五坐标NURBS样条曲线插补算法及加减速控制方法研究

硕士学位论文

五坐标NURBS样条曲线插补算法

及加减速控制方法研究

RESEARCH ON THE FIVE-AXIS NURBS SPLINE CURVE INTERPOLATION ALGORITHM AND THE ACCELERATION DECELERATION

CONTROL METHOD

徐川

哈尔滨工业大学

2009年6月

国内图书分类号：TG659 学校代码：10213 国际图书分类号：621 密级：公开

工学硕士学位论文

五坐标NURBS样条曲线插补算法

及加减速控制方法研究

硕士研究生：徐川

导师：王永章教授

申请学位：工学硕士

学科：机械制造及其自动化

所在单位：机电工程学院

答辩日期：2009年6月

授予学位单位：哈尔滨工业大学

Classified Index: TG659

U.D.C: 621

Dissertation for the Master Degree in Engineering

RESEARCH ON THE FIVE-AXIS NURBS SPLINE CURVE INTERPOLATION ALGORITHM AND THE ACCELERATION DECELERATION

CONTROL METHOD

Candidate：Xu Chuan

Supervisor：Prof.Wang Yongzhang

Academic Degree Applied for：Master of Engineering Speciality：Mechanical Manufacturing and

Automation

Affiliation：School of Mechatronics Engineering Date of Defence：June, 2009

Degree-Conferring-Institution:Harbin Institute of Technology

摘要

目前复杂曲面零部件的生产和制造在航空航天、汽车、轮船、刀具和模具等行业具有特别重要的现实意义。这类零件的高速高精加工一般是在五轴联动数控机床上完成的。而在CAD/CAM软件中，零件自由曲面的设计常采用NURBS样条曲线（非均匀有理B样条）表示。因此NURBS曲线曲面实时插补技术已经成为近年来数控插补技术研究的一个热点，NURBS曲线曲面插补功能已经成为当代高性能CNC系统的标志性功能之一。当前FANUC、SIEMENS、三菱等高档数控系统中已经配置了NURBS样条曲线插补功能。本文较为深入地分析研究了NURBS曲线的理论及其所具有的性质和特点；并且针对五坐标双NURBS样条曲线，综合考虑平移进给速度和旋转轴角速度对加工过程的影响，在尽可能保证平移进给速度恒定的情况下，限定旋转轴角速度最大值，改进已有的插补算法，提高插补精度，降低插补误差。

轨迹插补是数控系统最重要的核心技术，而加减速控制又是插补技术的重要组成部分。目前数控系统中经常采用梯形加减速和S形加减速，它们的加速度或加加速度不连续，加工过程中会产生柔性冲击。为此本文设计了一种多项式加减速控制方法，它将加加速度设计为一阶连续函数，通过积分运算得到相应的加速度、速度、位移的变化函数，实现加工过程中速度、加速度、加加速度连续变化，从而提高数控系统的柔性。

依据本文所研究的五坐标NURBS样条曲线插补算法和多项式加减速控制方法，以VC++软件为平台开发了仿真验证系统；并且通过对一个仿真实例的分析，验证了所提算法的正确性和有效性。

关键词：五轴加工；NURBS样条插补；加减速控制；仿真

Abstract

At present, the production and manufacture of the parts with complex surfaces are particular important especially in aerospace, automobiles, ships, tools and dies industries. The high speed and high precision machining of these parts usually use five-axis machine tools. In CAD/CAM software, the part complex surfaces are usually designed by the NURBS spline curve(Non-Uniform Rational B-Spline). Therefore the real-time NURBS interpolation of the CNC technology has become hot in recent years, which is the symbol function of the high performance CNC systems. Nowdays, some top CNC systems, such as the FANUC, SIEMENS and MITSUBISHI, have the NURBS interpolation. In this paper, a deep analysis of the NURBS curve about theory, nature and characteristics has been done. Meanwhile, for the five-axis double NURBS curves, the interpolation algorithm has been improved, which considers both the linear velocity and angular velocity. This method can limit the maximum angular velocity of rotation axises and ensure the linear velocity constant as much as possible, which enhances the machining precision and reduce the interpolation error.

The trajectory interpolation is the most important technology in CNC system，while the acceleration and deceleration control method is the core component of the interpolation. At present, the CNC systems always use the trapezoidal and S-Shape acceleration and deceleration control methods, which acceleration or jerk is non-continuous.Thus there is the flexible impact while machining. The paper proposed a new kind polynomial acceleration and deceleration control method. The jerk is designed as the first-order continuous function. By integral operation, the functions of the acceleration, velocity and displacement can get. This algorithm can ensure the velocity, acceleration and jerk curve continuous, which improves the flexibility of the CNC systems.

With the proposed five-axis NURBS interpolation algorithm and polynomial acceleration and deceleration control method of this paper, a simulation system is done by VC++ software. A example is used to verify the validity of the algorithm in this paper.

Keywords:five-axis machining, NURBS spline interpolation, the acceleration and deceleration control method, simulation

摘要....................................................................................................................I Abstract..................................................................................................................II

第1章绪论 (1)

1.1 数控技术概述 (1)

1.2复杂曲线曲面实时插补技术 (2)

1.2.1 插补技术 (2)

1.2.2 复杂曲线曲面实时插补算法 (2)

1.3 数控系统加减速控制技术 (4)

1.3.1 数控系统加减速控制规律 (4)

1.3.2 加减速控制算法概述 (5)

1.4 课题的主要意义及本论文的主要研究内容 (6)

第2章 NURBS曲线及NURBS插补算法 (7)

2.1 引言 (7)

2.2 NURBS曲线 (7)

2.2.1 NURBS曲线的定义与性质 (7)

2.2.2 NURBS曲线的求值与导矢计算 (8)

2.3 NURBS曲线插补算法 (11)

2.3.1 数据采样插补 (11)

2.3.2 基本的NURBS样条曲线插补算法 (12)

2.3.3五坐标双NURBS样条曲线插补算法 (13)

2.4 五坐标双NURBS样条曲线插补算法验证 (17)

2.5 本章小结 (19)

第3章加减速控制方法研究 (20)

3.1 引言 (20)

3.2 常用加减速控制方法 (20)

3.2.1梯形加减速 (20)

3.2.2 S形曲线加减速 (22)

3.2.3 多项式加减速 (26)

3.3 加减速控制算法验证 (36)

3.4 本章小结 (38)

第4章仿真验证与结果分析 (39)

4.1 仿真系统结构 (39)

4.2 仿真对比分析 (41)

4.3 本章小结 (48)

结论 (49)

参考文献 (50)

攻读硕士学位期间发表的学术论文 (54)

哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明 (55)

哈尔滨工业大学硕士学位论文使用授权书 (55)

致谢 (56)

第1章绪论

1.1数控技术概述

数控技术是一门集计算机技术、自动化控制技术、测量技术、现代机械制造技术、微电子技术、信息处理技术等多学科交叉的综合技术。它具有高精度、高效率和柔性自动化等特点，对制造业实现柔性自动化、集成化和智能化起着举足轻重的作用。应用数控技术，可以通过改变数控程序就能实现对不同零件的加工，因而具有广泛的适用性和较大的灵活性；由于零件加工精度可利用软件进行校正和补偿，所以可获得比机床本身精度还要高的加工精度及重复精度。数控机床具有高精度和灵活性，所以它能加工很多普通机床难以完成或根本不能加工的复杂型面。因此，数控机床在航空、航天、造船、汽车、模具等机械制造领域中的应用日益普遍。在现代制造系统中，计算机数控（Computer Numerical Control，CNC）是关键技术之一[1,2]。

图1-1 数控系统的发展历程

Fig.1-1 The history of CNC system

自从1952年美国麻省理工学院与帕森斯公司进行合作，发明了世界上第一台三坐标数控机床之后，数控系统的发展大致经过如图1-1所示的几个发展阶段。特别是进入90年代后，个人计算机（PC，Personal Computer）的性能有了很大的发展，从8位、16位发展到了32位，可以满足作为数控系统核心部件的要求，并且价格便宜，性能可靠。数控系统开始进入了基于PC的CNC 系统阶段。PC的引入，不仅为CNC系统提供了十分坚实的硬件资源和极其丰富的软件资源，更为CNC的开放化提供了基础[3,4]。

为更好满足市场和科学技术发展的需要，满足现代制造技术对数控技术提出的要求，当今数控技术呈现新的发展趋势，主要体现在以下几个方面[5,6]：（1）加工控制的高速化、高精化。

（2）开放式的结构体系。

（3）实时智能化的控制策略。

（4）基于网络的智能监控和诊断。1.2 复杂曲线曲面实时插补技术

1.2.1 1.2.2插补技术

插补技术是CNC系统实现轨迹控制的基础，插补运算是CNC系统软件实现运动控制的核心模块。它依据零件加工NC程序给定的基本数据，通过实时计算密化加工轨迹，输出各轴的进给分量，控制机床按NC程序给定的速度沿给定的加工轨迹运动。作为数控机床实现高速、高精度加工的控制核心，数控系统所具有的插补功能的多少，插补算法的优劣，一直是评价CNC控制系统性能的重要指标。

