高等数学学习方法(FIC)系列讲座3导数应用

高等数学常用导数和积分公式

高等数学常用导数和积分公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：（一）含有的积分() 1.＝ 2.＝（） 3.＝ 4.＝ 5.＝ 6.＝ 7.＝ 8.＝ 9.＝（二）含有的积分10.＝11.＝12.＝13.＝14.＝15.＝16.＝17.＝18.＝（三）含有的积分19.=20.=21.= （四）含有的积分22.＝23.＝24.＝25.＝26.＝27.＝28.＝（五）含有的积分29.＝30.＝（六）含有的积分31.＝＝32.＝33.＝34.＝35.＝36.＝37.＝38.＝39.＝40.＝41.＝42.＝43.＝44.＝（七）含有的积分45.＝=46.＝47.＝48.＝49.＝50.＝51.＝52.＝53.＝54.＝55.＝56.＝57.＝58.＝

（八）含有的积分59.＝60.＝61.＝62.＝63.＝64.＝65.＝66.＝67.＝68.＝69.＝70.＝71.＝72.＝（九）含有的积分73.＝74.＝75.＝76.＝77.＝78.＝（）含有或的积分79.＝80.＝81.＝82.＝（一）含有三角函数的积分83.＝84.＝85.＝86.＝87.＝＝88.＝＝89.＝90.＝91.＝92.＝93.＝94.＝95.＝96.＝97.＝98.＝99.＝＝100.＝101.＝102.＝103.＝104.＝105.＝106.＝107.＝108.＝109.＝110.＝111.＝112.＝（二）含有反三角函数的积分（其中）113.＝114.＝115.＝116.＝117.＝118.＝119.＝120.＝121. ＝（三）含有指数函数的积分122.＝123.＝124.＝125.＝126.＝127.＝128.＝129.＝130.＝131.＝（四）含有对数函数的积分132.＝133.＝134.＝135.＝136.＝（五）含有双曲函数的积分137.＝138.＝139.＝140.＝141.＝（六）定积分142.＝＝0143.＝0144.＝145.＝146.＝＝147. ＝＝＝（为大于1的正奇数），＝1 （为正偶数），＝

高等数学公式导数基本公式

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

浅谈怎样学习高等数学

浅谈怎样学习高等数学篇一：高等数学学习方法浅谈高等数学学习方法浅谈孙传光相对于现阶段高等职业发展的综合性和终身性趋势来说，高等数学不仅仅是学生掌握数学工具学习其他相关专业课程的基础，更是培养学生逻辑思维严谨性的重要载体，高等数学的重要性是不言而喻的。因此高等数学的有效学习成了高数教师和同学们共同关注的一个重要问题。通过平时与学生的交流和上课，学生的学习困难一般集中在认为教学内容太抽象听不懂、不会做题，数学概念太抽象，不易理解(如极限、无穷小等)。学生对于接受高等数学的思想、原理、方法非常不适应，对于如何学好高等数学，如何理解它的思想、方法茫然无知。下面我们大家一起讨论一下高数学不好的原因。首先，对大多数高中生而言，考取大学是最具诱惑力的行为归因，但进人大学后，这一因素就不复存在了，大一新生基本上处于如释重负的解脱状态，缺乏主动进取的精神，学习目标不明确，学习动机不强烈。有些同学则认为学高等数学对将来的工作也没有多大用处，有些同学本来数学的基础就不好，进人大学后一接触高等数学，发现难以与中学数学知识直接衔接，学习高等数学的兴趣荡然无存，对高等数学的学习消极应付。再次，学生在高中阶段已形成一定的思维方式及学习习惯，解数学题基本上采取模式辨认、方法回忆的思维方式，对解题方法和技巧模仿、记忆、套用，对知识不求甚解，并未真正理解和内化，没有进行数学思考的意识，也没有掌握数学思考的方法。大学课堂上，对高等数学各部分内容的理解支离破碎，自学能力差，缺乏独立思考的意识，没有反思学习过程的习惯，更没有总结、归纳知识和思想方法的习惯，对教师有较强的依赖心理，学生已形成的思维方式及学习习惯直接影响学生接受高等数学。最后，大学与高中的教学都以讲授法为主，但受的影响和制约，高中教师对知识的讲授详细，题型、方法归纳完整，较多的精力用于通过大题量的训练来培养学生的技能技巧，并及时进行辅导和巩固；而大学的教学由于知识点较多，课时有限，课容量大，教师更注重思想方法的深刻理解，和数学思想的培养。对于上述几个原因建议大家从以下几方面入手：第一、调整好自己的心态，尽快适应大学生活，对自己有一个准确的定位。第二、向大二的师哥师姐请教他们高数学习的一些窍门和技巧，再自己通过一段时间的高等数学的学习，根据高数课的特点和自己的学习习惯，尽快出适合自己的学习方法。第三、高数的学习

高等数学公式总结(绝对完整版).

