13综合题选讲(1)新

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13综合题选讲(1)新

第十三讲 综合题选讲(1)

【典型例题1】

(1)探究新知:如图1,已知△ABC 与△ABD 的面积相等,试判断AB 与CD 的位置关系,并说明理由.(挑战压轴题08版/229)

(2)结论应用:

①如图2,点M ,N 在反比例函数x

k y =(k >0)的图象上,过点M 作ME ⊥y 轴,过点N 作NF ⊥x 轴,垂足分别为E ,F .试证明:MN ∥EF .

3所示,请判断 MN 与EF

是否平行.

分析:要完成这题,从以下三个方面入手:(1)根据同底等高的三角形面积相等,可以证明

C 、

D 到直线AB 的距离相等,从而证明AB//CD ,(2)系数k (k >0)的几何意义是△MEO 与△NFO 的面积为2k ,(3)△MEO 与△MEF 是同底等高的三角形。 (1)证明:分别过点C ,D ,作CG ⊥AB ,DH ⊥AB ,垂足为G ,则∠CGA =∠DHB =90°.∴ CG ∥DH .

∵ △ABC 与△ABD 的面积相等,∴ CG =DH . ∴ 四边形CGHD 为平行四边形.∴ AB ∥CD .

(2)①证明:联结MF ,NE . 设点M 的坐标为(x 1,y 1),点N 的坐标为(x 2,y 2).

∵ 点M ,N 在反比例函数x

k y =(k >0)的图象上, ∴ k y x =11,k y x =22. ∵ ME ⊥y 轴,NF ⊥x 轴,∴ OE =y 1,OF =x 2. ∴ S △EFM =k y x 212111=?,S △EFN =k y x 2

12122=?. ∴S △EFM =S △EFN .由(1)中的结论可知:MN ∥EF .

② MN ∥EF . (若学生使用其他方法,只要解法正确,皆给分.)

可以进行适当拓展和延伸,如:

如图4:点M ,N 在反比例函数x

k y =(k >0)的图象上, 过点M 作ME ⊥x 轴,过点N 作NF ⊥y 轴,垂足分别为

E ,

F .试证明:MN ∥EF . 证明:设点M 的坐标为??? ??m k m ,

,点N 的坐标为??? ??n k n , N

图 3

图3 A B D C 图1

(k >0),ME 与NF 交于点C ,

∵m

n n

k m k

CE ME m n CF NF ===,,∴MN ∥EF .

【知识点】

1、反比例函数y=k x

(k 为常数且k ≠0)的图像性质: (1) 当k >0时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限内,在每一个象限中,当自变量

x 的值逐渐增大时,y 的值随着逐渐减小。

(2) 当k <0时,函数图像的两个分支分别在第二、四象限内,在每一个象限中,当自变量

x 的值逐渐增大时,y 的值随着逐渐增大。

(3) 图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴,但不会与x 轴和y 轴相交。

此外由反比例函数上的一点向坐标轴做垂线所得矩形面积始终为|k |,该点与坐标原点连线将矩形分割成的三角形的面积始终为2

||k . 2、平行四边形的判定:判定平行四边的方法有5种

? 定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

? 判定定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

? 判定定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

? 判定定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形。

? 判定定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

3、三角形面积公式:已知三角形底a ,对应的高h ,则S =2

ah . 4、数形结合的数学思想:

数形结合思想是重要的数学思想之一,它是根据数学问题的条件和结论之问的内在联系,既分析研究对象的代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决.

【基本习题限时训练】 1、如图,已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数k y x

=一象限相交于点A ,与x 轴相交于点C AB x ,⊥轴于点B ,△的面积为1,则AC 的长为………………………………( ).

(A )2 (B )2 (C )(D )4

解析:选C

2、在ABCD 中,点E 是CD 的中点,AE 的延长线与BC 的延长线相

交于点F .联结AC 、DF ,则四边形ACFD 是下列选项中的( ).

(A )梯形 (B )菱形 (C )正方形 (D )平行四边形

解析:选D 3、如图,点A 、B 是双曲线3y x

=上的点,分别经过A 、B 两点 向x 轴、y 轴作垂线段,若1S =阴影,

则21S S +………( )(A )4

(B )3 (C )2 (D )1

解析:选A

【典型例题2】如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线1y x =+与334

y x =-+交于点A ,分别交x 轴于点B 和点C ,点D 是直线AC 上的一个动点. (1)求点A B C ,,的坐标.

(2)当CBD △为等腰三角形时,求点D 的坐标.

(3)在直线AB 上是否存在点E ,使得以点E D O A ,,, 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,直线写 出BE CD

的值;如果不存在,请说明理由.(08山西太原29

解析:(1)在1y x =+中,当0

y =时,10x +=,

1x ∴=-,点B 的坐标为(10)-,.

在334y x =-

+中,当0y =时,33044

x x -+=∴=,,点C 的坐标为(4,0). 由题意,得1334y x y x =+???=-+??,.解得87157x y ?=????=??

,. ∴点A 的坐标为81577?? ???,. (2)当C B D △为等腰三角形时,有以下三种情况,如图(1).设动点D 的坐标为()x y ,.

由(1),得(10)(40)B C -,,,,5BC ∴=. ①当11BD D C =时,过点1D 作11D M x ⊥轴,垂足为点1M ,则1112

BM M C BC ==. 11553312222BM OM x ∴==-==,,.33153428y ∴=-?+=,点1D 的坐标为31528?? ??

?,. ②当2BC BD =时,过点2D 作22D M x ⊥轴,垂足为点2M ,则2222222D M MB DB +=.

21M B x =--,2223354D M x D B =-+=,,2223(1)354x x ??∴--+-+= ???

. 解,得121245x x =-=,(舍去).此时,312243455

y ??=-?-+= ???. ∴点2D 的坐标为122455??- ???

,. ③当3CD BC =,或4CD BC =时,同理可得34(03)(83)D D -,,,.

由此可得点D 的坐标分别为12343151224(03)(83)2855D D D D ??

??-- ? ?????

,,,,,,,. (3)存在.以点E D O A ,,,为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形,如图(2). 图(1) 图(2)

①当四边形11AE OD

为平行四边形时,

11BE CD = ②当四边形21AD E O

为平行四边形时,

1210BE CD = ③当四边形12AOD E

为平行四边形时,21BE CD =. 点评:本题主要考查了一次函数的交点问题、等腰三角形的性质、勾股定理及平行四边形的

性质、分类讨论的数学思想及数形结合的数学思想.

【知识点】

1、一次函数的交点问题:

若两条函数直线分别y 1=k 1x+b 1和y 2=k 2x+b 2,则有???+=+=222

111b x k y b x k y ,解得的x ,y 所构成的坐标即为它们的交点。

2、等腰三角形的性质:

(1)等腰三角形的两腰相等.

(2)等腰三角形的两个底角相等.

(3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简称“等腰三角形

的三线合一”.

3、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和,等于斜边c 的平方,即a 2+b 2=c 2。能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数。如:(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17)……。

4、平行四边形的性质:

(1)平行四边形的对边相等,对角相等.

(2)夹在两条平行线间的平行线段相等.

