1.1函数定义及表示方法1.2函数的性质

1.1函数定义及表示方法1.2函数的性质
1.1函数定义及表示方法1.2函数的性质

1.1函数定义及表示方法

1.给出四个命题:①f(x)=3-x +x -2是函数;②函数f(x)=2x(x ∈N)的图像是一条直线;③f(x)=1与g(x)=(x-1)0表示同一函数;④f ﹝x)=2x 2-1(3<x <5﹚,f(a)=7,则a=2,其中正确的有( )个。

A.1

B.2

C.3

D.4

2.若函数y=f(3x-1)的定义域是[0,1],则y=f(x+1)的定义域是( )

A.﹙﹣2,0﹚

B. [﹣1,0]

C. [﹣2,1]

D. [﹣3,2]

3. ⑴已知函数f(x)=x 2,求f(x -1).

⑵已知函数f(x -1)=x 2,求f(x)

4.若f(x)=ax 2-2,a 是一个正常数,f[f(2)]=﹣2,那么a 的值是(

A.22

B.2-2

C.22-2

D.22

2+

5.若函数f(x)=x 2-3x+1 ,则f(a) -f(﹣a)=_________

6.求下列函数的定义域

⑴y=-1x ·1+x ⑵y=142

--x x ⑶y=32-x +25x -

7.已知函数f (x+1)=3x+2,则f(x)=______________________

8.已知f(x)=???+-<2)(,3﹣x 2)

≥(,122x x x x ,则f(﹣1)+f(4)的值为__________

9.已知y=f(x)是一次函数且有f[f ﹙x ﹚]=9x+8,求f(x)

10.y=﹣x 2-4x+1,x ∈[﹣3,3]的值域为( )

A. ﹙﹣∞,5]

B. [5,+∞ ﹚

C. [﹣20,5]

D. [4,5]

11.A=﹛1,2,3,4,5﹜,B=﹛1,3,7,15,,31,33﹜下列对应法则f 能构成从A 到B 的映射的是( )

A.f:x →x 2-x+1

B.f:x →x+(x -1)2

C.f: x →2-1x -1

D.f: x →2x -1

12.设A=R,B=R,f:x →

2

12+x 是A →B 的映射,若t+1∈A,t+1在映射f 下的象为5,则t 是( ) A.27 B. ﹣27 C.25 D. ﹣25

13.若M=﹛x|﹣1≤x ≤1﹜,N=﹛y|﹣1≤y ≤1﹜则从M 到N 不是映射的是( )

14在下列函数中,定义域和值域不同的是( )

A. y=x 31

B.y=x 21

C.y=x 35

D.y=x 32

15.若函数f(x)=

-34x mx (x ≠4

3)在定义域内恒有f[f(x) ]=x,则m 等于﹙ ﹚ A.3 B.23 C. ﹣23 D. ﹣3 16.已知f(x)=ax 2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_______________

17.设函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,在x ≤1时,f (x )=(x+1)2 -1,则x>1时 f (x )等于( )

A.f(x)=(x+3)2 -1

B.f(x)=(x -3)2 -1

C.f(x)=(x -3)2+1

D.f(x)=(x -1)2 -1

1.1函数定义及表示方法答案

1A 2C 3(1)f(x -1)=(x -1)2 (2)f(x)=(x+1)2 4A 5.﹣6a

6(1) [1, ﹢ ﹚ (2) [﹣2,1﹚∪﹙1,2] (3) [﹣5,﹣3]∪[3,5]

7. 3X -1 8. 3 9.f(x)=3x+2 f(x)= ﹣3x -4 10. C 11.D 12.A 13.D

14.D 15.A 16.f(x)=21x 2+21

x 17.B (画图像) x ≤1时f(x)=(x+1)2 -1的对称轴为x=﹣1最小值为﹣1,又

y=f(x)关于x=1对称,故在x >1上f(x)的对称轴为x=3且最小值

为﹣1.

1.2函数的单调性、奇偶性

1、下列函数在﹙﹣∞,0﹚上为增函数的是( )

①y=|x| ②y=x x

③y=﹣x x 2 ④y=x+x x A. ①② B. ②③ C. ③④ D ①④

2、若一次函数y=kx+b(k ≠0)在﹙﹣∞,﹢∞﹚上是单调递减函数,则点

﹙k,b ﹚在直角坐标平面的( )

A.上半平面

B.下半平面

C.左半平面

D.右半平面

3、函数y=lg|x|( )

A.在区间﹙﹣∞,0﹚上单调递增,图像关于y 轴对称。

B. 在区间﹙﹣∞,0﹚上单调递减,图像关于y 轴对称。

C.在区间﹙0,﹢∞﹚上单调递增,图像关于原点对称。

D. 在区间﹙0,﹢∞﹚上单调递减,图像关于原点对称。

4、若函数y=(2k+1)x+b 在(﹣∞,﹢∞)上是减函数,则k 的取值范围是________________

5、函数y=x 2+2(a -1)x+2在﹙﹣∞,4﹚上是减函数,则a 的取值范围是_________________

6、函数f(x)是定义在﹙0,﹢∞﹚上的增函数,求不等式f(x) >f [8﹙x -2﹚]的解集。

7、函数y=31

x 是( )