高等数学公式大全导数公式：基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

浅谈高等数学在生活中的应用

浅谈高等数学在生活中的应用摘要：随着社会经济的迅猛发展，数学在经济生活作用日益突出。数学的理论和方法越来越广泛地应用到物理、化学、生物、医学、经济管理、军事战争等不同学科领域以及日常生活中。21世纪对数学需求表现得越来越突出，无论是数学建模、企业管理，还是经济分析，数学都是至关重要的。数学是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程数学培养的就是你的思维能力，是分析问题、解决问题的思维方式。许多实际问题都需要建立数学模型来解决，而你建立模型地基础就是你怎样把实际问题转化为数学问题。这样就更容易的去解决问题、处理问题。不敢预测也不可能断言，在未来的各个领域研究中数学会占据统治地位，但是数学越来越渗透到各个领域研究中并且发挥着越来越重要的作用已成为事实。人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。关键词:高等数学各个领域数学建模经济应用数学既是一门理论学科，又是一门应用广泛的工具性学科，在理学、工学、管理学、经济学等各个领域都发挥着重要的作用，如何将抽象的数学理论应用到具体的经济科学实践中去，作为学管理学、经济学的我们更应该对数学有更深的认识，下面浅谈我的理解。一、数学在管理中的应用科学管理之父泰勒通过对管理活动的认识和研究，提出了科学管理，这就是数学在管理中应用的开始。不论是计件工资还是计时工资，都是用数学知识推导计算的。就我看来，我们学习数学也是为了更好的管理。首先，数学在管理者的思维方面发挥了重要作用。我们经常强调人要有逻辑，数学逻辑是帮助人进行思维的工具。学好数学，就具备较好的思维能力，使管理者头绪清晰。其次，数学在管理决策中的应用。科学决策离不开对相关方案的判断和评估，这需要恰当地处理大量的数据，才能得到正确的决策。再次，数学在预测中的应用。企业根据已有的数据分析，总结相关发展趋势，对公司未来某段时间内的经营状况做出一些预警和规划。（一）数学与管理的历史联系尽管现代管理是工业革命以后的产物，对管理进行正式的研究则是一门较新的学科，但管理活动自古以来就存在，在人类早期文明中，管理活动也是必须的。人类的早期管理活动与数学开端是一个互相促进的过程，在这一过程中产生了算术、代数和几何。算术中的加、减、乘、除，都与人类管理活动直接有关；代数则是为解决较复杂管理问题产生的，也为解决相对复杂问题提供了工具；几何与土地测量和天文观测有关，土地测量和天文观测也与人类早期文明中管理活动紧密相关。总之，早期数学的大部分是由于贸易和农业的需要而发展起来的，同时也推动了早期的管理活动。（二）数学与管理者不难发现，对同一个问题，不同的人，用不同的数学方法，在不同的时间和地点，做出的结论永远是一致的。所以数学教育能培养人做事严肃认真，做事、做人目标明确，前后一致，表里如一的态度。在数学的发展过程中，数学每前进一步，都离不开严密的逻辑推理。推理是从已知到未知的合乎逻辑的思维过程。

高数导数的应用习题及答案

一、是非题：１．函数 ()x f 在 []b a , 上连续，且()()b f a f =，则至少存在一点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ．错误 ∵不满足罗尔定理的条件。２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得极值．错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平行于x 轴的切线．错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值．正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹．正确二、填空：１．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23- ），=b （ 16 - ）． ∵()12++='bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142=++b a ，解之得6 1 ,32-=-=b a ２．函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 211 2 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0x ，()0>''x f ；0

