中考圆专题复习
复习说明：圆这部分内容在陕西省中考试卷中是必考内容之一。每年中考试题圆的考点为填空题3分，解答题8分，共11分。2016年考试说明中三套样题中选择题部分增加了对圆知识的3分考查，但是填空题均未出现与圆有关的题型，而是改为以四边形为背景来进行考查，第23题解答题8分依然存在。在这部分的复习中，应重视学生逻辑思维能力的培养和书写的规范性。与圆有关的解答题多是以证明、解答题出现，学生在这部分最容易逻辑混乱，次序颠倒，甚至书写随意。在复习中要注意随时纠正。
圆专题复习
一.选择题
1．(2015?湖南株洲,第6题3分)如图，圆O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝68°，则∠OBC 的大小是
( )
A ．22°
B ．26°
C ．32°
D ．68° 【试题分析】
本题考点为：通过圆心角∠BOC ＝2∠A ＝136°，再利用等腰三角形AOC 求出∠OBC 的度数 答案为：A
第6题图
B
2、（2015·湖南省常德市，第6题3分）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为：
A 、50°
B 、80°
C 、100°
D 、130°
第6题图
【解答与分析】圆周角与圆心角的关系，及圆内接四边形的对角互补 ：答案为D
3, （2015?四川南充,第8题3分）如图，P A 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P ＝40°，则∠ACB 的大小是（ ） （A ）60°
（B ）65° （C ）70° （D ）75°
【答案】C
考点：切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质.
4、（2015?四川自贡,第9题4分）如图，AB 是⊙O
的直径，弦,CD AB CDB 30CD ⊥∠==o ，,则
阴影部分的面积为 （ ） A .2π B .π C .
3
π D .23π
考点：圆的基本性质、垂径定理，勾股定理、扇形的面积公式、轴对称的性质等.
分析：本题抓住圆的相关性质切入把阴影部分的面积转化到一个扇形中来求.根据圆是轴对称图形和垂径定理，利用题中条件可知E 是弦CD 的中点,B 是弧CD 的中点；此时解法有三： 解法一，在弓形CBD 中，被EB 分开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是相等的，所以阴影部分的面积之和转化到扇形COB 来求；解法二，连接OD ,易证△ODE ≌△OCE ，所以阴影部分的面积之和转化到扇形BOD 来求；解法三，阴影部分的面积之和是扇形COD
A
的面积的一半. 略解：
∵AB 是⊙O 的直径， AB CD ⊥
∴E 是弦CD 的中点,B 是弧CD 的中点（垂径定理）
∴在弓形CBD 中，被EB 分开的上下两部分的面积是相等的(轴对称的性质) ∴阴影部分的面积之和等于扇形COB 的面积.
∵E 是弦CD 的中点，CD =∴11
CE CD 22==?∵AB CD ⊥ ∴OEC 90∠=o
∴COE 60∠=o ,1
OE OC 2= . 在Rt △OEC 中，根据勾股定理可知：222OC OE CE =+
即2
2
2
1OC OC 2??
=+
???
.
解得:OC 2=;S 扇形COB = 2260OC 6022
3360360
πππ????==o o o o
.即 阴影部分的面积之和为2
3
π.故选D .
5. （2015?浙江滨州,第11题3分） 若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( ) A .
B .
C .
D .
—1
【答案】B 【解析】
试题分析：如图，等腰直角三角形ABC 中，⊙D 为外接圆，可知D 为AB 的中点，因此AD =2，AB =2AD =4，根据勾股定理可求得AC =，根据内切圆可知四边形EFCG 是正方形，
AF =AD ,因此EF =FC =AC －AF =－2.
故选B
考点：三角形的外接圆与内切圆
6、（2015湖南邵阳第7题3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC 的大小是（）
考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理．.
分析：根据圆内接四边形的性质求得∠ABC=40°，利用圆周角定理，得∠AOC=2∠B=80°．解答：解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=180°﹣140°=40°．
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故选B．
点评：此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键．
7 , （2015上海,第6题4分）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，
要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）
A、AD＝BD；
B、OD＝CD；
C、∠CAD＝∠CBD；
D、∠OCA＝∠OC B．
【答案】B
【解析】因OC⊥AB，由垂径定理，知AD＝BD，若OD＝CD，则对角线互相垂直且平分，所以，OACB为菱形。
8 .（2015湖北荆州第5题3分）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）
A． 55°B． 60°C． 65°D． 70°
考点：圆周角定理．
分析：连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．
解答：解：连接OB，
∵∠ACB=25°，
∴∠AOB=2×25°=50°，
由OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO，
∴∠BAO=（180°﹣50°）=65°．
故选C．
点评：本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键．
9 . （2015?浙江杭州,第5题3分）圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=( )
A. 20°
B. 30°
C. 70°
D. 110°
【答案】D．
【考点】圆内接四边形的性质.
【分析】∵圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，
∴根据圆内接四边形互补的性质，得∠C=110°.
故选D．
10. （2015?浙江湖州，第8题3分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是( )
A. 4
B. 2
C. 8
D. 4
【答案】C.
考点：切线的性质定理；锐角三角函数；垂径定理.
11. （2015?浙江宁波，第8题4分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为【】
A . 15°
B . 18°
C . 20°
D . 28° 【答案】B .
