矩阵的分块及应用

矩阵的分块及应用

摘要：对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩

阵的运算化成小矩阵的运算。在理论研究及一些实际问题中，经常遇到行数和列数较高或结构特殊的矩阵，运算时常采用分块法。

关键词：矩阵 分块 分块矩阵 正文：

一：分快矩阵的概念

将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 处理有特点的大矩阵时需要进行分块 矩阵分块的三个原则:

1;体现原矩阵特点.；2：根据问题需要.；3：能够把子块看作元素进行运算.。二：基本性质

定义1 分块矩阵的行(列)初等变换是指: （1）交换两行(列)的位置;

（2）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)该行(列)的一个）（i h 阶）阶）（（i l 左(右)保秩因子Ｈ;

（3）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)一个）（i h 阶）阶）（（i l 矩阵Ｋ后加到第ｊ行.

定义2 对应于分块矩阵t s ij A ?）（的初等分块矩阵是指:

（1）))((k j i P i +

=???????????

?

?ss ll ii E E K E E 11

或ijk P =??????????? ?

?ii ll ii jj E O E E O E

（2） )(H P il =???????? ??ss ll E H E 或)(H P ik

=??

?

??

?

?

? ??ii E H E 11

其中Ｈ为第ｉ行(列)的一个左(右)保秩因子； (1) ))((k j i P i +

=??????????

?

?

?ss ll

ii

E E K E E

11 (2) （2）))((k j i P k +

=?

????

?

???

?? ?

?ll ll ii E E K E E 11 初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得:

定义2 分块单位矩阵(即把单位矩阵分块得到的分块矩阵)经过一次分块矩阵的初等变换得到的矩阵称为分块初等矩阵。

定理1 一个分块矩阵A 作一次分块矩阵的初等行(列)变换,就相当于在A 的左(右)边乘上一个相应的分块初等矩阵。 定理2 分块矩阵进行初等变换后,秩不变.

证明: 对于(1),相当于对n m ij a A ?=)(进行若干次行(列)的交换,故命题成立;对

于(2),根据定义1,显然成立;对于(3),相当于进行若干次把n m ij a A ?=)(行(列)乘以一个倍数后加到另一行(列),故命题成立.

定理3 (1)设Ａ,Ｂ的行数均为ｍ,则矩阵方程ＡＸ=Ｂ,当R(Ａ)= R (Ａ,Ｂ)=ｍ

时有唯一解,当R (Ａ)= R (Ａ,Ｂ)<ｍ时有无穷多解,

当R (Ａ)< R (Ａ,Ｂ)时无解;

(2)设Ａ,Ｂ的列数均为ｎ,则矩阵方程ＸＡ=Ｂ,当R(Ａ)= ）（T T B A R ,=ｎ时有唯一解,当R (Ａ)= ）（T T B A R ,<ｎ有无穷多解, 当R(Ａ)< ）

（T T B A R ,时无解. 证明 : (1)设R(Ａ)= R(Ａ,Ｂ)<ｍ,则存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使

A = P ???? ??o o

o I r

Q , B=P ???

?

??O O B B 21

Q 其中r I 为ｒ阶单位矩阵, 1B 为ｒ阶方阵,设 X O = Q 1-????

??4321

B B

B B Q, 则有: AX O =P ???

? ?

?o o

o I r

Q Q 1-???? ??4321

B B B B Q =P( ???? ??o o o I r

???

? ??43

21

B B B B =P ???

?

??O O B B 21=B 所以o X 为ＡＸ=Ｂ的解,其中3B , 4B 是任意的.

当r (Ａ)= R(Ａ,Ｂ)=ｍ时,Ａ=Ｐ(m I Ｏ)Ｑ,Ｂ=( 1B 2B ),显然,ＡＸ=Ｂ有唯

一解: Q B B Q X o ）（21

1

-=;当r (Ａ)< r (Ａ,Ｂ)时,ＡＸ=Ｂ无解.

同理可证(2)成立(当R(Ａ)= R( t A , T B )<ｎ时,X=P ???

? ??o o

o I r 1-P )

同理可证(2)成立(当R(Ａ)= R( t A , T B )<ｎ时,X=P ???

? ??o o

o I r

1

-P ) 讨论分块方阵行列式的计算,先讨论分块初等阵的行列式. 设I 为S ×S 分块单位阵:

I=???????????

?

?

?s r r r r I I I I

3

2

1 其中I r i 为r i 阶单位阵(1≤i ≤S),对I 施行一次初等变换可得定义2所述的三种分块初等阵,它们的行列式有下列计算公式. 引理 分块初等阵的行列式有以下性质:

(1)|I(i,j)|= τ)1(-,其中τ=r i (r i +1+…+r j

)+ r

j

(r

i

+1+…+

r j -1)(i

特别地,若j=i+1,则| I(i,j)|=(-1) r i r j ; (2)|I(i(K))|=|k|,其中K 是r i 阶可逆阵; (3)|I(j(K),i)|=1,其中K 是r i ×r j 矩阵.证

(1)不难验证,将I(i,j)的元素行进行τ次相邻的对调可将I(i,j)变成I,由行列式的性质,|I(i,j)|= τ)1(-|I|=τ)1(-.

