陕西省长安一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题

陕西省长安一中 2012-2013学年高三第二次教学质量检测

数学试题（理科）

一、选择题：(本大题共14

小题，每小题5分，共70分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，则

()U C A B ?=（ ）

A. {}1-

B. {}1,2-

C.{}12x x -<<

D.{}12x x -≤≤ 2. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,376a a +=-,则当n S 取最小值时,

n 等于 ( ）

A ．8

B ．7

C ． 6

D ．9

3. 若4

cos 5

α=-，α是第三象限的角，则

1tan 21tan

2

αα

+=-（ ）

A ．1

2

- B ． 12 C ． 2 D. -2

4. 函数y=|

|x xa x

(0

5． 同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线3

π

=

x 对称；③在]

3,6[π

π-

上是增函数的一个函数是 （ ）

A ．sin()26x y π=+

B ．sin(2)6y x π=-

C ．cos(2)3y x π=+ D.sin(2)6

y x π

=+

6．已知直线x y a +=与圆22

4x y +=交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=- ，则

实数a 的值为( )

A ．2

B ．-2

C ．2或-2

D 或 7.设直线x t =与函数2()f x x =，()ln g x x =的图像分别交于点,M N ，则当MN 达到最小值时t 的值为 （ ）

A ． 1

B ．12

C ．

8. 设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）

A 9. 已知{}n a 是等比数列，22a =，51

4

a =

，则12231n n a a a a a a ++++= （ ） A ．16(14)n --

B ．16(12)n --

C ．32(14)3n --

D ．32(12)3

n -- 10.若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 （ ） A.()2,2- B. []2,2-

C.(),1-∞-

D.()

1,+∞

11.已知0

2

(cos())6a x dx π

π=+?

，则二项式25()a

x x

+的展开式中x 的系数为（ ）

A ．10

B ．-10

C ．80

D ．-80

12.等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，111a =-，

108

2108

S S -=则11S ＝( ) A ．－11 B ．11 C ．10 D ．－10

13.已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且

1201,1x x <<>则b

a

的取值范围是 ( )

A .1(1,]2-- B.1(1,)2-- C.1(2,]2-- D.1

(2,)2

--

14.设函数()0)f x a =

<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一

个正方形区域，则a 的值为 ( )

第16题图

A ．2-

B ．4-

C ．8-

D ．不能确定

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）

15．圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为

16 阅读程序框图（如下图所示），回答问题：

若5log ,6.0,56.056.0===c b a ,则输出的数是 ．

17．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →， 则AD

→·BE →＝________ 18．若不等式1

|21|||a x

x

-?对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的 取值范围________.

19. 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 .

20．已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足??

?

??-∈22ππ，n a ，且公

差0≠d .若0)()()(2721=+?++a f a f a f ，则当k =____________是，0)(=k a f .

三、解答题：（本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

21. 已知向量()cos sin ,sin a x x x ωωω→

=-

，()

cos sin b x x x ωωω→

=--，设函数()()f x a b x R λ

→→

=+∈ 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且

1,12

ω??∈ ???

.

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点,04π?? ???，求函数()y f x =在区间30,5π??

????

上的取

值范围.

22. 如图，在某港口A 处获悉，其正东方向20海里B 处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西030据港口10海里的C 处，救援船接到救援命令立即从C 处沿直线前往B 处营救渔船. (Ⅰ) 求接到救援命令时救援船据渔船的距离； （Ⅱ）试问救援船在C 处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援？（已知

7

2149cos 0=

）.

23． 数列}{n a 的前n 项和记为n S ，t a =1，121()n n a S n ++=+∈N ．

（I ）当t 为何值时，数列}{n a 是等比数列？

（II ）在（I ）的条件下，若等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最

大值，且153=T ，又11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，求n T ．

24. 设函数()()()2

12ln 1f x x x =+-+

（1）若关于x 的不等式()0f x m -≥在[]0,1e -有实数解，求实数m 的取值范围； （2）设()()21g x f x x =--，若关于x 的方程()g x p =至少有一个解，求p 的最小值.