5、分类讨论的数学思想:

当我们所研究问题的条件中存在着不确定因素,我们需要进行分类讨论。分类讨论的思想是初中数学中的一种重要思想,运用分类的思想,通过正确的分类,可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。分类的原因可归结为:①涉及的数学概念是分类定义的;②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能;④数学问题中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同结果的。(2)分类讨论的一般步骤为:1)明确讨论的对象;2)确定分类标准,按一个标准进行分类;3)逐类讨论,做到“不重复”“不遗漏”;4)归纳小结,得出结论。当我们应用分类讨论思想解决问题时,必须保证分类科学、统一,并力求最简。

6、数形结合的数学思想:

数形结合思想是重要的数学思想之一,它是根据数学问题的条件和结论之问的内在联系,既分析研究对象的代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决.

【基本习题限时训练】

1、直线1l :54+-=x y 和直线2l :42

1-=x y 交于点A ,则点A 的坐标为……( ). (A )(2,—3) (B )(—2, 3) (C )(—2,—3) (D )(2,3)

解析:选A 2、在平行四边形ABCD 中,平行四边形ABCD 于E , AE=EB=EC=a 且a 是一元二次方程0322=-+x x

的根,则平行四边形ABCD 的周长为( ).

(A

)4+ (B

)12+(C

)2+ (D

)212+ A

D C

E B

解析:本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识,

∵a 是一元二次方程0322=-+x x 的根,∴1a =,∴AE=EB=EC=1,

BC=2,∴平行四边形ABCD

的周长为4+,故选A .

3、如图,四边形ABCD 中,AB =BC ,∠ABC =∠CDA =90°,

BE ⊥AD 于点E ,且四边形ABCD 的面积为8,则BE 的长度为

………………………………………………………………( )

(A )2 (B )3 (C

) (D

)解析:C 4、如图,点A 的坐标是(2,2),若点P 在x 轴上,且△APO 是等

腰三角形,则点P 的坐标不可能...是………………………( (A )

(4,0) (B )(1,0)

(C )(—22,0) (D )(2,0) 解析:B

【典型例题3】已知:如图,抛物线)0(22≠+-=a c ax ax y 与

y 轴交于点C (0,4),与x 轴交于点A 、B ,点A

的坐标为(4,0).

(1)求该抛物线的解析式;

(2)点Q 是线段AB 上的动点,过点Q 作QE ∥AC ,交BC 于点E ,联结CQ .当△CQE 的面积最大时,求点Q 的坐标;

(3)若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ,与直线AC 交

于点F ,点D 的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l ,

使得△ODF 是等腰三角形?若存在,请求出点P 的坐标;

若不存在,请说明理由.

分析:△CQE 的三边长都随点Q 的运动而改变,而△CBQ 的面积是随点Q 的变化而变化的,

因此考虑通过图形的分割计算。可设BQ=m ,用m 表示△CQE 的面积,求面积的最大值时m 的值,从而得到点Q 的坐标。

解析:(1)由题意,得01684a a c c =-+??=?,. 解得124a c ?=-???=?,.

∴所求抛物线的解析式为:2142

y x x =-++. (2)设点Q 的坐标为(0)m ,

,过点E 作EG x ⊥轴于点G . 由21402

x x -++=,得12x =-,24x =. ∴点B 的坐标为(20)-,

.6AB ∴=,2BQ m =+. QE AC ∥,BQE BAC ∴△∽△.EG BQ CO BA

∴=, 即246EG m +=.243

m EG +∴= CQE CBQ EBQ S S S ∴=-△△△=3

83231)3424)(2(212++-=+-+m m m m 又∵Q 在线段AB 上,∴24m -≤≤,

∴当1m =时,CQE S △有最大值3,此时(1

0)Q ,. (3)存在.在△ODF 中分类.

利用待定系数法可求得直线AC 的解析式为:4+-=x y ,设F )4,(+-x x

则有DO=2,22)4()2(+-+-=x x FD ,22)4(+-+=x x FO

(ⅰ)若DO=DF ,4)4()2(22=+-+-x x ,解得:2,421==x x ,

当4=x 时,O 、D 、F 在同一直线上,不能构成三角形,故舍去

当2=x 时,点F 的坐标为(2,2). 由242

12=++-

x x ,得512,1±=x . 此时,点P 的坐标为:)2,51(+P 或)2,51(-P . (ⅱ)若FO=FD ,2222)4()4()2(+-+=+-+-x x x x ,解得:1=x ,∴F (1,3). 由342

12=++-

x x ,得,31,3121-=+=x x 此时,点P 的坐标为:)3,31(+P 或)3,31(-P . (ⅲ)若OD=OF ,∵4)4(22=+-+x x ,化简得:0642

=+-x x

∵△<0 ∴无实数解,故不存在这样的直线l ,使得△ODF 是等腰三角形.

综上所述,存在这样的直线l ,使得△ODF 是等腰三角形.所求点P 的坐标为: )2,51(+P 或)2,51(-P 或)3,31(+P 或)3,31(-P

点评:在第(3)小题分类讨论时,一定要利用图形的特殊性来计算,可以使得运算简便。

本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式、求二次函数与x 轴的交点、相似三角形的判定与性质、利用配方法求二次函数的最值、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想及数形结合的数学思想.

【知识点】

1、利用待定系数法求二次函数解析式

2、求二次函数与x 轴的交点

已知抛物线y =ax 2+bx +c ,当y=0时,有ax 2+bx +c =0,解得21,x x x x ==,而(0,1x )(0,2x )即为二次函数与x 轴的交点。

3、相似三角形的判定和性质:

(1)判定方法:

预备定理:平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形和原三角形相似. 判定定理1:如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相

似(两角对应相等,两个三角形相似)

判定定理2:如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那

么这两个三角形相似。(两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似)

判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三

角形相似.(三边对应成比例,两个三角形相似)

直角三角形相似的判定定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形

的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相

似.(斜边和直角边对应成比例,两个直角三角形相似)

(2)性质定理:

定义:如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形。 相似三角形的性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等

于相似比。

相似三角形的性质定理2:相似三角形周长比等于相似比。

相似三角形的性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。

4、利用配方法求二次函数的最值:

先利用配方法把形如c bx ax y ++=2的二次函数解析式转化为k m x a y ++=2

)(的形式,当

0>a 时,k k m x a y ≥++=2)(,故函数有最小值k ;当0

5、等腰三角形的性质:

(1)等腰三角形的两腰相等.

(2)等腰三角形的两个底角相等.

(3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简称“等腰三角形

的三线合一”.

6、分类讨论的数学思想:

当我们所研究问题的条件中存在着不确定因素,我们需要进行分类讨论。分类讨论的思想是初中数学中的一种重要思想,运用分类的思想,通过正确的分类,可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。分类的原因可归结为:①涉及的数学概念是分类定义的;②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能;④数学问题中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同结果的。(2)分类讨论的一般步骤为:1)明确讨论的对象;2)确定分类标准,按一个标准进行分类;3)逐类讨论,做到“不重复”“不遗漏”;4)归纳小结,得出结论。当我们应用分类讨论思想解决问题时,必须保证分类科学、统一,并力求最简。

7、数形结合的数学思想:

数形结合思想是重要的数学思想之一,它是根据数学问题的条件和结论之问的内在联系,既分析研究对象的代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决.