插补模块是整个数控系统中极其重要的功能模块之一。在数控加工中，首先根据工件设计图和加工工艺要求编写出零件加工程序，然后将其输入到数控系统中。经过数控系统软件的译码和预处理后，根据设定参数开始进行插补运算处理，得到刀位点位置等数据。伺服系统根据获得的数据协调控制各坐标轴的运动，从而获得所要求的刀具位置姿态和运动轨迹，加工出所要求的工件外形。在早期的数控系统中，插补过程由专门的数字逻辑电路完成。这种用硬件实现的插补的运算速度很快，但是灵活性较差。目前，随着计算机水平的提高，在CNC系统中，插补功能大多采用软件的方法来实现。

复杂曲线曲面实时插补算法

对如飞机的机翼、汽车流线型覆盖件、成型模具型腔、汽轮机叶片等许多具有复杂外形型面的零件，由于很难用解析方法表达它们的特征，必须借助于CAM（Computer Aided Manufacture）离线编程系统将CAD生成的待加工零件的曲线、曲面轮廓离散成大量微小的直线或圆弧段，再将这些直线或圆弧段送到数控系统中进行加工，这不仅繁琐，还存在下面一些不可避免的缺陷[7,8]：（1）程序过大。加工精度越高，程序指令条数也就越多，代码量急剧膨

胀，数据传输和存储成为瓶颈。一般来说，精度提高12,

则程序指令条数增大

倍。

（2）加工面起棱。加工面直接反映加工误差，当误差大时，曲面上可以看到近似直线加工所带来的表面不平滑现象，这不仅破坏了零件轮廓曲线的一阶导数连续性，影响了零件表面的光滑性，还会引起这些离散点处的数控加工进

给速度不稳定，对加工过程和制造质量产生不良影响。

（3）进给速度难以提高，加工费时。数控系统在进行小直线段处理时，需要对每一段小直线段进行直线插补处理，由于直线段的长度极小，使得加工速度提高不上去。

由于传统直线、圆弧插补方法的固有缺点，严重阻碍了新的开放式数控系统的发展，因此迫切需要寻找一种能够对复杂的自由型曲线曲面进行直接插补的方法。国内外的学者对此进行了大量的研究，出现了很多新的插补方法，如A(AKIM)样条插补、C(CUBIC)样条插补、多项式插补、参数样条曲线插补、NURBS 样条曲线（Non-Uniform B-Spline Curve ，非均匀有理B 样条）插补等。NURBS 曲线不仅能精确统一地表示标准解析曲线和自由曲线,而且它的形状控制功能也特别强大灵活，这使得NURBS 样条曲线插补已经为越来越多的国内外学者所重视[9-12]。

B.Bahr [13]提出了一种基于三次参数曲线的实时插补方法。R.T.Faroulcit [14]等提出了一种PH(Pythagorean-Hodograp)曲线的直接插补方法。该方法能保证恒定的材料去除率。J.H.Huang [15]等人在对NURBS 曲线实时插补研究的基础上，提出了基于恒速进给的插补算法，利用一阶泰勒展开公式，得到进给速度与参数增量的关系，进而对曲线插补。D.

C.Yang v u Δ [16]等人在此基础上利用二阶泰勒展开式得到了更精确的结果。S.S.Yeh [17]等人设计了一种自适应的参数曲线插补算法，保证了进给速度在大部分加工过程中稳定，当加工误差超过了允许误差范围时，进给速度作自适应调整。

国内在样条曲线插补方面的研究也有不少。游友鹏[18]等提出了一种NURBS 曲线的实时插补算法。它基于NURBS 曲线的矩阵表示,通过适当的插补预处理、运用参数预估计与校正的插补策略以及合理的近似计算方法，简化了插补的实时计算,保证了算法的实时性。龙汉[19]等提出了一种包含插补误差和进给加速度实时监控的NURBS 曲线实时插补算法。刘新山[20]提出了一种基于阿当姆斯微分方程的NURBS 曲线实时插补算法。此算法基于轮廓误差和法向进给加速度控制，使进给速度能随曲线曲率自适应调整。

上述这些样条曲线插补算法大多适用于三坐标联动机床。针对五轴联动样条曲线插补技术，国内外也有一些研究。H.Y.Xu [21]等人将刀具轨迹（包含位置曲线和方位曲线）用Bi 参数曲线表示，采用旋转进给速度插补计算刀心点位置和刀轴的方位。M.Muller [22]等针对五轴机床将轨迹路径表示为PH （Pythagorean-Hodograph ）曲线，采用近似弧长参数进行插补计算。https://www.360docs.net/doc/5b11338625.html,ngeron [23]等给出了一种五轴联动机床NC 代码的格式，并据此提出了一

种B样条实时插补算法。刘源[24]等针对五轴联动数控机床，分别对刀心点位置矢量采用3次B样条插值计算，对刀轴方位矢量采用C2球面插值计算。陈良骥、王永章[25,26]等提出了一种五坐标双NURBS样条曲线插补技术，其插补过程中的刀心点位置和刀轴方向矢量各由一条NURBS曲线表示。

1.3数控系统加减速控制技术

1.3.1数控系统加减速控制规律

图1-2前加减速控制规律

Fig.1-2 Anterior acceleration and deceleration control rule

图1-3 后加减速控制规律

Fig1-3 Posterior acceleration and deceleration control rule

数控系统的基本工作过程为：数控装置根据程序的坐标代码，作插补运算并输出插补控制信号，插补控制信号控制驱动系统驱动执行部件作进给运

动，从而确定了机床进给运动的方向、速度、位移量。由基本工作过程可以看出，驱动系统是根据数控装置发来的信号，对电机的转速、转向、转动角度等进行控制，然后通过机械传动装置完成对机床各个轴运动速度、方向、

位移等进给信息的控制。为了保证机床在启动或停止时不产生冲击、失步、

超程或振荡，必须对进给电机的脉冲频率或电压进行控制：在机床加速启动

时，保证加在电机上的脉冲频率或电压逐渐增加；而当机床减速停止时，保

证加在电机上的脉冲频率或电压逐渐减小，即加减速控制。

目前常用的加减速控制规律有两种：前加减速控制和后加减速控制。前加

减速控制（如图1-2所示）是指在插补计算前进行加减速控制。它对合成速度——编程速度F （mm/min ）进行控制，当机床启动、停止或切削过程中发生速度突变时，使合成进给速度按一定规律逐步上升或下降，自动完成加减速控制。其优点是不会影响实际插补输出的位置精度，但需要预测减速点，计算过程较为复杂。后加减速控制（如图1-3所示）是指在插补计算后进行加减速控制，它是对各坐标轴分别进行控制，这种控制方法相对比较简单，无须提前预测减速区间，但是在加减速控制后，实际的各坐标轴合成的位置不准确，引起轮廓误差。这种影响只有在系统处于匀速状态时才不存在。鉴于上述前加减速和后加减速控制规律的特点比较，为了获得更高的加工精度，一般的数控系统采用前加减速控制规律[27]。

1.3.2 加减速控制算法概述

目前常用的加减速控制算法有梯形加减速和指数型加减速两种。梯形加减速应用最广泛，其速度按照线性规律增加或减小，计算量小，易于实现，但是加速度在过渡处存在突变，实际加工中会带来柔性冲击。指数加减速适合对步进电机进行进给速度控制，能够发挥步进电机的矩频特性，但是加速度仍然不连续[28-30]。

针对上述问题，国内外学者提出了各种柔性加减速控制方法[31-34]。所谓柔性加减速控制即应保证进给速度满足数控系统要求的边界条件；力求使进给速度变化平稳，加速度、加加速度连续，各个阶段之间过渡平滑，尽量减小因为速度、加速度、加加速度突变而带来的柔性冲击。

国外K.Erkorkmaz [35]等人提出了S 形曲线加减速控制算法。其加速度曲线是连续变化的，沿一定斜率的斜线上升或下降，但是加加速度是阶跃变化的。K.J.Zheng J [36]等提出了一种结合前瞻技术的S 形加减速控制算法。S 形加减速对减小机床冲击有一定的作用和效果；一些国外先进的CNC 系统如iTNC53O 数控系统、西门子840D 数控系统等已经开始使用这种加减速方法。J.W.Jeon [37]等提出一种基于数字卷积技术的多项式函数形式的加减速方法，但是需要在系统中添加一个用于计算卷积的硬件模块。然而目前主要流行以软件方法进行加减速控制。

为实现加加速度连续变化，国内郭新贵[38]等人，采用三角函数构造加减速曲线。虽然可以满足要求，但由于三角函数的计算复杂，必须事先对其进行处理，将其作为样板以数表的形式存放于内存，通过查表的方式实现。为避免复杂函数计算，一些学者提出了多项式加减速控制方法。张振华[39]提出一种

多项式加减速方法将加加速度的变化规律设计为梯形，、、、

的计算公式分为15段，计算量大，程序复杂。H.B.Leng J ()S t ()V t ()A t ()J t [40]提出将加加速度设计为3阶连续变化的函数，计算公式分段减少，但加减速过程中不能保持最大加速度，未充分发挥电机性能。