（3）证明不等式：()()*

111ln 1123n n N n

+<++++

∈

陕西省长安一中 2012-2013学年高三第二次教学质量检测

数学（理）参考答案

1---5ADDDB 6-----10CCABA 11---14CADB

15.

16.0.65 17. 2 18. 1

4

-

19.13-22??

????

， 20. 0=4k k <或

21

. （Ⅰ）因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+

cos22x x ωωλ=-+π

2sin(2)6

x ωλ=-+.

由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得π

sin(2π)16

ω-=±，

所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1

()23

k k ω=+∈Z ．

又1

(,1)2

ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.

所以()f x 的最小正周期是6π

5.

（Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π

()04

f =，

即5πππ

2sin()2sin 6264λ=-?-=-=λ=

故5π

()2sin()36f x x =-

由3π05x ≤≤，有π5π5π

6366

x -≤-≤，

所以15π

sin()1236x -≤-≤，得5π12sin()236

x --

故函数()f x 在3π

[0,]5

上的取值范围为[12-.

22解：(Ⅰ) 由题意得：ABC ?中，0

120,10,20=∠==CAB AC AB ，

CAB AC AB AC AB CB ∠?-+=∴cos 2222 ……………3分

即,700120cos 1020210200222=??-+=CB 710=BC ，所以接到救援 命令时救援船据渔船的距离为710海里. ……………6 （Ⅱ）A B C ?中, ,20=AB 710=BC ,0120=∠CAB ,由正弦定理得

C A B BC ACB AB ∠=∠sin sin 即0120sin 710sin 20∠=∠ACB 7

21

sin =

∠∴ACB ………9分 7

2141sin 49cos 00==，041=∠∴ACB ，

故救援船应沿北偏东071的方向救援. …………… 12分

23. 解：（I ）由121+=+n n S a ，可得121(2)n n a S n -=+≥，

两式相减得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即， ∴当2≥n 时，}{n a 是等比数列， 要使1≥n 时，}{n a 是等比数列，则只需

31

212=+=t

t a a ，从而1=t ． （II ）设}{n b 的公差为d ，由153=T 得15321=++b b b ，于是52=b ， 故可设d b d b +=-=5,531，又9,3,1321===a a a ，

由题意可得2)35()95)(15(+=+++-d d ，解得10,221-==d d ，

∵等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，∴10,0-=

)

1(15n n n n n T n -=-?-+

=． 24.（1）依题意得m x f m ≥ax )(,[0,1]x e ?

()1

2212)1(2)(++=+-

+='x x x x x x f ，而函数)(x f 的定义域为),1(∞+- ∴)(x f 在)0,1(-上为减函数，在),0(∞+上为增函数， 则)(x f 在]1,0[-e 上为增函数

2)1()(2max -=-=∴e e f x f

即实数m 的取值范围为22-≤e m （2）1)()(g 2--=x x f x )]1ln(x [2)1ln(22x x x +-=+-=

则x

x x x g +=+-

='12)111(2)( 显然，函数)(g x 在)0,1(-上为减函数，在),0(∞+上为增函数 则函数)(g x 的最小值为0)0(g =

所以，要使方程p x =)(g 至少有一个解，则0≥p ，即p 的最小值为0 （3）由（2）可知： 0)]1ln(x [2)(g ≥+-=x x 在),1(∞+-上恒成立 所以 x x ≤+)1l n (，当且仅当x=0时等号成立

令)(1

x *N n n

∈=

，则)1,0(∈x 代入上面不等式得：n n 1)11ln(<+

即n n n 11ln <+， 即 n

n n 1

ln )1ln(<-+ 所以，11ln 2ln <-，212ln 3ln <-，313ln 4ln <-，…，n

n n 1

ln )1ln(<-+

将以上n 个等式相加即可得到：

n

n 1

31211)1ln(++++<+