2014年高考数学走出题海之黄金30题系列 专题06 考前必做难题30题(理)(原卷版)Word版无答案

2014年高考数学走出题海之黄金30题系列

1．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0, 3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是 ( )． A. 9,24??-- ??? B ．[－1,0] C ．(－∞，－2] D. 9,4??

-

-∞ ???

2．已知以4T =为周期的函

数(1,1]

()12,(1,3]x f x x x ?∈-?=?--∈??，其中0m >。若方程

3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）

A ．??

?

?

??3,315

B

． C ．48(,)33

D. ()

7,2

3．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()'()'()

f x f x xf x +<

恒成立，1

(2),(3),1)2

a f

b f

c f ==

=，则,,a b c 的大小关系为 （ ）

A ．c a b <<

B ．b c a <<

C ．a c b <<

D ．c b a <<

4．设函数21

(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x

=

=+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是

A.当0a <时，12120,0x x y y +<+>

B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+<

C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+<

D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+>

5．已知函数2342013()1...2342013x x x x f x x =+-+-++,2342013

()1 (2342013)

x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+?-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈

A 、11

B 、10

C 、9

D 、8

6．已知数列a n ：1213214321

1121231234

，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( ) A.

3724 B.76 C.1115 D.715

7．现有两个命题：

（1）若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()1

x

f x x =

-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；

则以下集合关系正确的是（ ）

A ．P Q ü B.Q P ü C.P Q = D.P

Q =?

8．函数2sin 8

(,)1sin x x x f x x θθθ

--+=--（x ＞2）的最小值（ ）

A.

B.

C.1+

D.1-+9．设实数,x y 满足20

25020

x y x y y --≤??

+-≥??-≤?

，则22x y u xy +=的取值范围是 （ ）

A ．5

[2,

2

] B ．510[,]23 C ．10[2,]3 D ．1[,4]4

10．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于(

)

A ．

65π B ．32π C ．π D ．6

7π

11．已知A 、B 是椭圆2222x y a b

+＝1(a ＞b ＞0)和双曲线22

22x y a b -＝1(a ＞0，b ＞0)的公共顶点．P

是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点(P 、M 都异于A 、B )，且满足AP ＋BP ＝λ(AM ＋

BM )，其中λ∈R ，设直线AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别记为k 1、k 2、k 3、k 4，k 1＋k 2＝5，

则k 3＋k 4＝________.

12．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且2a 、5a 、14a 分别是等比数列{}n b 的

2b 、3b 、4b .

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 对任意正整数n 均有12

112

n

n n

c c c a b b b ++++

=成立，求122014c c c +++的

值.

13．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*

0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若11

4,2

a q ==

，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：12012

2()13

q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q

N N *

*挝.

14．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，?=∠90CAD

，PA ⊥平面

ABCD ，1PA BC ==

，AB =，F 是BC 的中点.

（1）求证：DA ⊥平面PAC ；

（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.

15．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱CC 1上，已知AB ＝AC ，AA 1＝3，BC ＝CF ＝2.

(1)求证：C 1E ∥平面ADF ；

(2)设点M 在棱BB 1上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF?

16．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝1，D 为线段BC 的中点，E 、F 为线段AC 的三等分点(如图①)．将△ABD 沿着AD 折起到△AB′D 的位置，连结B′C(如图②)． (1)若平面AB′D ⊥平面ADC ，求三棱锥B′-ADC 的体积；

(2)记线段B′C 的中点为H ，平面B′ED 与平面HFD 的交线为l ，求证：HF ∥l ； (3)求证：AD ⊥B′E .

17．如图，正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都是2，D 棱AC 的中点，E 是1CC 棱的中点，AE 交1A D 于点H.

（1）求证：AE ⊥平面1A BD ； （2）求二面角1D BA A --的余弦值； （3）求点1B 到平面1A BD 的距离.

18．已知点12(1

,0),(1,0)F F -分别是椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点, 点

P 在椭圆上C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;

（Ⅱ）设直线12:,:,l y kx m l y kx m =+=-若1l 、2l 均与椭圆C 相切,试探究在x 轴上是否存在定点M ,点M 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点M 坐标;若不存在,请说明理由. 19．如图,已知抛物线x y 42

=的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于M 、N 两点，其准线l 与

x 轴交于K 点.

（1）求证：KF 平分∠MKN ；

（2）O 为坐标原点，直线MO 、NO 分别交准线于点P 、Q ，求PQ MN +的最小值.

20．已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(1,0)F -,且过点Q .

(1)求椭圆E 的方程;

(2)设过点P(-2,0)的直线与椭圆E 交于A 、B 两点，且满足(1)BP AP λλ=>. ①若3λ=,求113||||AF BF +的值;

②若M 、N 分别为椭圆E 的左、右顶点，证明: 11.AF M BF N =∠∠

21．已知点1F 、2F 为双曲线C ：()0122

2

>=-b b

y x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直

线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且?=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；

（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求

21PP ?的值；

（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：2AB OM =．

22．已知动点P 到点A (－2,0)与点B (2,0)的斜率之积为－

1

4

，点P 的轨迹为曲线C .

(1)求曲线C 的方程；

(2)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D .求证，A ，D ，N 三点共线．

23．已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b

y a x C 的离心率与双曲线1222

=-x y 的离心率互为倒数，

直线2:+=x y l 与以原点为圆心，以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆1C 的方程；

（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线

2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；

（3）设第（2）问中的2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0=?,求||的取值范围.

24．已知a 为实常数，函数()ln 1f x x ax =-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）若函数()f x 有两个不同的零点1212,()x x x x <； （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求证：

11

1x e

<<且122x x +>.（注：e 为自然对数的底数） 25．已知0x >，函数()ln 1

ax

f x x x =-

+. （1）当0a ≥时，讨论函数()f x 的单调性；

（2）当()f x 有两个极值点（设为1x 和2x ）时，求证：()()()121

1x f x f x f x x x ++≥?-+???

?. 26．已知函数2

1()(21)2ln ()2

f x ax a x x a =

-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；

(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.

27．已知函数2()(33)x f x x x e =-+?． (1)求()f x 的单调区间；

(2)当2t >-时，判断(2)f -和()f t 的大小，并说明理由；

(3)求证：当14t <<时，关于x 的方程：2

'()2(1)3

x f x t e =-在区间[2,]t -上总有两个不同的

解．

28．已知函数ln ()1x

f x x

=

-. （1）试判断函数()f x 的单调性；

（2）设0m >，求()f x 在[,2]m m 上的最大值； （3）试证明：对任意*n N ∈，不等式11ln()e n n

n n

++<都成立（其中e 是自然对数的底数）． 29．已知

32()()ln(1)f x x ax x a =-+-（a R ∈）

（1）若方程()0f x =有3个不同的根，求实数a 的取值范围；

（2）在（1）的条件下，是否存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =，若存在，求实数a 的值，若不存在，说明理由． 30．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x ＞0，都有f ′(x)＞

()

f x x

． （Ⅰ）判断函数F(x)＝

()

f x x

在(0，＋∞)上的单调性； （Ⅱ）设x 1，x 2∈(0，＋∞)，证明：f(x 1)＋f(x 2)＜f(x 1＋x 2)；

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．