高等数学中的导数公式和等价无穷小公式

声明：第一次弄这些，花了本人好些时间，o(∩_∩)o ，版权所有，严禁将本人的劳动成果用于商业用途。导数公式 (1) (C)'=0 (2) (x μ )'=μ1 x μ- (3) (sinX)'=cosX (4) (cosX)'=-sinX (5) (tanA)'=2 sec A (6) (cotA)'=-2 csc A (7) (secA)'=secAtanA (8) (cscA)'=-cscAcotA (9) (x a )'=x a ln a (10) (x e )'=x e (11) (㏒a x)'= 1 ln x a (12)(lnx)'= 1x (13) (arcsinX)' (14) (arccosX)'= - (15) (arctanX)'= 2 1 1X + (16) (arccotX)'=- 2 11X +10 2 2 33331lim(1)1~ (1) 123 (4) n x x x n n n n →+-+++++=

等价公式 10 1lim(1)1~ n x x x n →+- 当0x →时,ln(1+x)~x 201cos 1 lim 2 x x x →-= 当0x →时,1~x e x - 0sin lim 1x x x →= 当0x →时,1~ln x a x a - 1 lim(1)x x e x →∞+= 22221 123...(1)(21)6 n n n n ++++=++ 0tan lim 1x x x →= 22 3 3 3 3 (1)123 (4) n n n +++++= 0arcsin lim 1x x x →= 220 sin cos n n xdx xdx π π =?? 0ln(1) lim 1x x x →+= 01lim 1ln x x a x a →-=

浅谈高等数学教学的几点认识

浅谈高等数学教学的几点认识摘要：高等数学是理工科专业的必修基础课程，所学知识不仅为今后更深入的学习打下了坚实的基础，同时为控制学、运动学、经济学等许多研究领域的应用提供了理论依据.对于如何学好高等数学和如何开展教学，本文提出了几点高等数学教学相关认识，主要为基础知识的重要性，课后练习的重要性和习题课的重要性. 关键词：高等数学；教学目的；基础知识；课后练习；习题课高等数学是大学课程中非常重要的基础课程，为理工科的必修课程.有些文科专业也有要求学习，如，经济学的“微积分”.高等数学课程中所讲述的数学知识、思想、方法为今后其他课程的学习奠定了基础，也有利于学生创新思维的培养.然而为了学生知识面的增加大量加设课程的同时，使得基础课程的课时不断被缩减，然而考研及后续科研、学习、应用都对数学的要求越来越高，使得高等数学教学过程中面临时间少内容多的困境.教学质量的提高已经迫在眉睫，下面结合笔者自身学习和教学过程中的切身感受，从以

下三个方面进行教学分析. 一、基础知识的重要性高数是后续专业课程的基础，而学好高数中的基础知识又是学好高数的前提.因此基础知识是否学扎实了对高数本身乃至后续应用都有着非常直接的影响.同时高数中许多基础知识也来自实际的工程应用和科学研究，有几何、物理的应用背景，因此，教师在讲解一些相关抽象概念的同时可以结合相关应用，如教学导数概念时，可以结合极限、切线、位移与速度的关系、速度与加[WTBX]速度的关系进行讲解，如对公式 f ′（x0）=limx→x0 f （x）-f （x0）x-x0 的理解. 在高数学习的过程中，还应该重视高数中的知识的内在关联性，进行方法、知识的对比分析及归纳对数学的学习非常有帮助，也利于学生的理解及巩固. 在微积分的学习中，一元和多元函数具有很多相似性，如做题思路、数学思想和基本概念方面，因此在学习多元函数的相关知识时对比前面学习的一元函数知识进行学习，更容易理解.同时，对无穷大、连续、有界、可导、连续性的判断方面，由于从正面解释也许难以

高等数学在医学中的作用的论文

浅谈高等数学在现代医学中的作用一、高等数学在医学领域的应用数学是一门语言, 它是表达量变和质变最完美的工具; 数学又是一种感觉, 它是科学迅速超越时空的触角。恩格斯曾对数学做过如下定义: 数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。数学是基础教育中最受重视的学科之一, 并贯穿于整个基础教育阶段。高等数学教育则几乎覆盖了大学本科阶段所有自然学科领域和部分人文社会学科领域。随着计算机科学技术的不断发展, 数学的社会化程度也日益提高, 数学的思想、观点、方法已广泛地渗透到自然科学和社会科学的各个领域。数学在传统领域的应用, 以及在新领域取得的许多重要进程, 使得数学在医学领域中的作用也不断突出。数学与医学, 特别是生物医学的结合越来越紧密。例如, 可以为生物医学工程学、细胞分子生物学、肿瘤生长动力学、药物动力学等现代生物医学做出定性描述向定量描述的趋变; 常微分方程可以运用到临床医学的定量分析和群体医学的动态分析; 生物统计学、概率论可以为药物使用、人口统计与流行病、公共卫生管理等作出决策; 数学可为医学基础、临床医学、预防医学建立医学数学模型, 经过数学处理得到可供人们作出分析、判断、预测和决策的定量结果; 临床治疗和医学科研所使用到的各种高、精、尖端医学仪器都离不开数学和计算机科学的支持, 等等。马克思曾说过:“一门科学只有成功地应用数学时, 才算达

