辽宁省沈阳二中2013届高三第六次模拟考试数学(理)试题

辽宁省沈阳二中2013届高三第六次模拟考试数学（理）试题

注意事项：

本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将试题卷、答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

（1）已知全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，2

{|10}B x x =->，那么U A B = e

（A ）{|01}x x << （B ）{|01}x x <≤ （C ）{|12}x x << （D ）{|12}x x ≤<

（2）若复数

i

2i

a +的实部与虚部相等，则实数a = （A ）1- （B ）1 （C ）2- （D ）2

（3）已知x 、y 的取值如下表所示：若y 与x 线性相关，且?0.95y

x a =+，则a =（ ）

（D ）2.6

（4）已知sin cos θθ+=，则7cos(2)2

π

θ-的值为（ ） （A ）

49 （B ）29 （C ）29- （D ）4

9

- （5）下列有关命题的说法中错误的是．．．．

（ ） （A ）若“p q 或”为假命题，则p 、q 均为假命题 （B ）“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件

（C ）“6x π

=

” 是“1

sin 2

x =

”的必要不充分条件

（D ）若命题p ：“?实数x,使20x ≥”，则命题p ?

为“对于x R ?∈都有20x <”

（6）等比数列{a n } 中，已知a 1+a 2+a 3= 64，a 4+a 5+a 6= －16，则此数列的前18项的和等于（ ）

（A ）

205

4

（B ）

819

64

（C ）

819

16

（D ）

851

16

（7）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ） 3 （D ）4

（8）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为( )

（A ） 1

3

（B

（C ）1 （D

第7题图 第8题图

（9）在平面直角坐标系中，若不等式组0(1)1y y x y k x ≥?

?

≤??≤--?

表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )

（A ）(),1-∞- （B ）()1,+∞ （C ）()1,1- （D ）

(,1)(1,)-∞-+∞

（10）若关于x 的方程|1|2x

a a -=(0,1)a a >≠有两个不等实根，则a 的取值范围是 （ ）

（A ） (0,1)(1,)+∞ （B ） (0,1) （C ）(1,)+∞ （D ）1(0,)2

(11) 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()()0.30.333a f =?，()()log 3log 3b f ππ=?，3311log log 99c f ?

???=? ? ??

???，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）

（A ） a b c >> (B)c b a >> (C) c a b >> (D)a c b >>

(12) 正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，平面α垂直于体对角线1BD ，则该正方体在平面α上射影的面积是（ ）

（A

（B

（C

（D ）2 第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

(13)从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作， 每人承担一项．且甲、乙均不从事A 工作，则不同的工作分配方案共有 种

(14)如图，在矩形ABCD 中，

BC =2，点E 为BC 的中点，

点F 在边CD 上，若AB ·AF

，则AE ·BF

的值是_ ．

(15)如图，1F 和2F 分别是双曲线22

221(00)x y a b a b

-=>>，

的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与

该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双

曲线的离心率为 . (16)已知数列{}n a 的前n 项和2=-6n S n n ,令2cos

3

n n n b a π

=，记数列{}n b 的前项和为n T ，则31T =_____.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分12分)

在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,,3

a b c C π

=，5=a ，ABC ?的面积为.

（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求)3

cos(π

-

B 的值.

（18）(本小题满分12分)

甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现做实验：从这两个箱子里各随机摸出2个球。求：

(Ⅰ)摸出3个白球的概率； (Ⅱ)摸出至少两个白球的概率；

（Ⅲ）若将摸出至少两个白球记为1分，否则记为0分，则一个人有放回地进行2次上述实验。求此人得分X 的分布列及数学期望。 （19）(本小题满分12分)

在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，

BC AB 2=，

60ABC ?∠=，AC FB ⊥．

（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；

（Ⅱ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC 结论．

（20） (本小题满分12分)

已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为1

2

.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，+=OA OB OP

，其中点P 在椭圆C 上，O 为

坐标原点. 求O 到直线l 距离的最小值. （21）(本小题满分12分)

已知函数()ln f x x x =，（0x >,且1x ≠）

（Ⅰ）求函数1

()()

r x f x =

的单调区间； （Ⅱ）若对任意的n N +∈,都有>0n a ，且122013+++=2013a a a e （e 为自然对数的底），

求122013()()()f a f a f a +++ 的最小值。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应对应下面的方框涂黑。

（22）(本小题满分10分)选修4一1 ：几何证明选讲 如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上的一点，过C 的直线交 直线AB 于E ，交过A 点的切线于D ，BC ∥OD . (Ⅰ)求证：DE 是圆O 的切线； (Ⅱ)如果AD =AB = 2，求EB .

