减少解析几何解答题计算量的技巧

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减少解析几何解答题计算量的技巧

作者：张宏翀

来源：《高中生·高考指导》2015年第02期

技巧1：用好数形结合思想和“设而不求”法

学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大.事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦

达定理、曲线系方程以及“设而不求”法，往往能够减少计算量.像直线与圆锥曲线的相交关系，高考一般进行重点考查.这种凡涉及圆锥曲线中的弦长问题，我们常用的技巧是将直线与圆锥

曲线方程联立，用根与系数的关系、整体代入和“设而不求”法，除了运用代数方程外，还要注意充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识（如三角形的面积问题），使问题简单、直观化，从而能够顺利解决.

例1 已知抛物线C：y2=2px（p>0）上有一点Q（2，y0）到焦点F的距离为 ; .

（Ⅰ）求p及y0的值.

（Ⅱ）如右图所示，设直线y=kx+b与抛物线交于A，B两点，且两点的纵坐标差的绝对值为2.过弦AB的中点M作垂直于y轴的直线，与抛物线交于点D，连接AD，BD.试判断

△ABD的面积是否为定值.若是，求出定值;若不是，请说明理由.

难度系数 0.60

分析本题考查抛物线的标准方程与几何性质，利用抛物线的定义就能解决.直线与抛物线的相交位置关系问题，一般方法是先联立方程，利用“设而不求”法解题，同时要注意判别式的限制作用.三角形的面积要用顶点的坐标来表示，这是解析几何中常用的技巧，一定要引起重视，熟练掌握.

解（Ⅰ）由于点F的坐标为（ ; ，0），所以2+ ; = ; ，解得p=1.于是可知抛物线的方程为y2=2x.

又Q（2，y0）在抛物线上，所以y0 =±2.

（Ⅱ）设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则有|y1-y2|=2.

由y=kx+b，y2=2x，得k2x2+2（kb-1）x+b2 =0.由Δ>0，得1-2kb>0.所以有x1+x2 = ; ，

x1x2 = ; .

由于|y1-y2|2 = k2|x1-x2|2 =k2[（x1+x2）2- 4x1x2]= ; = 4，所以1-2kb= k2.