A. ﹙3, ﹢∞﹚上的增函数

B. [ 3, ﹢∞﹚上的增函数

C. ﹙3, ﹢∞﹚上的减函数

D. [ 3, ﹢∞﹚上的减函数

8、设f(x)是定义在D 上的减函数,且f(x) >0,则下列4个函数中为增函数的有( )

①y=3-2f(x) ②y=1+)(2x f ③y=[f(x) ]2 ④y=1-)(x f

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

9、函数y=322+--x x 的单调增区间为_____________单调减区间为______________

10、f(x)= ﹣x 2+mx 在﹙﹣∞,1]上是增函数,则m 的取值范围是( )

A. ﹛2﹜

B. ﹙﹣∞,2]

C. [2, ﹢∞﹚

D. ﹙﹣∞,1]

11、定义两种运算:a ⊕b=22b a - a ?b=2)(b a -则函数f(x)=2

)2(2-?⊕x x 为( ) A.奇函数 B.偶函数 C.奇函数且为偶函数 D.非奇函数且非偶函数

12、设函数f(x)(x ∈R)为奇函数,f(1)=21,f(x+2)=f(x)+f(2)则f(5)=( )

A.0

B.1

C.2

5 D.5

13、已知f(x)=3-2|x|,g(x)=x 2-2x,F(x)=???<≥)()())((),(x g x f x f x g x f x g ,若()若 则F(x)的最值是( ) A.最大值为3,最小值为﹣1 B.最大值为7-27,无最小值

C.最大值为3,无最小值

D.既无最大值又无最小值

14、已知f(x)=ax -2(a ≠0)在[0,1]上是减函数,则实数a 的取值范围是___________

15、二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3

⑴求f(x)的解析式

⑵若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求a 的取值范围

1.2函数的单调性、奇偶性答案

1.C

2.C

3.B

4. k<﹣21

5. ﹙﹣∞, ﹣3]

6.?????->>->)2(80)2(80x x x x ????

????<>>71620x x x ?20 2-a x ≥0解得x ≤a 2

a

2≥1解得00﹚ ∵f(0)=3 ∴a=2 ∴f(x)=2(x-1)2+1即f(x)=2x 2-4x+3 ⑵由条件知 2a<1

高一数学函数的概念及表示方法

全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点:理解函数的概念;区间”、“无穷大”的概念,定义域的求法,映射的概念教学难点:函数的概念,无穷大”的概念,定义域的求法,映射的概念 教学目标1.理解函数的定义;明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素; 2.能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号;掌握分式函数、根式函数定义域的求法,掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念,会判断一些简单的对应是否是映射,会求象或原象. 5.会结合简单的图示,了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况: 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入: 初中(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数? 设在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的 值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域,和自变量x的值对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1:()是函数吗? 问题2:与是同一函数吗? 观察对应: 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课:

函数的概念与表示法

函数的概念和函数的表示法 考点一:由函数的概念判断是否构成函数 函数概念:设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有 唯一确定的数f (x )和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中,能确定y 是x 的函数的是( ) ① A={x x ∈Z},B={y y ∈Z},对应法则f :x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R},对应法则f :x →2y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f :x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中,是函数图像的是( ) ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有( ) ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f (x ),则对于直线x=a (a 为常数),以下说法正确的是( ) A. y=f (x )图像与直线x=a 必有一个交点 B.y=f (x )图像与直线x=a 没有交点 C.y=f (x )图像与直线x=a 最少有一个交点 D.y=f (x )图像与直线x=a 最多有一个交点 变式4.对于函数y =f(x),以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数 ②对于不同的x ,y 的值也不同 ③f(a)表示当x =a 时函数f(x)的值,是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 变式5.设集合M ={x|0≤x ≤2},N ={y|0≤y ≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( ) A .①②③④ B .①②③ C .②③ D .② 考点二:同一函数的判定 函数的三要素:定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x 相同( ) ①. y=x ②.y = ③. 2 y = ④.y=t ⑤.3 3x y = ;⑥.2x y =

函数的基本概念及表示法

题一:定义集合{1,2,…,n }到{1,2,…,n }上的函数f :k →i k ,k =1,2,…,n .记作:121,2,,,,,n n i i i ?? ??? . 设121,2,,,,,n n f i i i ??= ??? ,12 1,2,,,,,n n g j j j ??= ??? (这里的j 1,j 2,…,j n n j j j ,,,21 也是1,2,…,n 这n 个整数的一个排列).定义g f 12 1,2,,,,,n n i i i ??= ??? 121,2,,,,,n n j j j ?? ??? ,其中)]([)(k g f k g f = ,k =1,2,…,n ..则? ?? ? ?????? ??4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= 题二:在加工爆米花的过程中,爆开且不糊的粒数占加工总数的比率称为可食用率p .它的大小主要取决于加工时间t (单位:分钟). 做了三次实验,数据记录如图所示.已知图中三个点都在函数p =-0.2t 2+bt +c 上,则由此得到的理论最佳加工时间为 分钟. 题三:3,10 ()((5)),10x x f x f f x x -≥?=?+