J 1.4 课题的主要意义及本论文的主要研究内容

现代科学技术的不断发展，对机械制造业提出了更高、更新的要求，特别是对复杂曲面的加工精度、加工效率的要求越来越高。目前在高速高精加工中，五轴联动数控机床的应用很广。国内外的五轴联动数控机床多采用样条曲线插补技术来实现复杂曲线曲面的加工。加减速控制是插补技术的重要组成部分，是数控系统开发的关键技术之一。本课题研究了五坐标双NURBS 样条曲线的插补算法，同时提出了一种优化的加减速控制方法，对机床的平移速度和旋转轴的角速度进行了规划和控制，降低了机床的柔性冲击，有利于提高加工精度。

本论文主要包括以下几个方面的内容：

（1）分析研究NURBS 样条曲线的定义、性质及相关参数的计算方法，并且对NURBS 曲线插补技术进行较为深入的研究。特别地，结合五轴联动数控加工的特点，改进已有的五坐标双NURBS 样条曲线插补算法，提高插补精度。

（2）分析目前数控系统中常见的梯形加减速和S 形加减速存在的问题，阐述机床冲击和振动对机床造成的危害，并且分析造成冲击和振动的原因。针对上述问题提出一种多项式加减速算法，减少机床的冲击和振动，使数控系统具有更高的加减速柔性，并对其进行详细的分析。通过实例，对三种加减速算法进行仿真对比。

（3）以VC++为平台开发一个仿真系统，来验证所提出的算法，并对插补结果进行分析比较。

第2章 NURBS 曲线及NURBS 插补算法

2.1 引言

NURBS （非均匀有理B 样条）曲线不仅能精确统一地表示标准解析曲线和自由曲线，而且它的形状控制功能也特别强大灵活。1991年国际标准化组织（ISO ）在其产品模型数据交换的国际标准STEP （Stand for the Exchange of Product Model Data ）中把NURBS 曲线作为几何描述的主要方法，将其确定为自由型零件、产品几何表达的唯一形式。因此在数控系统中集成NURBS 插补功能是数控领域的一大趋势。目前只有FANUC ,Siemens 、三菱等部分数控系统中支持NURBS 插补。

NURBS 插补是最近几年发展起来的新插补方法，在实际应用中这种插补方法的优越性得到了充分的体现：

（1）在复杂形状零件的高速加工中，采用NURBS 指令插补的数控文件比通常采用的微段直线插补的数控文件小10～100倍，因而便于文件的存储和机床的数据传输。

（2）NURBS 插补避免了以直线代替曲线，因而提高了工件加工精度，改善了表面质量。

（3）NURBS 插补刀轨在允许的加工方向变化范围内，无需频繁加减速，提高了加工速度，直线插补加工时为了降低直线端点处的速度冲击，机床的加工速度不可能很高，大大降低了加工效率。

2.2 NURBS 曲线

2.2.1 NURBS 曲线的定义与性质

一条次NURBS 曲线可以表示为一分段有理多项式矢函数k [41]

,0,0

()

()()

i i

i k

i n

i k i N

u u N u ωω

===

∑∑d p (2-1)

其中(0,1,,i i )n ω=???称为权或权因子，分别与控制顶点相联系。首末权因子(0,1,,i i n =???d )00,n ωω>，其余0i ω≥，且顺序k 个权因子不同时为零，以防

止分母为零、保留凸包性质及曲线不致因权因子而退化为一点。是由节点矢量,i k N []011,,,n k u u u ++=???U 决定的次规范B 样条基函数，其定义如下：

1,01,,1

111, 0, ()()()0

=00i i i i i k i k i k i k i k i i k i u u u N u u u u N u N u N u u u u u +++?++++?≤

???

????=+????

若其它规定1,1+? (2-2) 对于NURBS 开曲线，常将两端节点的重复度取为1k +，即==…=，==…。在大多数实际应用里，端节点值分别取为0与1，因此，有曲线定义域0u 1u k u 1n u +2n u +1n k u ++[][]1,0k n u u u +∈=,10。若权因子11,n ωω?≠，曲线首末端点分别就是控制多边形首末顶点，曲线在首末端点处分别与控制多边形首末边相切。

NURBS 曲线有如下性质：

（1）局部性质。次NURBS 曲线上的参数为k [][]11,,i i k n u u u u u ++∈?的一点

至多与个控制顶点()u p 1k +j d 及相联系的权因子j ω(j i k =?，，…，i )有关，与其他顶点及权因子无关；另一方面，若移动次NURBS 曲线的一个控制顶点或改变所联系的权因子1i k ?+k i d i ω将仅影响定义在区间[][]11n +,,i i k k u u u u ++?上那部分曲线的形状，对NURBS 曲线的其他部分不发生影响。这一性质使NURBS 曲线非常适合于用作进行工件外形设计时设计者进行交互式设计的设计工具。

（2）曲线定义域内有与基函数同样的可微性，或称为参数连续性。

（3）如果i ω→∞，则[]

1 ,()() i

i u u u u u i k ++?∈=??d p p 当其他

（4）若某个权因子i ω为零，则相应那个控制顶点对曲线没有影响。

i d 2.2.2 NURBS 曲线的求值与导矢计算

从NURBS 曲线的定义式(2-1)中可以看出，求NURBS 曲线上点的坐标时，可以先逐次求出参数所对应的各阶的各个基函数的值，然后再相加来得到。根据NURBS 曲线的局部性质可知，在曲线定义域内参数为[]1,i i u u u +∈的一点至多与个控制顶点()u p 1k +j d 及相联系的权因子j ω(j i k =?，1i k ?+，…，)有关，与其他顶点及权因子无关。对一条次NURBS 曲线，其定义域为

i k

[]1,k n u u u +∈，则可将NURBS 曲线方程(2-1)改写成为分段表示：

,11,()

(), [,][,], ,,()

j k

j i k

i i k n i

j k

j i k

u u u u u u u N

u ωω=?++=?=

∈?=???∑∑d p i k n (2-3)

其中计算的最关键部分是求取B 样条基函数。由公式(2-2)定义的基函数呈递推形式，在相关计算中，计算量大，应通过一定的方法尽量简化。在实际工程中，一般采用3次NURBS 曲线，笔者给出了当,()i k N u ,()i k N u []1,i i u u u +∈时计算所需各个3次B 样条基函数的表达式：

313,31111222122,31111221

231,332121()()()()()()()()()()()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i u u N u u u u u u u u u u u u u

N u A u u u u u u u u u u u u u u u N u A u u u u u u u u u +?++?+??++?++?+?+?+?++++??=

??????=

+???????=

+????1?3,332111211121()()()()()()()()()

()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i u u N u u u u u u u u u u u u u u u A u u u u u u u u u +++?+++?+++???

?????

???=

????

?????=+??????

(2-4) 通过上述处理，在计算的时候，可以避免在每次计算时，反复求解各阶基函数。对于给出的曲线控制点来说，只要给出了节点向量，就可以首先计算出每一个节点域中所对应的基函数的值。

在实际工程中，一般只需使用3次NURBS 曲线的1阶、2阶、3阶导数。笔者对其进行了推导，给出了3次NURBS 曲线的各阶导数的具体计算公式，以便于实际使用。

NURBS 曲线1阶导数表示如下：

,(1)

0,0(1)(1)

,,,0

()()()()()()() (())n i i i k i n

i i k i n

n n n

i i k

i i i k i i k i i i k i i i i n

i i k i N u u N u N

u N u N u N u N u ωωωωωωω=======????

??=???????=

∑∑∑∑∑∑∑d p d d , (2-5)

NURBS 曲线的2阶导数：

(2)(2),,,,(2)00

(1)(1)(1)

,,,,,0

,()()()()

()(())2()(()()()) (()n

i i k

i i i k i i k

i i i k i i i i n

i i k i n

i i k i i k i i i k i i k i i i k i i i i i i i k i N

u N u N u N u u N u N u N u N N u N u N u ωωωωωωωωωωω===========?=

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑d d p d d 3

∑ (2-6)

NURBS 曲线的3阶导数：

(1)(2)(3),,,,(3)

,0(3)

(2)(1),,,,00

(1)

,,()()()()

()(())()()()(())2()(n

n n

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i i i k i i k i i i k i i i i n

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u N u N u u N u N

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u N N u N u N ωωωωωωωωωωωω==========+=

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑d d p d d (2)(2),,,0

,0(2)(1)(1),,,,,0

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∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑d d d d (2)(2),,,,0

,0(1)

(1)(1),,,,0

(()()()((())6(())(()()())

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N u N u N u ωωωωωωωωωωω===========??+

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑d d d d ))

(2-7)

其中(1)(1)

,11,1()