【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理. 【分析】如答图，连接OB ，
∵∠A 和∠BOC 是同圆中同弧?BC
所对的圆周角和圆心角， ∴2BOC A ∠=∠.
∵∠A =72°，∴∠BOC =144°
. ∵OB=OC ，∴CBO BCO ∠=∠.∴180144182
CBO ?-?
∠==?. 故选B .
12 . （2015?山东威海，第9 题3分）如图，已知AB =AC =AD ，∠CBD =2∠BDC ，∠BAC =44°，则∠CAD 的度数为（ ）
A ． 68°
B ． 88°
C ． 90°
D ． 112°
考点： 圆周角定理．.
分析： 如图，作辅助圆；首先运用圆周角定理证明∠CAD =2∠CBD ，∠BAC =2∠BDC ，结合已知条件∠CBD =2∠BDC ，得到∠CAD =2∠BAC ，即可解决问题． 解答： 解：如图，∵AB =AC =AD ， ∴点B 、C 、D 在以点A 为圆心，
以AB的长为半径的圆上；
∵∠CBD=2∠BDC，
∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，
∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，
∴∠CAD=88°，
故选B．
点评：该题主要考查了圆周角定理及其推论等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助圆，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
13．（2015?甘肃兰州,第9题，4分）如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB=
A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 无法确定
【答案】B
【考点解剖】本题考查了圆周角的相关知识点以及平面直角坐标系的概念
【知识准备】在同一个圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；当圆周角为直角时，其所对的弦是直径。
【解答过程】∠ACB和∠AOB都是⊙P中同一条弧所对的圆周角，所以它们相等
【归纳拓展】在其它类似题目中，我们有可能需要区分优弧和劣弧的不同；再换一种场合，如果连结AB，还有可能需要说明AB是直径，或者点P在AB上。
【题目星级】★★
14.（2015?山东临沂,第8题3分）如图A，B，C是上的三个点，若，则
等于（）
(A) 50°. (B) 80°. (C) 100°. (D) 130°.
【答案】D
【解析】
试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°－100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°.
故选D
考点：圆周角定理
15．(2015·深圳，第9题分)如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20o,则∠DBA为（）
A、o
70
60D、o
20C、o
50B、o
【答案】D
70
【解析】AB为⊙O直径，所以，∠ACB=90o，∠DBA＝∠DCA＝o
16．(2015·南宁，第11题3分)如图6，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N 是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）.
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
考点：轴对称－最短路线问题；圆周角定理．.
分析：作N 关于AB 的对称点N ′，连接MN ′，NN ′，ON ′，ON ，由两点之间线段最短可知MN ′与AB 的交点P ′即为△PMN 周长的最小时的点，根据N 是弧MB 的中点可知∠A =∠NOB =∠MON =20°，故可得出∠MON ′=60°，故△MON ′为等边三角形，由此可得出结论．
解答：解：作N 关于AB 的对称点N ′，连接MN ′，NN ′，ON ′，ON ． ∵N 关于AB 的对称点N ′，
∴MN ′与AB 的交点P ′即为△PMN 周长的最小时的点， ∵N 是弧MB 的中点， ∴∠A =∠NOB =∠MON =20°， ∴∠MON ′=60°，
∴△MON ′为等边三角形， ∴MN ′=OM =4，
∴△PMN 周长的最小值为4+1=5． 故选B ．
点评：本题考查的是轴对称﹣最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 17. （2015?四川凉山州,第10题4分）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠OBC =40°，则∠A 的度数为（ ）
图6
A．80°B．100°C．110°D．130°
【答案】D．
考点：圆周角定理．
18、（2015?四川泸州,第8题3分）如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为
A. 65°
B. 130°
C. 50°
D. 100°
考点：切线的性质．.
分析：由P A与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形P ABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
解答：解：∵P A、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=130°，
则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C．第8题图
点评：本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
19. （2015?四川眉山，第11题3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B 的度数为（）
考点：圆周角定理．.
分析：先根据OA=OC，∠ACO=45°可得出∠OAC=45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
解答：解：∵OA=OC，∠ACO=45°，
∴∠OAC=45°，
∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴∠B=∠AOC=45°．
故选D．
点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
20．（2015?甘肃武威,第8题3分）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC 的度数是（）
考点：圆周角定理．
分析：首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数．
解答：解：如图，∵∠AOC=160°，
∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，
∵∠ABC+∠AB′C=180°，
∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．
∴∠ABC的度数是：80°或100°．
故选D．
点评：此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．
二.填空题
1.（2015?福建泉州第17题4分）在以O为圆心3cm为半径的圆周上，依次有A、B、C三个点，若四边形OABC为菱形，则该菱形的边长等于3cm；弦AC所对的弧长等于2π或4πcm．
解：连接OB和AC交于点D，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA=AB=BC=OC，
∵⊙O半径为3cm，
∴OA=OC=3cm，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOC=120°，
∴==2π，
∴优弧==4π，
故答案为3，2π或4π．
2.（2015湖北鄂州第15题3分）
已知点P是半径为1的⊙O外一点，P A切⊙O于点A，且P A=1，AB是⊙O的弦，AB=，连接PB，则PB= ．
【答案】1或.
考点：1.垂径定理；2.圆的认识；3.切线的性质．
3, （2015上海,第17题4分）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点A在⊙B上．如果⊙D 与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于___________．(只需写出一个符
D C
B
A
O
【答案】15 【解析】
4．(2015?江苏南昌,第10题3分)如图，点A , B , C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ,∠A =50°,∠B =30°则∠ADC 的度数为 .
