基于matlab的倒立摆仿真设计

基于matlab的倒立摆的仿真与设计姓名:贾永伟专业:测控技术与仪器学号:1123105950 年级:2011级

摘要：倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒

立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。

本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。

关键词：一级倒立摆，PID，MATLAB仿真

一、倒立摆模型的研究意义

倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制都有重要意义

倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实卫星飞行中的姿态控制等。故其研究意义广泛。

二、倒立摆模型的数学建模

质量为m的小球固结于长度为L的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M的小车铰接相连。由经验知：通过控制施加在小车上的力F（包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型

分析过程如下：

如图所示，设细杆摆沿顺时针方向转动为正方向，水平向右方向为水平方向上的正方向。当细杆摆顺时针往右运动时水平方向施加的力应该为水平向右。

现对小车和细杆摆分别进行隔离受力分析：

（1）对小车有： F-F’sinθ=Mx’’（a）

（2）对小球有：

水平方向上运动为 x+lsinθ

故水平方向受力为 F’sinθ= m（x+lsinθ）’’

=m（x’+lcosθθ’)’

= mx’’+mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2 （b）

由（a）、（b）两式得 F= (M+m)x’’+mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2 <1>

小球垂直方向上位移为 lcosθ

故受力为F’cosθ-mg=m(lcosθ)’’

=-mlθ’’sinθ-ml cosθ(θ’)^2

即 F’cosθ=mg-mlθ’’sinθ-ml cosθ(θ’)^2 （c）由（b）、（c）两式得

cosθx’’ =gsinθ- lθ’’ <2>

故可得以下运动方程组：

F= (M+m)x’’ +mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2

cos θx ’’ =gsin θ- l θ’’

以上方程组为非线性方程组，故需做如下线性化处理：

sin ,cos 13!2!θθθθθ≈-≈-

当θ很小时，由cos θ、sin θ的幂级数展开式可知，忽略高次项后，可得cos θ≈1，sin θ≈θ，θ’’≈0 故线性化后运动方程组简化为 F= (M+m)x ’’ +ml θ’’ x ’’ =g θ- l θ’’

下面进行系统状态空间方程的求解：

以摆角θ、角速度θ’、小车位移x 、加速度x ’为系统状态变量，Y 为输出，F 为

输入

即X=????????????4321x x x x =????

??????x'x 'θθ Y=??????x θ=???

???31x x

由线性化后运动方程组得 x1’=θ’=x2 x2’=''θ=

()Ml

g m M +x1-Ml

1 F X3’ =x ’=x4 x4’=x ’’=-M

x1+M 1 F

故空间状态方程如下：

X ’=????????????'4'3'2'1x x x x =()?????????

???

???-+00

10000000010

g m M ?

???

??????4321x x x x + ????????

??????????-M Ml 1010 F

??1x >>D=[0;0]

>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1); >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) num =