,11()()m m i k i k m i k

i k

i i k i N u N u N k u u u u ???+?++++??=???????。

2.3 NURBS曲线插补算法

2.3.1数据采样插补

（1）数据采样插补的基本原理数据采样插补算法采用时间分割思想，根据用户程序的进给速度V将给定轮廓曲线分割为每一插补周期T的进给段L （又称轮廓步长），有L VT

=。每一个插补周期T执行一次插补运算，计算出下一个插补点坐标，从而计算出下一个周期各个坐标的进给量。

（2）插补周期的定义插补周期T是相邻两个微小直线段之间的插补时间间隔，T的大小直接影响了位置控制精度和进给速度。一般情况下，插补周期越大，插补计算误差也越大，因此，单从减小插补计算误差角度考虑，插补周期应该尽量小。但是在CNC系统中，插补运算是由软件完成的，插补周期要受到CNC装置中的CPU计算频率的限制。不仅如此，因为CPU在完成插补运算的同时，还要处理其它任务，如位置误差计算、显示、监控、I/O处理等，所以插补周期必须大于插补运算时间和完成其它实时任务所需时间之和，现代数控系统已缩短到2~4ms，有的已达到零点几毫秒。

（3）插补精度分析在NURBS曲线的插补过程中，可以保证插补点准确位于被插补曲线上，不存在轨迹误差；理论上来说仅有的插补误差就是以轮廓步长为单位的微直线逼近插补曲线所产生的弓高误差。其中弓高误差δ受给定精度ε的限制，即必须满足δε

≤。

图2-1 NURBS曲线弓高误差图

Fig. 2-1 The diagram of NURBS curve chord error 在插补过程中，由于每两个相邻的插补点之间的距离很小，所以可以将

NURBS 曲线中两个插补点之间那段微曲线弧近似的看作一段圆弧。如图2-1

所示，为两个插补点i L ()i p u 和1(i )p u +之间的距离，'δ为插补过程中的弓高误差，i R 为插补点()i p u 处的曲率半径，则弓高误差'δ可以用δ代替。由图2-1可以得到：

i R δ=

(2-8)

其中3

(1)(1)(2)()

()()

i i i i u R u u κ

×p p p ，i i L VT =。

由式(2-8)可知在插补周期T 一定的时候，速度越大，弓高误差i V δ越大。

2.3.2 基本的NURBS 样条曲线插补算法

NURBS 样条曲线的实时插补是基于数据采样原理实现的。其主要任务是根据当前插补周期的参数值计算出下一周期的参数值k u 1k u +，然后代入对应的

NURBS 曲线方程计算出下一周期插补点的位置坐标[42-43]。其具体的计算过程如下：

假设某NURBS 插补程序段的样条曲线为，沿的进给速度已知，插补周期为T ，则有：

()u p ()u p ()V u d ()

()()d u V u u t

p V (2-9) 根据链导法则，可得：

(1)d ()d d ()d d ()()

d d d d d u u u u u

V u u u t u t =

?==p p p t

(2-10) 所以有：

(1)d (d ()

V u t u =p ) (2-11) 式(2-11)通常采用数值方法计算。本文选用的是Taylor 展开法来求解。

d u t 在处的二阶Taylor 展开并去掉高阶余项后的公式为：

k t t =

2212

d d d 2d k

k k t t t t u

T u u u T

t +==++

=k (2-12)

这里表示在第个采样周期()k u u t =k k t kT =的瞬时u 值，T 为采样周期。如果插补周期T 足够小的话，一阶泰勒展开即可满足精度要求，此时有

1(1)d ()d ()

k k k t t k u u V u T u u T

u t

u +==+=+

p k

u =2.3.3 (2-13)

将得到的代入待插补的NURBS 曲线，就可以得到时刻

插补点的位置坐标。

1k u u +=()u p 1k t t += 五坐标双NURBS 样条曲线插补算法

2.3.3.1 五轴联动数控机床简介

目前大部分复杂零件如航空涡轮叶片、模具等都是采用五轴联动数控机床加工的。在CAD/CAM 软件中，这些零件的复杂表面一般采用NURBS 样条曲线（非均匀有理B 样条）设计的。这就要求CNC 数控系统能直接进行五坐标的NURBS 曲线实时插补。当前只有国外一些高档的数控系统如FANUC 的16i 和西门子840D 中支持五坐标NURBS 样条插补。因此研究五坐标NURBS

样条插补技术对提高我国数控系统的加工性能和加工效率有非常重要的意义。

五坐标数控机床的配置是三个平动坐标和两个转动坐标的组合。一般根据两个转动坐标的配置形式可将其分为三类[44]：

（1）刀具摆动型。两个转动轴都作用于刀具上，摆动机构结构较复杂，一般刚性较差，但运动灵活。

（2）工作台回转摆动型。两个转动轴都作用于工件上，其回转/摆动工作台刚性容易保证，工艺范围较广，容易实现。

（3）刀具与工作台回转摆动型。刀具与工件各具有一个转动运动。本文的研究对象选择工作台回转摆动型，如图2-2所示。

图2-2 工作台回转摆动型五轴数控机床

Fig.2-2 Five-axis machine tool with tilting/rotating table

逐点比较插补原理的实现

目录 1设计任务及要求 (1) 2方案比较及认证 (2) 3设计原理 (4) 3.1硬件原理 (4) 3.2硬件原理 (5) 4软件系统 (9) 4.1软件思想 (9) 4.2流程图 (9) 4.3源程序 (9) 5调试记录及结果分析 (10) 5.1界面设置 (10) 5.2调试记录 (10) 5.3结果分析 (11) 6心得体会 (13) 7 参考资料 (14) 附录 (15)

1设计任务及要求设计一个计算机控制步进电机系统，该系统利用PC 机的并口输出控制信号，其信号驱动后控制X 、Y 两个方向的三相步进电机转动，利用逐点比较法插补绘制出如下曲线。课程设计的主要任务: 1．设计硬件系统，画出电路原理框图； 2．定义步进电机转动的控制字； 3．推导出用逐点比较法插补绘制出下面曲线的算法； 4．编写算法控制程序，参数由键盘输入，显示器同时显示曲线； 5. 撰写设计说明书。课程设计说明书应包括：设计任务及要求；方案比较及认证；系统滤波原理、硬件原理，电路图，采用器件的功能说明；软件思想，流程，源程序；调试记录及结果分析；参考资料；附录：芯片资料，程序清单；总结。 X Y O

2方案比较及认证本次课程设计内容为设计一个计算机控制步进电机系统，该系统利用PC 机的并口输出控制信号，其信号驱动后控制X 、Y 两个方向的三相步进电机转动，利用逐点比较法插补绘制出第一象限逆圆弧。数字程序控制主要应用于机床的自动控制，如用于铣床、车床、加工中心、以及线切割等的自动控制中。采用数字程序控制的机床叫数控机床，它能加工形状复杂的零件、加工精度高、生产效率高、便于改变加工零件品种等优点，是实现机床自动化的一个重要发展方向。本次课程设计采用逐点比较法插补原理以及作为数字程序控制系统输出装置的步进电机控制技术进行第一象限圆弧插补。第一象限圆弧如图2-1所示。图2-1 第一象限逆圆弧针对以上设计要求，采用步进电机插补原理进行逐步逼近插补。硬件方面，步进电机是机电控制中一种常用的执行机构，它的用途是将电脉冲转化为角位移，通俗地说：当步进驱动器接收到一个脉冲信号，它就驱动步进电机按设定的方向转动一个固定的角度（及步进角）。通过控制脉冲个数即可以控制角位移量，从而达到准确定位的目的；同时通过控制脉冲频率来控制电机转动的速度和加速度，从而达到调速的目的。逐点比较法是以阶梯折线来逼近直线或圆弧等曲线，它与规定的加工直线或圆弧之间的最大误差为一个脉冲当量，因此只要把脉冲当量（每走一步的距离即步长）取得足够小，就可以达到精度的要求。以下为课程设计要求插补的第一象限逆圆弧。图3-3为第一象限逆圆弧。 X Y O

卵形曲线计算方法

卵形曲线坐标计算方法一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：主点桩号坐标（m）切线方位角（θ） X Y ° ’ ” ZH AK0+090 9987.403 10059.378 92 17 26.2 HY1 AK0+160 9968.981 10125.341 132 23 51.6 YH1 AK0+223.715 9910.603 10136.791 205 24 33.6 HY2 AK0+271.881 9880.438 10100.904 251 24 18.5 YH2 AK0+384.032 9922.316 10007.909 337 04 54.2 HZ AK0+444.032 9981.363 10000.000 0 00 00 1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算 A1= =59.161 卵形曲线参数： A2=（HY2-YH1）×R1（小半径） ×R2（大半径）÷（R2-R1） =（271.881-223.715）×50×75÷（75-50） = 7224.900 A2= =84.999 A3= =67.082 2．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166

