4.用圆锥曲线的定义解题
利用圆锥曲线的定义解题
甘肃武威第六中学 董晖 733000
考查平面解析几何的题目中，圆锥曲线的题目占重要位置，重点考查椭圆、双曲线、抛物线的相关内容．其中利用椭圆、双曲线、抛物线的定义解题，能够考查学生对基本知识,基本方法,基本技能的理解、掌握和应用情况，所以在高考中出现的可能性比较大，并且有些题目用定义解题，步骤也会简化．圆锥曲线的定义如下：
椭圆的第一定义；平面内与两个定点F 1和F 2的距离的和等于定长2a （定长大于两定点间的距离｜F 1F 2｜）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1和F 2叫做焦点，两定点间的距离｜F 1F 2｜叫做焦距。 即 椭圆的第二定义：平面内到定点与到定直线的距离之比为常数（常数小于1且大于0）的点的轨迹叫椭圆。
双曲线的第一定义；平面内与两个定点F 1和F 2的距离的差的绝对值等于定长2a （定长小于两定点间的距离｜F 1F 2｜）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点F 1和F 2叫做焦点，两定点间距离｜F 1F 2｜叫做焦距。即 双曲线的第二定义：平面内到定点与到定直线的距离之比为常数（常数大于1）的点的轨迹叫双曲线。
抛物线的定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线 L （F 不在定直线 L 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线L 就是该圆锥曲线的准线。
圆锥曲线的共同定义：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线 L （F 不在定直线 上）的距离之比是一个常数e 。这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线L 就是该圆锥曲线的准线。
在学习圆锥曲线中，首先要抓住定义，只有真正理解和掌握了定义，才能找到解题思路，避免走入死胡同。
一、选择题中定义的利用
例1：椭圆12
622=+y x 和双曲线1322
=-y x 的公共焦点为F 1、 F 2，P 是两曲线的一个交点，那么cos ∠F 1PF 2的值是
( ) A. 31 B. 32 C. 37 D. 4
1 解：由条件知，|PF 1|＋|PF 2|＝2
6 ， |PF 1|－|PF 2|＝2 (不妨设|PF 1|>|PF 2|)， ∴|PF 1|＝ 36+ ，|PF 2|＝36- ，
又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝
31321618=?- . 答案：A
分析：部分学生拿到题目，没有多考虑，直接计算PF 1|、PF 2|，不仅思路混乱，而且计算量较大，浪费了许多时间。如果用椭圆和双曲线的定义，解题过程会大大简化。
)
2(22121F F a a MF MF >=+)
20(22121F F a a MF MF <<±=-
例2 设F 1、F 2为椭圆两焦点，点P 是以F 1，F 2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则椭圆离心率为（ ）. A 32 B 36 C 22 D 2
3 解:P 在以F 1F 2为直径的圆上，则∠F 1PF 2=90?，
而∠PF 1F 2=5PF 2F 1，∴ ∠PF 1F 2=75?，
∠PF 2F 1=15?，∴ ，
， 而|PF1|+|PF 2|=2a,∴
分析：如果直接把目光放在离心率的计算式上，没办法入手，此题借助正弦定理，巧遇椭圆定义，就会迎刃而解。
例3 F 1、F 2为椭圆两个焦点，Q 为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F 1QF 2的外角平分线的垂线，垂足为P ，则P 点轨迹为（ ）.
A 圆
B 椭圆
C 双曲线
D 抛物线
解:延长F 2P 交F 1Q 的延长线为M ，由椭圆定义及角平分线，∵
∴ |F 1Q|+|MQ|=|F 1M|=2a,则点M(x 0,y 0)的轨迹方程为 ① 设P 点坐
标(x, y), ∵ P 为F 2M 中点，
∴ ， 代入①，得 (2x-c+c)2+(2y)2=4a 2, ∴ x 2+y 2=a 2
分析：许多同学遇到这种题目，一个字，就是“难” ．但是你仔细作图观察，利用椭圆定义及角平分线，难题就不难了。
二、填空题中定义的利用
例1 抛物线x 12y 2=上与焦点的距离等于9的点的坐标＿＿。
解：设待求点的坐标为（x 0，,y 0），由抛物线的定义得，x 0+3=9，解得x 0=6，代入抛物线方程得y 0=26±，所以满足条件的点为（6，-26），（6，26）。
答案 ：（6，-26），（6，26）
分析：此题目如果直接设点，然后解方程组，运算量较大，利用抛物线的定义，转化条件，可以减少运算量。
例2 双曲线的虚轴长为4，离心率 2
6=e ，F 1、F 2分 别是它的左，右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB|是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB|=＿＿ 021020190sin ||75sin ||15sin ||F F PF PF ==1275
sin 15sin ||||0021c PF PF =++3675sin 15sin 100=+=a c ???==+||||2||||221MQ Q F h Q F Q F ???=-=???