函数的定义和表示

函数定义域与值域 1.函数的概念 本节我们将学习一种特殊的对应—映射。 看下面的例子:设A ,B 分别是两个集合,为简明起见,设A ,B 分别是两个有限集 求平方 B B 说明:(2)(3)(4)这三个对应的共同特点是: 映射:设A ,B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中的任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,这样的对应(包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到集合B 的映射 记作:B A f : 映射与函数的区别: 3.函数的三种表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式 (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系 (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系

4.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4)()f x 满足某个等式,这个等式除()f x 外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 5 区间的表示: ],[}|{b a b x a x =≤≤ ),[}|{b a b x a x =<≤ ],(}|{b a b x a x =≤< ),(}|{b a b x a x =<< ],(}|{b b x x -∞=≤ ),[}|{+∞=≤a x a x 6 如果A ,B 都是非空的数集,那么A 到B 的映射f :A →B 就叫做A 到B 的函数,记作y=f(x),其中x ∈A ,y ∈B.原象的集合A 叫做函数y=f(x)的定义域,象的集合C (C ?B )叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y 是x 的函数”,有时简记作函数f(x). 明确函数的三要素:定义域、值域、解析式 二 典型例题 例1.若函数y =f(x)的定义域为M ={x|-2≤x≤2},值域为N ={y|0≤y≤2},则函数y =f(x)的图象可能是 ( ) 变式:设集合M={x |0≤x ≤2},N={y |0≤y ≤2},从M 到N 有4种对应如下图所示:

函数的概念及其表示

一、函数的概念及其表示 函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。 函数的共同特征: (1)都包含两个非空数集,用A 、B 来表示; (2)都有一个对应关系; (3)尽管对应关系的表示方法不同,但它们都有如下特性:对于数级A 中的任意一个数x ,按照对应关系,在数集B 中都有唯一确定的数y 和它对应。 事实上,除了解析式、图象、表格外,还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便,我们引进符号f 统一表示对应关系。 一般地,设A 、B 是非空的实数集,如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f ,在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合b 的一个函数,记作 ().,A x x f y ∈= 其中x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合(){}A x x f ∈|叫做函数的值域。 我们所熟悉的一次函数y=kx+b ,k ≠0的定义域是R ,值域也是R 。对应关系f 把r 中的任意一个数x ,对应到R 中唯一确定的数kx+b 。二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ,值域是B 。当A>0时,B=??????-≥a b ac y y 44|2;当A<0时,B=? ?????-≤a b ac y y 44|2。对应关系f 把R 中任意一个数x,对应到B 中唯一确定的数)0(2≠++a c bx ax 。 由函数的定义可知,一个函数的构成要素为:定义域、对应关系

和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的,所以如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数。两个函数如果仅有对应关系相同,但定义域不相同,那么它们不是同一个函数。 函数的三种表示方法:解析法、列表法和图象法。 解析法,就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系; 列表法,就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系; 图象法,的就是用图象表示两个变量之间的对应关系。 这三种方法是常用的函数表示法。

函数的概念与表示复习讲义与习题.doc

第四讲函数的概念与表示 一.知识归纳: 1.映射 ( 1)映射:设 A 、 B 是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合 A 中的任一个 元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及 A到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f : A→B。 ( 2)象与原象:如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射,那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象, a 叫做 b 的原象。 注意:( 1)对映射定义的理解。( 2)判断一个对应是映射的方法。 2.函数 ( 1)函数的定义 ①原始定义:设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值与它对应,那么就称y 是 x 的函数, x 叫作自变量。 ②近代定义:设 A 、 B 都是非空的数的集合,f: x→y是从 A 到 B 的一个对应法则,那么从 A 到 B 的映射 f : A→B就叫做函数,记作y=f(x) ,其中 x∈ A,y ∈ B,原象集合 A 叫做函数的定义域,象集合 C 叫做函数的值域。 注意:①C B; ② A,B,C 均非空 ( 2)构成函数概念的三要素:①定义域②对应法则③值域 3.函数的表示方法:①解析法②列表法③图象法 注意:强调分段函数与复合函数的表示形式。 二.例题讲解: 【例 1】下列各组函数中,表示相同函数的是() (A) f(x)=lnx 2,g(x)=2lnx (B)f(x)= a log a x (a>0 且 a≠1),g(x)=x (C) f(x)= 1 x 2 , g(x)=1 - |x| (x ∈[ - 1,1]) (D) f(x)= log a a x (a>0 且 a≠1),g(x)= 3 x3 解答:选D 点评:判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。 变式:下列各对函数中,相同的是( D ) (A) f(x)= x 2, g(x)=x (B)f(x)=lgx 2 ,g(x)=2lgx (C)f(x)= lg x 1 , g(x)=lg(x - 1)- lg(x+1) (D) f(x)= 1 u 1 v 1 , g(x)= v x 1 u 1 【例 2】( 1)集合 A={3,4},B={5,6,7} ,那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是;从B 到 A 的映射的个数是。 ( 2)设集合 A 和 B 都是自然数集合N,映射 f:A→B把集合 A 中的元素 n 映射到集 合 B 中的元素2n+n,则在映射 f 下,像20 的原象是。 解答:( 1)从 A 到 B 可分两步进行,第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法( 5 或 6 精选