插补原理

插补原理：在实际加工中，被加工工件的轮廓形状千差万别，严格说来，为了满足几何尺寸精度的要求，刀具中心轨迹应该准确地依照工件的轮廓形状来生成，对于简单的曲线数控系统可以比较容易实现，但对于较复杂的形状，若直接生成会使算法变得很复杂，计算机的工作量也相应地大大增加，因此，实际应用中，常采用一小段直线或圆弧去进行拟合就可满足精度要求(也有需要抛物线和高次曲线拟合的情况)，这种拟合方法就是“插补”，实质上插补就是数据密化的过程。插补的任务是根据进给速度的要求，在轮廓起点和终点之间计算出若干个中间点的坐标值，每个中间点计算所需时间直接影响系统的控制速度，而插补中间点坐标值的计算精度又影响到数控系统的控制精度，因此，插补算法是整个数控系统控制的核心。插补算法经过几十年的发展，不断成熟，种类很多。一般说来，从产生的数学模型来分，主要有直线插补、二次曲线插补等；从插补计算输出的数值形式来分，主要有脉冲增量插补(也称为基准脉冲插补)和数据采样插补[26]。脉冲增量插补和数据采样插补都有个自的特点，本文根据应用场合的不同分别开发出了脉冲增量插补和数据采样插补。 1数字积分插补是脉冲增量插补的一种。下面将首先阐述一下脉冲增量插补的工作原理。2.脉冲增量插补是行程标量插补，每次插补结束产生一个行程增量，以脉冲的方式输出。这种插补算法主要应用在开环数控系统中，在插补计算过程中不断向各坐标轴发出互相协调的进给脉冲，驱动电机运动。一个脉冲所产生的坐标轴移动量叫做脉冲当量。脉冲当量是脉冲分配的基本单位，按机床设计的加工精度选定，普通精度的机床一般取脉冲当量为：0.01mm，较精密的机床取1或0.5 。采用脉冲增量插补算法的数控系统，其坐标轴进给速度主要受插补程序运行时间的限制，一般为1~3m/min。脉冲增量插补主要有逐点比较法、数据积分插补法等。逐点比较法最初称为区域判别法，或代数运算法，或醉步式近似法。这种方法的原理是：计算机在控制加工过程中，能逐点地计算和判别加工偏差，以控制坐标进给，按规定图形加工出所需要的工件，用步进电机或电液脉冲马达拖动机床，其进给方式是步进式的，插补器控制机床。逐点比较法既可以实现直线插补也可以实现圆弧等插补，它的特点是运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出脉冲均匀，速度变化小，调节方便，因此在两个坐标开环的CNC系统中应用比较普遍。但这种方法不能实现多轴联动，其应用范围受到了很大限制。对于圆弧插补，各个象限的积分器结构基本上相同，但是控制各坐标轴的进给方向和被积函数值的修改方向却不同，由于各个象限的控制差异，所以圆弧插补一般需要按象限来分成若干个模块进行插补计算，程序里可以用圆弧半径作为基值，同时给各轴的余数赋比基值小的数(如R/2等)，这样可以避免当一个轴被积函数较小而另一个轴被积函数较大进，由于被积函数较小的轴的位置变化较慢而引起的误差。4.2 时间分割插补是数据采样插补的一种。下面将首先阐述数据采样插补的工作原理。2.1 数据采样插补是根据用户程序的进给速度，将给定轮廓曲线分割为每一插补周期的进给段，即轮廓步长。每一个插补周期执行一次插补运算，计算出下一个插补点坐标，从而计算出下一个周期各个坐标的进给量，进而得出下一插补点的指令位置。与基准脉冲插补法不同的是，计算出来的不是进给脉冲而是用二进制表示的进给量，也就是在下一插补周期中，轮廓曲线上的进给段在各坐标轴上的分矢大小，计算机定时对坐标的实际位置进行采样，采样数据与指令位置进行比较，得出位置误差，再根据位置误差对伺服系统进行控制，达到消除误差使实际位置跟随指令位置的目的。数据采样法的插补周期可以等于采样周期也可以是采样周期的整数倍；对于直线插补，动点在一个周期内运动的

附带曲线整正方法

岔后附带曲线正矢整正指导书根据《铁路线路修理规则》规定，当岔后的两股道是平行的、并且线间距不大于5.2米时，这样的连接曲线称为道岔附带曲线。由于我段在更换P60轨道岔后没有进行过岔后附带曲线的重新定桩和正矢的重新计算，各站同一型号道岔岔后的附带曲线正矢较为混乱，甚至存在有的工区简易的将现场测量的正矢直接标注为计划正矢的现象，使目前我段岔后附带曲线普遍存在正矢超限、鹅头等病害。为消除病害，确保行车安全，我段技术科根据现场调研，结合有关资料，编制了一套简明易懂、操作性较强的岔后附带曲线整正方法。现将此套方法介绍如下，以供参考。 1、确定连接曲线半径和起终点 1.1 首先将岔后连接曲线（以下称连接曲线）两端鹅头消除拨直，再将连接曲线目测拨顺，然后在连接曲线内用10m 弦量出不少于5个点的正矢值，计算出平均正矢 f 均作为计算本条曲线半径的依据。f 均=（f 1 +f 2+…+f n ）/n 1.2 计算连接曲线半径 R=12500/f 均 1.3 确定起点（ZY ）。如图1所示，道岔中心至附带曲线交点的距离为L ,附带曲线切线长为T ,道岔后长为b ,辙叉角为a ,岔尾至附带曲线起点（ZY ）的距离为I ,线间距为D 。 YZ 2、R 不小于道岔导曲线半径且不大于 1.5倍道岔导曲线半径 2、附带曲线分段与分桩 2.1 分段和确定桩点数量。通常在测量道岔附带曲线时使用的弦长 L 弦为10m 桩点间距t 为5m, 则曲线分段数量n 为： n 为L 圆/t ，为便于测量曲线头尾两个桩号，需在曲线头尾向外各增 n+3个，分别为 f 0、f 1、f 2、、 f n+1、f 0。 ②当L 圆不是5的整倍数时：门为（L 圆/t ） +1取整，则其桩点数量为 n+3个，分别为f 。、「、 f 2、 .. 、 f n+1、f 0。 2.2 分桩。岔后附带曲线分桩与正线上相同，只是桩点间距为 5m,分桩从曲线中点开始，依次 ①当L 圆为5的整倍数时: 设1个0号桩，故桩点数量为

卵形曲线(公路线路计算)

【摘要】在高速公路立交平面线型中，现越来越多采用卵形曲线这一线型形式，而卵形曲线坐标的计算在现有相关书籍中却又很少提到，这就为施工中的坐标计算及放样增加了较大难度，为解决此难道，我在实践中通过对缓和曲线坐标的计算加以分析并结合理论知识，总结出了卵形曲线坐标的计算方法和技巧。【关键词】卵形曲线坐标计算一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。三、坐标计算

以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一已知相关设计数据见下表： 1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算卵形曲线参数： A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1） =（271.881-223.715）×50×75÷（75-50） = 7224.900 2．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度L F由已知条件知：L F=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166 卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L S，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）

L M=L S（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1 =7224.900÷50=144.498 ∴H Z'桩号=YH1+L M=223.715+144.498=368.213 L E=HY2至HZ'的弧长 =A2÷R2=7224.900÷75=96.332 或L E= L M-L F=144.498-48.166=96.332 卵形曲线长度L F=L M-L E=144.498-96.332=48.166（校核） HY2=HZ'-L E=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确 3．HZ'点坐标计算（见图二） ①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2] Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1] 公式中符号含义：

插补原理

插补开放分类：技术数控技术高新技术数控装置根据输入的零件程序的信息，将程序段所描述的曲线的起点、终点之间的空间进行数据密化，从而形成要求的轮廓轨迹，这种“数据密化”机能就称为“插补”。编辑摘要插补- 概述机构按预定的轨迹运动。一般情况是一致运动轨迹的起点坐标、终点坐标和轨迹的曲线方程，由数控系统实施地算出各个中间点的坐标。在数控机床中，刀具不能严格地按照要求加工的曲线运动，只能用折线轨迹逼近所要加工的曲线。机床数控系统依照一定方法确定刀具运动轨迹的过程。也可以说，已知曲线上的某些数据，按照某种算法计算已知点之间的中间点的方法，也称为“数据点的密化”。数控装置根据输入的零件程序的信息，将程序段所描述的曲线的起点、终点之间的空间进行数据密化，从而形成要求的轮廓轨迹，这种“数据密化”机能就称为“插补”。插补计算就是数控装置根据输入的基本数据，通过计算，把工件轮廓的形状描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给脉冲，对应每个脉冲，机床在响应的坐标方向上移动一个脉冲当量的距离，从而将工件加工出所需要轮廓的形状。插补- 分类 1、直线插补直线插补（Llne Interpolation）这是车床上常用的一种插补方式，在此方式中，两点间的插补沿着直线的点群来逼近，沿此直线控制刀具的运动。一个零件的轮廓往往是多种多样的,有直线,有圆弧,也有可能是任意曲线,样条线等. 数控机床的刀具往往是不能以曲线的实际轮廓去走刀的,而是近似地以若干条很小的直线去走刀,走刀的方向一般是x和y方向. 插补方式有:直线插补,圆弧插补,抛物线插补,样条线插补等所谓直线插补就是只能用于实际轮廓是直线的插补方式(如果不是直线,也可以用逼近的方式把曲线用一段段线段去逼近,从而每一段线段就可以用直线插补了).首先假设在实际轮廓起始点处沿x方向走一小段(一个脉冲当量),发现终点在实际轮廓的下方,则下一条线段沿y方向走一小段,此时如果线段终点还在实际轮廓下方,则继续沿y方向走一小段,直到在实际轮廓上方以后,再向x方向走一小段,依次循环类推.直到到达轮廓终点为止.这样,实际轮廓就由一段段的折线拼接而成,虽然是折线,但是如果我们每一段走刀线段都非常小(在精度允许范围内),那么此段折线和实际轮廓还是可以近似地看成相同的曲线的--------这就是直线插补. 2、圆弧插补圆弧插补（Circula : Interpolation）这是一种插补方式，在此方式中，根据两端点间的插

