小波3.4

§4双正交小波及Mallat 算法

1992，Cohen, Daubechies & Feaureau 提出双正交小波,具有很强的对称性（图像处理中，一般用的是双正交小波）。 详见：“Biorthogonal Bases of Compactly Supported Wavelets ”，Comm. Pure & Applied Math, 45, 485-560, 1992

框架k j ,ψ，对偶框架k

j ,~ψ，则： ∑∑∑∑><=><=j

k k j k j j

k

k

j k j x f x f x f )

(~,)(~,)(,,,,ψψψψ 如果小波ψ及其对偶小波ψ

~满足： n

k m j n m k j ,,,,~,δδψψ>=< 则称为><ψ

ψ~,为双正交小波. 双正交小波基及其Mallat 算法：

ψ ψ

~ k j ,ψ k j ,~ψ，各自不正交，但彼此正交，即： n

k m j n m k j ,,,,~,δδψψ>=< },|)({,Z k j x k j ∈ψ，},|)(~{,Z k j x k

j ∈ψ为基 ∑∑∑∑><=><=j

k k j k j j

k

k

j k j x f x f x f )

(~,)(~,)(,,,,ψψψψ

两个多分辨分析：

????-101V V V

????-101~

~~V V V

尺度函数?，?

~ }|)({Z k k x ∈-?构成0V 的Riesz 基

}|)(~{Z k k x ∈-?构成0~V 的Riesz 基

作直和分解：

11++⊕=j j j W V V 11~

~~++⊕=j j j W V V

ψ?0W ，ψ

~~

0?W 要求 11~++⊥j j W V ，11~

++⊥j j W V

假设存在ψ（ψ~）使得()}|)(~)({Z k k x k x ∈--ψψ构成()

00

~W W 的Riesz 基 则：正交性意味着

0,~,,>=<'

k j k j ψ? 0~,,,>=<'

k j k j ψ?， k k '?, 双尺度方程

10-?∈V V ?， ∑-=k

k k x h x )2(2)(??，

)2(?)2()(??????H =,∑-=k

ik k

e h H ?

?21)(; 10-?∈V W ψ， ∑-=k

k k x g x )2(2)(?ψ,

)2

(?)2

()(?????ψ

G =,ikw

k

k e g w G -∑=2

1

)(

1

0~~~-?∈V V ? ∑-=k

k k x h x )2(~~

2)(~??； )2(?~)2(~)(?~?????H =,∑-=k

ik k e

h H ??~21)(~; 1

0~

~~-?∈V W ψ， ∑-=k

k k x g x )2(~~2)(~?ψ； )2(?~)2(~)(?~????ψG =，∑-=k

ik k

e g G ??~21)(~ 由0W ∈ψ，0

~

~W ∈ψ以及正交性条件有)~,(ψψ构成双正交小波的必要条件: ????

???

??=+++=+++=+++=+++0)()(~)()(~0)(~

)()(~)(1

)(~)()(~)(1

)(~)()(~)(π?π???π?π???π?π???π?π???G H G H G H G H G G G G H H H H

当取?????∏+=∏+=--)

()(~)

(~)(ωωωω

ωH e G H e w G i i

是必要条件为：

1)(~)()(?)(=+++z H z H H H ωωωω.------------------（1）

引理1：如果??~,满足??

???

+≤+≤----εεωω?ωω?2121

)1()(?~)1()(?C C ，---------------------（2） C 为常数，0>ε，

则：{}k j ,ψ与{}k

j ,~ψ

构成对偶框架。 引理2：在引理1条件下，则：

?=kn jm n m k

j δδψψ

,,~,{}k j ,ψ，{}

k j ,~ψ线性无关kl l j k j δψψ=?,,~,--------（3）

定理1：如果（1）（2）（3）成立，必存在{}{}Z k j Z k j l

j k

j ∈∈?,|~,,|,~,,,ψψ

ψ

ψ构成双正交小波基。

即：k j j

k

k j f x f .,~,)(ψψ∑∑

=

， k

j j

k

k j f .,~,ψψ∑∑

=

且n k m j n m k

j ,,,,~,δδψψ

=。

定理2：假设)(2

1)(ωωω

F e H L

i ???

? ??+=- )(~2

1)(~

~ωωωF e H L

i ???

? ??+=- 其中??

???==∑∑--k ik k k

ik k e

f F e f F ωωωω~)(~)(，

且对于某一个0~

,>k k

2

1

1

2

)2

()(max --<=L k k F F B ωωω

21

~12)2(~

)(~max ~--<=L k k F F B ωωω

则（2）和（3）成立。

下证)(x ψ具有L 阶消失矩，即?

-==1,2,1,0,0)(L m dx x x m

ψ

由：?

+∞

∞

--=dx e x i ωωψωψ)()(?，

有： ?+∞∞

---=dx e ix x i m m ωωψωψ

))(()(?)

(

?

-=dx x x i m m m )()()0(?ψψ

； 下证12,1,0),0(?-=L m m ψ

， ??

? ????? ??=2?2)(?)(ω?

ωωψG m ??? ????? ?????

? ??+=∏+--2?22

1)2(2ω?ωωω

F e e L

i i ??? ????? ?????

? ?