0 -0.0000 -1.0000 0 0 0 -0.0000 0.5000 -0.0000 -9.8000 den =

1.0000 0 -20.5800 0 0

由上可以得出角度对力F 的传递函数：

位移X 对外力F 的传递函数：

三、用MATLAB 的Simulink 仿真系统进行建模 1、没校正之前的θ-F 控制系统

.201

)()(2

--=Φs s F s 2

258.208

.95.0)()(s s s s F s X --=

由于未加进控制环节，故系统输出发散

2、加进控制环节，实现时域的稳定控制

给系统加入PID控制，设置系统稳定值为0，给系统一个初始干扰冲击信号采用试凑法不断调整PID参数，使系统达到所需的控制效果

当系统Kp=-100，Ti=Td=0时输出如下：

不断地调整参数，最后得到稳定的响应 Kp=-1000，Ti=1，Td=-40时

可见调整好参数后，系统基本达到稳定，净差基本为0，超调较小，响应时间较小。再微调后，得到最终的响应曲线响应时间较小，Tp=0.2s

3、时域达到稳定后，进行离散化分析

离散模型系统控制框图如下

当Kp=-100，Ti=0，Td=0时输出：发散，需加大Kp、增加Ti 、Td控制

Kp=-100，Ti=-2，Td=-1000时输出：仍需要调节PID，由图可知超调仍大，响应时间稍长，故微增加Kp、Ti、Td

反复试凑PID参数后，得到较好的响应曲线如下（Kp=-110，Ti=-4，Td=-1500时）

可见调整好参数后，系统基本达到稳定，净差基本为0，超调较小，响应时间较小。再微调后，得到最终的响应曲线响应时间较小，Tp=0.5s。至此，离散域的控制顺利实现

四、实验总结与分析

1、本实验，从数学建模到仿真系统的搭建，再到加进控制环节进行实时控制，最后得出结果的过程中，参考了大量的资料，通过对比整合，设计出了适合自己的一套实验方法：倒立摆数学模型推导部分：首先用牛顿—欧拉方法建立数学模型，接着用动态系统空间状态方程法导出状态方程系数矩阵，然后用MATLAB 对数学模型进行从状态空间到传递函数的变换（包括传递函数的拉氏变换与Z 变换），得到系统的传递函数模型。接着根据数学建模得出的传递函数进行系统模型的搭建，在Simulink软件上进行系统仿真，采用最为广泛的PID控制算法，先用连续系统的设计方法设计出模拟控制器，然后在满足一定条件下，对其进行离散化处理，(采用加零阶保持器的Z变换法)形成数字控制器。接着进行PID参数整定，利用试凑法,根据PID控制器各组成环节对系统性能的影响，从一组初始PID参数开始反复试凑，直至获得，满意的控制效果。此实验中，系统的控制非常稳定，性能较好。

2、由实验中可知，倒立摆系统是一个非线性的较复杂的不稳定系统，故要满足稳定性要求，就得对系统进行线性化近似和稳定控制。本实验中，在做了线性化和加进控制调整后，系统达到了良好的稳定状态。当然，这只是一个理想模型，在实际应用中情况会更加复杂，稳定性也更难获得。不过，通过实验，我们至少掌握了简单控制的基本方法，并得到了预期的实验效果。

3、通过本实验，掌握了倒立摆仿真的整个过程，熟悉了MATLAB的仿真软件Simulink的使用，也对系统控制有了较好的理解。作为本次实验的组长，自己更是从中掌握了合作实验开展中的一般步骤，对小组进行分工，掌握实验的主体线路。此次实验中，自始至终发挥了组长的作用，从建模到最后的仿真调试，都秉着认真负责的态度完成了倒立摆仿真研究。

4、此外，通过仿真，再次认识到了自动控制在改善系统性能方面的重要性，并激发了良好的关于系统控制方面的学习兴趣，在此基础上，相信对以后的进一步研究将会有较大帮助。

五、参考文献

[1]黄坚.自动控制原理及其应用[M].北京：高等教育出版社，2004.1

[2]孙德宝.自动控制原理[M].北京：化学工业出版社，2002.7

[3]胡寿松.自动控制原理（第四版）[M].北京：科学出版社，2001.2

[4]周伯敏.自动控制理论[M].北京：机械工业出版社，1999.1

[5]夏德钤，翁贻芳.自动控制理论[M].北京：机械工业出版社，2004.1

[6]刘时鹏.MATLAB环境下直线单级倒立摆系统实时控制实验的研究与设计[R].重庆大学自动化学院,2004.6

基于MATLAB(矩阵实验室)的倒立摆控制系统仿真

基于MATLAB（矩阵实验室)的倒立摆控制系统仿真摘要自动控制原理（包括经典部分和现代部分）是电气信息工程学院学生的一门必修专业基础课，课程中的一些概念相对比较抽象，如系统的稳定性、可控性、收敛速度和抗干扰能力等。倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，它是一个理想的教学实验设备，许多抽象的控制概念都可以通过倒立摆直观地表现出来。本文以一级倒立摆为被控对象，用经典控制理论设计控制器（PID控制器）的设计方法和用现代控制理论设计控制器（极点配置）的设计方法，通过MATLAB仿真软件的方法来实现。关键词：一级倒立摆PID控制器极点配置

Inverted pendulum controlling system simulation based on the MATLAB ABSTRACT Automatic control theory (including classical parts and modern parts) is a compulsory specialized fundamental course of the students majored in electrical engineering. Some of the curriculum concept is relatively abstract, such as the stability, controllability, convergence rate and the anti-interference ability of system. Inverted pendulum system is a typical nonlinear, strong coupling, multivariable and unstable system. It is an ideal teaching experimental equipment as a controlled object, by which many abstract control concepts can be came out directly. This paper chose first-order inverted pendulum as the controlled object. First, the PID controller was designed with classical control theory. Then pole-assignment method was discussed with modern control theory. At last, the effectness of the two methods was verified by MATLAB simulation software. KEY WORDS: First-order inverted pendulum PID controller pole-assignment