卵曲线计算

公路卵形曲线计算一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）

已知相关设计数据见下表： 1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161 卵形曲线参数： A2=（HY 2-YH 1 ）×R 1 （小半径）×R 2 （大半径）÷（R 2 -R 1 ） =（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900 A2==84.999 A3==67.082 2．卵形曲线所在缓和曲线要素计算

卵形曲线长度L F 由已知条件知：L F =HY2-YH1=271.881-223.715=48.166 卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L S ，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用） L M =L S （YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1 =7224.900÷50=144.498 ∴HZ'桩号=YH1+L M =223.715+144.498=368.213 L E =HY2至HZ'的弧长 =A2÷R2=7224.900÷75=96.332 或L E = L M -L F =144.498-48.166=96.332 卵形曲线长度L F =L M -L E =144.498-96.332=48.166（校核） HY2=HZ'-L E =368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确 3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二） ①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]

实验二二维插补原理及实现实验

实验二二维插补原理及实现实验 2.1 实验目的掌握逐点比较法、数字积分法等常见直线插补、圆弧插补原理和实现方法；通过利用运动控制器的基本控制指令实现直线插补和圆弧插补，掌握基本数控插补算法的软件实现。 2.2 实验原理直线插补和圆弧插补的计算原理。数控系统加工的零件轮廓或运动轨迹一般由直线、圆弧组成，对于一些非圆曲线轮廓则用直线或圆弧去逼近。插补计算就是数控系统根据输入的基本数据，通过计算，将工件的轮廓或运动轨迹描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给指令。数控系统常用的插补计算方法有：逐点比较法，数字积分法，时间分割法，样条插补法等。 2.2.1 逐点比较法直线插补逐点比较法是使用阶梯折线来逼近被插补直线或圆弧轮廓的方法，一般是按偏差判别、进给控制、偏差计算和终点判别四个节拍来实现一次插补过程。以第一象限为例，取直线起点为坐标原点，如右图所示，m为动点，有下面关系：取F m = Y m X e ? X m Y e 作为偏差判别式：若 F m=0，表明m 点在OA 直线上；若 F m>0，表明m 点在OA 直线上方的m′处；若 F m<0，表明m 点在OA 直线下方的m″处。从坐标原点出发，当F m≧0 时，沿＋X 方向走一步，当F m<0，沿＋Y 方向走一步，当两方向所走的步数与终点坐标（X e,Y e）相等时，停止插补。当F m≧0 时，沿＋X 方向走一步，则X m+1=X m＋1, Y m+1=Y m 新的偏差为：F m+1=Y m+1X e- X m+1Y e=Y m X e-(X m＋1)Y e=F m-Y e 当F m<0 时，沿＋Y 方向走一步，则X m+1=X m, Y m+1=Y m＋1 新的偏差为：F m+1 =Y m+1X e- X m+1Y e=(Y m＋1)X e-X m Y e=F m＋X e 其它三个象限的计算方法，可以用相同的原理获得，下表为四个象限插补时，其偏差计算公式和进给脉冲方向，计算时，X e,Y e 均为绝对值。

附带曲线的整正

道岔附带曲线的整正一、前言（一）《铁路线路维修规则》规定：验收道岔时，同时检测两线间距小于5.2m 的附带曲线转向，用10m 弦量正矢，其连线正矢差：到发线不超过3mm ，其他站线不超过4mm ，附带曲线半径一般要求为50m 的整倍数，而曲线长往往不是5m 的整倍数。目前附带曲线整正的方法有直股支距法和10m 弦绳正法、一弦法（长弦法），主要采用直股支距法和10m 弦绳正法两种，当曲线头尾不明或曲线状态不良时，可用支距法，当曲线状态良好，标志齐全时可用绳正法。（二）本人在维修工队从事维修工作四年，其中维修道岔107组，后又调入新线工区（上联线茶亭工区）整治了5组新铺道岔。在现场实际运用中采用了直股支距法和绳正法整正道岔附带曲线，均取得了不错成绩，优良率达100％。二、确定附带曲线始、终点位置（一）确定曲线三要素附带曲线的整正要做好现场调查工作，首先在现场量得道岔号数N ，平均线间距D 及附带曲线半径R 。1、道岔号数N ：道岔号数一般为已知或用步量法测定。2、线间距D ：先拨直直股方向，然后用钢尺在附带曲线后两平行地段分别量取不少于三处，取平均值。3、曲线半径R ：在附带曲线内，用10m 弦，量正矢三处，取平均数f 平，反求该曲线的半径：R=12500 f 平。（二）确定附带曲线头、尾位置 1图中 N ――道岔号码 D ――线间距（m ） T ――附带曲线切线长 b ――道岔后长 a ――辙叉角 R ――附带曲线半径 S ――标准轨距（1.435m ） ZY ――曲线头 YZ ――曲线尾 R 为外轨曲线半径 R 外＝R ＋s 2 =R+0.7175m 1)曲线头和曲线尾的横距X T ＝R.tan a 2 X=T(1+cosa) 2)直内股辙叉距轴线中心至曲线头的横距f f= D tana +T-X-b=DN+T-X-b 〔根据曲线头、尾在直股上的投影点，用方尺或支距尺在所标记的投影点影出方向（注意垂直于直股），在直内股定出一条直线，方到附带曲线侧外股定出ZY 、XZ 点〕根据f 确定ZY 点根据X 确定YZ 点

卵形曲线辅助点计算(即完整缓和曲线起点的支距)解算步骤.

5800卵形曲线坐标计算歪哥收集整理 50卵形曲线辅助点计算（即完整缓和曲线起点的支距）解算步骤卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线，计算前只需要把不完整的缓和曲线（也就是卵型曲线）补充完整即可。在计算小半径的缓和曲线或卵形曲线坐标时,由于切线支距公式取项少而造成计算精度低,现有书中一般介绍也就只有2~4项,为提高计算精度就需要将支距公式多展开几项。以下计算卵型曲线的完整缓和曲线长支距模型：重在学习掌握解算流程，现在空间里有更好的计算程序。曲线参数A2=LS×R1×R2÷(R2-R1)=卵形曲线长×小半径×大半径÷（大半径-小半径）在同一段回旋线内,它的参数永远是不变的。LS=卵型曲线长. （已知）完整缓和曲线长L= A2÷R1=曲线参数÷小半径当L=LS时：代入完整缓和曲线切线支距公式：(式中R均为小半径R1) E=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS） 6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] F=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] 完整缓和曲线切线角（即两切线交角） L所对应玄长C=√（E2+F2）大半径处偏角P1=tan- 1(F2÷E2) 小半径处偏角P3=180- P1-(180- p2) O=小半径处切线方位角（已知）小半径处至完整缓和曲线起点方位角Q=O±P3 (右向取+号；左向取-号) 完整缓和曲线（起点）坐标： X=A+CcosQ Y=B=CsihQ 完整缓和曲线（起点）处切线方位角： O=Q+180±p2 (右向取+号；左向取-号) 以起点为基点用回旋线编程计算卵型曲线上任意桩号的中边桩点位坐标。 5800卵形曲线坐标计算歪哥收集整理 51 LXQX 卵形曲线辅助计算点（即完整缓和曲线起点的支距）坐标及切线方位角编程Lbl 1: ?A : ?B : ?O : ?W :“R1”?I : “R2”?J : I×J÷(J-I) →R : WR→U : U÷I→L ↙

第五章运动控制插补原理及实现

运动控制插补原理及实现数控系统加工的零件轮廓或运动轨迹一般由直线、圆弧组成，对于一些非圆曲线轮廓则用直线或圆弧去逼近。插补计算就是数控系统根据输入的基本数据，通过计算，将工件的轮廓或运动轨迹描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给指令。数控系统常用的插补计算方法有：逐点比较法、数字积分法、时间分割法、样条插补法等。逐点比较法，即每一步都要和给定轨迹上的坐标值进行比较，视该点在给定规矩的上方或下方，或在给定轨迹的里面或外面，从而决定下一步的进给方向，使之趋近给定轨迹。直线插补原理图3—1是逐点比较法直线插补程序框图。图中n是插补循环数，L是第n个插补循环中偏差函数的值，Xe，Y。是直线的终点坐标，m是完成直线插补加工刀具沿X，y轴应走的总步数。插补前，刀具位于直线的起点，即坐标原点，偏差为零，循环数也为零。在每一个插补循环的开始，插补器先进入“等待”状态。插补时钟发出一个脉冲后，插补器结束等待状态，向下运动。这时每发一个脉冲，触发插补器进行一个插补循环。所以可用插补时钟控制插补速度，同时也可以控制刀具的进给速度。插补器结束“等待”状态后，先进行偏差判别。若偏差值大于等于零，刀具的进给方向应为+x，进给后偏差值成为Fm-ye；若偏差值小于零，刀具的进给方向应为+y，进给后的插补值为Fm+xe。。进行了一个插补循环后，插补循环数n应增加l。最终进行终点判别，若n