函数的定义及其表示

函数的定义及其表示 一、选择题(共16小题;共80分) 1. 设集合 M ={x ∣0≤x ≤2},N ={y ∣0≤y ≤2},给出如下四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是 ( ) A. B. C. D. 2. 设函数 f (x )={x 2+1,x ≤1 2x ,x >1,则 f(f (3))= ( ) A. 1 5 B. 3 C. 2 3 D. 13 9 3. 设集合 M ={x ∣(x +3)(x ?2)<0},N ={x ∣1≤x ≤3},则 M ∩N = ( ) A. [1,2) B. [1,2] C. (2,3] D. [2,3] 4. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x,y ∈R ),f (1)=2,则 f (?3) 等 于 ( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 5. 已知函数 f (x )={2x +1,x <1 x 2+ax,x ≥1 ,若 f(f (0))=4a ,则实数 a 等于 ( ) A. 1 2 B. 4 5 C. 2 D. 9 6. 下列各组函数中,表示同一函数的是 ( ) A. y =x +1 与 y = x 2+x x B. f (x )= 2(√x) 2 与 g (x )=x C. f (x )=∣x ∣ 与 g (x )=√x n n D. f (x )=x 与 g (t )=log a a t 7. 下列各组函数中,表示同一个函数的是 ( ) A. y = x 2?1x?1 与 y =x +1 B. y =x 与 y =∣x∣ C. y =∣x∣ 与 y =2 D. y =2?1 与 y =x ?1 8. 已知函数 f (x )={2x +1,x <1 x 2+ax,x ≥1 ,若 f(f (0))=4a ,则实数 a 等于 ( ) A. 1 2 B. 4 5 C. 2 D. 9 9. 若 f (x )=ax(a >0且a ≠1) 对于任意实数 x ,y 都有 ( )

函数的定义及表示方法

函数的定义及表示方法 1若函数()f x 满足(21)1f x x -=+,则(1)f = . 2函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)() f x f x += ,若(1)5f =-,则((5))f f = . 3若函数2(21)2f x x x +=-,则(3)f = . 4已知函数2 2 (),1x f x x R x =∈+. (1)求1()()f x f x +的值; (2)计算:111 (1)(2)(3)(4)()()()234 f f f f f f f ++++++. 5已知,a b 为常数,若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值 6设函数3 (100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥?=? +

函数的概念及表示方法

函数的概念及表示方法 一、选择题(每小题5分,共60分) 1、 数)(x y ?=的图象与直线a x =的交点个数为( ) A 、必有1个 B 、1个或2个 C 、至多1个 D 、可能2个以上 2、 下列四组中的函数 )(x f 与)(x g ,表示相同函数的一组是( ) A 、2)()(,)(x x g x x f == B 、1)(,11)(2-=-+=x x g x x x f C 、 x x x g x x f ==)(,)(0 D 、2)(,)(x x g x x f == 3、 下列选项正确的是( ) (1)x x y -+-= 12可以表示函数 (2)521=-+-y x 可以表示函数(3)122=+y x 可以表示函数 (4)12=+y x 可以表示函数 A 、 (2)(4) B 、(1)(3) C 、(1)(2) D 、(3)(4) 4、下列关于分段函数的叙述正确的是( ) (1) 分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集 (2)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则,但它们是同一个函数 (3)若21,D D 分别是分段函数的两个不同对应法则的值域,则Φ=21D D I A 、 (1) B 、(2)、(3) C 、(1)、(2) D 、(1)、(3) 5、设2:x x f →是集合A 到B 的映射,如果{}2,1=B ,那么B A I =( ) A 、 Φ B 、 {}1 C 、Φ 或{}2 D 、Φ或{}1 6、若函数)(x f 满足),)(()()(R y x y f x f y x f ∈+=+,则下列各项不恒成立 的是( ) A 、0)0(=f B 、)1(3)3(f f = C 、)1(2 1)21(f f = D 、0)()(<-x f x f 7、将x y 1=的图像变换至函数23++=x x y 的图像,需先向 平移 个单位,再向 平移 个单位( ) A 、左,2,上,1 B 、左,2,下,1 C 、右,2,上,1 D 、右,2,上,1 8、已知函数)(x f 的定义域是),(b a ,其中b>a+2,则)13()13()(+--=x f x f x f 的定义域是( )

八年级数学-函数概念及表示方法

第四章一次函数 一、函数相关概念及表示方式 1、变量与常量 在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。 例1: 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 注:确定函数自变量的取值范围有两点,第一是要使含有自变量的式子有意义,第二是要使实际问题有意义。 例2: 例3: 例4: 已知等腰三角形的周长为20,设底边长为y,腰长为x,则y与x的函数关系式为________, 自变量的取值范围是_________