(2),(3)由对角分块方阵及三角形分块方阵的行列式计算方法即知.

由于对分块方阵A 施行一次初等行变换,相当于用相应的分块初等阵左乘A,由上述引理,我们有下列分块方阵的行列式计算性质.

定理4 设A 是一个分块方阵.

(1)交换|A|的i,j 两行(列),行列式变为(-1)τ|A|, 其中τ= r i (r i +1+…+ r j )+ r j (r i +1+…+ r j -1);

特别地,交换|A|的相邻两行(列)(i 行和i+1行),行列式变为(-1) r i r i +1|A|; (2)用一个r i 阶可逆阵K 左(右)乘|A|的第i 行(列)的所有矩阵,等于用|K|乘以|A|;

(3)用一个矩阵左(右)乘|A|的某一行(列)的所有矩阵再加到另一行(列)的对应元素上,行列式不变. 由定理4的(2)可得

推论 分块行列式|A|的某一行(列)的所有矩阵的可逆左(右)因子K,可以行列式

|K|的形式提到行列式符号外. 三. 分块矩阵的运算 运算规则

()1 st ij ij st ij st ij B A B A )()()(+=± ()2 ts T

ji st

T

ij A A )()

(=

()3 sp ij tp ij st ij C B A )()()(=，ij C =∑-==t

k kj ik t j s i B A 1

),...1,,...1(

()4 st ij st

ij A k A k )()(=(k 是数量)

设A 与B 为同型矩阵，采用相同的分块法，有

????? ??=Sr S r A A A A A 1111...，??

??? ??=sr si

r B B B B B 111

其中 ij A 与ij B 为同型矩阵，则 矩阵的加法：

?

??

??

??++++=+sr sr s s r r B A B A B A B A B A 11

111111

矩阵的数乘：

?

????

??=sr s r A A A A A λλλλλ 1

111，其中λ∈R

矩阵的乘法：

∑==t

k kj ik ij B A C 1其中 A 1i ，A 2i ...,A it 的列数分别等于 B j 1 ,B j 2... B tj 的行数.

??

???

??=sr s r C C C C AB 1

111其中，∑==

t

k kj ik

ij

B A

C

1

矩阵的转置: ????

?

?

?=sr T r

T

s T T T

A A A A A

1111 分块矩阵的转置为先大转置，而后小转置.

分块对角矩阵具有下述性质:

（1）

S

A A A A 21=

（2）若,0≠i A 则有????

? ?

?=---s A A A 11

11

（3）若????? ??=s A A A 1，????? ??=s B B B 1 则有：???

?

?

??=AsBs B A AB 11 （4）若???

??

??=s A A A 1，则?????

?

?

?=n s n n A A A

1 （5）若，?????

??=s A A A 1则?????

?

??=---111

s

s A A A 四：应用

1 在求矩阵秩中的应用

2 在行列式计算中的应用

1 B A 、分别为m 与n 阶方阵. 证明 :

(1)当A 可逆时 ,有 ?

??? ??B C D A = A D CA B 1

-- (2)当B 可逆时 ,有???? ??B C D A =C DB A 1

-- B

3 在证明方面的应用

利用分块矩阵证明矩阵秩的问题，一般采用两种方法，一是利用已知矩阵作为元素来拼成高级数的矩阵来证明，；另一种方法是将已知矩阵拆成低级数的矩阵来证明，这两种方法在证明矩阵的秩的问题时都是很有效的，很大一部分相关矩阵秩的问题都可以用分块矩阵来证明. 4 在线性相关性及矩阵的分解中的应用 关于矩阵列(行)向量线性相关性

命题1 矩阵A 的列线性无关的充分必要条件是AX =0只有零解. 证明 令()12

A ,,k A A A =,其中i A ()1,2,,i k =???是A 的列向量，且

02211=+++k k A a A a A a ()

1,2,,i a i k =???为实数即 ()

12,,,k A A A ????

?

??

??4.

21.a a a =0 也即 A ??????

? ??k a a a ..21=0

若k A A A ,,21 线性无关,则有1a =2a =…=k a =0,AX =0只有零解，反之亦成立. 5 在求逆矩阵方面的应用

设P = ????

??D C B A 是一个四分块方阵，其中B 为r 阶方阵, C 为k 阶方阵,当B 与

)(1A DB C --都是可逆矩阵时，则P 是可逆矩阵，并且

1

-P

= ???

?

??---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DB A DB C A B B A DB C DB A DB C

特例 ()1 当A =0，D =0，B 与C 都可逆时，有1

-P

=????

??--0011B C

()2 当A =0，D ≠0，B 与C 都可逆时，有1

-P

=????

??-----01111B C DB C ()3 当A ≠0，D =0，B 与C 都可逆时，有1

-P =???

? ??-----11110AC B B C

参考文献

【1】 《线性代数》 戴斌祥编，北京邮电大学出版社