????+=+=y y c x x y y x c x 222020*********)(a y c x =++
解:利用双曲线定义， ∵ AB 在左支上，∴|AF 2|-|AF 1|=2a, |BF 2|-|BF 1|=2a ∴ |AF 2|+|BF 2|-(|AF 1|+|BF 1|)=4a, 又∵ 2|AB|=|AF 2|+|BF 2|, |AF 1|+|BF 1|=|AB|
∴ 2|AB|-|AB|=4a. |AB|=4a,而 得， ∴ 答案 ：28 分析：此题两次应用双曲线的定义，结过恰当组合，有了题中条件，很容易得出结论。
例3 双曲线 12222=-b
y a x 的左支上一点P ，⊙O‘为ΔPF 1F 2的内切圆，则圆心O‘的横坐标为＿＿.
解:设PF 1，PF 2，F 1F 2与内切圆⊙O'的切点分别为M ，N ，Q ，由双曲线定义，
∵ |PF 2|-|PF 1|=2a, ∴ |PN|+|NF 2|-(|PM|+|MF 1|)=2a,
而 |DN|=|PM| ，|MF 1|=|QF 1|, |NF 2|=|QF 2| ∴ |QF 2|-|QF 1|=2a 又 |QF 2|+|QF 1|=2c,∴ |QF 2|=a+c=c-x Q , ∴ x Q =-a, ∵O'Q ⊥F 1F 2, ∴x Q‘ =x Q =-a ，
答案 ： -a
分析：上述解法，用双曲线定义，步骤清楚简单，何乐而不为。
三、解答题中定义的利用
例1：设点F(2,0)，动点P 到y 轴的距离为d ，求满足条件|PF|－d ＝2的点P 的轨迹方程． 解：由题意，得|PF|＝2＋d ，
当P 在y 轴右侧时，可转化为|PF|＝x ＋2，
即点P 到定点F 的距离等于到定直线l ：x ＝－2的距离，
∴点P 在抛物线y 2＝8x 上．
当P 在y 轴左侧时，|PF|＝2－x ，
即点P 到F(2,0)的距离等于P 到直线x ＝2的距离，
从而有y ＝0(x<0)，
综上可知所求轨迹方程为y 2＝8x(x ≥0)和y ＝0(x<0)
变式：一动圆与圆x 2＋y 2＋6x ＋5＝0外切，同时过点(3,0)，求动圆圆心M 的轨迹方程． 解：x 2＋y 2＋6x ＋5＝0配方得：(x ＋3)2＋y 2＝4.
设圆心为A.则A 点坐标为(－3,0)．(3,0)为点B ，动圆半径为R ，则由此得：
|MB|＝R ，|MA|＝R ＋2.
因此：|MA|－|MB|＝2＜|AB|＝6.
故M 点轨迹为双曲线的右支，且2a ＝2,2c ＝6.
即a ＝1，c ＝3，b ＝2 2 ，因此其方程为：
x 2
－ 82
y ＝1(x ≥1). 例1 和变式题，都是用定义得出轨迹方程的，从这两道题，可以深深体会到定义的重要性。
???
????+===2
222642b a c a c b 28||=AB
例:2:设椭圆与双曲线有共同的焦点12(4,0),(4,0)F F -，并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，求椭圆与双曲线交点的轨迹.