插补原理

插补开放分类：技术数控技术高新技术数控装置根据输入的零件程序的信息，将程序段所描述的曲线的起点、终点之间的空间进行数据密化，从而形成要求的轮廓轨迹，这种“数据密化”机能就称为“插补”。编辑摘要插补 - 概述系统的主要任务之一，是控制执行机构按预定的轨迹运动。一般情况是一致运动轨迹的起点坐标、终点坐标和轨迹的曲线方程，由数控系统实施地算出各个中间点的坐标。在数控机床中，刀具不能严格地按照要求加工的曲线运动，只能用折线轨迹逼近所要加工的曲线。机床数控系统依照一定方法确定刀具运动轨迹的过程。也可以说，已知曲线上的某些数据，按照某种算法计算已知点之间的中间点的方法，也称为“数据点的密化”。数控装置根据输入的零件程序的信息，将程序段所描述的曲线的起点、终点之间的空间进行数据密化，从而形成要求的轮廓轨迹，这种“数据密化”机能就称为“插补”。插补计算就是数控装置根据输入的基本数据，通过计算，把工件轮廓的形状描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给脉冲，对应每个脉冲，机床在响应的坐标方向上移动一个脉冲当量的距离，从而将工件加工出所需要轮廓的形状。插补 - 分类 1、直线插补直线插补（Llne Interpolation ）这是车床上常用的一种插补方式，在此方式中，两点间的插补沿着直线的点群来逼近，沿此直线控制刀具的运动。一个零件的轮廓往往是多种多样的,有直线,有圆弧,也有可能是任意曲线,样条线等. 数控机床的刀具往往是不能以曲线的实际轮廓去走刀的,而是近似地以若干条很小的直线去走刀,走刀的方向一般是x 和y 方向. 插补方式有:直线插补,圆弧插补,抛物线插补,样条线插补等所谓直线插补就是只能用于实际轮廓是直线的插补方式(如果不是直线,也可以用逼近的方式把曲线用一段段线段去逼近,从而每一段线段就可以用直线插补了).首先假设在实际轮廓起始点处沿x 方向走一小段(一个脉冲当量),发现终点在实际轮廓的下方,则下一条线段沿y 方向走一小段,此时如果线段终点还在实际轮廓下方,则继续沿y 方向走一小段,直到在实际轮廓上方以后,再向x 方向走一小段,依次循环类推.直到到达轮廓终点为止.这样,实际轮廓就由一段段的折线拼接而成,虽然是折线,但是如果我们每一段走刀线段都非常小(在精度允许范围内),那么此段折线和实际轮廓还是可以近似地看成相同的曲线的--------这就是直线插补. 2、圆弧插补圆弧插补（Circula : Interpolation ）这是一种插补方式，在此方式中，根据两端点间的插补数

附带曲线整正作业程序

附带曲线整正作业程序一、调查道岔号(N)、线间距(D)、附带曲线平均正矢(F 平)： 1、确认现场标记是否正确并重新计算。 2、确认道岔号(N)、转向角( α)、道岔后长(b)、曲线全长(L 曲)、半径(R)、正矢(f)、超高(h)、ZY 、QZ 、YZ 点。 3、线间距：量取线间距（最少3处）取平均值。 4、附带曲线平均正矢：在附带曲线内用10m 弦连续量取最少3处正矢，计算平均值。二、计算： 1、附带曲线半径、确定曲线始终点位置的有关数据： ①、半径R ＝ 12500平均正矢 ②、切线长T ＝半径×（道岔号2 +1－道岔号）或tan α 2 ╳R ③、斜边长L ＝线间距× 道岔号2 +1 或D sin α ④、夹直线长L 夹＝斜边长－道岔后长－切线长或D/sin α－T(切线长)－b （道岔后长） ⑤、曲线长L 曲＝半径× 道岔转向角（度） 180 × π 或R απ 180 三、确定ZY 、QZ 、YZ 点位置并按照支距拨正控制点的位置： 1、从岔后接头轨缝中心起，沿曲线上股量取夹直线长度④，即直圆点（ZY ）位置，从直圆点量量曲线长的1/2定点，即曲线中央点（QZ ）位置，在量曲线长的1/2定点，即圆直点（YZ ）位置。 2、3个控制点的支距，

①、始点支距＝线间距－曲线长 2 2×半径 ②、中央点支距＝线间距－曲线长 2 8×半径 ③、终点支距＝线间距四、直股支距法：已知60kg/12#道岔，R=400、转向角=4°45′49〞道岔后长=21.208米。 1. 线间距=（3.476+3.480+3.465）/ 3=3.474m 3.474+1435+(73*2)=5.055m 2. 斜边长= D/sin α=5.055/sin 4°45′49〞=5.055/0.083=60.9m 3. 切线长T= ╳R=tan 4°45′49〞 2 ╳400 =16.6377m 4. 夹直线长L= D/sin α?T ?b =60.9-16.6377-21.208=23.0543m

卵形曲线计算(1)

2、卵形曲线计算本设计由于12~JD JD 之间的距离偏小，又都为右偏，直线长度很难满足要求，同时也为适应地形条件的变化，所以此处敷设卵形曲线。卵形曲线设计计算如下：运用纬地软件设计卵形曲线，系将卵形曲线看做是两个同向基本型平曲线的组合对接，首先给定小圆半径以及小圆的前缓和曲线长度：1700R =，1100S L =，这个前缓和曲线的起点半径为无穷大，而后缓和曲线长度为0。然后切换到交点2，给定前缓和曲线长100F L =，后缓和曲线长2100S L =，由于中间过渡段曲线的半径变化是从12~R R ，所以第二段曲线的前缓和曲线F L 起点给定半径为小圆半径700，终点半径即大圆曲线半径2R 采用纬地软件的 “T1+Rc+S2”或“T1+S1+Rc ”反算模式，计算结果为1451.22。卵形曲线设计参数宜满足如下三个条件： ①112F R A R ≤≤ ②120.20.8R R ≤≤ ③10.0030.03D R ≤≤ 已知：1212700,1451.22,100S S F R R L L L ===== 计算：（如图2.1）图2.1 卵形曲线示意图[11]

122112 12221212 1212120.27001451.220.480.8 ,,,242422 F F F F F F F F R R D R R O O O O L L L L P P q q R R ≤==≤=--===== 221212 22112 21 221 212112212112111,()1001451.22700135227.231451.22700 350367.737002 135227.23135227.23193.18,93.187001451.22 24F F F F F F F F F F F F F F F F F F A A L L R R A R R L L L R R L R R A R R A R A R A A L L R R L P R ==-=-==-??==-=≤=≤======== 反推： 22 222121212211293.18193.182.22,0.252470024241451.22 193.1893.1896.59,46.592222 749.011451.22700F F F F F F L P R L L q q O O D R R O O =====??==========--=-1749.01 2.21 0.003 2.217000.00310.03 D R -=≤==≤ 综上计算，本设计卵形曲线设计满足《公路路线设计规范》要求。

高速公路立交匝道卵形曲线的坐标计算

高速公路立交匝道卵形曲线的坐标计算瑞国二航局分公司测试中心摘要：高速公路立交匝道平曲线普遍采用卵形曲线形式，关于其坐标的计算的原理与方法在众多书籍中介绍的较繁琐或不甚全面，笔者结合施工经验，利用工程实例对卵形曲线的坐标计算进行推导及验证。关键词：高速公路立交匝道卵形曲线坐标计算 1 引言近年来，随着城市的发展需要，我国也逐渐加大对各城市的高速公路建设的资金投入，高速公路已占据我国公路网中的主要地位，设计单位为了使高速公路中立交匝道的线型美观和流畅，不可避免的需要插入卵形曲线，所以对于测量人员而言，掌握卵形曲线的坐标计算原理与方法显得尤为重要，本文通过对卵形曲线原理的分析以及公式推导，并结合工程实例进行计算验证，以此运用于高速公路的施工测量工程实践。 2 卵形曲线的概念卵形曲线是指在两个半径不等的同向圆曲线间插入一段非完整的缓和曲线而构成的复曲线。即卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。在计算包含卵形曲线的立交匝道时，将卵形曲线转化成完整的缓和曲线后按照缓和曲线公式计算，问题与难点便迎刃而解。 3 卵形曲线坐标计算原理对于初学者，判定某段缓和曲线是否为卵形曲线的技巧为：将该段的缓和曲线参数平方除以该段缓和曲线的长度，计算出数值是否等于与其相连接的圆曲线半径，用公式表达为R L A 2 ,若该公式结果成立，则为正常缓和曲线，若结果不成立，则为卵形曲线。如图1所示，在半径为1R 与2R 的两圆曲线间插入长度为F L 的非完整缓和曲线，此段缓和曲线的端点分别为YH 和HY 点，首先计算出整条完整缓和曲线的起点桩号'ZH 或终点桩号'HZ （该图1中计算出点桩号'HZ ）、'HZ 的坐标)Y ,(X C C 、'HZ 的切线方位角C W （即图1中CD 的方位角），最后根据以上条件求得卵形曲线上任意一点桩号的坐标和切线方位角。

