线性微分方程的一般理论

线性微分方程的一般理论

摘要：本文描述了线性微分方程的定义,齐次线性微分方程的解的性质与结构,以及非齐次线性微分方程与常数变易法,给读者展示了线性微分方程的一般理论和解法.

关键词：齐次线性微分方程； 朗斯基行列式；通解；基本解组；常数变易法

The General Theory of Linear Differential Equation Abstract ：In this paper,we describe the definition of a linear differential equation, the properties and structure of the solutions of the homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation,showing the readers the linear differential equation method of the general theory of reconciliation. KeyWords :

Homogeneous

linear

differential

equation;Lang

yankees

determinant;General solution;Basic set of solutions;Method of variation constant

前言

在微分方程的理论中,线性微分方程是很重要的一部分.线性微分方程是研究非齐次线性微分方程的基础,它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛的应用.因此学习线性微分方程的一般理论是非常有用的.

1. 引言

先讨论如下的n 阶线性微分方程

1111()()()()n n n n n n d x d x dx

a t a t a t x f t dt dt dt

---++++= ， (1) 其中()(1,2,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数.

如果()0f t ≡,则方程(1)变为

1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt

---++++= ， (2) 我们称它为n 阶齐次线性微分方程,简称齐次线性微分方程,而称一般的方程(1)

为n 阶非齐次线性微分方程,简称非齐次线性微分方程,并且通常把方程(2)叫做对应于方程(1)的齐次线性方程.

首先给出方程(！)的解的存在唯一性定理.

定理1[1] 如果()(1,2,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数,则对于任一[]0,t a b ∈及任意的0x ,()10x , ,()10n x -,方程(1)存在唯一解()x t ?=,定义于区间a t b ≤≤上,且满足初值条件

()00t x ?=,()()100d t x dt ?=, ,()()

1

100

1

n n n d t x dt ?---=. (3) 2. 齐次线性微分方程的解的性质与结构

首先讨论齐次线性微分方程

1111()()()0n n n n n n d x d x dx

a t a t a t x dt dt dt

---++++= . (2) 根据“常数可以从微分号下提出来”以及“和的倒数等于倒数之和”的法则,容易得到齐次线性微分方程的解的叠加原理.

定理2(叠加原理) 如果()1x t ,()2x t , ,()k x t 是方程(2)的k 个解,则它们的线性组合()()()1122k k c x t c x t c x t +++ 也是(2)的解,这里1c ,2c , ,k c 是任意常数.

特别地，当k n =时，即方程(2)有解

()()()1122n n x c x t c x t c x t =+++ (4)

它含有n 个任意常数.

考虑定义在区间a t b ≤≤上的函数()1x t ,()2x t , ,()k x t ,如果存在不全为零的常数1c ,2c , ,k c ,使得恒等式

()()()11220k k c x t c x t c x t +++≡

对于所有[],t a b ∈都成立,我们称这些函数是线性相关的,否则就成这些函数在所给区间上线性无关.

有定义在区间a t b ≤≤上的k 个可微1k -次的函数()1x t ,()2x t , ,()k x t 所

做成的行列式

()()()[]()

()()()

()()()()()()()()

1212'''1211112,,,k k k k k k k W x t x t x t x t x t x t x t x t x t W t x t x t x t ---????

≡≡

成为这些函数的朗斯基行列式.

定理3 若函数()1x t ,()2x t , ,()n x t 在区间a t b ≤≤上线性相关，则在[],a b 上它们的朗斯基行列式[]0W t ≡.

证明 有假设知,存在一组不全为零的常数1c ,2c , ,n c ,使得

()()()11220n n c x t c x t c x t +++≡ ，a t b ≤≤ (5)

依次对t 微分此等式,得到

()()()()()()()()()'''1122''

''''

1122(1)(1)(1)11

220,

0,

0.

n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t ---?+++=?+++=??

??+++=?

(6) 把(6)和(7)看成关于1c ,2c , ,n c 的齐次线性代数方程组,它的系数行列式

()()()12,,,n W x t x t x t ???? ,于是由线性代数理论知道，要此方程组存在非零解，

则它的系数行列式必须为零,即[]0W t ≡()a t b ≤≤.定理证毕.