例5: 的取值范围是() 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析式法/关系式法 两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。 (2)列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。 (3)图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 例6: 用解析式表示下列函数关系. (1)某种苹果的单价是1.6元/kg,当购买x(kg)苹果时,花费y(元),y(元)与x (kg)之间的函数关系.______; (2)汽车的速度为20km/h,汽车所走的路程s(km)和时间t(h)之间的关系.______. 例7: 均匀的向如图的容器中注满水,能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图像是() 例8:

小明400米/分的速度匀速汽车5分钟,在原地休息了6分钟,然后以500米/分的速度骑回出发地,下列函数图像能表达这一过程的是() 例9: 小明骑自行车上学,开始以正常的速度匀速行驶,但行至中途自行车出了故障,只好停下来修车,车修好后,因怕耽误课,加快汽车速度,下面是小明离家后他到学校剩下的路程s 关于时间t的函数图像,那么符合小明行驶情况的图像大致是() 例10: 甲、乙两人在操场上赛跑,他们赛跑的路程S(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示,则下列说法错误的是()

函数的概念与表示方法

函数的概念与函数收敛的定义 1、 在同一个自然现象和技术过程中,往往有几个同时变化的变量,而这几个变量并不是孤立的存在,而是相互联系并遵循一定的变化规律。 定义: 设x 和 y 是两个变量,D 是给定的一个数集,如果对每个数 x∈D,变量y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应,则称y 为x 的函数,记作:Y=f(x) 数集D 称为函数y 的定义域。 当∈D 时,与对应的y 的数值称为函数y=f(x)在的函数值。当x 取遍x∈D 的各个数值时,对应的函数值全体组成的集合 0x 0x 0x W={y/y=f(x),x∈D}称为函数y 的值域。 2、 定义1-1:数列收敛的定义: 若A x n n =∞→lim {亦称极限 n x

存在; 收敛;否则,称发散}: n x n x ?ε(无论其多么小)>0,?正整数N,当n>N 时,有 ε0,?正数X,当x>X 时, ε0,?正数δ>0,当 δ

(1) 有界性 (2) 单调性 (3) 奇偶性 图形关于Y 轴对称: )()(x f x f =? ……偶函数 曲线关于原点轴对称: )()(x f x f ?=? ……奇函数

高一-函数的概念及其表示

个性化教学辅导教案 学科:数 学 年级:高一 任课教师: 授课时间:2017 年 秋季班 第04周 教学 课题 函数的概念及其表示 教学 目标 1.熟悉函数的概念及三要素; 2.熟悉函数的表示方法及相关特点。 教学 重难点 重点:函数的三要素及其表示; 难点:值域的求法。 教学过程 (1) 函数的定义: ①传统定义:在某一个变化过程中有两个变量x 和y ,如果对于在某一个范围内的任一个x 的值,都有唯一的y 值与它对应,则称y 是x 的函数,x 叫自变量,y 叫因变量。 ②现代定义:设A 、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y=f (x ),x ∈A ,其中x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A}叫做函数的值域。 (2) 映射的定义: 一般地,设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应关系f ,对于集合A 中的任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合A 、B ,以及集合A 到集合B 的对应关系f )叫做集合A 到集合B 的映射,记作f :A →B 。如果集合A 中的元素a 对应到集合B 中的元素b ,那么其中集合B 中的元素b 是集合A 中元素a 对应的“象”;b 是a 的“原象”。 由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求A 、B 非空且皆为数集。 总结:①根据映射的定义知“一对多”不是映射;②A 中每一个元素都有象; ③B 中每一个元素不一定都有原象,不一定只一个原象;④A 中每一个元素的象唯一。 (3) 函数的定义域: 函数的定义域是自变量x 的取值范围,它是构成函数的重要组成部分,如果没有标明定义域,则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围,但要注意,在实际问题中,定义域要受实际意义的制约。 如:x y = 的定义域是非负实数;圆半径R 与面积S 的函数关系2R S π=的定义域为正数;x y 1 = 的定义域是非零实数…… 注:求函数的定义域的常见类型 1.当)(x f 为整式时,定义域为R;

函数定义及表示方法函数的性质

1.1函数定义及表示方法 1.给出四个命题:①f(x)=3-x +x -2是函数;②函数f(x)=2x(x ∈N)的图像是一条直线;③f(x)=1与g(x)=(x-1)0表示同一函数;④f ﹝x)=2x 2-1(3<x <5﹚,f(a)=7,则a=2,其中正确的有( )个。 A.1 B.2 C.3 D.4 2.若函数y=f(3x-1)的定义域是[0,1],则y=f(x+1)的定义域是( ) A.﹙﹣2,0﹚ B. [﹣1,0] C. [﹣2,1] D. [﹣3,2] 3. ⑴已知函数f(x)=x 2,求f(x -1). ⑵已知函数f(x -1)=x 2,求f(x) 4.若f(x)=ax 2-2,a 是一个正常数,f[f(2)]=﹣2,那么a 的值是( ) A.22 B.2-2 C.22-2 D.22 2+ 5.若函数f(x)=x 2-3x+1 ,则f(a) -f(﹣a)=_________ 6.求下列函数的定义域 ⑴y=-1x ·1+x ⑵y=142 --x x ⑶y=32-x +25x - 7.已知函数f (x+1)=3x+2,则f(x)=______________________ 8.已知f(x)=???+-<2)(,3﹣x 2) ≥(,122x x x x ,则f(﹣1)+f(4)的值为__________ 9.已知y=f(x)是一次函数且有f[f ﹙x ﹚]=9x+8,求f(x)