解: 设椭圆与双曲线的交点(,)P x y ,
由椭圆与双曲线的定义及已知条件,可得
12122PF PF PF PF +=-即122133PF PF PF PF ==或
将点(,)P x y 代入,化简可得
2222(5)9(5)9x y x y ++=-+=或故所求轨迹为圆心在(5,0)，
半径为3的圆，除去(2,0)和(8,0)两点；或圆心在(－5，0)，半径为3的圆，除去(－2，0)和(－8，0)两点. 分析: 利用圆锥曲线的定义,充分挖掘几何条件来列方程往往可以使过程变得简洁. 总之，圆锥曲线的定义，始终是高考的重点，学生学习的要点，解题的依据。
发表于《数学学习与研究》2012.23
圆锥曲线解题技巧
圆锥曲线：概念、方法、题型、及技巧总结 1.圆锥曲线的定义： （1）定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如 （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ． 421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （2）方程8=表示的曲线是_____ 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？ 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是 ___ （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？ 如（1）双曲线的离心率等于2 5，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______ （2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______ （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]-完整
圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2 y x +的最小值是___） （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方 程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ， 则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答： )2 3 ,1()1,(Y --∞） （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两 个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，
圆锥曲线解题技巧经典实用最新
圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如 （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．4 21=+PF PF B ．621=+PF PF C ．10 21=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ） ； （2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左 支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）? { cos sin x a y b ??==（参数方程， 其中?为参数），焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭 圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答： 11 (3,)(,2)22 ---） ； （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2y x +的最小值是 ___2） （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1 （0,0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ， B 异号
利用圆锥曲线的定义解题
利用圆锥曲线的定义解题 圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线。圆锥曲线的定义是整章内容的理论基础。圆锥曲线的很多问题都与定义紧密相连，圆锥曲线的定义渗透在圆锥曲线的各个方面。因此合理应用定义是寻求解题捷径的一种重要方法，灵活运用圆锥曲线的定义常常会给解题带来极大方便，产生一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的美好感觉.我认为在本章的教学中应强化定义的教学，积极主动地培养学生应用定义解题的意识。本文通过下面几个方面的问题谈谈如何利用圆锥曲线的定义解题。 1.利用定义法求值 例1.（1）从双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为（） A.|MO|-|MT|>b-a B.|MO|-|MT|=b-a C.|MO|-|MT|b>0）.因为离心率为22， 所以22=1-b2a2，解得b2a2=12，即a2=2b2. 又△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+BF1+BF2+AF2 =（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=2a+2a=4a， 所以4a=16，a=4，所以b=22，所以椭圆方程为x216+y28=1. 2、利用定义法求最值 例2.（1）（2009·四川）已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（） A.2 B.3 C.115 D.3716 解析：直线：x=-1为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点F（1，0）的距离，故本题化为在抛物线上找一个点P，使得P到点F（1，0）和直线的距离之和最小，最小值为F（1，0）到直线4x-3y+6=0的距离，即= =2，故选A. （2）. 定长为3的线段AB的两端点在抛物线上移动，AB的中点为M，求M到y轴的最短距离，并求点M的坐标。
圆锥曲线解题技巧和方法综合
（本文有两套教案，第一套比较笼统，第二套比较好） 圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11， (,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意 斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点， ∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 210=+>+=()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 （1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。 最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x 、y 的范围； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、借助均值不等式求最值。 典型例题 已知抛物线y 2 =2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ， |AB|≤2p （1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。
