浅谈幻方以及其解法

学号 1250901205

学年论文

（2016届本科）

题目：浅谈幻方以及其解法

学院：数学与统计学院

专业：数学与应用数学

作者姓名：甘天明

指导教师：任天胜职称: 副教授

完成日期： 2014 年 12 月 18 日

浅谈幻方以及其解法

甘天明指导教师：任天胜

(河西学院数学与应用数学专业2016届2班05号甘肃张掖 734000)

摘要多少世纪以来，人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣，从古代起幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系。在古代亚洲的城市，人们在考古挖掘中发现了它们。有关幻方的最早纪录，是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”，传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的。

幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，有一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。幻方起源于我国，并由我国传到全世界，在这漫长的历史中，幻方也得到了广泛的发展和进步。

本文主要分为两部分，第一部分从幻方的历史和发展，幻方问题的研究以及幻方的应用来认识幻方；第二部分主要介绍幻方的解法。

关键字: 幻方；幻和；奇幻方；偶幻方.

1 引言

我国的纵横图通过东南亚国家,印度和阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫做 Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。

幻方问题是具有悠久历史的复杂排列组合问题。幻方问题的复杂性不仅在于解的多样性随阶数指数递增，而且在于解在可行排列空间中所占的比例随阶数指数递减。

此外，在文章中，简单介绍了幻方在数学、智力开发、科学以及艺术中的应用，我们从多个角度去探寻幻方的历史，发展和在现实生活中的应用，以此来进一步加深对幻方的理解。

在文章第二部分，也介绍了幻方的几种解法，从不同的角度对幻方的解法做了一点讨论与研究。

2预备知识

的方阵中，放入从1开始的2n个定义2.1 幻方，也叫纵横图，就是在n n

自然数，在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好相等。

定义2.2 幻方的各行、各列和两条对角线上的数字之和相等的和数即为幻和，也叫幻方常数。

定义2.3 奇阶幻方：当幻方中的n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。

定义2.4偶阶幻方：当幻方中的n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。

3 幻方的历史和发展

关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。

大约在8世纪，中国的幻方记述传入阿拉伯地区。该地区的人们对幻方产生了极大兴趣，并做出重要贡献。塔比伊本·库拉较早研究了幻方。约990年，一批阿拉伯学者编的本百科全书中可找到3，4，5，6阶幻方，并说明7，8，9阶幻方的存在。幻方1315年前后传人西方后，最初被赋予一种神秘性或作为护身符，成为神秘哲学的一部分，或是在一些场合中作为有趣的数学游戏。但当时并未引起人们的深思和研究。

在中国，宋朝杨辉的《续古摘奇算法》辑录了更高阶的幻方(至10阶)，他最早从数学角度研究了洛书的构造法以及其他6种变形幻方。它们同样具有某些组合性质。杨辉还构造出9个洛书构成的大幻方，如果洛书中的第i列第j行数记为

H。杨辉之后易东、程大位、王文素，清朝方中逦、张潮、保其寿对幻方及ij

变形幻方有深入的研究。形式也趋于多样化。除了这些以外，历史上最早的四阶幻方是在印度发现的,那是一个完全幻方，而且比中国的杨辉还要早了两百多年,印度人认为那是天神的手笔。直到中世纪后．欧洲的一些数学著作中才开始出现讨论幻方及其改造的内容，如卡尔丹诺给出了分别以日、月和五星为名的幻方及构造法。7世纪，日本对幻方也产生很浓的兴趣，主要是关孝和对幻方和幻圆理论的研究。

现在的幻方种类很多，如一般幻方，对称幻方，同心幻方，完美幻方。平面幻方(二维)，幻立方(三维)，多维幻方。平方幻方，立方幻方，高次幻方，高次多维幻方。魔鬼幻方，马步幻方，多重幻方，六角幻方，双料幻方，幻环，幻圆等等。特殊的幻方有反幻方，完美反幻方。