连续运动轨迹插补原理

连续运动轨迹插补原理文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

连续运动轨迹插补原理连续运动轨迹控制是诸如数控机床、机器人等机械的一种典型运动方式，这种控制在本质上属于位置伺服系统。以数控机床为例，其控制目标是被加工的曲线或曲面（即轮廓），所以可称之为轮廓控制。如果将被加工的轮廓作为控制器的给定输入，在运动过程中随时根据轮廓参数求解刀具的轨迹和加工的误差，并在求解的基础上决定如何动作，其计算的实时性有难以满足加工速度的需求。因此在实际工程应用中采用的方法是预先通过手工或自动编程，将刀具的连续运动轨迹分成若干段（即数控技术中的程序段），而在执行程序段的过程中实时地将这些轨迹段用指定的具有快速算法的直线、圆弧或其他标准曲线予以逼近。加工程序以被加工的轮廓为最终目标，协调刀具运动过程中各坐标上的动作。加工程序的编制必须考虑诸多约束条件，主要有加工精度、加工速度和刀具半径等。加工程序本质上就是对刀具的连续运动轨迹及其运动特性的一个描述。所以轮廓控制又可称为连续运动轨迹控制。数控技术一般以标准的格式对程序段进行描述，例如程序段“N15 G02 Xlo Y25 120 JOF125 LF”就规定了一个以(10，25)为起点，在X-Y平面上以150mm/min 的进给速度顺时针加工一个半径为20mm的整圆的过程。程序段只提供了有限的提示性信息（例如起点、终点和插补方式等），数控装置需要在加工过程中，根据这些提示并运用一定的算法，自动地在有限坐标点之间生成一系列的中间点坐标数据，并使刀具及时地沿着这些实时发生的坐标数据运动，这个边计算边执行的逼近过程就称为插补(interpolation)。上述程序段中的准备功能G02就指定了该程序段的执行要采用顺时针方向的圆弧插补。

纬地卵形曲线的绘制方法

浅谈卵形曲线绘制在山地等特殊地形施工，路线经常会出现卵形曲线等复杂线形，这里对卵形曲线在纬地上的一个绘制方法做简单基本介绍，其实在纬地使用手册上有此类介绍，重点就是根据实交点作出两个虚交点，从而把一条复杂曲线转换成两条简单曲线（缓和曲线+圆曲线，缓和曲线+圆曲线+缓和曲线），主要就是要知道两条圆曲线间的缓和曲线的起点方位角和坐标，在实际施工中，一般在曲线要素表上都有这些数据。下面简单介绍一下步骤：首先，复核各段曲线的转角之和与主线转角是否吻合，例如：设第一缓和曲线长设计为Ls1，第一圆曲线长为Lh1，半径为R1，第二缓和曲线长设计为Ls2，第二圆曲线长为Lh2，半径为R2，第三缓和曲线长设计为Ls3.总转角位α：缓和曲线1：转角α1= Ls1*R1/（2*R1^2）圆曲线1：转角α2= Lh1/R1 缓和曲线2：转角α3=[Ls2*(R1*R2)/(R2-R1)](1/2/R1^2- 1/2/R2^2) 圆曲线2：转角α4= Lh2/R2 缓和曲线3：转角α5= Ls3*R2/（2*R2^2）若α与α1+α2+α 3 +α4 +α5在小数点后5位都吻合则可使用，在复核完角度之后，可求出切线长：具体步骤如下：求出圆曲线1终点的相对坐标： X=Ls1/2-Ls1^3/(240*R1^2)+R*sin(α1+α2)

Y=Ls1^2/(24*R1)+R*(1-cos(α1+α2)) 切线长：T1=X-Y/tan(α1+α2) 得出T1即可根据ZH点找出虚交1，再根据圆曲线1终点转角找出虚交2，从而得到2个交点。最后就根据两个虚交坐所求的两段曲线，第一段为缓和曲线+圆曲线，由于纬地中接圆曲线的需有两条缓和曲线，可将第二条缓和曲线长度设为0，故此段曲线数据为：第一段缓和曲线长Ls1，半径由∞~R1；圆曲线半径为R1，长为Lh1；第二段缓和曲线长为0。第二段曲线为缓和曲线+圆曲线+缓和曲线，故此段曲线数据为：第一段缓和曲线长Ls2，半径由R1~R2；圆曲线半径为R2，长度为Lh2；第二段缓和曲线长为Ls3，半径由R2~∞。然后绘图生成即可。结语：这里简单的对卵形曲线在纬地中的绘制做了介绍，如有不妥之处，请提醒和指正。

数据处理与插补原理

第二章数据处理与插补原理在第一章已经提到，所谓插补，即已知运动轨迹的起点、终点、曲线类型和走向，计算出运动轨迹所要经过的中间点坐标。伺服系统根据插补输出的中间点坐标值控制机床运动，走出预定轨迹。插补可以用硬件来实现，也可以用软件来实现。故本章主要介绍软件插补方法。软件插补法可以分成基准脉冲插补法和数据采样插补法两类。在本章中介绍基准脉冲插补法中的逐点比较法和数字积分法；介绍数据采样插补法中的时间分割插补法和扩展DDA 法。用户的程序指令代码必须经过译码、刀具补偿等一系列的加工预处理过程，才能得出插补计算所需要的数据。本章还介绍译码、刀具补偿以及传动间隙与丝杠螺距误差的补偿。第一节加工程序预处理用户输入的零件加工程序、插补程序是不能直接应用的，必须由加工程序预处理程序模块对加工程序进行预处理，得出插补程序（包括进给驱动程序）所需要的数据信息和控制信息。所以加工程序预处理程序又称插补准备程序。数据处理包括译码、刀具补偿计算、辅助信息处理和进给速度计算等。译码程序的功能主要是将用户程序翻译成便于数控系统的计算机处理的格式，其中包括数据信息和控制信息。刀具补偿是由工件轮廓和刀具参数计算出刀具中心轨迹。进给速度计算主要解决刀具运动速度问题。一．译码译码程序以程序段为单位处理用户加工程序，将其中的轮廓信息（如起点、终点、直线、圆弧等）、加工速度和辅助功能信息，翻译成便于计算机处理的信息格式，存放在指定的内存专用空间。译码可以在正式加工前一次性将整个程序翻译玩，并在译码过程中对程序进行语法检查，若有语法错误则报警。这种方式可称之为编译，和通常所说的编译的意义不同的是，生成的不是计算机能直接运行的机器语言，而是便于应用的数据。另一种处理法式是在加工过程中进行译码，即计算机进行加工控制时，利用空闲时间来对后面的程序段进行译码。这种法式可称之为解释。用解释方式，系统在运行用户程序之前通常也对用户程序进行扫描，进行语法检查，有错报警，以免加工到中途在发现错误，造成工件报废。用编译的法式可以节省时间，可使加工控制时计算机不至于太忙，并可在编译的同时进行语法检查，但需要占用较大内存。一般数控代码比较简单，用解释方式占用的时间也不多，所以CNC系统常用解释方式。在CNC系统中，用户程序一般都先读入内存存放。程序存放的位置可以是零件程序存储区、零件程序缓冲区或键盘输入（MDI）缓冲区。译码程序对内存中的用户程序进行译码。译码程序必须找到要运行的程序的第一个字符，（地址字符应为字母），才能开始译码。译码程序读进地址字符（字母），根据不同的处理遇到功能代码（如G、M等），将其之后的数据（G、M后为二进位数）转换为征码，并存放于对应的规定单元。若是尺寸代码（如X、Y等），将其后的数字串转换为二进制数，并存放于对应的规定区域（如X区、Y区）。数

五坐标NURBS样条曲线插补算法及加减速控制方法研究

逐点比较插补原理的实现

卵形曲线计算方法

插补原理

附带曲线整正方法

卵形曲线(公路线路计算)

插补原理

卵曲线计算

实验二 二维插补原理及实现实验

附带曲线的整正

卵形曲线辅助点计算(即完整缓和曲线起点的支距)解算步骤.

第五章运动控制插补原理及实现

最新版曲线整正软件及说明

插补原理

附带曲线整正作业程序

卵形曲线计算(1)

高速公路立交匝道卵形曲线的坐标计算

连续运动轨迹插补原理

纬地卵形曲线的绘制方法

数据处理与插补原理

实验二二维插补原理及实现实验