到了完善的地步。”因此可以看出, 数学与现代医学结合程度将决定现代医学的发展程度。中科院在《21 世纪初科学发展趋势》的研究报告中指出, 生命科学“可能发展成为科学革命的中心”,数学科学则“一直是整个科学技术发展的带动因素”, 加快数学在医学领域的应用和发展是当今医学发展的必然趋势。二、高等数学教育在医学教育中的作用及意义数学的思维方式、计量分析技术有力地推动了现代医学的迅速发展。强调用数学、统计学研究并解决医学问题的思路和方法, 增强对医学问题进行定量分析与处理的能力, 提高医学科研水平, 促进临床工作进一步精确化、科学化早已成为各国高等医学教育所关注的重要内容。目前国内绝大多数的医学院校都在大学一年级开设了《医用高等数学》。笔者认为, 开设这门课程除了可以扩大学生知识面以外, 还有着如下五个方面的作用及意义: 1. 高数教育可以加强医学生的道德教育抽象性是数学的基本特征之一, 具体表现为推理的严谨性、表达的准确性、类别的归纳性、计算的规定性、定义的唯一性等等。学生在学习高数的同时, 也能受到其特性的影响: 教育过程中数学史的讲解可以激发学生的爱国主义热情; 逻辑性的推理可以培养学生严谨的思维模式; 公理、定义、计算规则的唯一性要求可以使学生形成对法律法规、社会公德的内在自我约束; 对问题的归类、分析可以培养学生灵活思考问题、周密总结分析的

高等数学中的求导公式

基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =， )(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1=

复合函数求导法则设 ) (u f y= ，而 ) (x u? = 且 ) (u f 及 ) (x ? 都可导，则复合函数 )] ( [x f y? = 的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ()() y f u x ? ''' =

浅谈高等数学之美

龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/5610495184.html, 浅谈高等数学之美作者：鲁翠仙来源：《课程教育研究·上》2013年第12期【摘要】当前，很多学生对数学有一些误解，他们认为数学是一门令人乏味的学科，其主要原因是他们还没有领会到数学中的美。数学是一门美的学科，更是一门艺术，数学概念的简单化、统一性，结构系统的层次性、协调性、对称性，数学练习、数学命题的结合性、概括性都渗透着美，本文就此说说高等数学中渗透的一些美。【关键词】高等数学简单美统一体现【基金项目】本文系2013年校级科研课题“临沧师专高等数学教学改革与实践探讨”的阶段性成果。【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）12-0139-02 数学理论的过人之处，就在于能用最简单的方式揭示现实世界中的量及其关系的规律性。数学教学必须根据学生的心理特点，遵循教学规律，运用美育原则，通过教师的精心设计，把数学材料的静态集合转化成切合学生心理水平的教学的动态过程，造成一种知识与能力的结合，数学与艺术交融，教师与学生共鸣的优美环境。高等数学中，处处都存在数学的美，教师要让学生将数学思想方法作为鉴赏数学美的重要途径，运用类比方法时鉴赏相似美，运用构造法时鉴赏结构美与奇异美，运用解析法时鉴赏和谐美，运用对偶法时鉴赏对称美。 1.简洁美简洁美是数学美的重要标志，数学的简洁美并不是指数学内容本身简单，而是指数学的表达形式、数学的几何语言、数学的证明方法和数学的理论体系结构简洁，数学的简洁美主要表现在数学的逻辑结构、数学的方法和表达形式的简单性。 1.1数学逻辑结构的简洁美简洁性是数学结构美的基本内容，就数学理论的逻辑结构而论，它的简单性一般包括两个方面的内容：一是理论前提的简单性；二是理论表述的简单性，以最简单的方式抓住现象的本质，定理和公式简洁明了。数学家们通过实践也证明了数学的简洁性与严格性不可能产生矛盾。正如爱因斯坦所说的“我们面对的这个世界，可以由音乐的符号组成，也可以由数学公式组成。” 比如数列极限的ε-N 定义： xn=A？圳？坌ε>0，？埚N，当n>N时，有|xn-A| 函数极限的ε-N 定义：

