2016-2017学年安徽省阜阳市临泉县第一中学高二1月学科竞赛数学(文)试卷(带解析)

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2016-2017学年安徽省阜阳市临泉县第一中学高二1月学科竞

赛数学（文）试卷（带解析）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、选择题

1．已知命题“若，则q”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（）

A. 若q，则p

B. 若?p，则?q

C. 若?q，则?p

D. 若p，则?q

2．已知抛物线的焦点坐标是(0,?2)，则该抛物线的标准方程是（）

A. x2=?8y

B. x2=8y

C. y2=?8x

D. y2=8x

3．双曲线x2

4

?y2=1的渐近线方程为（）

A. y=±2x

B. y=±5

2x C. y=±1

2

x D. y=±25

5

x

4．等差数列{a n}中，a3=3，a2+a10=18，则数列{a n}的公差为（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

5．下列命题中是假命题的是（）

A. 对任意x∈R，3x>0

B. 对任意x∈(0,+∞)，x>sin x

C. 存在x0∈R，使log2x0=0

D. 存在x0∈R，使sin x0+cos x0=2

6．在ΔA B C中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=2B，则a等于（）

A. 2b cos B

B. 2b sin B

C. 2b cos A

D. 2b sin A

7．若等比数列{a n}各项都是正数，a1=3，a1+a2+a3=21，则a4+a5+a6的值为（）A. 42 B. 63 C. 84 D. 168

8．“a=0”是“函数y=e|x?a|为偶函数”的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

9．函数y=f(x)的图像如图所示，则y=f′(x)的图像可能是（）

A. B. C. D.

10．变量x,y满足约束条件{

y≥?1 x?y≥2

3x+y≤14

，若使z=a x+y取得最大值的最优解不唯一，

则实数a的取值集合是（）

A. {?3,0}

B. {3,?1}

C. {0,1}

D. {?3,0,1}

11．直线y=a分别与直线y=2x+2，曲线y=x+ln x交于点A、B，则|A B|的最小值为（）

A. 3

B. 2

C. 32

4D. 3

2

12．若函数f(x)={a x+a,x≤0

x ln x,x>0的图像上有且仅有两对点关于原点对称，则实数a的取

值范围是（）

A. (1,+∞)

B. (0,1)∪(1,+∞)

C. (0,1

e ) D. (0,1

e

)∪(1,e)

第II卷（非选择题）

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二、填空题

13．椭圆x__________．

14．在ΔA B C中，A=π

3

，A B=4，ΔA B C的面积为23，则a=__________．

15．不等式x(sin x?2)

2x?1

≥0的解集为__________．

16．若直线x

a +y

b

=1(a>0,b>0)过点(1,1)，则a+b+3b

a

的最小值等于__________．

三、解答题

17．某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：

（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x,y吨，试写出关于x,y的线性约束条件并画出可行域；

（2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.

18．在ΔA B C中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m=(cos A,cos B)，n=(a,2c?b)，且m//n.

（1）求角A的大小；

（2）若a=2，求ΔA B C面积的最大值.

19．已知函数f(x)=ax3+bx2?3x+d在x=±1处取得极值.

（1）判断f(1)和f(?1)是函数y=f(x)的极大值还是极小值，并说明理由；

（2）若函数y=f(x)有三个零点，求d的取值范围.

20．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n=n(a n?n+1)(n∈N?).

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）求数列{21?n a n}的前n项和.

21．已知E(2,2)是抛物线C:y2=2p x上一点，经过点D(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点（不同于点E），直线E A,E B分别交直线x=?2于点M,N.

（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；

（2）已知O为原点，求证：∠M O N为定值.

22．已知函数f(x)=ax2+x+1

e x

.

（1）讨论函数y=f(x)的单调性；

（2）若对任意的x∈[0,+∞)，均有f(x)≤1，求实数a的范围.