定理 4 如果方程(2)的解()1x t ,()2x t , ,()n x t 在区间a t b ≤≤上线性无关,则()()()12,,,n W x t x t x t ???? 在这个区间的任何点上都不等于零,即

[]0W t ≠()a t b ≤≤.

证明 采用反证法.设有某个0t 0()a t b ≤≤使得[]00W t =.考虑关于

1c ,2c , ,n c 的齐次线性代数方程组

()()()()()()()()()1102200'

''

1102200(1)(1)(1)11

0220000

0.

n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t ---+++=??+++=??

??+++=?

(7) 其系数行列式[]00W t =,故(7)有非零解1c ,2c , ,n c .先在以这组常数构造函数

()()()()1122n n x t c x t c x t c x t ≡+++ ,a t b ≤≤,

根据叠加原理,()x t 是方程(2)的解.注意到(7),知道这个解()x t 满足初值条件

()()()(1)000'0n x t x t x t -==== , (8)

但是0x =显然也是方程(2)的满足初始条件(8)的解.有解的唯一性,即知

()0x t ≡()a t b ≤≤,即

()()()11220n n c x t c x t c x t +++≡ ,a t b ≤≤.

因为1c ,2c , ,n c 不全为零,这就与()1x t ,()2x t , ,()n x t 线性无关的假设矛盾.定理得证.

根据定理3和定理4可以知道,由n 阶齐次线性微分方程(2)的n 个解构成的朗斯基行列式或者恒等于零,或者在方程的系数为连续的区间内处处不等于零.

定理 5[2] n 阶齐次线性微分方程(2)一定存在n 个线性无关的解. 证明 线性微分方程(2)存在满足下列初始条件

()101y x =,()'100y x =, ,()(1)100n y x -=; ()200y x =,()'201y x =, ,()(1)200n y x -=; ()00n y x =,()'00n y x =, ,()(1)01n n y x -=

的n 个解

1()y x ,2()y x , ,()n y x ,[]0,,x x a b ∈.

又因10200[(),(),,()]10n W y x y x y x =≠ ,于是可知这n 个解在[],a b 上线性无关.

定理6[3](通解结构定理) 如果()1x t ,()2x t , ,()n x t 是方程(2)的n 个线性无关的解,则方程(2)的通解可表为

()()()1122n n x c x t c x t c x t =+++ , (9)

其中1c ,2c , ,n c 是任意常数.且通解(9)包括了方程(2)的所有解.

推论 方程(2)的线性无关解的最大个数等于n .因此可得结论: n 阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n 维线性空间.

方程(2)的一组n 个线性无关解称为方程的一个基本解组.显然,基本解组不是唯一的.特别的,当[]01W t =时称其为标准基本解组.

3.非齐次线性微分方程与常数变易法

考虑n 阶非齐次线性微分方程

1111()()()()n n n n n n d x d x dx

a t a t a t x f t dt dt dt

---++++= , (1) 易见方程(2)是它的特殊形式,首先容易验证如下两个简单性质:

性质1 如果_

()x t 是方程(1)的解,而()x t 是方程(2)的解,则()_

()x t x t +也是方程(1)的解.

性质2 方程(1)的任意两个解之差必为方程(2)的解. 有如下定理:

定理7 设()1x t ,()2x t , ,()n x t 是方程(2)的基本解组，而_

1()x t 是方程(1)的某一解,则方程(1)的通解可表为

()()()_

1122()n n x c x t c x t c x t x t =++++ , (10)

其中1c ,2c , ,n c 是任意常数.而且这个通解(10)包括了方程(1)的所有解.

证明 根据性质1易知(10)是方程(1)的解,它包含有n 个任意常数,像定理6的证明过程一样,不难证明这些常数是彼此独立的,因此,它是方程(1)的通解.现设()x t ≈

是方程(1)的任一解,则由性质2,_

()()x t x t ≈

-是方程(2)的解,根据定理6,必有一组确定的常数1c

,2c , ,n c

,使得

()()()_1122()()n n x t x t c x t c x t c x t ≈-=+++

,

即

()()()_

1122()()

n n x t c x t c x t c x t x t ≈=++++

这就是说,方程(1)的任一解

()x t

可以由(10)表出,其中1c ,2c , ,n c 为相应

的确定常数,由于()x t

的任意性,这就证明了通解表达式(10)包括方程(1)的所有解.定理证完.