高等数学学习方法讨论

高等数学学习方法讨论相对于现阶段高等职业教育发展的综合性和终身性趋势来说，高等数学不仅仅是学生掌握数学工具学习其他相关专业课程的基础，更是培养学生逻辑思维严谨性的重要载体，高等数学的重要性是不言而喻的。因此高等数学的有效学习成了高数教师和同学们共同关注的一个重要问题。通过平时与学生的交流和上课，学生的学习困难一般集中在认为教学内容太抽象听不懂、不会做题，数学概念太抽象，不易理解(如极限、无穷小等)。学生对于接受高等数学的思想、原理、方法非常不适应，对于如何学好高等数学，如何理解它的思想、方法茫然无知。下面我们大家一起讨论一下高数学不好的原因。首先，对大多数高中生而言，考取大学是最具诱惑力的行为归因，但进人大学后，这一因素就不复存在了，大一新生基本上处于如释重负的解脱状态，缺乏主动进取的精神，学习目标不明确，学习动机不强烈。有些同学则认为学高等数学对将来的工作也没有多大用处，有些同学本来数学的基础就不好，进人大学后一接触高等数学，发现难以与中学数学知识直接衔接，学习高等数学的兴趣荡然无存，对高等数学的学习消极应付。再次，学生在高中阶段已形成一定的思维方式及学习习惯，解数学题基本上采取模式辨认、方法回忆的思维方式，对解题方法和技巧模仿、记忆、套用，对知识不求甚解，并未真正理解和内化，没有进行数学思考的意识，也没有掌握数学思考的方法。大学课堂上，对高等数学各部分内容的理解支离破碎，自学能力差，缺乏独立思考的意识，没有反思学习过程的习惯，更没有总结、归纳知识和思想方法的习惯，对教师有较强的依赖心理，学生已形成的思维方式及学习习惯直接影响学生接受高等数学。最后，大学与高中的教学都以讲授法为主，但受高考的影响和制约，高中教师对知识的讲授详细，题型、方法归纳完整，较多的精

关于浅谈高等数学在生活中的应用

关于浅谈高等数学在生活中的应用 Last revision on 21 December 2020

高等数学求导公式

I.基本函数的导数 01.()0C '=； 02.()1x x μμμ-'=； 03.()sin cos x x '=； 04.()cos sin x x '=-； 05. ()2tan sec x x '=； 06.()2 cot csc x x '=-； 07.()sec sec tan x x x '=； 08.()csc csc cot x x x '=-； 09.() ln x x a a a '=； 10.()x x e e '=； 11.()1 log ln a x x a '=； 12.()1ln x x ' =； 13. ( )1 arcsin x '= ； 14.( )arccos x ' =-； 15.()2 1 arctan 1x x ' = +； 16. ()2 1 arc cot 1x x '=-+。 II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±； 02.()Cu Cu ''=； 03.()uv u v uv '''=+； 04.2(0)u u v uv v v v ''' -??=≠ ??? 。 III 复合函数的导数若()(),y f u u x ?==，则 dy dy du dx du dx = 或 ()()()y x f u x ?'''=。

● 计算极限时常用的等价无穷小 0lim sin x x x → 0lim tan x x x → ()2 01lim 1cos 2 x x x →- ()0 lim 1x x e x →- ()0lim ln 1x x x →+ 01 1x x n →- ● 两个重要极限: 0 sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞?? += ??? ● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=，则 () () lim g x B f x A = ● 罗尔定理：()0F x '≠若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则存在一(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。 ● 拉格朗日中值定理：若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则存在一 (),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-。 ● 柯西中值定理：若()f x 、()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0 F x '≠则存在一(),a b ξ∈，使得0x x δ-<，则()()()()() () f b f a f F b F a F ξξ'-= '-。 ● 罗必达法则：若（1）()()()() lim lim 0()x a x a f x F x →∞→∞==∞或或或，（2）()f x '及()F x '在00x x δ<-<（或x X >）处存在，且()0F x '≠，（3）() () lim () x a f x F x →∞''或存在（或∞），则()() ()()lim lim ()() x a x a f x f x F x F x →∞→∞'='或或。 ● 泰勒公式： ()()()()()()()()()()200000001!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ 其中：()()()()()11 01! n n n f R x x x n ξ++=-+ ,()0,x x ξ∈。