参考答案

1．C

【解析】

解析：依据原命题与逆否命题的等价性可知：命题“若p ，则q ”的逆否命题“若?q ，则?p ”是真命题，故应选答案C 。

2．A

【解析】解析：因p 2=2?p =4，且焦点在y 轴上，故其标准方程为x 2=?8y ，应选答案A 。 3．C

【解析】

解析：由x 24?y 2=0可得双曲线的渐近线方程为y =±12x ，应选答案C 。 4．B

【解析】解析：因a 2+a 10=2a 6=18，故a 6=9，则3d =a 6?a 3=9?3=6?d =2，应选答案B 。

5．D

【解析】

解析：因sin x 0+cos x 0= 2sin (x 0+π4)≤ 2，故答案D 是不正确的，应选答案D 。

6．A

【解析】

解析：因A =2B ?sin A =sin 2B ?sin A =2sin B cos B ，故由正弦定理可得a =2b cos B ，应选答案A 。

7．D

【解析】因a 1+a 2+a 10=a 1(1+q +q 2)=21，故1+q +q 2=7，即q 2+q ?6=0，解q =2,q =?3（舍去），则a 4+a 5+a 6=a 1q 3(1+q +q 2)=3×8×7=168，应选答案D 。 点睛：设置本题的目的旨在考查等比数列的通项公式等基础知识及整体代换的思维方法的等思想哈方法的综合运用。求解时，先依据题设建立方程1+q +q 2=7求出公比q =2，再将1+q +q 2=7及公比q =2整体代入a 4+a 5+a 6=a 1q 3(1+q +q 2)=3×8×7=168，最终使得问题巧妙获解。

8．C

【解析】解析：若a =0，则y =e |x |是偶函数，“a =0”是“函数y =e |x ?a |为偶函数”的充分条件；若函数y =e |x ?a |为偶函数，则对称轴为x =0，即x =a =0，则“a =0”是“函数y =e |x ?a |为偶函数”的必要条件，应选答案C 。

9．D

【解析】解析：因函数y =f (x )在(?∞,0)单调递增，故y =f /(x )>0，其图像应在y 轴的上方；又因函数y =f (x )在(0,+∞)单调递减，故y =f /(x )<0，其图像应在y 轴的下方，应选答案D 。

10．B

【解析】

解析：若a =0，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B 。

11．D

【解析】

解析：因A (a ,2a +2),B (a ,a +ln a )，故|A B |=|2+x ?ln x |，因x >0时， x +2>ln x ，所以

|A B |=2+x ?ln x ，令 /(x )=1?1x =x ?1x ，则当x ∈(0,1)时， /(x )<0，函数 (x )单调递减；则当x ∈(1,+∞)时， /(x )>0，函数 (x )单调递增，故当x =1时函数 (x )取最小值 min (x )= (1)=3，应选答案D 。

12．B

【解析】解析：因函数y =a x +a 关于原点对称的解析式是y =?a x +a ，故问题转化为函数y =?a x +a 的图像与y =x ln x 的图像有且仅有两个不同交点。由y =?a x +a 的图像与y =x ln x 的图像都经过点A (1,0)，故当a =1时，两函数的图像只有一个交点；当a ≤0时，两函数的图像也只有一个交点；故a >0且a ≠1，应选答案B 。

点睛：由于函数y =a x +a 的图像是函数y =f (x )图像上一部分，因此问题转化为求函数y =a x +a 的其于原点对称的函数解析式是y =?a x +a ，再转化为函数y =?a x +a 的图像与y =x ln x 的图像有且仅有两个不同交点，然后以此为前提分析推证判断，使得问题巧妙获解。 13． 32

【解析】

解析：由题设可得x 2+

y 214=1，故a =1,b =12?c = 32，则e = 32，应填答案 32。 14．2 3

【解析】解析：由题设可得S Δ=12b c sin A =2 3，即12×4b × 32=2 3?b =2，故由余弦定理可得a = 16+4?2×4×2×12=2 3，应填答案2 3。

15．[0,12)

【解析】

解析：因sin x <2，故原不等式可化为x (2x ?1)≤0且2x ≠1，解之得0≤x <12，应填答案[0,12)。 16．6

【解析】解析：由题设可得1a +1b =1，则b =a a ?1，故a +b +3b a =a ?1+4

a ?1+2≥4+2=6，应填答案6。

17．（1）见解析; （2）18.

【解析】

（1）由题意可列{3x +2y ≤2x +2y ≤8x ≥0y ≥0

，其表示如图阴影部分区域：

（2）设该企业每天可获得的利润为z 万元，则z =3x +4y .

当直线3x+4y?z=0过点A(2,3)时，z取得最大值，所以z max=3×2+4×3=18.

即该企业每天可获得的最大利润18万元. 18．（1）A=π

3

;（2）3.

【解析】

（1）由m//n得，(2c?b)cos A?a cos B=0，

由正弦定理可得，(2sin C?sin B)cos A?sin A cos B=0，2sin C cos A?sin(A+B)=0，

2sin C cos A?sin C=0，

cos A=1

2

，又A∈(0,π)，

∴A=π

3

.

（2）ΔA B C的面积S=1

2b c sin A=3

4

b c.

由已知及余弦定理，得4=b2+c2?2b c cosπ

3

=b2+c2?b c.

又b2+c2≥2b c，

故b c≤4，当且仅当b=c时，等号成立.