巧用圆锥曲线定义解题教学设计
巧用圆锥曲线定义解题(教学设计) 南浔中学沈爱华 一、教材分析：圆锥曲线作为高中数学的一个重要内容，是历年高考的必考点，同时它又是高中数学各骨干知识的交汇点，与函数、平面向量、方程、不等式、三角函数等均有紧密联系。圆锥曲线的定义是根本，是相应标准方程和几何性质的“源”，不能正确的理解定义，对圆锥曲线方程和几何性质就不能深入。而且圆锥曲线的定义反映着它特有的几何特征，这些定义在解题中起着不可忽视的作用。对圆锥曲线的定义的教学我们往往注重它的理解而忽略它的运用，恰当地运用定义解题，有助于使问题得到更清晰、简洁的解决。同时理解圆锥曲线的定义，是学生掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和几何性质的基础；熟练运用定义解题，可以培养学生运用方程研究曲线几何性质的能力。 二、学生情况分析：作为普通中学的高三学生，对圆锥曲线的定义已有一定的理解，但在运用圆锥曲线定义解题的方法、题型没有掌握好，圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象。恰当地利用定义解题, 许多时候能以简驭繁。因此,在高三数学复习课的教学过程中，我认为有必要再一次回到定义,熟悉“巧用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略。 三、设计思想：由于这部分知识较为抽象,难以理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,我首先复习圆锥曲线的定义，使学生进一步理解定义；然后有意识地引导学生运用定义解题来分类研究学习，利用一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥.引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,以使学生提高运用知识解决问题的能力。 四、教学目标：1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、渐近线等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高学生分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．借助导学案辅助教学,激发学生学习数学的兴趣。在课堂教学氛围中,努力培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神. 五、教学重点：圆锥曲线定义的理解，运用该定义解题的方法与题型的掌握。 六、教学方法：讲授法、讲练结合 七、教学过程： （一）、复习圆锥曲线的定义 椭圆定义：平面内与两个定点距离的和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，
高考数学-圆锥曲线解题常用方法
高考数学-圆锥曲线解题常用方法 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。 （2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 距离和最小。 解：（1）（2，2）
利用圆锥曲线的统一定义解题
利用圆锥曲线的统一定义解题 圆锥曲线的统一定义揭示了圆锥曲线的内在联系，使焦点、离心率、准线等构成了一个和谐的整体。恰当而灵活运用统一定义来解题，往往能化难为易，化繁为简，起到事半功倍的效果．下面谈一谈圆锥曲线的统一定义的解题功能。 一、“统一定义”活解曲线方程 例1、已知圆锥曲线过点(4,8)P --，它的一个焦点(4,0)F -，对应这个焦点的准线方程为4x =，求这条曲线的轨迹方程． 解：设(,)M x y 为该圆锥曲线上任一点，由统一定义得：4 44 MF PF x =---，即 0)= 216y x =-，故所求曲线的方程为216y x =- 点评：利用圆锥曲线的统一定义来解，体现问题的本质，避免不必要的讨论，解题过程简捷．求圆锥曲线的轨迹方程时，涉及到焦点、准线、离心率和曲线上点4个条件中的3个，往往用圆锥曲线的统一定义解． 练习1：在平面内到定点（0，4）的距离比它到定直线5y =-的距离小1的动点的轨迹方程。 解：由题设可知：平面内动点到定点（0，4）的距离等于到定直线4y =-距离，由“统一定义”可知，动点的轨迹是以（0，4）为焦点，4y =-为准线的一条抛物线，其方程为216x y =。 二、“统一定义”妙解圆锥曲线的最值 例2、已知点(2,1)A 在椭圆内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P ，使||2||P A P F +最小． 分析：如果直译，很难使问题得到解决．根据所提供数据的特点，已知椭圆的离心率为 1 2 ，而表达式||2||PA PF +中有系数２，可以考虑构造表达式||2||PA PF +的几何意义，紧扣椭圆的定义解答． 解：设椭圆上点P 到准线的距离为d ，则 1 2 PF e d ==，即2||d PF =，则问题转化为，在椭圆上求一点，使它到焦点F 与对应准线的距离之和最小，如图６，根据平面几何中的“垂线段最短”的性质，作2AM 垂直于准线，其与椭圆的交点即为所求点P ，故设 (,1)P x ，代入椭圆方程得x =P 为所求． 点评：根据椭圆的第二定义，通过离心率把到焦点的距离与到对应准线的距离之间进行 转化，结合图形的性质，探求解题方法，优化解题过程。 练习2：已知点A （3，0）、F （2，0），在双曲线22 13y x -=上求一点P ，使1 ||||2 P A P F + 的值最小。 解：1,2,2a b c e ==∴=∴=。设点P 到与焦点F （2，0）相应的准线的距离为d ，则 ||2PF d =。∴1 ||2 PF d =。1||||||2PA PF PA d ∴+=+，这问题就转化为在双曲线上求点P ，
圆锥曲线解题方法技巧归纳(整理)
圆锥曲线解题方法技巧归纳 一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五种：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离002 2 Ax By C d A B ++= + ③夹角公式：21 21 tan 1k k k k α-=+ ④两直线距离公式 （3）弦长公式 直线y kx b =+与圆锥曲线两交点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 2121AB k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-或122 1 1AB y y k =+ - (若A 点为交点，另一点不在圆锥曲线上，上式仍然成立。) （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式（三种形式） 标准方程： 22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 距离式方程：2 2 2 2 ()()2x c y x c y a +++-+= 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程： 22 1(0)x y m n m n +=?< 参数方程： 距离式方程：2 2 2 2 |()()|2x c y x c y a ++--+=