4 幻方问题与研究

幻方问题是具有悠久历史的复杂排列组合问题。幻方问题的复杂性不仅在于解的多样性随阶数指数递增，而且在于解在可行排列空间中所占的比例随阶数指数递减。在以前，人们只能靠手算得到一些较低阶的幻方。河图、洛书不过是两个简单的四阶幻方，古人也将其视为上天赐予的神物。然而幻方的许多性质，从低阶幻方中总是很难发现。

Kraitchik在1942年分别给出奇数阶与偶数阶幻方的确定构造方法，但却不能构造任意随机幻方，更不能构造有附加条件或二次以上的幻方。在幻方研究中常常需要构造具有附加条件的特殊幻方，如泛幻方(panmagic square)、嵌套幻方(父子幻方)、庆典幻方等，每一个成功的特殊幻方的直接构造都是一次人类心智与毅力的艰苦磨砺，有时虽耗费一生光阴也一无所得。新的研究理论提出半幻方通过行置换与列置换可实现对角线数字幻和满足的分步构造猜想的基础上，提出基于演化策略的分步自适应幻方演化算法。变异操作包括元素对置换、整行

置换、整列置换；启发式局部调整操作包括行列局部调整与对角局部调整等。计算表明，分步构造猜想至少在所完成的幻方构造计算实例上是成立的，幻方分步演化算法具有较高的计算效率。

虽然幻方分步构造猜想有待证明，但数值实验结果表明，建立在该猜想条件下的随机幻方演化算法表现出极限成功率，即每次幻方演化过程都能得到不同的随机幻方，而且演化算法具有较高的构造效率。幻方演化算法属于随机构造法，不同于传统的确定式幻方构造方法。因此，幻方演化算法是幻方构造方法中重要的随机自适应构造新方法。

幻方演化算法的高演化效率源于幻方的分步构造猜想与自适应的元素置换算子。幻方分步构造猜想将一个幻方的构造过程分解为两步，即半幻方演化构造与对角幻和演化构造。这种分步构造法将行列幻和的构造过程与对角幻和的构造过程“解耦”，使之互不影响。自适应的元素置换算子可将变异对象定位于未满足幻和的行列元素，并在半幻方构造过程中自适应调整变异概率，使平均变异元素个数保持一定。

幻方演化算法的极限成功率源于行列与对角局部调整操作。在半幻方演化的后期，对于难以通过随机元素置换算子实现幻和构造的局部元素置换对，行列局部调整操作在启发式知识下，搜索这些满足条件的元素对实现置换。在对角幻和的演化后期，对角局部调整操作具有同样效果。

5 幻方的应用

5.1 幻方在数学和智力开发中的应用

幻方由于其独特的性质在很多时候可以巧妙的解决一些数学智力问题。如用“三阶幻方”巧填“爱因斯坦填数题”，用“三阶幻方”解决“取牌游戏问题”，用“四阶幻方”巧填“玛 摩西约利斯米难题”。

同时由于幻方简单，我们较易入门，所以很容易引起青少年的兴趣。我国从古代到现代都将幻方原理应用于各种智力产品的开发。如古代的九宫格，以及现在的华容道和推箱子等各种游戏。

5.2 幻方在科学技术中的应用

幻方应用于位置解析学及组合解析学中，幻方引出了拉普拉斯的导引系数和哥斯定理，格里定理等，甚至还引出了普生，布鲁丁两氏的电子方程式。幻方还引出了桑南的自动控制论，从而促成了电子计算机的诞生。我国也正在研究应用幻方研究中医理论，是从幻方原理HO你故意理论，从幻方的数字结构来研究人体病因的数字特征，以及中药的配置。更多的科学应用方面也正在逐渐在幻方中寻找灵感用于技术创新。

5.3 幻方在艺术中的应用

幻方可大量应用美术设计。西方的建筑学家发现幻方的对称性相当丰富，建筑家用幻方组建了许多美丽的图案，他把图案中那些方阵内的线条称为魔线，并应用于轻工业品，和包装设计中。在更多人的钻研下，更多的魔线图被设计出，每种图都是十分漂亮，这些图案表现出多样对称美的同时，又有幻方原理的理性规律，堪称鬼斧神工。