【基本习题限时训练】 1、如图,在正三角形ABC 中,D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB

上的点,

DE ⊥AC ,EF ⊥AB ,FD ⊥BC ,则ΔDEF 的面积与ΔABC 的面积之比 等于………………………………………………………………( )

(A )1∶3 (B )2∶3 (C 2 (D 3

解析:选A

2、从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度h (米)与小球运动时 间t (秒)的函数关系式是29.8 4.9h t t =-,那么小球运动中的最大高度为……( )

(A )9.8米

(B )19.6米

(C )4.9米 (D )2.45米 解析:选C 3、已知抛物线c bx x y ++=2经过点(—1,8)(4,3),若该抛物线与x 轴和y 轴分别交

于A 、B 、C 三点,则△ABC 的面积为………………………………………………( )

(A )1 (B )2 (C )3 (D )4

解析:选B

【典型例题4】如图所示,已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 与y 轴交于点C .(09年山东德城25)

(1)求A 、B 、C 三点的坐标.

(2)过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ,求四边形ACBP 的面积.(3)在第一象限的抛物线上是否存在一点M ,过M 作

MG ⊥x 轴于点G ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形

与?PCA 相似.若存在,请求出M 解:(1)令0y =,得210x -= 解得1x =± 令0x =,得y =∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)-

(2)∵OA=OB=OC=1 ∴∠OAC =∠ACO =∠BCO =∠CBO =45

∵AP ∥CB ,∴∠P AB =∠CBO =45

D C

E

F A B

过点P 作PE ⊥x 轴于E ,则?APE 令OE =a ,则PE =AE=OE+1=1a + ∴P (,1)a a + ∵点P 在抛物线21y x =-上

∴211a a

+=-

解得12a =,21a =-(不合题意,舍去)∴PE =3

∴四边形ACBP 的面积S =S △ABP +S △ABC

=12AB ?OC +12AB ?PE =112123422??+??= (3)假设存在。∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC ∵MG ⊥x 轴于点G , ∴∠MGA =∠P AC =90 在Rt △AOC 中,OA=OC=1 ∴AC 在Rt △P AE 设M 点的横坐标为m ,则M 2(,1)m m -且1m > (ⅰ) 当AG PA =MG CA 时,∵AG =1m +,MG =21m - ∴ 2= 解得11m =-(舍去)243m = ∴M 47(,39

(ⅱ) 当AG CA =MG PA 时 2=解得:11m =-(舍去)24m = ∴M (4,15) ∴存在点M ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 39点评:本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点、相似三角形的性质、勾股定理的应用、利

用割补法求多边形的面积、分类讨论的数学思想及数形结合的数学思想.

【知识点】

1、已知抛物线y =ax 2+bx +c :

当y=0时,有ax 2+bx +c =0,解得21,x x x x ==,而(0,1x )(0,2x )即为二次函数与x

轴的交点;

当x=0时,有y=c ,而(0,c )即为二次函数与y 轴的交点.

2、相似三角形的性质:

定义:如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形。 相似三角形的性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等

于相似比。

相似三角形的性质定理2:相似三角形周长比等于相似比。

相似三角形的性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。

3、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和,等于斜边c 的平方,即a 2+b 2=c 2。能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数。如:(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17)……。

4、分类讨论的数学思想:

当我们所研究问题的条件中存在着不确定因素,我们需要进行分类讨论。分类讨论的思想是初中数学中的一种重要思想,运用分类的思想,通过正确的分类,可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。分类的原因可归结为:①涉及的数学概念是分类定义的;②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;③求解的数学问题的结论有多种情况

或多种可能;④数学问题中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同结果的。(2)分类讨论的一般步骤为:1)明确讨论的对象;2)确定分类标准,按一个标准进行分类;3)逐类讨论,做到“不重复”“不遗漏”;4)归纳小结,得出结论。当我们应用分类讨论思想解决问题时,必须保证分类科学、统一,并力求最简。

5、数形结合的数学思想:

数形结合思想是重要的数学思想之一,它是根据数学问题的条件和结论之问的内在联系,既分析研究对象的代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决.

【基本习题限时训练】 1、如图,在Rt ΔABC 中,∠ACB =90°,BC =3,AC =4,AB 的垂直

平分线DE 交BC 的延长线于点E ,则CE 的长为( ) (A )

32 (B )76 (C )256 (D )2 解析:选B

2、已知二次函数的表达式为248y x x =+.除原点外,该抛物线图象与x 轴的另一个交点的坐标为…………………………………………………………………………… ( ).

(A )(—2,0) (B )(2,0) (C )(4,0) (D )(—4,0) 解析:选A 3、在△ABC 中,∠B =25°,AD 是BC 边上的高,并且AD BD DC 2=·,则∠BCA 的度数为………………………………………………………………………………… ( ).

(A )65° (B )115° (C )65°或115° (D )以上答案都不对 解析:当△ABC 是锐角三角形时(如图1),

∠BCA=90°-25°=65°;

当△ABC 是钝角三角形时(如图2),

∠BCA=90°+25°=115°,

故选C

【典型例题5】已知:抛物线y=—x 2+bx +c 与x 轴、y 轴分

别相交于点A (—1,0)、B (0,3)两点,

其顶点为D .

(1)求该抛物线的解析式;

(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E .

求四边形ABDE 的面积;

(3)△AOB 与△BDE 是否相似?如果相似,

请予以证明;如果不相似,请说明理由.

解:(1)∵抛物线y=-x 2+bx+c 经过点A (-1,0)B (0,3) ∴??

?=+--=c c b 310 ∴???==3

2c b ∴抛物线的解析式为:y=-x 2+2x+3 (2)交点E (3,0)顶点D (1,4)过D 作DC 轴x ⊥ ∵ A (-1,0)B (0,3)C (1,0)∴AO=1 BO=3 CD=4 CO=1 CE=2

∴AOB S ?=

21×AO ×BO =23 CDE S ?=2

1×CE ×CD=4 ∴=BO CD 梯S 21×(BO+CD )×OC =2

7 ∴=ABDE S 四边形AOB S ?+CDE S ?+=BO CD 梯S 23+4+2

7=9 (3) A (-1,0)B (0,3)D(1,4) E (3,0)

∴AO=1 BO=3 AB=10 BD=2 BE=32 DE=25 A D

B

C

在AOB ?与DBE ?中 DB AO = BE BO = DE AB = 2

1 ∴AOB ?∽DBE ? 点评:本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式、两点间的距离公式、利用割补法

求多边形的面积、相似三角形的性质、分类讨论的数学思想及数形结合的数学思想等.

