋x )x 2

＝x －(1＋x )ln(1＋x )

x 2(1＋x ). 由(1)知x －(1＋x )ln(1＋x )在(0，＋∞)单调递减， 所以x －(1＋x )ln(1＋x )＜0，即g (x )是减函数， 而m ＞n ，所以g (m )＜g (n )，故原不等式成立.