6 幻方的解法

6.1对差法

6.1.1 用“对差”解幻方的基本方法

在一个“对”中，大小两数之差称为“对差”，小数减大数为负差，大数减小数为正差。它们的绝对值相同，只是正负符号相反。因此，在幻方图中，它们的分布排列情况，清晰可见。而且对差绝对值的个数只有相应幻方数列数字个数的一半。对于分析它们的合理组合，可以事半功倍，少走弯路。几种排列形式间也有了方便简捷的转换方法。

对差法解幻方，就是将各对差按要求排列，使各横、直、斜行上的对差代数和为零。

正三幻方的对差图如图一。

奇数格幻方的中心数“Z”只有一个数（其余对均有大小两个数），0

-=，

Z Z

所以在对差法中，Z可用“0”表示。

图一的正三幻方对差图是怎样做成的呢？

正三幻方的对差数列有2

±。在这四对中，三数能组成0的

±、4

±、8

±、6

有：

（1）2460

--+=；（2）2680

--+=；

++-=

2460

++-=2680

其中的一组可组成上下边，另一组可组成左右边。两组中都有2

±，所

±和6

以它们必须列于四角位置。四角一经确定，两角之间的数就迎刃而解了。

6.1.2 幻方数列和对差数列

6.1.2.1 公差相同的幻方数列，其对差数列也相同

奇数格幻方数列，公差为1的，如1、2、3、4、5、6、7、8、9……等；2、3、4、5、6、7、8、9、10……等；10、11、12、13、14、15、16、17、18……等。它们的首项、中间各项、末项均不相同，而它们的对差却相同。都是：正负2、4、6、8、10、12、14、16……等。

所有公差为1的偶数格幻方数列，其对差数列都是正负1、3、5、7、9、11、13、15……等。

6.1.2.2 公差为N的幻方数列，其对差数列各数是公差为1的幻方数列对差各数的N倍

如1、3、5、7、9、11、13、15……等和2、4、6、8、10、12、14、16……等幻方数列，它们的公差都是2，其对差都是：正负4、8、12、16……等。

再如1、4、7、10、13、16、19、22、25……等和2、5、8、11、14、17、20、23、26……等，它们的公差是3，对差都是：正负6、12、18、24……等。

因此，我们把公差为1的自然数列幻方的对差数列作为基本对差数列。其它

系列的对差均可由此推算出来。

6.1.3 对差的还原

我们知道在一个既定的幻方数列中，每对的值（大小数之和）i 是相同的。知道了两数之和、两数之差，就可用心算算出这两个数来。即：

（i+对差）÷2=大数（正对差）；

（i -对差）÷2 =小数（负对差）

求出其中任一数，i 减去它，就得另一数。

相同的对差，有不同的i 值，就可还原成很多不同的解。所以用“对差”解得的幻方可还原为同一特性幻方数列的无数个解。例如图一的“对差图”可还原为图二的几个解。

其中，中心数2Z i =÷。

图一是公差为1幻方数列的“对差图”。也可用它还原成公差为2的如图三a 、b 。也可还原成公差为3的，如图三

c 、

d 。

对差图 a.i=18 b.i=20

c.i=26

d.i=28

（图 三）

它们是如何还原的呢？例如对差图中的6-，图三a 公差为2，i 为18，与6

-

相应的对差是(62)?，应还原为()18-6223?÷=????，6+应还原为18315-=。

再如图三d ，公差为3，i 为28，所以6-还原为()28-6325?÷=????,6+还原为28523-=，依次类推。

6.2 奇阶幻方解法

6.2.1 麦哲里克（Meziriac ）法：在第一行居中的方格内放1，依次向左上方填入2,3,4…，如果左上方已有数字，则向下移一格继续填写。如下图用Merziral 法生成的5阶幻方：