【知识点】

1、利用待定系数法求二次函数解析式:

2、两点间的距离公式:

直角坐标平面内两点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)的距离为d

3、利用分割法求多边形的面积:

对一些不规则图形的面积,不能使用割补法,可以利用不规则图形的凹凸特点,将其分割成若干个可以计算的规则图形(如:长方形、三角形、梯形、……),先将各个规则图形的面积计算出来,然后再把这些规则图形的面积加在一起,总面积就是不规则图形的面积。这种计算不规则图形的方法,叫做分割法。分割法都是计算平面几何图形面积的推导方法,也是一种思考方法,在解决面积问题求解时应用广泛。

4、相似三角形的性质:

定义:如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形。 相似三角形的性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等

于相似比。

相似三角形的性质定理2:相似三角形周长比等于相似比。

相似三角形的性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。

5、分类讨论的数学思想:

当我们所研究问题的条件中存在着不确定因素,我们需要进行分类讨论。分类讨论的思想是初中数学中的一种重要思想,运用分类的思想,通过正确的分类,可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。分类的原因可归结为:①涉及的数学概念是分类定义的;②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能;④数学问题中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同结果的。(2)分类讨论的一般步骤为:1)明确讨论的对象;2)确定分类标准,按一个标准进行分类;3)逐类讨论,做到“不重复”“不遗漏”;4)归纳小结,得出结论。当我们应用分类讨论思想解决问题时,必须保证分类科学、统一,并力求最简。

6、数形结合的数学思想

数形结合思想是重要的数学思想之一,它是根据数学问题的条件和结论之问的内在联系,既分析研究对象的代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决.

【基本习题限时训练】

1、已知二次函数过点A (0,2-),B (1-,0),C (5948

,),则该二次函数的解析式

为……………………………………………………………………………………( ).

(A )222-=x y (B )22-=x y (C )122-=x y (D )12-=x y

解析:设二次函数的解析式为c bx ax y ++=2(0a ≠), 把A (0,2-),B (1-,0),C (5948,)代入得:2092558164c a b c a b c ??=-?=-+???=++?

解得a=2,b=0,c=-2,∴二次函数的解析式为222

-=x y 故选A

2、如图,在平面直角坐标系中有一个△ABC ,则AC 边上的高为…………………( ).

(A )13(B )

137(C )13

13(D )13137 解析:∵5.332

319=---=?ABC S ,13=AC ∴==?AC

S h ABC 213137 故选D 3、如图,△ABC 中,18AB =,12AC =,点P 在AB 上, 且6AP =,点Q 在AC 上,联结PQ ,使得△APQ 与△ABC 相似,则AQ 的长度为…………………( ). (A )4 (B )9

(C )4或9 (D )以上答案都不对 解析:选

C

A

B C

(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案

一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄,则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 (C ) I (D ) 2. 设F 为抛物线 c : y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= ( k>0)与C 交于点P , PF 丄x 轴,则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C : T a 2 y_ 1(a 0,b 0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为 '、3,贝U C 的 焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C : 0)的左右焦点为 F i ,F 2,离心率为 丄3,过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3,则 C 的方程为() 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0)的一条渐近线平行于直线 I : y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为( 也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧, c 3x 2 1 C.— 25 占 八、、 的焦点, uu uuu OA OB A 、2 (其中O 为坐标原点),则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是( ) x 1 (D)

专题十一:综合能力题选讲

专题十一:综合能力题选讲 〖要点梳理〗 “立足基础,突出能力考查;从学科整体知识结构和思想体系上考虑问题,加强试题的综合性和应用性;创设新颖的情景和设问方式”构成了高考命题(数学科)的主旋律.这使得高考试卷中综合能力题的分量越来越重.通过综合知识来完成“逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力”的考查入情入理,而解答综合能力 题离不开数学的基本思想和基本方法的指导和运用.这就要求我们在平时的教学中注意和重视数学基本思想和方法的渗透和掌握,加强能力培养,教会学生善于抓住问题的实质,对所给问题提供的信息能进行分解、组合和加工,以便寻找解决问题的方法.另外,“增加思考量,控制计算量”值得我们在几何复习中深思. 〖慧眼评题〗 例1.设R x ∈,试比较()x f =x cos cos 与()x g =x sin sin 的大小关系. 【解答】观察所给的两个函数,它们均是两个三角函数的复合函数,因此,我们不难想到:它们可能仍然具备三角函数的某些性质,如单调性、周期性、奇偶性等. 初步判断便可以确定:()x f 、()x g 都是周期函数,且最小正周期分别为π、 π2.所以,只需考虑[]ππ,-∈x 的情形.

另外,由于()x f 为偶函数,()x g 为奇函数,所以,很自然的可以联想到:能否把需考虑的x 的范围继续缩小? 事实上,当[]0,π-∈x 时,()x f >0,()x g 0≤恒成立,此时,()x f >()x g . 下面,我们只需考虑[]π,0∈x 的情形. 如果我们把()x f 看作是关于x cos 的余弦函数,把()x g 看作是关于x sin 的正弦函数,那么这两个函数既不同名,自变量也不相同,为了能进行比较,我们可以作如下恒等变换,使之成为同名函数,以期利用三角函数的单调性. ?? ? ??-=x x sin 2cos sin sin π 至此为止,可以看出:由于x sin 2 -π 和x cos 同属于余弦函数的一个单调区间, (即 x sin 2 -π ,x cos ∈[]π,0) ,所以,只需比较x sin 2 -π 与x cos 的大小即可.事 实上, ( x sin 2 -π )—x cos = x sin 2 -π —x cos = ??? ? ? +-4sin 22ππ x 022>-≥π 所以,利用余弦函数在[]π,0上单调递减,可得: x sin sin

圆锥曲线的综合问题(答案版)讲课教案

圆锥曲线的综合问题 【考纲要求】 1.考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入 和设而不求的思想. 2.高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行,考查函数、方程、不等式、平面向 量等在解决问题中的综合运用. 【复习指导】 本讲复习时,应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系.会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数),会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题. 【基础梳理】 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程Ax +By +C =0(A 、B 不同时 为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ,y )=0,消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或 变量y )的一元方程. 即?? ?==++0 ),(0y x F c By Ax ,消去y 后得02 =++c bx ax (1)当0≠a 时,设方程02 =++c bx ax 的判别式为Δ,则Δ>0?直线与圆锥曲线C 相交;Δ=0?直线与圆锥曲线C 相切;Δ<0?直线与圆锥曲线C 无公共点. (2)当0=a ,0≠b 时,即得一个一次方程,则直线l 与圆锥曲线C 相交,且只有一个交点, 此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C 为抛物线, 则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行. 2.圆锥曲线的弦长 (1)定义:直线与圆锥曲线相交有两个交点时,这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做 圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段),线段的长就是弦长. (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ,B 两点,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB | =1+k 2 |x 1-x 2|=]4))[(1(212212x x x x k -++=a k ? ? +2 1=1+1 k 2·|y 1-y 2|. (抛物线的焦点弦长|AB |=x 1+x 2+p =2p sin 2 θ ,θ为弦AB 所在直线的倾斜角). 3、一种方法 点差法:在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,