第10题
答案：解析：∵∠A =50°, ∴∠BOC =100°, ∴∠BOD =80°, ∴∠ADC =∠B ＋∠BOD =30°＋ 80°=110°
5．(2015?江苏南京,第15题3分)如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，
∠CAD =35°，则∠B +∠E = _________ °．
【答案】215．
考点：圆内接四边形的性质．
6、（2015?四川自贡,第13题4分）已知，AB 是⊙O 的一条直径 ，延长AB 至C 点，使AC 3BC =,CD 与⊙O 相切于D
点，若CD =则劣弧AD 的长为 .
考点：圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股 定理、弧长公式等.
分析：本题劣弧AD 的长关键是求出圆的半径和劣弧AD 所对的
圆心角的度数.在连接OD 后，根据切线的性质易知ODC 90∠=o ,圆的半径和圆心角的度数可以通过Rt △OPC 获得解决.
略解：连接半径OD .又∵CD 与⊙O 相切于D 点 ∴OD CD ⊥ ∴ODC 90∠=
∵AC 3BC = AB 2OB = ∴OB BC = ∴ 1
OB OC 2= 又OB OD =
∴1OD OC 2= ∴在Rt △OPC cos OD 1
DOC OC 2
∠=
= ∴DOC 60∠=o ∴AOD 120∠=o ∴在Rt △OPC 根据勾股定理可知：222OD DC OC += ∵CD ∴()2
2
2OD 2OD +
= 解得：OD 1=
则劣弧AD 的长为120OD 120123180180
πππ
????==o o o o
. 故应填 23
π
7. （2015?四川省宜宾市，第14题，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD =OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是CF ⌒的中点，弦CF 交AB 于点F 若⊙O 的半径为2，则CF = .
A
13题
13题
O
F
A
B
E
C
D
8.（2015?江苏泰州,第12题3分）如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠
A =115°，则∠BOD 等于__________°
.
【答案】150°
.
考点：1.圆内接四边形的性质；2.圆周角定理.
9.（2015?江苏徐州,第15题3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接
A C．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为4cm．
考点：垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．.
专题：计算题．
分析：连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．
解答：解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=4cm，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=22.5°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴OC=CE=4cm，
故答案为：4
点评：此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
10．（2015?四川甘孜、阿坝，第23题4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为30度．
考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理．.
分析：根据线段的特殊关系求角的大小，再运用圆周角定理求解．
解答：解：连接OC，∵弦CD垂直平分半径OA，
∴OE=OC，
∴∠OCD=30°，∠AOC=60°，
∴∠ABC=30°．
故答案为：30．
点评：本题主要是利用直角三角形中特殊角的三角函数先求出∠OCE=30°，
∠EOC=60°．然后再圆周角定理，从而求出∠ABC=30°．
11．（2015?四川广安，第12题3分）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C=
35 度．
考点： 圆周角定理．.
分析： 由A ，B ，C 三点在⊙O 上，且∠AOB =70°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案． 解答： 解：∵∠AOB =70°， ∴∠C =∠AOB =35°． 故答案为：35．
点评： 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是：熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
12．（2015?甘肃兰州,第20题，4分）已知△ABC 的边BC =4cm ，⊙O 是其外接圆，且半径也为4cm ，则∠A 的度数是____ 【 答 案 】30°
【考点解剖】本题考查同（等）弧所对圆周角和圆心角的关系，正三角形的性质 【知识准备】在同圆或等圆中，圆周角等于同弧（等弧）所对圆心角的
一半，
在同一个三角形中相等的边所对的角也相等。
【思路点拔】BC =半径，那么BC 与对应的两条半径所构成的三角形就是等边三角形，这样，自然就将构造出的圆心角与目标中的圆周角建立起了联系。
【解答过程】分别连结OB 和OC ，因为BC =OB =OC ，所以∠O =60°， 则在⊙O 中，∠A =2
1
∠B =30°. 【题目星级】★★
中考数学专题训练圆专题复习
——圆 ◆知识讲解 一．圆的定义 1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。 3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。 4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。 二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。 2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。 在等圆中，弦心距相等的弦相等。 三、圆周角 1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。 2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 四、点和圆的位置关系 1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。 则d>r ?点在圆外，d=r ?点在圆上，d 2018-2019学年初三数学专题复习圆 一、单选题 1.下列说法，正确的是( ) A. 半径相等的两个圆大小相等 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 直径不一定是圆中最长的弦 D. 圆上两点之间的部分叫做弦 2.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（） A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 3.已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，当OP＝6时，点A与⊙O的位置关系是( ) A. 点A在⊙O内 B. 点A在⊙O上 C. 点A在⊙O外 D. 不能确定 4.如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 6.一个扇形的半径为2，扇形的圆心角为48°，则它的面积为（）。 A. B. C. D. 7.钝角三角形的外心在（） A. 三角形的内部 B. 三角形的外部 C. 三角形的钝角所对的边上 D. 以上都有可能 8.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（） A. 5πcm B. 6πcm C. 8πcm D. 9πcm 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于( ) A. 6π B. 9π C. 12π D. 15π 10.