基于matlab的一级倒立摆自适应仿真

第一章绪论 1.1倒立摆系统的简介 1.1.1倒立摆系统的研究背景及意义倒立摆系统的最初分析研究开始于二十世纪五十年代，是一个比较复杂的不稳定、多变量、带有非线性和强耦合特性的高阶机械系统，它的稳定控制是控制理论应用的一个典型范例[1]。倒立摆系统存在严重的不确定性，一方面是系统的参数的不确定性，一方面是系统的受到不确定因素的干扰。通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论问题，还将控制理论涉及的相关主要学科：机械、力学、数学、电学和计算机等综合应用。在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程中，存在一种可行性的实验问题，将其理论和方法得到有效的验证，倒立摆系统可以此提供一个从控制理论通过实践的桥梁。近些年来，国内外不少专家、学者一直将它视为典型的研究对象，提出了很多控制方案，对倒立摆系统的稳定性和镇定问题进行了大量研究，都在试图寻找不同的控制方法实现对倒立摆的控制，以便检查或说明该方法的严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力，其控制方法在军工、航天、机械人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途，如精密仪器的加工、机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、导弹拦截控制、航空对接控制、卫星飞行中的姿态控制等方面均涉及到倒置问题。因此，从控制这个角度上讲，对倒立摆的研究在理论和方法论上均有着深远意义。倒立摆系统是一个典型的自不稳定系统，其中摆作为一个典型的振动和运动问题，可以抽象为许多问题来研究。随着非线性科学的发展，以前的采用线性化方法来描述非线性的性质，固然无可非议，但这种方法是很有局限性，非线性的一些本质特征往往不是用线性的方法所能体

现的。非线性是造成混乱、无序或混沌的核心因素，造成混乱、无序或混沌并不意味着需要复杂的原因，简单的非线性就会产生非常的混乱、无序或混沌。在倒立摆系统中含有极其丰富和复杂的动力学行为，如分叉、分形和混沌动力学，这方面的问题也值得去探讨和研究。无论哪种类型的倒立摆系统都具有如下特性[2]： (1)非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统。实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制，也可以利用非线性控制理论对其进行控制，倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。 (2)不确定性主要是指建立系统数学模型时的参数误差、量测噪声以及机械传动过程中的减速齿轮间隙等非线性因素所导致的难以量化的部分。 (3)欠冗余性一般的，倒立摆控制系统采用单电机驱动，因而它与冗余机构，比如说冗余机器人有较大的不同。之所以采用欠冗余的设计是要在不失系统可靠性的前提下节约经济成本或者节约有效的空间。研究者常常是希望通过对倒立摆控制系统的研究获得性能较为突出的新型控制器设计方法，并验证其有效性及控制性能。 (4)耦合特性倒立摆摆杆和小车之间，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间都是强耦合的。这既是可以采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也是使得控制系统的设计、控制器参数调节变得复杂的原因。 (5)开环不稳定性倒立摆系统有两个平衡状态：垂直向下和垂直向上。垂直向下的状态是系统稳定的平衡点(考虑摩擦力的影响)，而垂直向上的状态是系统不稳定的平衡点，开环时微小的扰动都会使系统离开垂直向上的状态而进入到垂直向下的状态中。 (6)约束限制由于实际机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对于倒立

倒立摆系统的建模及Matlab仿真资料

第1 页共11 页倒立摆系统的建模及Matlab仿真 1.系统的物理模型考虑如图(1)所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。图(1)倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。摆杆的质量：m=0.1g l=1m小车的质量：摆杆的长度：2重力加速度：g=9.8m/M=1kg s摆杆的质量在摆杆的中心。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量?≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。 ?）,在u设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（作用下，小车及摆均产生加速远动，sin?lz根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u平衡，于是有 22dzd?)?sinu?M?m(zl22dtdt???2????z(M?mml?)cos?mlusin? 即：??①

绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有．第2 页共11 页 2??d??? sin??lcosm(z?lsinmgl)??2dt?????22???????即： nis?l?ocgcosincoszs?ls??② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直?2?????且可忽略则，立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，1sincos??,项。于是有 ???M?zm?u?ml??)(③ ????g?z?l??④联立求解可得1mg?u?z????MM 1)?m(M????u??MlMl 列写系统的状态空间表达式。2.2??T xx,x,x,，选取系统变量则 xx,x,xx?,42134123xx??211mgux???x?32MM x?x?431)(M?mu?x?x? 34MlMl 即00100????z??1mg??????000?z?????d MM??Bu?Ax?xux????????00001???dt????1gm?(M)????000??????? MlMl??????Cx?0?y?xx1001代入数据计算得到：0100????000?1??????T0D,?0??1BA?,?001,C100??1000??00011?? 11 页3 页共第 3.设计控制器3.1判断系统的能控性和稳定性 1100????0011????23BBAABAB?Q?故被控对象完全可控， rank()=4,Q kk??11?0?10??011?10???22???11?。出现大于零的特征值，故被，，0 解得特征值为 0由特征方程0??11I?A?)(控对象不稳定3.2确定希望的极点，另一对为远极点，认为系统性能主要由主导，选其中一对为主导极点和希望的极点n=4ss21极点决定，远极点只有微小影响。根据二阶系统的关系式，先确定主导极点???42??1????10.?e??t1.67?有，闭环可得；取误差带，于是取，则6.?059?0.02.?0? pns??n2????1?js??=-10.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点距离主导极点为?n,21s??15倍，取的54,33.3采用状态反馈方法使系统稳定并配置极点 ??kkkk?k；状态反馈系统的状态方程，馈状态反的控制规律为为kxu??3102?，其

倒立摆系统的建模及Matlab仿真

倒立摆系统的建模及Matlab 仿真 1.系统的物理模型考虑如图(1)面内运动的二维问题。图(1)倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。摆杆的质量：m=0.1g 摆杆的长度：l =1m 小车的质量： M=1kg 重力加速度：g=9.8m/2s 摆杆的质量在摆杆的中心。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量δ ≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（θsin l z +）,在u 作用下，小车及摆均产生加速远动，根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u 平衡，于是有 u l z dt d m dt z d M =++)sin (22 22θ 即： u ml ml z m M =-++θθθθsin cos )(2&&&&& ① 绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有

θθθsin cos )sin (22mgl l l z dt d m =??? ????+ 即： θθθθθθθsin cos sin cos cos 22g l l z =-+&&&&& ② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，则1cos ,sin ≈≈θθθ，且可忽略θ θ2&项。于是有 u ml z m M =++θ&&&& )( ③ θθg l z =+&&&& ④ 联立求解可得 u Ml Ml m M u M M mg z 1)(1 -+=+- =θθθ&&&& 2.2列写系统的状态空间表达式。选取系统变量4321,,,x x x x ， []T x x x x x 4321,,,=则 u Ml x Ml m M x x x u M x M mg x x x 1 )(134433221-+= =+-==&&&& 即 []Cx x x y Bu Ax u Ml M x Ml g m M M mg z z dt d x ===+=?????? ? ???????-+?????????? ??? ? +- =???? ????????=000110100)(0 010 0000000 1 1θθ&&& 代入数据计算得到： [][]0,0001,1010,01100 1000010000 1 0==-=? ? ??? ? ??? ???-=D C B A T

Invertedpendulum倒立摆的matlab建模

ECE451 Controll Engineering Inverted pendulum 09/29/2013 Introduction: Inverted pendulum is a typical fast, multi-varaibles, nonlinear, unstable system, it

has significant meaning. We choose the PID controller to fot the inverted pendulum. Assume the input is a step signal , the gravitational acceleration g=9.8m/s^2 and linearize the nonlinear model around the operating point. 1.Mathematic Modling M mass of the car 0.5 kg m mass of the pendulum 0.2 kg b coefficient of friction for cart 0.1 N/m/sec l length to pendulum center of mass 0.3 m I mass moment of inertia of the pendulum 0.006 kg.m^2 F force applied to the cart x coordinate of cart position

θpendulum angle from vertical (down) N and F are the force from horizontal and vertical direction. ) Force analysis Consider the horizontal direction cart force, we get the equation: Consider the horizontal direction pendulum force, we get the equation: To get rid of P and N, we get this equation: Merge these two equations, about to P And N, to obtain a second motion equation: u to represent the controlled object with the input force F, linearized two motion equations Apply Laplace transform to the equation above The transfer function of angle and position

基于matlab的倒立摆仿真设计

基于matlab的倒立摆的仿真与设计姓名:贾永伟专业:测控技术与仪器学号:1123105950 年级:2011级摘要：倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。关键词：一级倒立摆，PID，MATLAB仿真一、倒立摆模型的研究意义倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制都有重要意义倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实卫星飞行中的姿态控制等。故其研究意义广泛。二、倒立摆模型的数学建模质量为m的小球固结于长度为L的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M的小车铰接相连。由经验知：通过控制施加在小车上的力F（包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型分析过程如下：如图所示，设细杆摆沿顺时针方向转动为正方向，水平向右方向为水平方向上的正方向。当细杆摆顺时针往右运动时水平方向施加的力应该为水平向右。现对小车和细杆摆分别进行隔离受力分析：