圆锥曲线基础测试题大全

(北师大版)高二数学《圆锥曲线》基础测试试题 一、选择题 1.已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为 ( ) A .2 B .3 C .5 D .7 2. 椭圆32x 2+16 y 2 =1的焦距等于( )。 A .4 B 。8 C 。16 D 。123 3.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为 ( ) A . 116922=+y x B .1162522=+y x C .1162522=+y x 或125 162 2=+y x D .以上都不对 4.动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2,则点P 的轨迹是 ( ) A .双曲线 B .双曲线的一支 C .两条射线 D .一条射线 5.设双曲线的半焦距为c ,两条准线间的距离为d ,且d c =,那么双曲线的离心率e 等于 ( ) A .2 B .3 C .2 D .3 6.抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 ( ) A .25 B .5 C .2 15 D .10 7. 抛物线y 2=8x 的准线方程是( )。 (A )x =-2 (B )x =2 (C )x =-4 (D )y =-2 8.已知抛物线的焦点是F (0,4),则此抛物线的标准方程是( ) (A )x 2=16y (B )x 2=8y (C )y 2=16x (D )y 2=8x 9.经过(1,2)点的抛物线的标准方程是( ) (A )y 2=4x (B )x 2= 21y (C ) y 2=4x 或x 2=2 1 y (D ) y 2=4x 或x 2=4y 10.若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9,则点P 的坐标为 ( ) A .(7, B .(14, C .(7,± D .(7,-±

数学高考综合能力题选讲5

数学高考综合能力题选讲5 三角恒等变换 题型预测 三角恒等变形是运用三角解题的基础.高考中对于三角部分的考查,主要集中于三角恒等变换.难度一般控制在中、低档水平,复习时要注重通法和常规题型的掌握. 范例选讲 例1 求值: ? +?? ??+?+?80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2. 讲解 原式的分子? ? ?+??+?=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2 ??+?=20cos 10cos 20sin 2? ? +?= 20cos 10cos 40sin 320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =? ??=??+?=, 原式的分母=? ? +?=??+?80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()??+?+?=80sin 80cos 40cos 40cos ? ? ?+?=80sin 20cos 60cos 240cos 310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =? ??=??+?=, 所以,原式=1.

点评 三角函数式的化简和求值,是训练三角恒等变换的基本题型,在化简和求值中,常用的方法有:切割化弦、异名化同名、角的配凑、拆项、降幂与升幂等. 例2 已知5 4sin cos ,5 3cos sin =+=+βαβα,求βαsin cos 的值. 讲解 由条件直接解出βαsin cos 、的值是不可取的.由于 ()()()βαβαβα--+= sin sin 2 1 sin cos ,所以,应该设法由已知求出βα+及βα-的三角函数值. 已知可以让我们联想到形如n m =+=+βαβαcos cos ,sin sin 的式子,但二者又不完全相同.即后者可以直接和差化积,前者则不然.其实,只要作一个变换,令γπ β-= 2 ,则可将本题转化为我们熟悉的问题. 解1:令γπ β-= 2 ,则原题等价于: 已知5 4cos cos ,5 3 sin sin =+=+γαγα,求γαcos cos 的值. 两式分别和差化积并相除得:4 3 2 tan = +γ α,所以 ()2572tan 12tan 1cos 2 2 =?? ? ? ? ++? ?? ?? +-= +γαγαγα. 分别将已知两式平方并求和得:()2 1 cos -=-γα, 所以,()()()100 11 cos cos 21cos cos -=-++=γαγαγα. 在对式子n m =+=+βαβαcos cos ,sin sin 进行变形的过程中,我们不难联想到,既然可以平方相加,为什么不能平方相减呢?尝试的结果可以使我们得到下面的解法:

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点,连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ,与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 (1)求证:抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =+; (2)求证:112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F (1,0),动点P 在y 轴上运动,过点P 作PM 交x 轴于点M ,并延长MP 到点N ,且.||||,0PN PM PF PM ==? (1)动点N 的轨迹方程; (2)线l 与动点N 的轨迹交于A ,B 两点,若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且,求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图,椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ,P 为双曲线134:222=-y x C 右支上(x 轴上方)一点,连AP 交C 1于C ,连PB 并延长交C 1于D ,且△ACD 与△PCD 的面积 相等,求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -,动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . (Ⅰ)求W 的方程;

(Ⅱ)若,A B 是W 上的不同两点,O 是坐标原点,求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) (Ⅰ)若曲线C 是椭圆,求k 的取值范围; (Ⅱ)若曲线C 是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程; (Ⅲ)满足(Ⅱ)的双曲线上是否存在两点P ,Q 关于直线l :y=x -1对称,若存在,求出过P ,Q 的直线方程;若不存在,说明理由。 6. 如图(21)图,M (-2,0)和N (2,0)是平面上的两点,动点P 满足: 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程; (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠=,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点,直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ,与椭圆交于点,A B . (I )若3 MON π∠= ,双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 (II )若0OM MN ?=(O 为坐标原点),1 3 FA AN =,求椭圆的离心率e 。

初三数学函数综合题型及解题方法讲解

二次函数综合题型精讲精练 题型一:二次函数中的最值问题 例1:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A (﹣2,﹣4),O (0,0),B (2,0)三点. (1)求抛物线y=ax 2+bx+c 的解析式; (2)若点M 是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM 的最小值. 解析:(1)把A (﹣2,﹣4),O (0,0),B (2,0)三点的坐标代入y=ax 2+bx+c 中,得 解这个方程组,得a=﹣,b=1,c=0 所以解析式为y=﹣x 2+x . (2)由y=﹣x 2+x=﹣(x ﹣1)2+,可得 抛物线的对称轴为x=1,并且对称轴垂直平分线段OB ∴OM=BM ∴OM+AM=BM+AM 连接AB 交直线x=1于M 点,则此时OM+AM 最小 过点A 作AN ⊥x 轴于点N , 在Rt △ABN 中,AB== =4 , 因此OM+AM 最小值为 . 方法提炼:已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点A 、B ,求AM+BM 最小值的问题,我们只需做出点A 关于这条直线的对称点A ’,将点B 与连接起来交直线与点M ,那么A ’B 就是AM+BM 的最小值。同理,我们也可以做出点B 关于这条直线的对称点B ’,将点A 与B ’连接起来交直线与点那么AB ’就是AM+BM 的最小值。应用的定理是:两点之间线段最短。 A A B B M 或者 M A ’ B ’ 例2:已知抛物线1 C 的函数解析式为23(0)y ax bx a b =+-<,若抛物线1C 经过点 (0,3)-,方程230ax bx a +-=的两根为1x ,2x ,且124x x -=。 (1)求抛物线1C 的顶点坐标. (2)已知实数0x >,请证明:1 x x +≥2,并说明x 为何值时才会有12x x +=.