直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 11.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD=OB，则∠DAC等于（） 人教版九年级数学上册圆的基本性质 点与圆的位置关系 1.决定圆的大小的是圆的_____;决定圆位置的是_____. 2.在Rt△ABC中∠C=90O,AC=4,OC=3,E、F分别为AO、AC的中点,以O为圆心、OC为半径作圆,点E在⊙O 的圆_____,点F在⊙O的圆_____. 3.如图;AB、CD是⊙O的两条直径,AE∥CD,BE与CD相交于P点, 则OP∶AE=____. 4.经过A、B两点的圆的圆心在________,这样的圆有______个. 5.如图;AB是直径,AO=,AC=⊥AB,则CD=_______. 6.一已知点到圆周上的点的最大距离为m ,最小距离为n .则此圆的半径_____. 7.有个长、宽分别为4和3的矩形ABCD,现以点A为圆心,若B、C、D至少有一个点在圆内,且至少有一个 点在圆外,则⊙A半径r 的范围是_________. 8.⊙O的半径为15厘米,点O到直线l的距离OH=9厘米,P,Q,R为l上的三个点,PH=9厘米,QH=12厘 米,RH=15厘米,则P,Q,R与⊙O的位置关系分别 为 . 9.若点A(a,-27)在以点B(-35,-27)为圆心,37为半径的圆上,a= . 10.在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,以点A为圆心作圆,若B,C,D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外, 则⊙A的半径R的取值范围是 11.在直角坐标系中,⊙O的半径为5厘米,圆心O的坐标为(-1,-4),点P(3,-1)与圆O的位置关系 是 . 12.如图⊙O是是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,D是弧AC的中点，已 知∠EAD=114O，求∠CAD在度数。 13.已知⊙O的直径为16厘米，点E是⊙O内任意一点，（1）作出过点E的最短的弦；（2）若OE=4厘米， 则最短弦在长度是多少 14.如图7-4，已知在△ABC中，∠CAB=900 ，AB=3厘米，AC=4厘米，以点A为圆心、AC长为半径画弧交CB 的延长线于点D.求CD的长。 15.试问:任意四边形的四个内角的平分线相交的四个点在同一个圆上吗又问：任意四边形各外角在平分线 所相交在四边形在同一圆上吗为什么 16.如图7-6，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，（1）已知CD=8厘米，AP:PB=1:4,求⊙O的半径；（2） 如果弦AE交CD于点F。求证：AC2=AF?AE. 17.已知四边形ABCD是菱形，设点E、F、G、H是各边的中点，试判断点E、F、G、H是否在同一个圆上， 为什么又自AC、BD的交点O向菱形各边作垂线，垂足分别为M、N、P、Q点，问:这四点在同一个圆上吗为什么 专题复习----圆 1、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D,DE ⊥AC 于 E,连接AD,则下列结论正确的个数是( ） ①AD ⊥BC ②∠EDA=∠B ③OA=1 2 AC ④DE 是⊙O 的切线 A ．1 个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个 2、如图，AB 是O ⊙的直径，AD 是O ⊙的切线，点C 在O ⊙上， BC OD ∥，23AB OD ==，,则BC 的长为（ ） A ．23 B ． 32 C D ． 2 3、如图10，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ． （1）求证：CF BF =； （2）若2AD =，⊙O 的半径为3，求BC 的长． 4、如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过A 作直线MN ，若∠MAC=∠ABC ． （1）求证：MN 是半圆的切线； （2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于G ，过D 作DE⊥AB 于E ，交AC 于F ． 求证：FD ＝FG ． （3）若△DFG 的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG 的面积． 5、如图，AB 为⊙O 的直径，D 是弧BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线BF 交AD 的 延长线于F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若DE=3，⊙O 的半径为5．求BF 的长． 6、如图， Rt ABC △中，90ABC ∠=°，以AB 为直径的O ⊙交AC 于点D ，过点D 的切线交BC 于E ． （1）求证：1 2 DE BC = ； （2）若tan 2C DE = =，求AD 的长． 7、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC ，AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 于点D ，点E 是 AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：BF BG BC ?=2 8、如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，过点C 的切线交AD 的延长线于点 中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ） 圆 一、知识点梳理 知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的； 圆又是对称图形，是它的对称中心. 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 . 例1 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是（） A．S1＜S2 B．S1＞S2 C．S1=S2 D．不确定 例3如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（） 例4车轮半径为0.3m的自行车沿着一条直路行驶，车轮绕着轴心转动的转速为100转/分，则自行车的行驶速度（） A．3.6π千米/时 B．1.8π千米/时 C．30千米/时 D．15千米/时 例5 如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 知识点4：垂径定理 垂直于弦的直径平分，并且平分； 平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 . 例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM． （1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例2在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（） A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米 例3 小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一 2018届初三数学中考复习 圆的有关性质 专项复习练习 2. 如图，AB 是OO 的直径，BOCD ^DE / C0D= 34°,则/AEO 勺度数是（） 3. 如图是以厶ABC 的边AB 为直径的半圆 Q 点C 恰在半圆上，过 C 作CD L AB 3 交AB 于 D,已知cos / AC 3 , BC= 4,贝卩AC 的长为（） 5 20 16 A. 1 B. 20 C . 3 D. § 4. 已知OO 的直径CD= 10 cm, AB 是OO 的弦，AB!CD 垂足为M 且AB= 8 cm, 则AC 的长为（） A. 2 5 cm B . 4命 cm C. 2 5 cm 或 4 5 cm D . 2 3 cm 或 4 3 cm A. 51° B. 56 5. 如图，在O Q 中，QALBC / AQB= 70°，则/ ADC 勺度数为（ 1.如图，已知O O 的半径为13,弦AB 长为24,则点O 到AB 的距离是（） C. / () D B A. 30° B . 