模糊控制在倒立摆中的MATLAB仿真应用

TAIYUAN UNIVERSITY OF SCIENCE & TECHNOLOGY 题目：院（系）：专业：学生姓名：学号：

模糊控制在倒立摆中的仿真应用 1、倒立摆系统简介倒立摆有许多类型,例如图1-1的a和b所示的分别是轮轨式一级倒立摆系统和二级倒立摆系统的模型。倒立摆是一个典型的快速、多变量、非线性、本质不稳定系统,它对倒置系统的研究在理论上和方法论上具有深远的意义。对倒立摆的研究可归结为对非线性多变量本质不稳定系统的研究,其控制方法和思路在处理一般工业过程中也有广泛的用途。近些年来国内外不少专家学者对一级、二级、三级、甚至四级等倒立摆进行了大量的研究,人们试图寻找不同的控制方法实现对倒立摆的控制,以便检查或说明该方法的严重非线性和本质不稳定系统的控制能力。2002年8月11日,我国的李洪兴教授在国际上首次成功实现了四级倒立摆实物控制,也标志着我国学者采用自己提出的控制理论完成的一项具有原创性的世界领先水平的重大科研成果。图1-1 倒立摆模型 (a)一级倒立摆模型（b）二级倒立摆模型倒立摆系统可以简单地描述为小车自由地在限定的轨道上左右移动。小车上的倒立摆一端用铰链安装在小车顶部,另一端可以在小车轨道所在的垂直平面内自由转动,通过电机和皮带传动使小车运动,让倒立摆保持平衡并保持小车不和轨道两端相撞。在此基础上在摆杆的另一端铰链其它摆杆,可以组成二级、三级倒立摆系统。该系统是一个多用途的综合性试验装置,它和火箭的飞行及步行机器人的关节运动有许多相似之处,其原理可以用于控制火箭稳定发射、机器人控制等诸多领域。倒立摆系统控制原理

单级倒立摆系统的硬件包括下面几个部分：计算机、运动控制卡、伺服系统、倒立摆和测量元件，由它们组成的一个闭环系统，如图1-2所示，就是单级倒立摆系统的硬件结构图。图1-2 单级倒立摆硬件结构图通过角度传感器可以测量摆杆的角度，通过位移传感器可以得到小车的位置，然后反馈给运动控制卡，运动控制卡与计算机双向通信。计算机获得实时数据，确定控制策略，发送到运动控制卡，运动控制卡执行计算机确定的控制策略，产生相应的控制量，由伺服电机转动来带动小车在水平轨道往复的运动，使摆杆保持倒立。倒立摆系统状态方程 θ f 图1-3 单级倒立摆模型图 θ为杆与垂线的夹角，f为作用力，杆的质量m=，杆和小车的总重量m=,半杆长l=，重力加速度g=s2，采样周期T=.倒立摆的数学模型为：

基于MATLAB的倒立摆系统定性分析(1)