因此ΔA B C面积的最大值为3.

19．（1）见解析; （2）?2

【解析】（1）f′(x)=3ax2+2b x?3，

所以f′(1)=3a+2b?3，①

f′(?1)=3a?2b?3，②

解由①、②组成的关于的a,b方程组，得a=1，b=0.

由f′(x)=0，得x1=?1，x2=1.

当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下：

根据上表知，f(?1)=2+d是极大值；f(1)=d是极小值.

（2）依题意，f(?1)f(1)=(2+d)d<0，解得?2

20．（1）a n=2n?1;（2）T n=6?2n+3

2n?1

.

【解析】（1）当n≥2时，a n=S n?S n?1=na n?(n?1)a n?1?2(n?1)，得a n?a n?1=2.

所以数列{a n}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列.

所以a n=2n?1.

（2）设数列{21?n a n}的前n项和为T n，

则T n=a1+a2

2+?+a n

2n?1

，

T n 2=a 12+a 24+?+a

n 2n . 两式相减得，T n 2=a 1+a 2?a 12+?+a n ?a n ?12n ?1?a n

2n =1+2(12+14+?+12n ?1)?2n ?1

2n =3?2n +3

2n ，

所以T n =6?2n +3

2n ?1，

综上，数列{21?n a n }的前n 项和为T n =6?

2n +3

2n ?1 21．（1）y 2=2x ， (12,0)， x =?12;（2）∠M O N 为定值π2.

【解析】

（1）将E (2,2)代入y 2=2p x ，得p =1，

所以抛物线方程为y 2=2x ，焦点坐标为(12,0)，准线方程为x =?12. （2）设A (y 1

22,y 1)，B (y 2

22,y 2)，M (x M ,y M )，N (x N ,y N )，

设直线l 方程为x =m y +2，

与抛物线方程联立得到{x =m y +2y 2=2x

，消去x ，得： y 2?2m y ?4=0，

则由韦达定理得：

y 1y 2=?4，y 1+y 2=2m .

直线A E 的方程为：y ?2=y 1?2y 122?2(x ?2)，即y =2

y 1+2(x ?2)+2， 令x =?2，得y M =

2y 1?4y 1+2， 同理可得：y N =2y 2?4

y 2+2，又O M =(?2,y m )，O N =(?2,?4y m

)， O M ?O N =4+y M y N =4+

4(y 1?2)(y 2?2)(y 1+2)(y 2+2) =4+4[y 1y 2?2(y 1+y 2)+4][y 1y 2+2(y 1+y 2)+4]

=4+

4(?4?2m +4)4(?4+2m +4) =0.

所以O M ⊥O N ，即∠M O N 为定值π2.

22．（1）见解析; （2）a ≤12.

【解析】（1）f ′(x )=(2a ?1)x ?ax 2e x

， 当a =0时，f ′(x )=?x e x ，由f ′(x )≥0得x ≤0，所以函数y =f (x )的单调递增区间为(?∞,0]；

当a ≠0时，f ′(x )=?a x (x ?2a ?1a )e x .

若a>1

2，由f′(x)≥0得0≤x≤2a?1

a

，所以函数y=f(x)的单调递增区间为[0,2a?1

a

]；

若a=1

2

，由f′(x)≤0，所以函数y=f(x)的不存在单调递增区间；

若0

2，由f′(x)≥0得2a?1

a

≤x≤0，所以函数y=f(x)的单调递增区间为[2a?1

a

,0]；

若a<0，由f′(x)≥0得x≤0或x≥2a?1

a

，所以函数y=f(x)的单调递增区间为(?∞,0]，

[2a?1

a

,+∞).

（2）f(x)≤1?e x?ax2?x?1≥0，

令g(x)=e x?ax2?x?1，则g(0)=0，g′(x)=e x?2a x?1.

g′(0)=0，g′′(x)=e x?2a，令g′′(x)>0，即e x>2a，下面进行分类讨论：

当a≤0时，g′′(x)>0，∴g′(x)单调递增. ∴g′(x)>g′(0)=0.

∴g(x)单调递增，g(x)>g(0)=0，满足条件.

当a>0时，x>ln2a，

①当ln2a≤0?0

2

时，x>ln2a恒成立，即g′′(x)恒大于零，则：

g′(x)单调递增，∴g′(x)>g′(0)=0.

∴g(x)单调递增，f(x)>f(0)=0，满足条件.

②当ln2a>0?a>1

2

，则x∈(0,ln2a)时，g′′(x)<0，即g′(x)在(0,ln2a)单调递减，

∴g′(x)

综上所述：a≤1

2

时，g(x)≥0恒成立.