（23）(本小题满分10分)选修4～4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos ,

2sin x t y t αα

=+??

=+?（t 为参数）在极坐标系（与

直角坐标系xOy 取相同的长度单位。且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6sin .ρθ=

（I ）求圆C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A ，B ．若点P 的坐标为（1,2）,求||||PA PB +的最小值．

（24）(本小题满分1分)选修4—5：不等式选讲 设函数()f x =2|2|5x x --+的最小值m （I ）求m ；

（II ）若不等式|||2|x a x m -++≥恒成立，求实数a 的取值范围．

沈阳二中2013届第六次模拟考试答案

数学试题（理）

二、选择题：

（1）B （2）A （3）D （4）A （5）C （6） C （7）C （8）D （9）A （10）D （11）C （12）B 二、填空题：

(13) 72

(14)

(15)1 (16)

5

2

三．解答题：

(17). 解：（Ⅰ）由已知，3

C π

=

，5=a ，

因为 1

sin 2

ABC S ab C ?=

， 即 3sin 521310π?=b ，

解得 8=b

.

由余弦定理可得2642580cos

493

c π

=+-=,

所以 7c =. ………………..6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）有7

1

70642549cos =-+=B ,

由于B 是三角形的内角，

易知 7

3

4cos 1sin 2=

-=B B ,

所以3

sin

sin 3

cos

cos )3

cos(πππB B B +=-

1172=

+?13

14

= . ……………..12分 (18).解：（I ）设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件

(0,1,2,3),i A i ==则

21

32322531

().

5C C P A C C =?= ………………..3分

(Ⅱ) 设“至少两个白球”为事件B ，则23B A A = ，又

2

211132222222225

3531(),C C C C C P A C C C

C =?+?=

212325121213=+C C C C C

且A2，A3互斥，所以23117

(B)P(A )P(A )2510

P =+=+= ………………..6分 （Ⅲ） X 的所有可能取值为0，1，2.

212279(0)(1),10100

7721(1)(1),101050749

(2)().

10100P X P X C P X ==-

===-====

X 的数学期望(X)012100501005

E =

?+?+?=

或7(2,)10X B ，则77

=2=105

EX ? ………………..12分

(19)．（Ⅰ）证明：因为2,60,AB BC ABC =∠=

在△ABC 中，由余弦定理可得,AC =

所以AC BC ⊥． 又因为AC FB ⊥，

所以AC ⊥平面FBC ． ………………4分 （Ⅱ）

线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC

证明如下：

因为AC ⊥平面FBC ，所以AC FC ⊥．

因为CD FC ⊥，所以FC ⊥平面ABCD ．

所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C xyz -． ………………7分 在等腰梯形ABCD 中，可得 CB CD =． 设1BC =，所以(0,0,0),B(0,1,0),C 11

,0),,1)22

--． 所以1

CE ,1)2

=- ，C (0,1,0)A CB == ．

设平面EAC 的法向量为(x,y,z)n =，则有0

n CE n CA ??=???=??

所以1

02

0x y z -+== 取1z =，得(0,2,1)n =．………………9分 假设线段ED 上存在点Q

，设1,t)(01)2Q t -≤≤

，所以1

,t)2

CQ =- ．

设平面QBC 的法向量为(,,)m a b c =，则有0

m CB m CQ ??=???=??

所以0

1

02

b a b t

c =?-+= 取1c =，

得(,0,1)m =． ………………11分

要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需0=?n m ， 即

002110?+?+?=， 此方程无解． 所以线

段

ED 上不存在点Q ，使平面

EAC ⊥

平面

QBC ． ………………12分

(20). 解：（Ⅰ）由已知，222

2

14

a b e a -==，所以22

34a b =， ① 又点3

(1,)2M 在椭圆C 上，所以22

1914a b += ， ② …………………2分 由①②解之，得2

2

4,3a b ==.