设()1x t ,()2x t , ,()n x t 是方程(2)的基本解组，因而

()()()1122n n x c x t c x t c x t =+++ (11)

为(2)的通解,把其中的任意常数1c 看作t 的待定函数()i c t (1,2,,)i n = ,这(11) 变为

1122()()()()()()n n x c t x t c t x t c t x t =+++ . (12) 将它代入方程(1)，就得到()1c t ,()2c t , ,()n c t 必须满足的一个方程,但待定函数有n 个,即()1c t ,()2c t , ,()n c t ,为了确定它们,必须再找出1n -个限制条件,在理论上,这些另加的条件可以任意给出,其法无穷,当然以运算上简便为宜,考虑下面的1n -个条件.

对t 微分等式(12)得

()()()()()'''''''11221122()()()()()()()n n n n x c t x t c t x t c t x t x t c t x t c t x t c t =+++++++ , 令

()()'''1122()()()()0n n x t c t x t c t x t c t +++= ， 1(13)

得到

()()()''''1122()()()n n x c t x t c t x t c t x t =+++ . 1(14)

对t 微分等式(12),并像上面一样做法,令含有函数'()i c t 的部分等于零,我们又得到一个条件

()()''''''1122()()()()0n n x t c t x t c t x t c t +++= 2(13)

和表达式

()()()''''''''''1122()()()n n x c t x t c t x t c t x t =+++ . 2(14)

继续上面做法,在最后一次我们得到第1n -个条件.

()()(2)'(2)'(2)'1122()()()()0n n n n n x t c t x t c t x t c t ---+++= 1(13)n -

和表达式

()()()(1)(1)(1)(1)1122()()()n n n n n n x c t x t c t x t c t x t ----=+++ 1(14)n -

最后,对t 微分1(14)n - 得到

()()()()()()()()()1122(1)'(1)'(1)'1122()()()()()()()

n n n n n n n n n n n x c t x t c t x t c t x t x t c t x t c t x t c t ---=+++++++ (14)n

现将(12), 1(14) , 2(14), ,(14)n 代入(1),并注意到()1x t ,()2x t , ,()n x t 是方程(2)的解，得到

()()(1)'(1)'(1)'1122()()()()()n n n n n x t c t x t c t x t c t f t ---+++= (13)n

这样,我们得到了含n 个未知函数'()i c t (1,2,,i n = 的n 个方程

1(13),

2(13), ,(13)n 它们组成一个线性代数方程组,其系数行列式就是()()()12,,,n W x t x t x t ???? ,它不等于零,因而方程的解可以唯一确定,设求得

'()()i i c t t ?=,1,2,,i n = ,

积分得

'()()i i i c t t dt ?γ=+? 1,2,,i n = ,

这里i γ是任意常数.将所得'()i c t (1,2,,)i n = 的表达式代入(11)即得方程(1)的解

1

1

()()()n

n

i i i i i i x x t x t t dt γ?===+∑∑?.

显然,它并且是方程(1)的通解.为了得到方程的一个解,只需给常数

i γ(1,2,,)i n = 以确定的值.例如,当取0i γ=(1,2,,)i n = 时,即得解

1()()n

i i i x x t t dt ?==∑?.

从这里可以看出,如果已知对应的齐次线性微分方程的基本解组,那么非齐次线性微分方程的任一解可由求积得到.因此,对于线性微分方程来说,关键是求出齐次线性微分方程的基本解组.

例1 求方程''1

cos x x t

+=的通解,已知它的对应齐次线性微分方程的基本解组为cos t ,sin t .

解 应用常数变易法,设12()cos ()sin x c t t c t t =+为齐次方程的解. 则1()c t ,2()c t 满足下列方程组:

''12''

12()cos ()sin 01()(sin )()cos cos c t t c t t c t t c t t t ?+=??-+=

??

解之得

'1sin ()cos t

c t t

=-

,'2()1c t = 积分得

1()ln cos c t t =,2()c t t =

所以原方程的通解为

cos ln cos sin x t t t t =+

参考文献

[1] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程第三版[M ],北京:高等教育出版社,2006. [2] 焦宝聪,王在洪,时红延.常微分方程[M ],北京:清华大学出版社,2008.

[3] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程第三版[M ],北京:高等教育出版社,2006.