35° C . 45° D . 70° 6. 如图，00的直径AB垂直于CD / CAB= 36°，则/ BCD勺大小是（） A. 18° B . 36° C . 54° D . 72° 7. 如图，已知OO为四边形ABCD勺外接圆，O为圆心，若/ BCD= 120°, AB= AD= 2,则00的半径长为（ 8. 如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB= CD= 0.25 米, BD= 1.5米，且AB CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（） A. 2 米 B . 2.5 米C . 2.4 米D . 2.1 米 9. 如图，AB是00的直径，弦CDLAB于点E, / CDB= 30°, O O的半径为5 cm 则圆心O到弦CD的距离为（） A 晋 B. f C. 3 D. 2、 3 3 fi R D 中考数学专题复习六 几何（圆） 【教学笔记】 一、与圆有关的计算问题（重点） 1、扇形面积的计算 扇形：扇形面积公式 21 3602 n R S lR π= = n ：圆心角 R ：扇形对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积 圆锥侧面展开图： （1）S S S =+侧表底=2 Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：2 13 V r h π= 2、弧长的计算：弧长公式 180 n R l π=； 3、角度的计算 二、圆的基本性质（重点） 1、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 2、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半； 推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）相等的圆周角所对的弧也相等。 （3）半圆（直径）所对的圆周角是直角。 （4）90°的圆周角所对的弦是直径。 注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。 3、垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论：（1）平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 （4）在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 三、圆与函数图象的综合 一、与圆有关的计算问题 【例1】（2016?资阳）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（） A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π 【解答】解：∵D为AB的中点，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC=2， ∴BC=AC?tan30°=2?=2，∴S阴影=S△AB C﹣S扇形C B D=×2×2﹣=2﹣π．故选A． 【例2】（2014?资阳）如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（） A．﹣2B．﹣2C．﹣D．﹣ 解答：连接OC， ∵∠AOB=120°，C为弧AB中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC=OB=2， ∴△AOC、△BOC是等边三角形，∴AC=BC=OA=2， ∴△AOC的边AC上的高是=，△BOC边BC上的高为， ∴阴影部分的面积是﹣×2×+﹣×2×=π﹣2， 故选A． 【例3】（2013?资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）πBππ = 、选择题： 1. 如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 3. 已知圆内接正三角形的边心距为 1，则这个三角形的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4. 如图，点 A ， B ， C ，在⊙ O 上，∠ ABO=32°，∠ ACO=38°，则∠ BOC 等于 ( 6.如图, ⊙O 是△ ABC 的外接圆 ,弦AC 的长为 3,sinB=0.75, 则⊙ O 的半径为( ) 圆 50 题 垂直，在测直径时，把 A ． O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8个单位， 12 个单位 B ． 10 个单位 C CD 是⊙ O 的两条弦，连结 AD 、BC ．若∠ BCD=70°， OF=6个单位，则圆的直径为 ( 1 个单位 D ． 15 个单位 则∠ BAD 的度数为( 2. 如图， AB 、 A ． 40° B ．50° C ． 60° D ． 70° B ．70° C ．120° D ． 140° 5. 如图 , 点 A,B,C 在⊙ O 上, ∠A=36° , ∠ C=28° , 则∠ B=( A.100 B.72 C.64 D.36 OA 、 OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持 AD 切⊙ O 于点 A ，点 C 是弧 BE 的中点，则下列结论不成立的是( B ． EC=B C C ．∠ DAE=∠ABE D ．AC ⊥OE 10. 如图 , △ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4, 以点 C 为圆心的圆与 AB 相切 ,则⊙ C 半径为( 11. 数学课上，老师让学生尺规作图画 Rt △ABC ，使其斜边 AB=c ，一条直角边 BC=a ，小明的作法如图所 示， 你认为这种作法中判断∠ ACB 是直角的依据是( ) A.4 B.3 C.2 D. OB=6cm,高 OC=8cm 则. 这个圆锥的侧面 积是 7. 如图，圆锥的底面半径 22 A.30cm 2 B.30 π cm 2 C.60 2 π cm D.120cm 9. 如图,AB 是⊙ O 的直径 ,C 、D 是⊙ O 上两点 , 分别连接 AC 、BC 、CD 、OD ．∠ DOB=140° A.20° B.30 C.40 D.70 ，则∠ ACD (= B.2.5 C.2.4 D.2.3 初中数学圆专题训练（一） （一）选择题 1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 （ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 2．下列判断中正确的是 （ ） （A ）平分弦的直线垂直于弦 （B ）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 （C ）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 （D ）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB ＝∠A ′OB ′＝60°，则 （ ） （A ）＝ （B ） ＞ （C ）的度数＝的度数 （D ） 的长度＝ 的长度 4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，的度数为60°， 的度数为100°，则∠AEC 等于 （ ） （A ）60° （B ）100° （C ）80° （D ）130° 5．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2︰3︰6，则∠D 的度数是（ ） （A ）67.5° （B ）135° （C ）112.5° （D ）110° 6．OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点，C 不与点O 重合，且以P 为圆心的圆与OC 相离，那么圆P 与OB 的位置关系是 （ ） （A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）不确定 7．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ） （A ） 21（a ＋b ＋c ）r （B ）2（a ＋b ＋c ） （C ）3 1 （a ＋b ＋c ）r （D ）（a ＋b ＋c ）r 8．