五上华数 第十五讲综合题选讲.doc

第十五讲综合题选讲 小学数学竞赛综合题,主要包括以下几个方面: 1.逻辑关系较复杂的问题; 2.数与形相结合的问题; 3.较复杂的应用题; 4.较灵活的组合、搭配问题; 5.与“最多”、“最少”有关的问题。 解答小学数学竞赛的综合题,首先要能熟练、正确解答有关的基本题,同时要认真读题,准确理解题意,在分析题目条件下,设计解题程序上下功夫。 例1:一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8,再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点,问:在棱的中点最少能标出几种数值? 分析对于1、2、3、4、5、6、7、8这些数中两两之和,有下列情形: 有4种形成9的和:1+8=2+7=3+6=4+5; 有3种形成8的和:1+7=2+6=3+5; 有3种形成10的和:2+8=3+7=4+6;

有3种形成7的和:1+6=2+5=3+4; 有3种形成11的和:3+8=4+7=5+6; 有2种形成6的和:1+5=2+4; 有2种形成5的和:1+4=2+3; 有2种形成12的和:4+8=5+7; 有2种形成13的和:5+8=6+7。 此外还有1+2=3,1+3=4,6+8=14,7+8=15各一种。 首先指出棱的中点处不可能仅出现3种数,理由是:3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15中的数,如果只用其中3个数(标在棱的中点处),那么这三个数不能写成共12种不同形式的(取自1、2、3、…、8之中的两数)和,而正方体棱数有12个。 再说明,棱的中点处不可能有4种不同数值,为证明这一点,可以分下列情况说明。 如果在12条棱上有3个“7”、3个“8”、3个“10”、3个“11”,那么在正方体顶点处要出现4次“6”进行运算,这是不可能的。因为每个顶点处的数只参加3次加法运算。 如果在12条棱上有3个“9”,此外,必定还有7、8、10、11中的某三个数字(各三次),那么棱上数之和只能是: (9+7+8+10)×3=102

圆锥曲线练习题(附答案)

) 圆锥曲线 一、填空题 1、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1,给出下面四个命题: ①由线C 不可能表示椭圆; ②当1<k <4时,曲线C 表示椭圆; ③若曲线C 表示双曲线,则k <1或k >4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆,则1<k <2 5 其中所有正确命题的序号为_____________. ? 2、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ,点P 在椭圆上,且满 足021=?PF PF ,2tan 21=∠F PF ,则该椭圆的离心率为 3.若0>m ,点?? ? ??25,m P 在双曲线15422=-y x 上,则点P 到该双曲线左焦点的距离为 . 4、已知圆22:6480C x y x y +--+=.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 . 5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,点A 的坐标是 (4,a ),则当||a >4时,||||PA PM +的最小值是 . 6. 在ABC 中,7 ,cos 18 AB BC B ==- .若以A ,B 为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = . 7.已知ABC ?的顶点B ()-3,0、C ()3,0,E 、F 分别为AB 、AC 的中点,AB 和AC 边上的中线交于G ,且5|GF |+|GE |=,则点G 的轨迹方程为 8.离心率3 5 = e ,一条准线为x =3的椭圆的标准方程是 .

9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________; 10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =(4,-3)平移后所得抛物线的焦点坐标为 . ^ 11、抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 . 12.已知F 1、F 2是椭圆2 2 22)10(a y a x -+=1(5<a <10=的两个焦点,B 是短轴的一个端 点,则△F 1BF 2的面积的最大值是 13.设O 是坐标原点,F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点,A 是抛物线上的一点, 与x 轴正向的夹角为60°,则||为 . 14.在ABC △中,AB BC =,7 cos 18 B =-.若以A B ,为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率e = . 二.解答题 15、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值1 2 -. . (Ⅰ)试求动点P 的轨迹方程C. (Ⅱ)设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点,当|MN |=3 2 4时,求直线l 的方程.

2014年暑假 三年级 精英班 第15讲 竞赛真题选讲 教师版

第十五讲 竞赛真题选讲 1. 明明妈妈在购物时发现一个有趣的现象,她每次付款时钱包内的钱数正好是所 付金额的5倍,她结帐两次后钱包内还剩320元,请问在一开始购物前她钱包内有多少钱?(小机灵杯,第十二届决赛) 【解析】 每次付款时,钱包内的金额是所付金额的5倍,则付完钱后,钱包内的金额是所付金额的5-1=4倍,所以第二次付了320(51)80÷-=(元),付款前有400580=?(元),第一次付了400(5-1)100÷=(元),付款前有5005100=?(元)。 2. 3根火柴可以摆成一个小三角形。下图用很多根火柴摆成了一个中空的大三角 形。已知大三角形外沿上每条边都是20根火柴。摆成这个图共需要多少根火柴?(走美杯,第六届决赛) 【解析】 不难发现图中的火柴的摆放只有三种不同方向的放法,我们可以一一求出每个方向火柴的数量。 每个方向均有火柴7423-2020191=?+++)((根)。故一共需要火柴222374=?(根)。 3. 有A 、B 、C 、D 四个点从左向右依次排在一条直线上。以这四个点为端点, 可以组成6条线段。已知这6条线段的长度分别是14、21、34、35、48、69(单位:毫米),那么线段BC 的长度是多少毫米?(中环杯,第十三届初赛) 【解析】 这4个点组成了3条基本线段,而这三条基本线段的长度和应为6条线段中最长的线段,即长度为69毫米。由于14213469++=。所以3条基本线段的长度分别为14毫米、21毫米、34毫米。那么35毫米和48毫米则为含2条基本线段的线段长度。由于351421=+,481434=+,其中14用到了2次,所以作为中间的基本线段BC 的长度应为14毫米。 4. 玉米炮有单筒玉米炮、双筒玉米炮、三筒玉米炮三种。单筒玉米炮每次发射一 根玉米,可以消灭8个僵尸;双筒玉米炮每次发射2根玉米,每根玉米消灭7个僵尸,三筒玉米炮每次发射3根玉米,每根玉米消灭6个僵尸。玉米炮一共开炮

圆锥曲线综合练习试题(有答案)

圆锥曲线综合练习 一、 选择题: 1.已知椭圆221102 x y m m +=--的长轴在y 轴上,若焦距为4,则m 等于( ) A .4 B .5 C .7 D .8 2.直线220x y -+=经过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为( ) A B .12 C .2 3 3.设双曲线22 219 x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=,则a 的值为( ) A .4 B .3 C .2 D .1 4.若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线2 2 1y x m +=的离心率是( ) A B C D 5.已知双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>,,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N , 两点,O 为坐标原点.若OM ON ⊥,则双曲线的离心率为( ) A B 6.已知点12F F ,是椭圆2 2 22x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,那么12||PF PF +u u u r u u u u r 的最小值是( ) A .0 B .1 C .2 D .7.双曲线221259 x y -=上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为( ) A .22或2 B .7 C .22 D .2 8.P 为双曲线22 1916 x y -=的右支上一点,M N ,分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点, 则||||PM PN -的最大值为( ) A .6 B .7 C .8 D .9 9.已知点(8)P a ,在抛物线24y px =上,且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( ) A .2 B .4 C .8 D .16 10.在正ABC △中,D AB E AC ∈∈,,向量12DE BC =u u u r u u u r ,则以B C ,为焦点,且过D E ,的双曲线离心率为( ) A B 1 C 1 D 1 11.两个正数a b ,的等差中项是92,一个等比中项是a b >,则抛物线2b y x a =-的焦点坐标是( ) A .5(0)16- , B .2(0)5-, C .1(0)5-, D .1 (0)5 , 12.已知12A A ,分别为椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ,的点P