10.y=﹣x 2-4x+1,x ∈[﹣3,3]的值域为( ) A. ﹙﹣∞,5] B. [5,+∞ ﹚ C. [﹣20,5] D. [4,5] 11.A=﹛1,2,3,4,5﹜,B=﹛1,3,7,15,,31,33﹜下列对应法则f 能构成从A 到B 的映射的是( ) A.f:x →x 2-x+1 B.f:x →x+(x -1)2 C.f: x →2-1x -1 D.f: x →2x -1 12.设A=R,B=R,f:x → 2 12+x 是A →B 的映射,若t+1∈A,t+1在映射f 下的象为5,则t 是( ) A.27 B. ﹣27 C.25 D. ﹣25 13.若M=﹛x|﹣1≤x ≤1﹜,N=﹛y|﹣1≤y ≤1﹜则从M 到N 不是映射的是( ) 14在下列函数中,定义域和值域不同的是( ) A. y=x 31 B.y=x 21 C.y=x 35 D.y=x 32 15.若函数f(x)= -34x mx (x ≠4 3)在定义域内恒有f[f(x) ]=x,则m 等于﹙ ﹚ A.3 B.23 C. ﹣23 D. ﹣3 16.已知f(x)=ax 2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_______________ 17.设函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,在x ≤1时,f (x )=(x+1)2 -1,则x>1时 f (x )等于( ) A.f(x)=(x+3)2 -1 B.f(x)=(x -3)2 -1 C.f(x)=(x -3)2+1 D.f(x)=(x -1)2 -1

函数的定义及表示方法7.13

函数的定义及表示方法 【知识要点】 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的,在集合B中都有确定的数f(x)和它对应,那么称f:A→B为从集合A到集合B的一,记作.其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的;与x 的值相对应的y的值叫做函数值.函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的,{f(x)|x∈A}?B. 2.函数的表示法:函数的表示法:、、. 3.判断两个函数为同一个函数的方法 两个函数的完全相同(当值域未指明时). 4.分段函数:若函数在定义域的不同子集上对应法则不同,可用几个式子表示函数,这种形式的函数叫.注意:不要把分段函数误认为是多个函数,它是一个整体,分段处理后,最后写成一个函数表达式. 5.常见函数的定义域与值域

类型一 函数定义域与求值 1.已知函数2 11)(-+-=x x x f (1)求函数定义域 (2)求)3()1(),(),1(>-a a f a f f 2.已知函数???<-≥-=)0(2)0(2)(x x x x x f ,则=))1((f f . 3.下列函数中哪个与函数y=x 相等( ) A.2)(x y = B.33x y = C.2 x y = D.x x y 2= 类型二 函数图像 1. 作出下列函数的图象 变式: (1)x y -=1 x y -=1{})2,1,0,1,2(--∈x (2)232+-=x x y 232+-=x x y [))2,1(-∈x (3)x y = 1-=x y

类型三 求函数解析式 1.(1)已知一次函数)(x f 满足5)0(=f ,且图象过点(-2,1),求)(x f 的解析式 (2)已知二次函数)(x g 满足5)1(,1)1(=-=g g ,图象过原点,求)(x g 的解析式 2.(1)已知1)(2+=x x f ,求)1(+x f (2)已知2)(+=x x f ,求)(x f (3) 已知1)11(-=+x x f ,求)(x f

函数的概念及表示法(学生版)

函数的概念及表示法 解答锦囊:解答“映射与函数的概念”一类试题,主要掌握以下几点: 1.象与原象是映射中的两个重要概念,常列方程,用方程的思想求解. 2.函数概念题主要考查对“对应法则厂’的理解,特别是分段函数的题型,要注重分类讨论、数形结合等重要数学思想的运用. 一、高考最新热门题 1、设集合A 和B 都是自然数集合N ,映射f:A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2+n , 则在映射f 下,象20的原象是( ) A .2 B .3 C .4 D .5 2、函数f(x)= ,其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集,又规定 f(P)={y|y=f(x), x ∈P},f(M)={y|y=f(x),x ∈M},给出下列四个判断: ①若P ∩M=φ,则f(P)∩f(M)= φ ②若P ∩M ≠φ,则f(P)∩f(M)= φ ③ 若P ∪M=R ,则f(P)∪f(M)=R ; ④若P ∪M ≠R ,则f(P)∪f(M)≠R ; 其中正确判断有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 3、已知函数f(x)= ,若f(a)=b ,则f(-a)等于( ) A .b B .-b C . D.- 4、判断下列各组函数是否表示同一个函数( ) A .y= 与y=x+1 B .y=lgx 与y= C.y=-1 与y=x-1 D .y=x 与y=log a a x (a>0且a ≠1) ?? ?∈-∈M x x P x x ,,x x +-11lg b 1b 111 2--x x 2lg 2 1x 2 x