故椭圆C 的方程为22

143

x y +=. …………………4分

(Ⅱ) 当直线l 有斜率时，设y kx m =+时，

则由22

,

1.4

3y kx m x y

=+??

?+=?

? 消去y 得，2

2

2

(34)84120k x kmx m +++-=，

222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ?=-+-=+->， ③

设A 、B 、P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则：

01201212

2286,()23434km m

x x x y y y k x x m k k =+=-

=+=++=++，

…………6分 由于点P 在椭圆C 上，所以22

00

143x y +=

.

从而2222222

16121(34)(34)

k m m k k +=++，化简得22

434m k =+，经检验满足③式. …8分 又点O 到直线l 的距离为：

d =

=

=≥= 当且仅当0k =时等号成立…10分

当直线l 无斜率时，由对称性知，点P 一定在x 轴上，

从而P 点为(2,0),(2,0)-，直线l 为1x =±，所以点O 到直线l 的距离为1

所以点O 到直线l

……12分

(21). 解：（Ⅰ）2

111ln (),'(x),()ln (xlnx)

x

r x r f x x x +=

==- -----------------------------------2分 当1(0,)x e

∈时，()r x 单调递增；当1

(,1)x e

∈和(1,)x ∈+∞时，()r x 单调递减；--4分

（Ⅱ）当122013====a a a e 时，122013()()()f a f a f a +++ 取得最小值2013e ，

下面给予证明：

函数()ln f x x x =在x e =处的切线方程为2y x e =- -----------------------------------6分 令(x)(x)(2x e)xlnx 2x e,g'(x)lnx 1,g f =--=-+=- 则函数(x)y g =在(0,e)x ∈单调递减，在(e,)x ∈+∞单调递增

当x e =时，(x)y g =取得最小值为0，即(x)2x e f ≥-恒成立。------------------------10分

故122013122013()()()2()20132013f a f a f a a a a e e +++≥+++-≥

E C

D

B O A

当且仅当122013====a a a e 取得最小值。-------------------------------------------------------12分

（22）(Ⅰ)证：连接AC ，AB 是直径，则BC ⊥AC

由BC ∥OD ?OD ⊥AC

则OD 是AC 的中垂线? ∠OCA =∠OAC , ∠DCA =∠DAC ,

? ∠OCD = ∠OCA +∠DCA =∠OAC +∠DAC =∠DAO = 90o .

?OC ⊥DE , 所以DE 是圆O 的切线 .

(Ⅱ) BC ∥OD ?∠CBA = ∠DOA ，∠BCA = ∠DAO ?△ABC ∽△AOD

?

BC AB

OA OD =

? BC =OA AB

OD ?

?

25BC OD =?25BE OE =?2

3

BE OB =

? BE =23

（23）解（Ⅰ）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y y +=，

即22(3)9x y +-=. ……………4分

（Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(cos sin )70t t αα+--=.

由2(2cos 2sin )470αα?=-+?>，故可设12,t t 是上述方程的两根， 所以1212

2(cos sin ),

7,t t t t αα+=--???=-?又直线l 过点(1,2)，故结合t 的几何意义得

||||

PA PB +

=1212||||||t t t t +=-=

=

==

所以|||

|PA PB +的最小值为 ……………10分

（24）解：（Ⅰ）1,(2)

()2|2|539,(2)

x x f x x x x x +?=--+=?-+

显然，函数()f x 在区间(,2)-∞上单调递减，在区间[2,)+∞上单调递增， 所以函数()f x 的最小值(2) 3.m f == ……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知3m =，|||2|3x a x -++≥恒成立，

由于|||2||()(2)||2|x a x x a x a -++--+=+≥，

等号当且仅当()(2)0

a+≥，

-+≤时成立，故|2|3

x a x

解之得1

≤

a≥或 5.

a-

所以实数a的取值范围为1

≤……………10分

a≥或 5.

a-