6.2.2 劳伯尔（Loubere ）法：在居中的方格向上一格内放1，依次向左上方填入2,3,4…，如果左上方已有数字，则向上移两格继续填写。如下图用Louberel 法生成的7阶幻方：

6.2.3 马步（horse ）法：先在任意一格内放入1。向左走1步，并下走2步放入2 (称为马步)，向左走1步，并下走2步放入3，依次类推放到n 。在n 的下方放入1n +（称为跳步），再按上述方法放置到2n ，在2n 的下边放入21n +。如下图用Horse 法生成的5阶幻方：

一般令矩阵[]1,1为向右走一步，向上走一步，[]1,0-为向左走一步。则马步可以表示为2x y +，[][]{}{}1,0,1,0x ∈-,[][]{}{}[][]{}{}0,1,0,11,0,1,0y y ∈-?∈-, [][]{}{}0,1,0,1x ∈-。对于2x y +相应的跳步可以为2y ,y -, x ,y -, x , 3x , 33x y +。上面的的是x 型跳步。Horse 法生成的幻方为魔鬼幻方。

6.3 偶阶幻方解法

6.3.1 海尔（Dela Hire ）法：将n 阶幻方看作一个矩阵，记为A ，其中的第i 行j 列方格内的数字记为(),a i j 。在A 内两对角线上填写1,2,3,……,n ,各行再填写1，2，3，……，n ，使各行各列数字之和为(1)/2n n ?+。填写方法为:第1行从n 到1填写，从第2行到第/2n 行按从1到进行填写(第2行第1列填n ，第2行第n 列填1)，从第/21n +到第n 行按n 到1进行填写，对角线的方格内数字不变。如下所示为6阶填写方法：

如下所示为8阶填写方法（转置以后）：

将A 上所有数字分别按如下算法计算，得到B ，其中()()(),,1b i j n a i j =?-。则T A B +为目标幻方（T A 为A 的转置矩阵）。如下图用Hire 法生成的8阶幻方：

6.3.2 斯特拉兹（Ralph Strachey ）法（单偶）：将n 阶单偶幻方表示为42m +阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A 、B 、C 、D 四个21m +阶奇数幻方。

A 用1至21m +填写成()212m +阶幻方；

B 用()2121m ++至()2212m ?+填写成21m +阶幻方；

C 用()22121m ?++至()3212m ?+填写成21m +阶幻方；

D 用()32121m ?++至()4212m ?+填写成21m +阶幻方；在A 中间一行取m 个小格，

其他行左侧边缘取1

m-列m-列，将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧1

相互交换。如下图用Strachey法生成的6阶幻方：

6.3.3 Spring法（双偶）：将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。将n阶幻方

a i j。先令看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为(),

()()

=-?+，即第一行从左到可分别填写1,2,3,……,n；即第二行a i j i n j

,1

从左到可分别填写1

n+,3

n+,……,2n；之后进行对角交换。对角交换有n+,2

两种方法：1.将左上区域i j

+为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i j

+为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对

?个4阶幻方，角数字进行交换（保证不同时为奇或偶即可）;2.将幻方等分成m m

将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。

如下图用Spring法生成的4阶幻方：

6.3.4 YinMagic构造偶阶幻方：先构造n-2幻方，之后将其中的数字全部加上2n-2，放于n阶幻方中间，再用本方法将边缘数字填写完毕。本方法适用于n>4的所有幻方。YinMagic法可生成6阶以上的偶幻方。如下图用YinMagic法生成的6阶幻方：

致谢感谢任天胜老师在本次论文中对我的悉心指导。

参考文献

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[2] 吴鹤龄.幻方与其他[C].科学出版社,2007.5

[3] 易南轩.数学美拾趣[C].科学出版社,2008.8

[4] 孙荣恒.好玩的数学:趣味随机问题[C].科学出版社,2008.8

[5] W.S.Andrew.幻方和魔方[C].哈尔滨工业大学出版社,2012

[6] 金丕龄. 幻方和智慧[C]. 上海交通大学出版社,2010.1