如图，已知四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线MN 切圆于点B ，DC 的延长线交MN 于G ，且cos ∠ ABM ＝ 2 3 ，则tan ∠BCG 的值为……（ ） （A ） 33 （B ）2 3 （C ）1 （D ）3 9．在⊙O 中，弦AB 和CD 相交于点P ，若P A ＝3，PB ＝4，CD ＝9，则以PC 、PD 的长为根的一元二次方程为 （ ） （A ）x 2＋9 x ＋12＝0 （B ）x 2－9 x ＋12＝0 （C ）x 2＋7 x ＋9＝0 （D ）x 2－7 x ＋9＝0 10．已知半径分别为r 和2 r 的两圆相交，则这两圆的圆心距d 的取值范围是 （ ） （A ）0＜d ＜3 r （B ）r ＜d ＜3 r （C ）r ≤d ＜3 r （D ）r ≤d ≤3 r 11.两圆半径分别为2和3，两圆相切则圆心距一定为 （ ） （A ）1cm （B ）5cm （C ）1cm 或6cm （D ）1cm 或5cm 12.弦切角的度数是30°，则所夹弧所对的圆心角的度数是 （ ） （A ）30° （B ）15° （C ）60° （D ）45° 13.在两圆中，分别各有一弦，若它们的弦心距相等，则这两弦 （ ） （A ）相等 （B ）不相等 （C ）大小不能确定 （D ）由圆的大小确定 ∠PAD= （ ） 14. A.10° B.15° C.30° D.25° 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4， ∴S △CDO = 1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC 的面积S=2S △CDO =24． 2．已知 O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______； ()2如图②，若m 6=． ①求C ∠的正切值； ②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积． 【答案】()130；()2C ∠①的正切值为3 4 ；ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】 【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论； ()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结 论； ②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论． 【详解】 ()1如图1，连接OB ，OA ， 《圆》复习（2） 知识点与典型题型 知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于. 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心. 例1、(2009太原市)如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿 ? OA AB BO --的路 径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是( ) 例2、(2009荆门市)如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角， 且AE⊥BC，AF⊥CD． (1)求证：A、E、C、F四点共圆； (2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM=ND． 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的. 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是. 例3、(2008年泰州市)如图，⊿ABC内接于⊙O，AD是⊿ABC的边BC上的高，AE是⊙O 的直径，连接B E，⊿ABE与⊿ADC相似吗？请证明你的结论。 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 例4、(2008呼伦贝尔)如图：=，D E ，分别是半径OA 和OB 的 中点，CD 与CE 的大小有什么关系？为什么？ 知识点4：垂径定理 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦(不是直径)的 垂直于弦，并且平分 . 例5、(2009南宁)如图，AB O 是⊙的直径，303cm CD AB E CDB O ⊥∠=于点，°，⊙的半径为， 则弦CD 的长为( ) A ． 3 cm 2 B ．3cm C ．23cm D ．9cm 例6、(2008南通)已知：如图，M 是⌒ AB 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C ，设⊙O 的 半径为4cm ，MN ＝43cm ． (1)求圆心O 到弦MN 的距离； (2)求∠ACM 的度数． 知识点5：确定圆的条件 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的 、这个三角形是圆的 . 例7、(2009年新疆)如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点 A B C ，，，已知A 点的坐标是(35)-，，则该圆弧所在圆的圆心坐标是___________． A B C M N O · 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆． 如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆． 以下给出两种证明 法一：构造角分线 先复习两个定理 （1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则AB:AC=DB:DC． 证明：利用等积法 ，即AB:AC=DB:DC （2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则AB:AC=DB:DC． 证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD△△AED（SAS），CD=ED且AD平分△BDE，则DB:DE=AB:AE，即AB:AC=DB:DC． 接下来开始证明：如图，PA：PB=k，作△APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA:MB=PA:PB=k， 故M 点为定点，即△APB 的角平分线交AB 于定点； 作△APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA:NB=PA:PB=k ，故N 点为定点，即△APB 外角平分线交直线AB 于定点； 又△MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆． 中考专题训练 阿氏圆模型 阿氏圆（阿波罗尼斯圆）： 已知平面上两定点A 、B ，则所有满足 ） （1≠=k k PB PA 的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆. 在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A ”型相似（也叫“母子型相似”）＋两点间线段最短，解决带系数两线段之和．．．．．．．． 的最值问题. 观察下面的图形，当P 在⊙O 上运动时，用PA 、PB 的长在不断的发生变化，但PB PA 的比值却始终保持不变. 解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法. 那么如何应用“阿氏圆”的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢？我们来看一道基本题目： 例.已知∠ACB=90°，CB=4，CA=6，∠C 半径为2，P 为圆上一动点. （1）求BP AP 2 1 +的最小值为 . （2）求 BP AP +3 1 的最小值为 . A 2013中考专题复习（2） --------- 圆 1．如图，C 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，点D 在⊙O 上，且∠A=30°，∠BDC = 1 2 ABD ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若OF ∥AD 分别交BD 、CD 于E 、F ，BD =2，求OE 及CF 的长． 