信息技术与信息化自动控制 79 　基于MAT LAB 的倒立摆系统定性分析 Qualitative Analysis of I nverted Pendulu m System Based on MAT LAB 张　彬3　郭晓玉　王金凯33高军伟3 ZHAN G B in G UO X iao -yu WAN G J in -kai G AO Jun -w ei 摘　要　倒立摆系统作为控制理论研究中的一种较为理想的实验手段,是检验控制策略效果的不可或缺的工具,也是控制界中研究的热点。判断系统的稳定性、可控性和可观性是设计倒立摆控制器的前提。应用 MAT LAB 对倒立摆系统进行分析、研究,方法方便快捷,实用性强,尤其适用于多级倒立摆系统。关键词　倒立摆　稳定性　可控性　可观性　MAT LAB Abstract I nverted pendulu m contr ol syste m as a theoretical study is an ideal experi m ental means .This contr ol syste m can not only test the effect of contr ol strategy as an indis pensable t ool,but als o be the hot s pots in the contr ol field .Deter m inati on of the stability,contr ollability and observability are the p re m ise of contr oller de 2sign f or the inverted pendulu m syste m.Analysis and research based on MAT LAB is convenient and p ractical es pe 2cially for multi -stage inverted pendulu m. Keywords I nverted pendulu m Stability Contr ollability Observability MAT LAB 3青岛大学自动化工程学院　山东青岛　26607133安丘市供电公司　山东潍坊　262100 引言倒立摆(I nverted Pendulu m )是处于倒置不稳定状态、通过人为控制使其处于动态平衡的一种摆。它是一个复杂的快速、非线性、多变量、强耦合的非最小相位系统,是重心在上、支点在下控制问题的抽象。倒立摆系统通常用来检验控制策略的效果,是控制理论研究中较为理想的实验装置。又因其与火箭飞行器及单足机器人有很大的相似之处,引起国内外学者的广泛关注。控制过程中的许多关键问题,如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以倒立摆为例加以研究。对系统进行定性分析,首先要建立系统的数学模型,并对系统的特性进行分析,包括系统的稳定性、可控性以及可观性。摆杆竖直向上是直线倒立摆系统的不稳定平衡点,由于关心的是系统在平衡点附近的性质,因而可以采用线性模型来分析。一般地,N 级倒立摆系统有Z (N +1)个状态变量,在分析系统特性时,可以运用MAT LAB 的矩阵计算功能来实现上述功能。 1　倒立摆系统的数学模型为简便起见,建模时一般忽略系统中一些次要的难以建模的因素,例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等。将小车抽象为质点,摆杆抽象为匀质刚体,摆杆绕转轴转动,基于以上的假设,可以用欧拉-拉格朗日方程原理建立小车倒立摆系统的动力学模型。直线二级倒立摆线性化后的数学模型[1]: x θ1 θ2 ¨x 1 ¨θ1¨θ2 =000100000010000001000000 0K 12K 130000 K 22 K 23 0x θ1θ2 x θ1 θ2000 1 K 17K 27u y =x θ1 θ2 1000000100000 1 x 1 θ1θ2 x θ1 θ2 +000 u 其中: K 12=3g (m 1+2m 2+2m 3)(4m 1+3m 2+12m 3)l 1　K 13= 9m 2g -2(4m 1+3m 2+12m 3)l 1K 22=9g (m 1+2m 2+2m 3)-(8m 1+6m 2+24m 3)l 2 　k 23= 3g (m 1+3m 2+3m 3) (4m 1+3m 2+3m 3)l 2K 17= 3(2m 1+m 2+4m 3)2(4m 1+3m 2+12m 3)l 1　K 27= 3m 1 -(8m 1+6m 2+24m 3)l 2 式中参量定义及其取值: x,小车位移;θ1,摆杆1与竖直向上方向的夹角;θ2,摆杆2与竖直向上方向的夹角;M ,小车质量,1Kg;m 1,摆杆1质量,0.05Kg ;m 2,摆杆2质量,0.1Kg m 3;,质量块质量,0.2Kg ;l 1,摆杆1转动中心到质心的距离,0.1m;l 2,摆杆2转动中心到质心的距离, 0.25m;g ,重力加速度,9.8m /s 2 。 2　倒立摆系统的定性分析系统的稳定性分析一般可以应用李雅普诺夫稳定性理论。

基于MATLAB矩阵实验室的倒立摆控制系统仿真

基于MATLAB的倒立摆控制系统仿真摘要自动控制原理（包括经典部分和现代部分）是电气信息工程学院学生的一门必修专业基础课，课程中的一些概念相对比较抽象，如系统的稳定性、可控性、收敛速度和抗干扰能力等。倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，它是一个理想的教学实验设备，许多抽象的控制概念都能够经过倒立摆直观地表现出来。本文以一级倒立摆为被控对象，用经典控制理论设计控制器（PID控制器）的设计方法和用现代控制理论设计控制器（极点配置）的设计方法，经过MATLAB仿真软件的方法来实现。关键词：一级倒立摆 PID控制器极点配置

Matlab的一倒立摆模型的仿真

深圳大学考试答题纸 (以论文、报告等形式考核专用)二○○九～二○○一零学年度第2学期课程编号课程名称计算机控制系统主讲教师李东评分学号姓名专业年级 2007级光电工程学院测控技术与仪器教师评语：题目：一级倒立摆模型的仿真一、倒立摆模型的研究意义倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。故其研究意义广泛。二、倒立摆模型的数学建模质量为m 的小球固结于长度为L 的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M 的小车铰接相连。由经验知：通过控制施加在小车上的力F （包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型

分析过程如下：如图所示，设细杆摆沿顺时针方向转动为正方向，水平向右方向为水平方向上的正方向。当细杆摆顺时针往右运动时水平方向施加的力应该为水平向右。现对小车和细杆摆分别进行隔离受力分析：（1）对小车有：F-F’sinθ=Mx’’（a）（2）对小球有：水平方向上运动为x+lsinθ 故水平方向受力为 F’sinθ= m（x+lsinθ）’’ =m（x’+lcosθθ’)’ = mx’’+mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2（b）由（a）、（b）两式得F= (M+m)x’’ +mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2 <1> 小球垂直方向上位移为 lcosθ 故受力为F’cosθ-mg=m(lcosθ)’’ =-mlθ’’sinθ-ml cosθ(θ’)^2 即 F’cosθ=mg-mlθ’’sinθ-ml cosθ(θ’)^2（c）由（b）、（c）两式得 cosθx’’=gsinθ- lθ’’<2>