数学题

【本讲重点 】 1.不识“数论”真面目,只因知识不系统——数论专题系统梳理 2.数论专题综合性题目选讲 模块一: 数论专题系统梳理 一、整除性质 ①如果自然数a 为M 的倍数,则ka 为M 的倍数。(k 为正整数) ②如果自然数a 、b 均为M 的倍数,则a +b ,a -b 均为M 的倍数。 ③如果a 为M 的倍数,p 为M 的约数,则a 为p 的倍数。 ④如果a 为M 的倍数,且a 为N 的倍数,则a 为[M ,N ]的倍数。 二、整除特征 1.末位系列 (2,5)末位 (4,25)末两位 (8,125)末三位 2.数段和系列 3、9各位数字之和 ——任意分段原则(无敌乱切法) 33,99两位截断法 ——偶数位任意分段原则 3.数段差系列 11整除判断:奇和与偶和之差 余数判断:奇和-偶和(不够减补十一,直到够减为止) 7、11、13—三位截断法:从右往左,三位一隔: ???整除判断:奇段和与偶段和之差 余数判断:奇段和-偶段和(不够减补,直到够减)则

三、整除技巧: 1.除数分拆:(互质分拆,要有特征) 2.除数合并:(结合试除,或有特征) 3.试除技巧:(末尾未知,除数较大) 4.同余划删:(从前往后,剩的纯粹) 5.断位技巧:(两不得罪,最小公倍) 四、约数三定律 约数个数定律:(指数+1)再连乘 约数和定律:(每个质因子不同次幂相加)再连乘 约数积定律:自身n (n =约数个数÷2) 五、完全平方数 ①特征 ????????末位:0、1、4、5、6、9 ÷3余0或1余数: ÷4余0或1 ②奇数个约数?完全平方数?偶指性 六、短除模型 七、质数明星: 2?奇偶性 5?个位 八、分解质因数 1.质数:快速判断 2.唯一分解定律 3.见积就拆——大质因子分析 九、余数定律 1.利用整除性质求余数 2.利用余数性质求余数 3.利用除数分拆求余数 十、带余除式 代数思想?数论方程?去余化乘,找倍试约 十一、同余问题 1.同余定理:如果a 与b 除以m 余数相同,则a 、b 之差为m 的倍数。 2.①????→余数性质不同余同余 ②去余化乘,找倍试约。

圆锥曲线综合测试题

圆锥曲线综合测试题 一、选择题 1.如果22 2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( ) A .()+∞,0 B .()2,0 C .()+∞,1 D .()1,0 2.以椭圆116 252 2=+y x 的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程( ) A .1481622=-y x B .127922=-y x C .1481622=-y x 或127 92 2=-y x D .以上都不对 3.过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ,1F 是另一焦点,若∠21π= Q PF ,则双曲线的 离心率e 等于( ) A .12- B .2 C .12+ D .22+ 4.21,F F 是椭圆17 92 2=+y x 的两个焦点,A 为椭圆上一点,且∠02145=F AF ,则Δ12AF F 的面积为( ) A .7 B .47 C .2 7 D .257 5.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程() A .23x y =或23x y -= B .23x y = C .x y 92-=或23x y = D .23x y -=或x y 92= 6.设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦,则AB 的最小值为( ) A .2 p B .p C .p 2 D .无法确定 7.若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为( ) A .1 (,)44± B .1(,84± C .1(,44 D .1(,84 8.椭圆124 492 2=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直,则△21F PF 的面积为 A .20 B .22 C .28 D .24 9.若点A 的坐标为(3,2),F 是抛物线x y 22 =的焦点,点M 在抛物线上移动时,使MA MF +取得最小值的M 的坐标为( )

五年级上册奥数第十五讲 综合题选讲_通用版(例题含答案)

第十五讲综合题选讲 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念,最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云:“伯安入小学,颖悟非凡貌,属句有夙性,说字惊老师。”于是看,宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”,而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见,“教师”一说是比较晚的事了。如今体会,“教师”的含义比之“老师”一说,具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后,教师与其他官员一样依法令任命,故又称“教师”为“教员”。小学数学竞赛综合题,主要包括以下几个方面: 一般说来,“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋(唐初学者,四门博士)《春秋谷梁传疏》曰:“师者教人以不及,故谓师为师资也”。这儿的“师资”,其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云:“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形,但仍说不上是名副其实的“教师”,因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。①逻辑关系较复杂的问题; 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简

单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。②数与形相结合的问题; ③较复杂的应用题; ④较灵活的组合、搭配问题; ⑤与“最多”、“最少”有关的问题。 解答小学数学竞赛的综合题,首先要能熟练、正确解答有关的基本题,同时要认真读题,准确理解题意,在分析题目条件,设计解题程序上下功夫。 例1 一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点,问:在棱的中点最少能标出几种数值? 分析对于1、2、3、4、5、6、7、8这些数中两两之和,有下列情形: 有4种形成9的和:1+8=2+7=3+6=4+5;

10四年级下册数学试题-奥数专题练习:第十讲 数字综合题(含答案)全国通用

第十讲:数字综合题选讲 基础班 1.计算从1到2007的所有奇数之和. 4.求从1到2008的自然数中有多少个数除以3余2? 5.将所有自然数按图排列成一个“数字塔”形,问: (1)第100行的最后一个数是多少? (2)前100行共有多少个数? (3)第100行有多少个数? (4)第100行的第一个数是多少? (5)第100行中间那个数是多少? 6.一个四位数,划掉它的个位数字得第二个数;划掉它的个位、十位上的数字得第三个数.已知这三个数的和为4212,求这个四位数. 答案 1.994009. 解从1至2007共有奇数: 2008÷2=1004(个) 这些奇数之和为 1004× 1004= 1008016 3.解因为六位数111111被7整除,即 111111÷7=15873 而且 1994÷6=332 (2) 11÷7=1 (4)

4.669. 解从小到大列出这些数: 2,5,8,11, (1994) 第二个数:5=2+3×1 第三个数:8=2+3×2 第四个数:11=2+3×3 第五个数: 14=2+3×4 第K个数:2+3×(K-1) 2008=2+3×(669-1),所以从 1至 2008有 669个除以3余2的数. 5.(1)10000;(2)10000;(3)199;(4)9802;(5)9901. 解(1)先列出下表规察规律: 从上表不难看出第100行的最后一个数是: 100×100=10000. (2)前100行中数的个数应为各行中数的个数之和: (3)第100行中数的个数就是自1开始的第100个奇数,等于: 1+2×(100-1)=199. (4)由于第100行共有199个数,最后一个数是10000,所以第一个数是: 10000-199+1=9802 (5)由于第100行共有199个数,所以中间一个数应该是从左数第100个数,即 9802+(100-1)=9901. 6.所求四位数为3796. 提高班 1.已知数87888990…153154155是由自然数87到155依次排列而成的,从左至右第88位上的数字是几? 答案

习题三选讲

(1)圆锥面φd1对轴线的倾向圆跳动公差0.03mm; (2)φd1轴颈的圆柱度公差0.005mm; (3)φd2左端面对φd1轴线的端面圆跳动公差0.02mm; (4)φd2轴的轴线相对φd1轴的轴线同轴度公差0.01mm,采用最大实体要求;(5)φd1、φd1均采用h6公差带并采用包容要求; (6)圆锥左端面对φd1轴线的垂直度公差0.02mm; (7)圆锥的圆度公差为0.008mm。