二、题点经典类型题 1、设函数f(x)的定义域为R +,且满足条件f(4)=1,对于任意x 1,x 2∈R +,有f(x 1,x 2)=f(x 1)+ f(x 2),当x 1>x 2时,有f(x 1)>f(x 2). (1) 求f(l)的值; (2)如果f(3x+1)+f(2x-6)≤3,求x 的取值范围. 2、由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+1)4 +b 1(x+1)3+b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4定义映射f :(a 1, a 2,a 3,a 4,)→b 1+b 2+b 3+b 4,则f(4,3,1)等于 。 3、定义集合A*B 的一种运算:A*B={x|x=x 1 +x 2,其中x 1∈A ,x 2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A*B 中的所有元素数字之和为 ( ) A.9 B.14 C.18 D.21 4、定义符号函数sgnx= ,则不等式: x+2>(2x<0) sgnx 的解集是 _______________。 5、由关于x 的恒等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4 =(x+1)4+b 1(x+1)3+b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4,定义 映射f(a 1、a 2、a 3,a 4)→(b 1.b 2、b 3,b 4),则f(4,3,2.1)等于( ) A .10 B .7 C .-1 D .0 6、设映射f :x →-x+2x 是实数集M 到实数集N 的映射,若对于实数P ∈N ,在M 中不存在原象,则P 的取值范围是( ) A .(1,+∞) n .[1,+∞] C .(-∞,1) D .(-∞,1) 三、新高考命题探究 1、已知映射f:A →B ,其中A=B=R ,对应法则f:y=x 2-2x+3, x ∈a,y ∈B .对于集合B 中的元素1。下列说法正确的是( ) A.在A 中有1个原象 B .在A 中有2个原象 C .在A 中有3个原象 D .在A 中无原象 2、A 、B 两地相距150公里.某汽车以50)公里/小时的速度从A 地到B 地,在B 地停留2小时之后.又以60公里/小时的速度返回A 地,写出该车离开A 地的距离S (公里)关于时间t(小时)的函数关系式。并画出图象. 3、已知(x ,y)在映射f 的作用下的象是(x+y ,xy)。求(-2,3)在f 作用下的象和(2.-3)在f 作用 下的原象. ?? ? ??<-=>)0(,1)0(,0)0(,1x x x

函数的的概念及其表示方法基础训练题

1.2 函数的的概念及其表示方法 (一)基础训练题 1、判断下列函数是否表示同一函数? ⑴2)()(,)(x x g x x f == ⑵33)(,)(x x g x x f == ⑶2 )(,)(x x g x x f == ⑷1)(,11)(2+=--=x x g x x x f ⑸3)(,)3()(2-=-=x x g x x f 2、设{}{}31 ,15,7,3,1,5,4,3,2,1==B A 下列对应法则B A f →:是从A 至B 的函数是: (A)1:2+-→x x x f (B)2)1(:-+→x x x f (C)12:1-→-x x f (D)12:-→x x f 二、知识点讲解 1、函数的定义: 设A ,B 是非空的集合,如果按照某个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,则称B A f →:为从集合A 至集合B 的一个函数,记作:A x x f y ∈=),(,其中x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数)(x f 的定义域,与x 的值对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{}A x x f ∈)(叫做函数的值域。 注意:函数的值域{}A x x f ∈)(与集合B 不一定相等。 2、函数的三要素:一个函数由定义域,对应法则和值域三个要素构成。 3、函数相等,当函的定义域及其对应关系确定后,函数的值域也随之确定。如果两个函的的三要素相同,称两个函数相等。 4、区间的表示方法: 区间是集合的一种表示方法: ⑴{}b x a x ≤≤用区间],[b a 表示;⑵{}b x a x <<用开区间),(b a 表示;

函数及其表示方法(习题)

函数及其表示方法(习题) 1. 集合A ={x |0≤x ≤4},B ={y |0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( ) A .12:f x y x →= B .1 3:f x y x →= C .2 3 :f x y x →= D .:f x y →=2. 若函数()y f x =的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为 N ={y |0≤y ≤2},则函数()y f x =的图象可能是( ) A . B . C . D . 3. 函数()y f x =的图象与直线x =1的交点有( ) A .1个 B .0个 C .0个或1个 D .1个或2个 4. 下列说法中不正确的是( ) A .函数值域中的每一个数在定义域中都有值相对应 B .函数的定义域和值域一定是不包括数0的数集 C .定义域和对应法则确定后,函数的值域也就确定了 D .若函数的定义域中只含有一个元素,则值域中也只含有一个元素 5. 下列各项表示同一函数的是( ) A .21 ()1 x f x x -=-与()1g x x =+

B .()1f x 与()1g x x =- C .()f t = ()g x =D .()1f x =与1 ()g x x x =? 6. 若一系列函数的解析式相同、值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪 生函数”.那么函数解析式为221y x =+,值域为{9,19}的“孪生函数”共有( ) A .4个 B .6个 C .8个 D .9个 7. 函数|| x y x x =+ 的图象是( ) A . B . y D . 8. 已知f (x -1)=x 2,则f (x )的解析式为( ) A . f (x )=x 2-2x -1 B .f (x )=x 2-2x +1 C .f (x )=x 2+2x -1 D .f (x )=x 2+2x +1 9. 已知2 2 11()11x x f x x --=++,则f (x )的解析式为( ) A .22()1x f x x =+ B .2 2()1x f x x =-+ C .2()1x f x x =+ D .2 ()1x f x x =-+