完整word版,倒立摆在matlab的simulink库下的仿真

倒立摆在matlab的simulink库下的仿真倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。对于倒立摆系统的控制研究长期以来被认为是控制理论及其应用领域里引起人们极大兴趣的问题，倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统。研究倒立摆控制能有效地反映控制中的许多问题，倒立摆研究具有重要的理论价值和应用价值，理论上,它是检验各种新的控制理论和方法的有效实验装置。应用上,倒立摆广泛应用于控制理论研究!航空航天控制，机器人、杂技顶杆表演等领域,在自动化领域中具有重要的价值。另外,由于此装置成本低廉,结构简单,便于用模拟、数字等不同方式控制,在控制理论教学和科研中也有很多应用。本论文中,以一级倒立摆为研究对象,对它的起摆以及稳定控制做了研究，主要研究工作如下: 1.首先介绍了倒立摆系统的组成和控制原理,建立了一级倒立摆的数学模型,对倒立摆系统进行定性分析,但在平衡点是能控的、能观的。 2.分析了倒立摆的起摆过程,对倒立摆的起摆能量反馈控制进行分析与说明。 3.在matlab2014a的simulink库下对倒立摆构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型和构造具有状态观测器的单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型。 4.对这次仿真的总结。一、倒立摆的控制目标倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。二、建立单级倒立摆系统的状态空间模型其中，质量为M的小车在水平方向滑动，质量为m的球连在长度为L的刚性摆一端，x表示小车的位移，u是作用在小车上的力，通过移动小车使带有小球的摆杆始终处于垂直的位置。为了简单起见，假设小车和摆仅在一个平面内运动，且不考虑摩擦、摆杆的质量和空气阻力。如图1 图1

#基于Matlab的一级倒立摆模型的仿真

深圳大学测试答题纸 (以论文、报告等形式考核专用) 二○○九～二○○一零学年度第 2 学期课程编号课程名称计算机控制系统主讲教师李东评分学号姓名专业年级2007级光电工程学院测控技术和仪器教师评语：题目：一级倒立摆模型的仿真一、倒立摆模型的研究意义倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。故其研究意义广泛。二、倒立摆模型的数学建模质量为m的小球固结于长度为L的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M的小车铰接相连。由经验知：通过控制施加在小车上的力F（包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型分析过程如下：如图所示，设细杆摆沿顺时针方向转动为正方向，水平向右方向为水平方向上的正方向。当细杆摆顺时针往右运动时水平方向施加的力应该为水平向右。现对小车和细杆摆分别进行隔离受力分析：

（1）对小车有： F-F ’sin θ=Mx ’’ （a ）（2）对小球有：水平方向上运动为 x+lsin θ 故水平方向受力为 F ’sin θ= m （x+lsin θ）’’ =m （x ’+lcos θθ’)’ = mx ’’+mlcos θθ’’-mlsin θ(θ’)^2 （b ）由（a ）、（b ）两式得 F= (M+m)x ’’ +mlcos θθ’’-mlsin θ(θ’)^2 <1> 小球垂直方向上位移为 lcos θ 故受力为 F ’cos θ -mg=m(lcos θ)’’ =-ml θ’’sin θ-ml cos θ(θ’)^2 即 F ’cos θ=mg-ml θ’’sin θ-ml cos θ(θ’)^2 （c ）由（b ）、（c ）两式得 cos θx ’’ =gsin θ- l θ’’ <2> 故可得以下运动方程组： F= (M+m)x ’’ +mlcos θθ’’-mlsin θ(θ’)^2 cos θx ’’ =gsin θ- l θ’’ 以上方程组为非线性方程组，故需做如下线性化处理： 32 sin ,cos 13!2!θθθθθ≈-≈- 当θ很小时，由cos θ、sin θ的幂级数展开式可知，忽略高次项后，可得cos θ≈1，sin θ≈θ，θ’’≈0

倒立摆系统的建模及Matlab仿真

倒立摆系统的建模及Matlab仿真 1.系统的物理模型考虑如图(1)所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面运动的二维问题。图(1)倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。摆杆的质量：m=0.1g 摆杆的长度：l=1m小车的质量： M=1kg重力加速度：g=9.8m/2s 摆杆的质量在摆杆的中心。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 ≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。