(1)左端面的平面度公差0.01mm; (2)右端面对左端面的平行度公差0.02mm; (3)φ70孔按H7遵守相关原则的包容要求,φ210外圆按h7遵守独立原则; (4)φ70孔的轴线对左端面的垂直度公差0.025mm; (5)φ210外圆的轴线对φ70孔的轴线同轴度公差0.008mm; (6)4-φ20H8孔轴线对左端面(第一基准)及φ70孔轴线的位置度公差为φ0.15mm(要求均布),并采用最大实体要求,同时进一步要求4-φ20H8孔之间轴线的位置度公差为φ0.05mm(对第一基准)

16. 按下图中有关尺寸和几何公差的规定,填满表格内容(单位mm) MMS:内尺寸要素(孔)的下极限尺寸(孔最小),外尺寸要素(轴)的上极限尺寸(轴最大), 最大实体实效边界MMVB; 最大实体实效尺寸MMVS:对于内尺寸(孔)MMVS=MMS -几何公差 最小实体实效边界LMVB; 最小实体实效尺寸LMVS:对于内尺寸(孔)LMVS=LMS +几何公差 最大实体实效边界MMVB:最大实体实效状态MMVC对应的极限包容面 最大实体边界MMB:最大实体状态MMC的理想形状的极限包容面 最小实体边界LMB:最小实体状态LMC的理想形状的极限包容面 最小实体实效边界LMVB:最小实体实效状态LMVC对应的极限包容面 MMC MMB MMS LMC LMB LMS 参考【GB/T 16671-2009 ……最大实体要求、最小实体要求和可逆要求】中的例8。 E 包容要求:主要应用于有配合要求,且其极限间隙或过盈必须严格得到保证的场合。 M 最大实体要求:尺寸误差补偿给几何误差;目的保证装配互换,可装配性 L 最小实体要求:尺寸误差补偿给几何误差;保证零件的最小壁厚或设计强度。 R 可逆要求:“反补偿要求”,当几何误差值小于其给定公差值时,允许其实际尺寸超出极限尺寸(MMS,LMS)。 M R:目的保证装配互换,可装配性【尺寸公差和配合无严格要求】 L R:少见

圆锥曲线的综合经典例题(有答案)

经典例题精析 类型一:求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横 坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨:先确定椭圆标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、(定量). 解析: 方法一:因为有焦点为, 所以设椭圆方程为,, 由,消去得, 所以 解得 故椭圆标准方程为 方法二:设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以, 由得,(点差法) 所以 又

故椭圆标准方程为. 举一反三: 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直, 且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为(), 并有,解之得,, ∴椭圆标准方程为 2.根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)与双曲线有共同的渐近线,且过点; (2)与双曲线有公共焦点,且过点 解析: (1)解法一:设双曲线的方程为 由题意,得,解得, 所以双曲线的方程为 解法二:设所求双曲线方程为(),

将点代入得, 所以双曲线方程为即 (2)解法一:设双曲线方程为-=1 由题意易求 又双曲线过点,∴ 又∵,∴, 故所求双曲线的方程为. 解法二:设双曲线方程为, 将点代入得, 所以双曲线方程为. 总结升华:先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、.在第(1)小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程. 然后代点坐标求得方法简便.第(2)小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程,关键是求、,在解题过程中应熟悉各元素(、、、及 准线)之间的 关系,并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程,可设双曲线方程为 (). 举一反三: 【变式】求中心在原点,对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)一渐近线方程为,且双曲线过点.

高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题

第1题图 第6题图 高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如图4所示,圆O 的直径AB =6,C 为圆周上一点,BC =3过C 作 圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( ) A .15? B .30? C .45? D .60? 【解析】由弦切角定理得60DCA B ∠=∠=?,又AD l ⊥,故30DAC ∠=?, 故选B . 2.在Rt ABC ?中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,是该图中共有x 个三角形与ABC ?相似,则x =( ) A .0 B .1 C .2 D .3 【解析】2个:ACD ?和CBD ?,故选C . 3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( ) D .99cm 【(0)k k >,由相交弦定理得 33k =cm .故选B . 4.ABC ?与 cm D . 5.P C D 经过圆心,已知 C .6 )(12)r r -+,解得8r =.故选6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D , 且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2 tan 2θ=( ) A .13 B .14 C .4- D .3 A B C D E 第4题图

第11题图 第10题图 第9题图 【解析】设半径为r ,则31,22AD r BD r ==,由2CD AD BD =?得2 CD r =,从而3π θ=, 故21tan 23 θ=,选A . 7.在ABC ?中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ?的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( ) A . B .1:2 C .1:3 D .1:4 【解析】ADE ABC ?? ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B . 8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个. A .2 B .3 C .4 D .5 1个,一外切一内切的2个,9..由4个这样的 , ( ) D .4 mm , AC ,AQ =23AB +14AC , A . 15 B . 45 C . 14 D . 13 【解析】如图,设25AM AB = ,15AN AC = ,则AP AM AN =+ .

圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)

圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程: 1、(1)已知双曲线1C 与椭圆2C :22 13649 x y +=有公共的焦点,并且双曲线的离心率1e 与椭圆的 离心率2e 之比为7 3,求双曲线1C 的方程. (2)以抛物线2 8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ,求P 点的轨迹方程. (1)解:1C 的焦点坐标为(0,13).±2137e = 由1273 e e =得1133e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2 2 222 13 139a b a b a ?+=??+=? ? 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= (2)解:设点00(,),(,)M x y P x y ,则00 62 2 x x y y +? =????=??,∴00262x x y y =-??=?. 代入2008y x =得:2 412y x =-.此即为点P 的轨迹方程. 2、(1)ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,建立适当的坐标系求此三 角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.(2)△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5 3 sinA,求点A 的轨迹方程. 解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ,,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c , 有6=b ,故其方程为 ()01361002 2≠=+y y x .设()y x A ,,()y x G '',,则()013610022≠'='+'y y x . ①由题意有??? ????='='33 y y x x ,代入①,得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点). (2)分析:由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以2R (R 为外接圆半径),可转化为边长的关系. 解:sinC-sinB= 53sinA 2RsinC-2RsinB=5 3 ·2RsinA ∴BC AC AB 5 3 = - 即6=-AC AB (*) ∴点A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4 所求轨迹方程为 116 92 2=-y x (x>3) 点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 3、如图,两束光线从点M (-4,1)分别射向直线y = -2上两点P (x 1,y 1)和Q (x 2,y 2)后, 反射光线恰好通过椭圆C :12222=+b y a x (a >b >0)的两焦点,已知椭圆的离心率为21 ,且 x 2-x 1=5 6 ,求椭圆C 的方程. 解:设a =2k ,c =k ,k ≠0,则b =3k ,其椭圆的方程为13422 22=-k y k x . 由题设条件得:114) 2(120x x k ----=--+, ① 2 24) 2(120x x k ----=--+, ② x 2-x 1=5 6 , ③ 由①、②、③解得:k =1,x 1=5 11 -,x 2=-1,所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ?中,2 1 tan =M ,2tan -=N ,建立适当的坐标系,求出以M 、N 为 ∴所求椭圆方程为 13 1542 2=+y x 解:以MN 的中点为原点,MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设),(y x P . 则? ??? ?????==+-=-. 1,21,2cy c x y c x y ∴???????===233435c c y c x 且即

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