高等数学中导数的求解及应用

高等数学中导数的求解及应用摘要：高等数学是一门方法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。然而导数这一章节在高等数学中是尤为重要的，在高等数学的整个学习过程中，它起着承前启后的作用，是学习高等数学非常重要的任务。本文详细地阐述了导数的求解方法和在实际中的应用。关键词：高等数学导数求解应用导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习导数的重要性是不言而喻的。然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。我通过自己的学习和认识，举例子说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。一、导数的定义 1.导数的定义设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果自变量x在x0的改变量为△x（x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内）时，相应的函数有增量△y=f（x0+△x）- f（x0）。若△y与△x之比，当△x→0时，有极限lim ＝lim存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记为f`(x0)。 2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线斜率，即f`（x0）=tan，其中是切线的倾角。如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线 y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线方程。二、导数的应用 1.实际应用假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元，关于生产数量x的可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时的产量。解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和：总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000 总收入的函数R(x)=px=30x（常数p是产品数量）总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000 边际收入R(x)Γ=30 边际成本C(x)=0.02x+20 边际利润I(x)=-0.02x+20 令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生产数量为1000个时，边际利润是零。这也就表明了，当每月生产数目为1000个时，利润也不会再增加了。 2.洛必达法则的应用如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与F（x）都趋于零或都趋于无穷大，那么极限lim可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，分别简记为或。对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商”

高等数学的重要性和学习方法

高等数学的重要性和学习方法一、数学暨高等数学的重要性数学主要研究现实世界中的数量关系与空间形式。在现实世界中，一切事物都发生变化，并遵循量变到质变的规律。凡是研究量的大小、量的变化、量与量之间关系以及这些关系的变化，就少不了数学。同样，一切实在的物皆有形，客观世界存在着各种不同的空间形式。因此，宇宙之大，粒子之微，光速之快，世事之繁，，无处不用数学。数学既和几乎所有的人类活动有关，又对每一个真心感兴趣的人有益。恩格斯说：“要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学。” 英国著名哲学家培根说：“数学是打开科学大门的钥匙。” 著名数学家霍格说：“如果一个学生要成为完全合格的、多方面武装的科学家，他在其发展初期就必定来到一座大门并且必须通过这座门。在这座门上用每一种人类语言刻着同一句话‘这里使用数学语言’。” 德国大数学家、天文学家，物理学家高斯说：“数学是科学的皇后，虽然她常常屈尊去为其他自然科学效劳，但在她与所有学科的关系中，她始终堪称第一。” 数学如今已经越来越被人们认为是在科学发展中具有高度重要性的学科。实际上，数学研究极大地开阔了人类思想的领域。今天，它已成为表达严格科学思想的媒介。随着科学技术的发展，人们越来越深刻地认识到：没有数学，就难以创造出当代的科学成就。科学技术发展越快越高，对数学的需求就越多越深。因为，自然科学各学科数学化的趋势，社会科学各部门定量化的要求，使许多学科都在直接间接地，或先或后地经历着一场数学化的进程(在基础科学和工程研究方面，在管理机能和军事指挥方面，在经济计划，甚至在人类思维方面，我们都可以看到强大的数学化进程)。现在已经没有哪一个领域能够抵御得住数学的渗透。数学的渗透力不仅具有广度，而且具有深度，它正在向着各学科的纵深渗透。所以联合国教科文组织在一份调查报告中强调指出：“目前科学研究工作的特点之一是各门学科的数学化。”反过来，科学技术的发展，又成为数学产生和发展的源泉与动力，数学正在一日千里地发展。据统计，世界上成千上万的数学工作者，每年提出大约二十万条新定理。数学论著浩如烟海，“数学大树”植根于科学与技术之沃土，枝繁叶茂，荫及各个领域。在科学王国中，数学有一个特殊的位置，它是一个专门的领域，但又为其他领域提供思维的工具。为了使大家了解“高等数学”在数学中的地位，我们简要地介绍一点数学的历史。从最一般的观点来看，数学的历史可以分为四个基本的、在性质上不同的阶段。当然精确划分这些阶段是不可能的。因为每一个相继阶段的本质特征都是逐渐形成的，而且在每一个“前期”内，都孕育乃至萌发了“后期”的内容；而每一个“后期”又都是其“前期”内容的持续发展阶段。不过这些阶段的区别和它们之间的过渡都能明显地表示出来。第一阶段：数学萌芽时期。这个时期从远古时代起，止于公元前5世纪。这个时期，

