数理逻辑试题A卷 2006—2007
哈尔滨工业大学（威海）2006 /2007学年秋季学期
数理逻辑试题（A卷）
一.将下列各试用前置方式表示出来（共5）
1）（a+（b+c））=（（a+d）+c）（1分）
2）（a×（b+c））=（（a×b）+（a×c））（1分）
3）（（（a+b）×c）÷d）-（e×f）（1分）
4）（3d+4×（a b－4xy））÷（（4xyz）÷2y）（2分）
二.判别下列各句是否为命题，在括号中回答T与F（每题1分，共10分）
齐次线性方程组是无解的.（）
请做汽车去！（）
您复习完了吗？（）
18是6和3的公倍数。（）
这句话是假的。（）
如果天气好，那么我去到自习室（）
昨天下雨且昨天打雷。（）
9不是43的约数。（）
小张不会德文。（）
21世纪末，人类将在太空。（）
三.请用命题演算理论解答下列各式. （每题2分，共14分）
1.将下列句子表示成符号公式.
1）小张不会德文也不会法文
2）如果6大于4，3不大于4，则18不大于16
3）只有明天上午七点不下雪且不下雨我们才去学校
4）除非你同我一起或坐公共汽车，否则我不去
5）天黑了我得回家
2. 证明下列等式.
1）┐（┐p∧（┐q∨┐r））=（p∨q）∧（p∨ r）
2）（p→q）∧（p→r）=p→（q∧r）
四. 请用谓词演算理论解答下列各式. （每题2分，共12分）
1.将下列句子用谓词填式表示
1）这座大楼建成了
2）这个人正在看那本红皮书
3）没有不犯错误的人
2. 将下列谓词译成句子.
1）?x （R（x）→＞（x，0）∨=（x，0）∨<（x，0））
其中: x大于0表示>（x，0） x小于0表示<（x，0）
x 等于0表示=（x，0）,特性谓词x为实数
2）?x （M（x）→D（x））,M（c）┝ D（c）
其中: M（x）表示：x是人 D（x）表示：x必死
c表示：张三
3）?x（┐Q（x）→E（x）
其中: Q（x）表示x是奇数E（x）表示x是偶数
五. 请用谓词演算理论及量词解答下列各式.（每题2分，共16分）
1.指出下列公式中的自由变元，约束变元及约束关系.
1）?x（x2≥0∧?y（x= y∧?z（z> y）））
2）?u?z（y∧u∨?u（z> y））
3）?x ? y （x>z∧?z(y= z∨ (x2> y）））
4）?y（Xxy∧?xYx）→?x（Xx y≡?xYx））
2. 请使用谓词演算表达式表示下列各式.
1) 对于任何一个事业有成者都是努力工作或是努力学习.
2) 如果您努力学习必对国家有贡献
3) 尽管有人聪明，但未必一切人都聪明.
4)必须对环境进行治理否则对人类生存产生较大影响
六.采用数理逻辑推理将下面高级语言写成的一段程序化简 (共12分）
1.请化简下列程序段
if A then if B then X （7分）
else Y else if B then X else Y
2.请给出将1中程段化简前的流程图（3分）
3.请给出将1中程段化简后的流程图（2分）
七.证明下列各式. (每题5分。共15分)
1) 试证：（（P→Q）∧┐Q）→┐P为重言式
2) 试证：P→Q＝┐P∨Q为重言式
3 ) 试证：任一含有∧，∨，┐，，→真值连接词的逻辑公式均可由┐，∧及┐，∨来表示
八) 根据数理逻辑的理论判断程序的正确性请写出I/0断言及中间断言
（每题8分，共16 分）即：计算两个非负数且不同时为零的整数X1与X2最大公约数Y的程序
1) 请写出输出断言
Program GCD
Read（X1，X2）
（）写出输入断言
（ z1， z2）=（X1，X2）
While z1≠0 do
od
y= z2
（）写出输出断言
Write （ y ）
End GCD
2) 请写出中间断言
（ z1， z2）=（X1，X2）
While（）写出中间断言
If z1≥z2 then z2= z2－z1，else （ z1， z2）
od
（）写出中间断言
y= z2
2006/2007年秋季学期数理逻辑试题答案
（A卷）
适用班级（0404101 1—6， 0404201 1-2）
一. 1） =+a+bc++abc
2） =×a+bc+×ab×ac
3） -÷×＋abcd×ef
4）÷＋×3d×4－×ab××4xy÷×××4xyz÷×2y
二 T，F，F，T，F，T，T，T，T，T.