2. 已知：如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点, 交BD 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：AC 与⊙O 相切； （2）当BD=6，sinC=5 3 时，求⊙O 的半径． F E D C O B A A 3．如图，O ⊙的直径AB 与弦CD （不是直径）相交于点E ， 且CE DE =，过点B 作CD 的平行线交AD 延长线于点F ． （1）求证：BF 是O ⊙的切线； （2）连结BC ，若O ⊙的半径为4，3 sin 4 BCD ∠=，求CD 的长． 4．已知：如图，在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30o， D 是AB 边上一点，以AD 为直径作⊙O 恰过点C ． （1）求证：BC 所在直线是⊙O 的切线；（2）若AD ＝，求弦AC 的长． 5．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，交AB 的延长线于点E ． ⑴求证：直线DE 是⊙O 的切线； ⑵当cos E =5 4 ，BF =6时，求⊙O 的直径． E F D O A B C 6．如图，已知直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，过点C 作CD ⊥P A 于D ． （1） 求证：CD 是⊙O 的切线； （2） 若AD ：DC =1：3，AB =8，求⊙O 的半径． 7.如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于D 、E 两点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F . （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）若AE = DE ，DF =2，求⊙O 的半径. 8．如图，四边形ABCD 内接于 O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥于点E ，DA 平分 BDE ∠． （1）求证：AE 是圆O 的切线； （2）如果AB =4，AE =2，求O 的半径． 2020中考数学 专题练习：圆的综合题（含答案） 类型一 与全等结合 1. 如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝ 2.过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵ 上一动点(不与A 、C 重合)． (1)求∠APC 与∠ACD 的度数； (2)当点P 移动到劣弧CB ︵ 的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等． 第1题图 (1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝1 2 AB ＝2， ∴AC ＝OA ＝OC ， ∴△ACO 为等边三角形， ∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°， ∴∠APC ＝1 2∠AOC ＝30°， 又∵DC 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥DC ， ∴∠DCO ＝90°， ∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°； 第1题解图 (2)证明：如解图，连接PB ，OP ， ∵AB 为直径，∠AOC ＝60°， ∴∠COB ＝120°， 当点P 移动到CB ︵ 的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°， ∴△COP 和△BOP 都为等边三角形， ∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ， ∴四边形OBPC 为菱形； (3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径， ∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°， 在Rt △ABC 与Rt △CPA 中， ? ????AB ＝CP AC ＝AC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △CPA (HL)． 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ，CO 的延长线交⊙O 于点M ，连接BD 、DM . (1)求证：AC ＝DC ； (2)求证：BD ∥CM ； (3)若sin B ＝4 5 ，求cos ∠BDM 的值． 第2题图 (1)证明：如解图，连接OD ， 中考专题复习圆的综合题 1．如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ． （1）求证：CA 是圆的切线； （2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =3 2，tan ∠AEC =35 ，求圆的直径． 2. 如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点 C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作C D ⊥PA ，垂足为D 。 (1)求证：CD 为⊙0的切线； (2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度. 3．（已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，以AB 为直径在正方形内作半圆，P 是半圆上的动点（不与点 A 、 B 重合），连接PA 、PB 、P C 、P D ． (1)如图①，当PA 的长度等于 ▲ 时，∠PAB ＝60°； 当PA 的长度等于 ▲ 时，△PAD 是等腰三角形； (2)如图②，以AB 边所在直线为x 轴、AD 边所在直线为y 轴， 建立如图所示的直角坐标系（点A 即为原点O ），把△PAD 、 △PAB 、△PBC 的面积分别记为S 1、S 2、S 3．坐标为（a ，b ）， 试求2 S 1 S 3－S 22的最大值，并求出此时a ，b 的值． 4、 5．如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB ⌒上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点． （1）求证：PM＝PN； （2）若BD＝4，PA＝3 2 AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长． 6．（如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线. 一、河南省近4年中招圆专题 1. 河南省 2010 年中招 11．如图，AB 切⊙O 于点A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 是CmA 上异于点C 、A 的一点，若∠ABO =32°， 则∠ADC 的度数是 _____________ ． 14．如图矩形 ABCD 中，AD =1，AD =，以 AD 的长为半径的⊙A 交 BC 于点 E ，则图中阴影部分的 面积为 ________________________ ． 2. 河南省 2011 年中招 10. 如图，CB 切⊙O 于点B ，CA 交⊙O 于点 D 且 AB 为⊙O 的直 径， 点 E 是?ABD 上异于点 A 、D 的一点.若∠C=40°，则∠E 的度数 3. 河南省 2012 年中招 8．如图，已知AB 为⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A, E ?C = C ?B ，则下列结论不一定正确的是【 】 4. 河南省 2013 年中招 7. 如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB ⊥CD 于点G ，直线EF 与⊙O 相切于点 D ，则下列结论中不一定正确的是 A. AG =BG B. AB //EF C. AD //BC 专题训练 A ．