浅谈高等数学课堂学习动力系统(一)

浅谈高等数学课堂学习动力系统(一) 摘要]在高等数学学习中，学生学习动机不强、兴趣不高是教学面临的难题。学生学习动力产生于一个完整的动力系统，研究学生的学习动力系统具有重要的教学价值，是高效数学课堂学习的重要方面，使学生在教学活动中体会到自己的主体地位，从而极大地提高了学生的学习积极性。关键词]学习动力系统数学课堂高等数学教学高等数学是很多学生认为最伤脑筋的一门课程，内容抽象难懂，需要很强的能力，和高中的数学学习内容有很大差异，经常是无论老师怎么讲解，同学只能半知半解，总有一些不清楚或遗漏的地方。于是，渐渐地对高等数学产生了厌烦之心，不愿意甚至不想再学这门课。学生学习时的动机不强、兴趣不高是现在高等数学课堂教学普遍面临的一个很棘手的问题。根据教育心理学的研究证实，学生的学习有着完整的心理结构，其中情感、态度、需要、动机等非认知因素组成的学习动力系统，对认知活动起着启动、定向、引导、维持、调节和强化等作用。研究和开发学生的学习动力系统，将对如何激发学生学习高等数学的积极性、主动性有重要的作用。本文用系统的观点去考察课堂中教与学的关系，能清晰地看到教学过程的动态演化过程，考察高等数学课堂学习动力系统，是基于学习本身来研究高等数学的课堂学习。一、高等数学课堂学习动力的内涵 (一)研究学习动力系统，开展有效的高等数学课堂教学课堂学习动力系统是由与学习活动紧密关联的一系列的非认知因素，包括学习态度、情感、意志、性格等之间的相互作用、相互制约、相互联系而构成的相对独立的心理动力系统整体，包括内部动力系统和外部动力系统两个部分。内部动力系统是指存在于人的主观意识中的、能推动个人从事学习活动的各种力量构成的有机整体，包括学习兴趣、爱好、需要、动机、理想、信念、意志等等。而外部动力系统指存在于个体外部，能够激发并且推动个人学习活动的各种条件要素相互作用构成的一个整体，例如：学校的学习环境和气氛、社会对高素质人材的需要、家庭对个人成功的期望、取得成绩的奖励政策、同学之间的激烈竞争等等。其中，前者是推动学生从事认真学习活动的最重要的主导动力，后者是推动学习活动进行的必要条件，当外部动力通过一定的手段和途径内化为学生学习的内部动力时，就会形成强大的精神力量。学习动力系统按各构成要素对学习活动的调节范围和作用程度，可分为3个因素：1.主导性的因素，包括人对未来的理想和信念等，与学习动力系统的性质和方向有主要联系，对所有以下的动力因素具有广泛的制约和调节作用，对学生的学习活动具有最重要的影响。 2.关键性的因素，包括对学习的兴趣、动机、意志等。它们既接受主导性因素相应成分的调节，又制约、调节基础性的动力因素，对学生的学习活动产生直接的影响。 3.基础性的因素，包括关键性因素中某些动力因素在学习过程中的直接派生物，如学习热情、求知欲、成就动机、自制力等。这些因素在学习过程中起着积极的作用，对学生学习产生非常重要的影响。但与前两个因素比，关键性因素作用的时间、持久度均有限，且具有易变性的特点。学生在课堂中的学习动力实质上是把求知作为目的，有效的高等数学教学的建议是：引起学习动机的最适合的方法，就是把精力集中在学习的认知方面，而不是动机方面。要从学生为了增加知识而学习入手，不要强调为了什么社会、家庭、个人的目的而学。对于内容枯燥，趣味性较低的高等数学课堂学习更要充分发挥学生的积极性，要让学生充满求知的欲望，自然就有了学习动力。高等数学课堂学习动力系统研究是从认知的角度，分析“教”在数学课堂学习动力系统中的“启动”“维持”以及“意向生成”过程中的作用。例如在学习微积分的理论基础极限时，要求准确的求出各种极限，但是求极限的方法有很多，综合起来有：利用极限的四则运算与幂指数运算法则、利用函数的连续性、利用变量替换与两个重要极限、利用等价