(3)、三种圆锥曲线的通径 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义 (5)、焦点三角形面积公式：122 tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 122cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为， 可简记为“左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形 二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设 ()11,y x A 、()22,y x B ， 的弦AB 中点则有 两式相减得 ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k = 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果 有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判 别式0?≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、
圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳
【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问 1.：（1 2. 3. 3 法 求 --------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：
“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式” 而 一适用于：__________________________; 殊弦长以外，其余弦长求解都用【弦长公式】（保底方法）；【弦长公式】 3类型：【类1】___________;___________;_______________;适用于：__________________________;【类2】___________;____________;_______________;适用于：
利用极坐标解圆锥曲线题
利用极坐标解题 知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一 条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -= . 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ =
当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.（复旦自招）确定方程10 53cos ρθ= -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：3102 5333 1cos 1cos 55ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015 103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????? ???-===?????? 2225155( )()882 b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：转化为直角坐标 （2）圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ， 1、椭圆中，c b c c a p 2 2=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 若椭圆方程为，半焦距为，焦点 ， 设过 的直线的倾斜角为 交椭圆于A 、B 两点，求弦长 。
高考数学圆锥曲线与方程解题技巧方法总结
圆锥曲线与方程解题技巧方法总结 学习目标：熟悉并掌握常见的圆锥曲线的解题方法：定义法、参数法、待定系数法、点差法等 重点难点：数形结合、函数与方程、转化与划归等解题思想的应用 题型一 圆锥曲线定义的应用 规律与方法： 1、圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略． 2、研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题． 例1 若点M (2,1)，点C 是椭圆x 216＋y 2 7 ＝1的右焦点，点A 是椭圆的动点，则|AM |＋|AC |的最小值是________ 跟踪训练1 已知椭圆x 29＋y 2 5 ＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点，求|PA |＋|PF 1|的最大值．
题型二 有关圆锥曲线性质的问题 规律与方法 有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解． 例2 已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 2 3n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 ( ) A ．x ＝±152y B ．y ＝± 152x C ．x ＝±34y D ．y ＝±34x 跟踪训练2 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 2 9 ＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________． 题型三 直线与圆锥曲线位置关系问题 规律与方法： 1．直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行． 2．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范围、最值等问题． 3．这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等． 例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆C 的方程； (2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为 32 ，求△AOB 面积的最大值．
高中数学圆锥曲线解题技巧总结(供参考)
解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =P 、F 三点共线时，距离和最小。 （2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 最小。 解：（1）（2，2） 连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+最小，此时y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，（注：另一交点为( 2,2 1 -)（2）（ 1,4 1 ）
圆锥曲线定义解题