1_集合的概念和表示方法 教学设计

1 集合的概念和表示方法 教材分析 集合概念的基本理论,称为集合论.它是近、现代数学的一个重要基础.一方面,许多重要的数学分支,如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等,都建立在集合理论的基础上.另一方面,集合论及其反映的数学思想,在越来越广泛的领域中得到应用.在小学和初中数学中,学生已经接触过集合,对于诸如数集(整数的集合、有理数的集合)、点集(直线、圆)等,有了一定的感性认识.这节内容是初中有关内容的深化和延伸.首先通过实例引出集合与集合元素的概念,然后通过实例加深对集合与集合元素的理解,最后介绍了集合的常用表示方法,包括列举法,描述法,还给出了画图表示集合的例子.本节的重点是集合的基本概念与表示方法,难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合. 教学目标 1. 初步理解集合的概念,了解有限集、无限集、空集的意义,知道常用数集及其记法. 2. 初步了解“属于”关系的意义,理解集合中元素的性质. 3. 掌握集合的表示法,通过把文字语言转化为符号语言(集合语言),培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力. 任务分析 这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解,这里主要根据实例引出概念.介绍集合的概念采用由具体到抽象,再由抽象到具体的思维方法,学生容易接受.在引出概念时,从实例入手,由具体到抽象,由浅入深,便于学生理解,紧接着再通过实例理解概念.集合的表示方法也是通过实例加以说明,化难为易,便于学生掌握. 教学设计 一、问题情境 1. 在初中,我们学过哪些集合? 2. 在初中,我们用集合描述过什么? 学生讨论得出:

在初中代数里学习数的分类时,学过“正数的集合”,“负数的集合”;在学习一元一次不等式时,说它的所有解为不等式的解集. 在初中几何里学习圆时,说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成点的集合. 3. “集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近? 学生讨论得出: “全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”,…… 4. 请写出“小于10”的所有自然数. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.这些可以构成一个集合. 5. 什么是集合? 二、建立模型 1. 集合的概念(先具体举例,然后进行描述性定义) (1)某种指定的对象集在一起就成为一个集合,简称集. (2)集合中的每个对象叫作这个集合的元素. (3)集合中的元素与集合的关系: a是集合A中的元素,称a属于集合A,记作a∈A; a不是集合A中的元素,称a不属于集合A,记作a A. 例:设B={1,2,3},则1∈B,4B. 2. 集合中的元素具备的性质 (1)确定性:集合中的元素是确定的,即给定一个集合,任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了.如上例,给出集合B,4不是集合的元素是可以确定的. (2)互异性:集合中的元素是互异的,即集合中的元素是没有重复的. 例:若集合A={a,b},则a与b是不同的两个元素. (3)无序性:集合中的元素无顺序.

函数的定义与表示方法

函数的定义和表示方法 1 函数的定义 (1)由函数的定义知,由于函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定,这样确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应法则。因此,定义域和对应法则是“y是x的函数”的两个基本条件,缺一不可。只有当两个函数的定义域和对应法则完全相同时,这两个函数才是同一函数,这就是说:a 定义域不同,两个函数不同;b 对应法则不同,两个函数也不同 (2)由函数的定义知,我们要检验两个变量之间是否具有函数关系,只要检验: A 定义域和对应法则是否给出 B 根据给出的对应法则,自变量x在其定义域中的每个值,是否都能确定唯一的函数y 2 映射与函数 函数是一种特殊的映射,它是数集到数集的映射。 A 映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等等,总之只要是非空集合即可 B 映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射不是同一个映射 C 映射要求对于集合A中的每一个元素,在集合B中都有它的象并且象是唯一确定的,这种集合A中元素的任意性和集合B中元素的唯一性是映射的重要性质,缺一不可。 D 映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象,即映射可以是“多对一”或“一对一”,但不能一对多 E 当A、B都是非空数集时,A到B的映射就构成了A到B的一个函数,因此函数是一类特殊的映射 3 函数的表示方法 函数的表示方法通常有三种,他们是列表法、图像法和解析法 4 分段函数 A 分段函数的定义域是各段定义域的并集,其值域是各段值域的并集 B 分段函数求值要先找准自变量所在区间及所对应的解析式,然后求值 C 在研究分段函数图像时,要特别注意定义域的制约作用 D 分段函数时一个函数,并非几个函数。 典型例题 一利用映射与函数的定义域解题 例1 关于函数有下列四种说法:(1)自变量x在其定义域内的每一个值,都有唯一确定的函数值f(x);(2)定义域不同,尽管两个函数的值域与解析式都相同,但两函数仍不是同一函数(3)若函数的定义域只有一个元素,则函数的值域也只有一个元素;(4)定义域和值域相同的两个函数一定是同一函数。其中正确的个数有() A 1 B 2 C 3 D 4 二求映射个数问题 例2 已知A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c),则映射A→B的个数为

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