BA⊥DA B ．OC∥AE C ．∠COE=2∠CAE D ．OD⊥AC D. ∠ABC =∠ADC 第 11 题） 2. （2013 湖北省咸宁市，1，3 分）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3 ， ⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ （点 Q为切点），则切线PQ的最小值为． 3.（2011 浙江台州，10,4 分）如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线 l 的距离为3 ，点P 是直线l 上的一个动点，PB 切⊙ O 于点B ， 则PB 的最小值是（） A. 13 B. 5 C. 3 D.2 4. （2007?常州）如图，在△ ABC中，AB=10，AC=8 ，BC=6， 经过点C 且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点 P、Q，则线段PQ长度的最小值是（） A.4 2 B.4.75 C.5 D.4.8 二、圆中阴影面积计算专题 1.（2012广东汕头4分）如图，在□ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A 为圆心，AD 的长为 半径画弧交 AB 于点E，连接CE，则阴影部分的面积是结果保留 π）． 2. （宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相 切，D 为切点，且MN∥AB，MN＝a，ON、CD 分别为两圆的半径，求 阴影部分的面积． 2006-2015武汉中考圆专题 (06年中考)1、已知：OA 、OB 是⊙O 的半径，且OA ⊥OB ，P 是射线OA 上一点(点A 除外)，直线BP 交⊙O 于点Q ，过Q 作⊙O 的切线交直线OA 与点E 。 （1）如图①，若点P 在线段OA 上，求证：∠OBP +∠AQE =45°； （2）若点P 在线段OA 的延长线上，其它条件不变，∠OBP 与∠AQE 之间是否存 在某种确定的等量关系？请你完成图②，并写出结论(不需要证明)。 (07年中考)2、如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。以BC 为直径作⊙ O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。 (1)求证：直线EF 是⊙O 的切线； (2)求sin ∠E 的值。 A A B B O O P P E Q 第1题图 图① 图② A B D C E F G O (第22题 (08年中考)3、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．⑴求证：DE 是⊙O 的切线；⑵若 35AC AB =，求 AF DF 的值。 22.⑴略；⑵85 (09年中考)4、如图，中，，以为直径作交边于点，是边的中点，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）连接交于点，若，求的值． 22．证明：（1）连接． 是的直径，， 点是的中点，． ． 直线是的切线． （2）作于点， Rt ABC △90ABC ∠=°AB O ⊙AC D E BC DE DE O ⊙OC DE F OF CF =tan ACO ∠OD OE BD 、、AB O ⊙90CDB ADB ∴∠=∠=°E BC DE CE BE ∴==OD OB OE OE ODE OBE ==∴，，△≌△90ODE OBE ∴∠=∠=∴°，DE O ⊙OH AC ⊥H F E D C B A O C E B A O F D 中考复习专题圆综合集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN# 中考复习专题（六）——圆综合专训 题型一：圆与直线 1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作EF ⊥AC 于点 E ，交AB 的延长线于点 F ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）如果∠A ＝60o ，则DE 与DF 有何数量关系请说明理由； （3）如果AB ＝5，BC ＝6，求tan ∠BAC 的值． 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o ，以AC 为直径作⊙O ，交AB 于D ，过点O 作OE ∥AB ，交BC 于E 。 （1）求证，ED 为⊙O 的切线； （2）如果⊙O 的半径为 2 3 ，ED=2，延长EO 交⊙O 于F ，连接DF 、AF 求△ADF 的面积。 3.（2012，兰州）如图，Rt△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE 、OE ． （1）判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由； （2）若tan C ＝ 5 2 ，DE ＝2，求AD 的长． 4.（2010兰州）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）求证：1 2 BC AB ； （3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求 MN ·MC 的值. 5. 如图，梯形ABCD 是等腰梯形，且AD ∥BC ，O 是腰CD 的中点，以CD 长为直径作圆，交BC 于E ，过E 作EH ⊥AB A B C E O D 2008年中考总复习专题训练(圆) 一、选择题（每小题3分，共45分） 1．在△ABC 中，∠C=90°，AB ＝3cm ，BC ＝2cm,以点A 为圆心，以2.5cm 为半径作圆，则点C 和⊙A 的位置关系是（ ）。 A ．C 在⊙A 上 Ｂ．C 在⊙A 外 C ．C 在⊙A 内 Ｄ．C 在⊙A 位置不能确定。 2．一个点到圆的最大距离为11cm ，最小距离为5cm,则圆的半径为（ ）。 A ．16cm 或6cm Ｂ．3cm 或8cm C ．3cm Ｄ．8cm 3．AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝80°则弦AB 所对的圆周角是（ ）。 A ．40° Ｂ．140°或40° C ．20° Ｄ．20°或160° 4．O 是△ABC 的内心，∠BOC 为130°，则∠A 的度数为（ ）。 A ．130° Ｂ．60° C ．70° Ｄ．80° 5．如图1，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，已知∠A = 100°，∠C = 30°， 则∠DFE 的度数是（ ）。 A ．55° Ｂ．60° C ．65° Ｄ．70° 6．如图2，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A 、B 、C 、D 处各有一棵树， 且AB=BC=CD=3米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（ ）。 A ． A 处 B ． B 处 C ．C 处 D ．D 处 图1 图2 7．已知两圆的半径分别是2和4，圆心距是3，那么这两圆的位置是（ ）。 A ．内含 Ｂ．内切 C ．相交 Ｄ． 外切 8．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（ ）。 Ａ．10π B ．12π Ｃ．15π Ｄ．20π 9．如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n 的值是 （ ）。 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 10．下列语句中不正确的有（ ）。 ①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧 A ．3个 Ｂ．2个 C ．1个 Ｄ．4个 11．先作半径为2 3的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，再作上述外接圆的外切正六边形，…，则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为（ ）。2019年中考数学圆专题复习试卷含详解
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