巧用圆锥曲线定义法解题 摘要：圆锥曲线是解析几何中的重点，也是高中数学教学过程中的重点章节之一，在教学过程和高考试卷中都占有很大的比例。在历年高考的命题中都是热点和重点之一。圆锥曲线的定义在初高中数学乃至高等数学中，都有广泛的应用。本论文首先对圆锥曲线的定义进行归纳总结概述，运用类比和大量的举例对圆锥曲线概念作了说明；其次给出了利用圆锥曲线定义巧解题的一些方法以及解题过程，然后对利用圆锥曲线定义巧解题中所涉及到的数学思想作了归纳和总结；最后通过调查分析了解了学生在学习利用圆锥曲线定义解题中常出错的地方，并给出了应对方法。 关键词：圆锥曲线定义解题方法 一、圆锥曲线的定义 圆锥曲线包括三类曲线，分别为椭圆，双曲线，抛物线。对于圆锥曲线，国际上总体上有两大类的定义，第一种定义明确的标出了圆锥曲线的三类曲线的特性，第二种定义则概括出了各圆锥曲线的本质上的联系。在数学中，定义是展现数学概念之间区别的强有力的工具，定义反映了数学对象的本质属性和特征，对与数学定义的深刻理解，能够为提高解题能力打下坚实基础。在圆锥曲线中，有相当多的问题是可以化归到运用定义从而得以简捷求解。 1.1圆锥曲线的第一定义 高中数学教材中对与圆锥曲线给出了两种定义，第一定义展示了三类曲线各自独特性质和几何特征，分别为：椭圆：平面内与两个定点距离的和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。 双曲线：平面内与两个定点距离的差的绝对值是定值的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。 抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 几何解析中，用垂直于圆锥锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆;把平面稍稍的倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。 1.2圆锥曲线的第二定义 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）统一定义：平面内一个动点M与一个定点F的距离与一条定直线l（点F不在直线l上）的距离比等于一个常数e。当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当e=1时，动点M的轨迹是抛物线；当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线。 圆锥曲线的第二定义，是圆锥曲线定义概念的重要组成部分，揭示了圆锥曲线之间的内在联系。学习好圆锥曲线的定义，不仅是研究圆锥曲线图像与性质的基础，而且在许多高中数学问题的解题过程中。具有不可磨灭的特殊作用。
《圆锥曲线定义的运用》教学设计
《圆锥曲线定义的运用》教学设计 一、教学内容分析 本课系理科选修课程中圆锥曲线方程复习课。 圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,有必要再一次回到定义,熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略. 二、学生学习情况分析 本班学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解，但计算能力较差，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。 三、设计思想 由于这部分知识较为抽象,难以理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,有意识地引导学生利用一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥.借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高空间想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.在民主、开放的课堂氛围中,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神. 五、教学重点与难点: 教学重点 1.对圆锥曲线定义的理解 2.利用圆锥曲线的定义求“最值” 3.“定义法”求轨迹方程 教学难点: 巧用圆锥曲线定义解题 六、教学过程设计 【设计思路】 由于这是一堂习题课, 加上班级学生有较好的数学基础，学习积极性较高，领悟能力较好，所以在教学中,拟采用师生共同参与的谈话法：由教师提出问题，激
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： (1) 中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法) ：设曲线上两点为(x 1, y 1)， (x 2,y 2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意 斜率不存在的请款 讨论)，消去四个参数。 2 2 如：(1)笃?笃=1(a b 0)与直线相交于 A 、B ,设弦 AB 中点为 M(X o ,y o )，则有 a b 卑卑k=0。 a b 2 2 (2) 笃-每=1(a 0,b 0)与直线I 相交于 A B ,设弦AB 中点为M(x o ,y o )则有 a b I 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(X 0,y 0),则有2y °k=2p,即y o k=p. 2 给定双曲线x 2 -- 1。过A(2，1)的直线与双曲线交于两 点 R 及F 2， 2 求线段F 1 P 2的中点F 的轨迹方程。 (2) 焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点 P ,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭 桥。 2 2 典型例题 设P(x,y)为椭圆 x y 2 2= 1 上任一点，F 1（-c,0） , F 2（C ,0）为焦点, PF 1F^ ?， PF 2R =:。 X o a y o =0 2 （3）y =2 px （ p>0）与直 典型例题
(2)求|PF 『? PFJ 3的最值。 (3) 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判 别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想， 通过图形的直观 性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 抛物线方程y 2 =p(x 1) (p 0)，直线x ?y =：t 与x 轴的交点在抛物线准线的右边。 (1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点 (2) 设直线与抛物线的交点为 A 、B ,且0A 丄0B,求p 关于t 的函数f(t)的 表达式。 (4) 圆锥曲线的相关最值(范围)问题 圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函 数，三角函数，均值不 等式)求最值。 (1),可以设法得到关于 a 的不等式，通过解不等式求出 a 的范围，即：“求范围，找不 等式”或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出 a 的范围；对于(2)首 先要把△ NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值 ，即：“最值问题，函数思 想” 最值问题的处理思路： 1、 建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关 键是由方程求x 、y 的范围； 2、 数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、 利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、 借助均值不等式求最值。 典型例题 已知抛物线y 2=2px(p>0),过M (a,0)且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点 A 、B , |AB| < 2p (1)求证离心率 sin （G 十 P ） sin a +sin