设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（θsin l z +）,在u 作用下，小车及摆均产生加速远动，根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u 平衡，于是有 u l z dt d m dt z d M =++)sin (22 22θ 即： u ml ml z m M =-++θθθθsin cos )(2 ① 绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有 θθθsin cos )sin (22mgl l l z dt d m =??? ????+ 即： θθθθθθθsin cos sin cos cos 22g l l z =-+ ② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，则1cos ,sin ≈≈θθθ，且可忽略θθ 2 项。于是有 u ml z m M =++θ )( ③ θθg l z =+ ④ 联立求解可得 u Ml Ml m M u M M mg z 1)(1 -+=+-=θθ θ 2.2列写系统的状态空间表达式。选取系统变量4321,,,x x x x ， []T x x x x x 4321,,,=则 u Ml x Ml m M x x x u M x M mg x x x 1 )(134433221-+==+-== 即

(完整版)基于Matlab的一级倒立摆模型的仿真

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分析过程如下：如图所示，设细杆摆沿顺时针方向转动为正方向，水平向右方向为水平方向上的正方向。当细杆摆顺时针往右运动时水平方向施加的力应该为水平向右。现对小车和细杆摆分别进行隔离受力分析：（1）对小车有： F-F’sinθ=Mx’’（a）（2）对小球有：水平方向上运动为 x+lsinθ 故水平方向受力为 F’sinθ= m（x+lsinθ）’’ =m（x’+lcosθθ’)’ = mx’’+mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2 （b）由（a）、（b）两式得 F= (M+m)x’’+mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2 <1> 小球垂直方向上位移为 lcosθ 故受力为F’cosθ-mg=m(lcosθ)’’ =-mlθ’’sinθ-ml cosθ(θ’)^2 即 F’cosθ=mg-mlθ’’sinθ-ml cosθ(θ’)^2 （c）由（b）、（c）两式得 cosθx’’ =gsinθ- lθ’’ <2>

完整版一级直线倒立摆matlab程序

一级直线倒立摆如图1所示系统里的各参数变量 M :小车系统的等效质量（1.096kg ）; m i :摆杆的质量（0.109kg ）; m 2 :摆杆的半长（0.25m ）; J :摆杆系统的转动惯量（0.0034kg*m ）; g ：重力加速度（9.8N/Kg ）; r ：小车的水平位置（m ）；摆角大小（以竖直向上为0起始位置，逆时针方向为正方向）； F h :小车对摆杆水平方向作用力（N ）（向左为正方向），F h '是其反作用力； F v :小车对摆杆竖直方向作用力（N ）（向上为正方向），F v '是其反作用力； U :电动机经传动机构给小车的力，可理解为控制作用 u '（向左为正方向）； x p :摆杆重心的水平位置（m ）； y p ：摆杆重心的竖直位置（m ）。 1. 1 一级倒立摆的数学建模定义系统的状态为［r,r, 0 , 9 经推导整理后可以达到倒立摆系统的牛顿力学模型: （I ml 2 ） mrlcos mgl sin — — 2 ml cos （M m ）r ml sin u 因为摆杆一般在工作在竖直向上的小领域内 9=0,可以在小范围近似处理: 2 cos 1,s in 0, 0 ，则数学模型可以整理成：（I ml 2） mrl mgl （3） ml (M m)r u 非线性作业 (1) (2) (4) 图1一昨倒立挽物理模创

系统的状态空间模型为

1.2滑模变结构在一级倒立摆系统的应用主要包括切换函数的设计、控制率的设计和系统消除抖振的抑制。基于线性二次型最优化理论的切换函数设计，定义系统的优化积分指标是： J 0 x T Qxdt Q>0, 本文采用指数趋近律：S kS sgn(S)，其中k 和&为正数。将其代人S=Cx=0 中，可以得到： S Cx CAx CBu kS sgn(S) (9) 扌空制率为：u (CB) 1(CAx kS sg n(s)) (10) &的选取主要是为了抑制系统的摩擦力和近似线性化所带来的误差和参数摄动等因素，从而使得系统具有良好的鲁棒性。文中 k=25, ￡ =0.8取变换矩阵T 0 2 ml 2 mm M 2 ml 5) 2 m o o o)1 r 0 1 0 0 r 0 r 0 0.6293 0 r 0.8832 + 0 0 0 1 0 0 0 27.8285 0 2.3566 r r 1000 r f u (7) (8) 代人实际系统的参数后状态方程为: 0010 0