三 1： 1）p：设小张不会德语q：设小张不会法语
原式可表示为：p≡q
2）p：设6＞4 q：设3≠＞4 r：设8≠＞16
原式可表示为：（p∧q）→r
3）设p：明天上午七点不下雪 q：明天上午七点部下雨 r：我去学校原式可表示为：（p∧q）→r
4）设p：你不和我一起 q：座公共汽车 r：我不去
原式可表示为：（┐p∧q）→r
5）设p：天黑了 q：我回家
原式可表示为：p≡q
注明：这种答案不是唯一的，是根据每个人逻辑设计不同而不同。
2：1）┐（┐p∧┐（q ∧r））
= p∨（q ∧r）
=（p ∨q）∧（p ∨r）
2）=（┐p∨q）∧（┐p ∨r）
= ┐p∨q∧r
=（p→q）∧r
四1：1）F（x）表示：x建成了 G（x）表示：x是大的 H（x）表示：x是大楼则可表示为：F（x）∧G（x）∧H（x）
2）F（x，y）表示：x正看y G（x）表示：x是人
H（y）表示：y是红皮的 U（y）表示：y是书
a表示这个 b表示那个
则全句可表示为：F（a，b）∧G（a）∧H（b）∧U（b）3）设F（x）为：x犯错误其特性谓词为M（x）：表示x为人
则此句可表示为：┐ヨx（M（x）∧┐F（x））
2： 1）任何一个实数或大于0或小于0或等于0
2）推理三段论：凡人必死，张三是人，故张三必死。
3）对任意自然数不是奇数则是偶数。
五 1：1）x、y、z约束变元
约束关系为若x2大于等于0并且对所有的y、x等于y并且z大于y
2）u、z约束变元y为自由变元
约束关系为对于一切变元u都存在一个z使得z大于y
3）x、y、约束变元z即为约束变元又为自由变元
其约束关系为x大于z 存在y= z或者x2大于y
4）y为约束变元x为约束变元也为自由变元
其约束关系为如果二元谓词X（x，y）且谓词Y（x）则有X（x，y）等价Y（x）21）?x N（x）≡G（y）∨G（z）
设N为…有成，x表示事业
G表示…努力
Y表示工作
Z表示学习
2）N（x）→G（y）
3）ヨxN（x）→?x（（┐N（x））
4）N（x）∧G（x）→┐（N（x）∧G（x））∧R（x）
六
1）根据所给程序有：此程序执行x之前的条件为：
A∧B∨┐A∧B
执行y之前的条件为：
A∧┐B ∨┐A∧┐B
所以
A∧┐B ∨┐A∧┐B
= B∧A∨B∧┐A
= B∧（A∨┐A ）
=B∧T
= B
A∧┐B ∨┐A∧┐B
= ┐B∧ A∨┐B∧┐A
=┐B∧（A∨┐A）
=┐B∧T
= T∧┐B
=┐B
3）
八 1：1（输入断言）
2）y=MAXu（u≒x1∧u≒x2））（输出断言）
2：1）（z1≥0∧z2≥0）∧（z1≠0∨z2≠0）∧MAXu（u≒z1∧u≒z2）= MAXu（u≒x1∧u≒x2））（中间断言）
2）（z1≥0∧z2≥0）∧（z1≠0∨z2≠0）∧MAXu（u≒z1∧u≒z2）= MAXu（u≒x1∧u≒x2））因进入循环起点，（中间断言）
3）（z2= MAXu（u≒x1∧u≒x2））（中间断言）