?-=--2?22122ω?ωωω

F e e L

i i 阶零点）的（为L ?0ωψ

ω=?

1,1,0,0)0(?)(-==L m m ψ

. )(x ψ?具有L 阶消失矩，

)(~x ψ

具有L ~

阶消失矩。 问题：解方程：

1)(~

)()(~)(=+++z H z H H H ωωωω

中的特殊解。

???

??.~

,.~,满足的条件

的形式F F H H 要求滤波器具有线性相位，即：)()()()(ωωλ??λω

H e H x x i -=?-=，

关于

2

λ

对称， （1） 如果0=λ，则)()(ωωH H =，即：)(ωH 为实偶函数，为ωcos 的实函

数。

（2） 如果1=λ，则)()(ωωωH e H i =。

可以证明：若H 固定对称，则存在H ~

与H 具有相同对称性的解。 命题：对于固定)(ωH ，如果)(~

ωH 是方程（1）的解，则

（1） 对于0=λ的情况，则可构造出

[]

)(~

)(~2

1)(~￡ωωω-+=H H H ，

也是（1）的解，且具有0=λ的对称性。

（2）对于1=λ的情况，

[]

)(~)(~2

1)(~￡ωωωω-+=-H e H H i 也是（1）的解，且具有1=λ的对称性。

l k l j k j kn m j n m k j ,,,,,,,?,δ??δδψ

ψ=?= 假设

0=λ ()()???

???

???? ??=???

? ??+=??? ??

=???

? ?

?+=--ωωωωωωωωωω

cos ~2cos )(~2

1)(~cos 2cos )(21)(0~2~02P F e H P F e H L

L

i L

L

i

00~

,P P 为实系数多项式。

1=λ ()()???

?

?????? ??=???

??=+-+-ωωωωωωωωc o s ~2c o s )(~c o s 2c o s )(01~

22

01

22P e H P e H L i L i ()1)1()()1(1=-+-y P y y P y k k 代入

0~

L L k += )0(=λ 1~

0++=L L k )1(=λ

其中方程的特解为：n

k n y n n k y P ∑-=???

? ??-+=1

01)(

)(P ~

(y)P P(y)00y = ()2

(sin 2ω=y )

使P(y))(P ~(y)P 00=y 的00~,P P 有多解，且L L ~

,还可有变化。

由此求出{}{}{}

{}???

? ?????? ???n n n n g h g h H H ~~

)(~),(和ωω。 详见：A.Cohen, I.Daubechies & J.Feaureau:“Biorthogonal Bases of Compactly Supported Wavelets ”，Comm. Pure & Applied Math, 45, 485-560, 1992

双正交小波基克服了普通小波的不对称的缺点，但有代价，过去要求k j W W ⊥； 具有有限紧支集的正交小波基：{}Z k j x k

j ∈,|)(,ψ

∑∑

=

j

k

k j k j x f x f )(,)(,,ψψ.

正交小波基无冗余。

但对双正交小波基，他们各自不正交，但相互正交：

{}Z k j x k

j ∈,|)(,ψ

，{}Z k j x k

j ∈,|)(~,ψ ∑∑

=j

k

k j k j x f x f )(~,)(,,ψψ ∑∑

=

j

k

k

j k j x f )(~,,,ψψ. 相关系数g

f g f r fg ,=

双正交小波时的Mallat 算法： 设信号11++⊕=∈J J J W V V f ∑=

k

k j k

J x C

f )(,,?

21f f += ∑∑+++++=

k

k J k J k

k J k

J x d x C

)()(,1,1,1,1ψ? …………（*）

①用到四个正交性：

〈,,k j ?k j ,~ψ〉=0，l k ,? 〈,~,k j ?k

j ,ψ〉=0， l k ,?

n m l j ,,~,ψψ=ln δδjm

l j k j ,,~,??=kl

δ 用l

J ,1~+?对（*）两边作内积

∑∑+++++++k

l

J k J k

k

J l J k J J d C ,1,1,1,1,11~,~,???

=

∑+k

l J m J m

J C

,1,,~,??

l J m J m

m J l J C C ,1,,,1~,++∑=??

再由双尺度方程：

()()x h x k l J k

k l

J ++∑=2,,1~~

~?? ()x h k J k

l k ,2~~?∑-=

代入上式得：

k j m j k

l k l J m J h ,,2,1,~,~

~,????∑-+=

=l m h 2~

-

所以∑-+=

m

m J l m l J C h C ,2,1~，

用k J ,1~+ψ对（*）两边作内积，并用双尺度方程 ()x g k J k

l k k J ,2,1~~~??∑-+=，

类似的可得：∑-+=m

m J l

m l J C d ,2,1~

分解算法：

??

???==∑∑-+-+m m

J l m l J m

m

J l m l

J C g d C h C ,2,1,2,1~~ 重构：

用k

J ,~?对两边作内积。 重构算法：∑∑+-+-+=k

k J k l k

k J k

l l J d g C h

C ,12,12,

… …

… …

紧凑表示(compact representation)：

J C 1+J C 2

+J C K J C +

1+J d 2+J d K J d +

{}k J J K J J d d C C +++=,,,1 ，

小波系数的分解与重构（滤波器组实现）：