【步步高】届高三数学大一轮复习 三角函数的图象与性质学案 理 新人教A版
学案19 三角函数的图象与性质
导学目标： 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的
交点等)，理解正切函数在区间? ??
??－π2，π2内的单调性．
自主梳理
1．三角函数的图象和性质
当x ＝____________________________________时，取最大值1； 当x ＝____________________________________时，取最小值－1. 3．余弦函数y ＝cos x
当x ＝__________________________时，取最大值1； 当x ＝__________________________时，取最小值－1.
4．y ＝sin x 、y ＝cos x 、y ＝tan x 的对称中心分别为____________、___________、______________.
5．y ＝sin x 、y ＝cos x 的对称轴分别为______________和____________，y ＝tan x 没有对称轴．
自我检测
1．(2010·十堰月考)函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．函数y ＝sin ?
????2x ＋π3图象的对称轴方程可能是 ( )
A ．x ＝－π6
B ．x ＝－π
12
C ．x ＝π
6
D ．x ＝π
12
3．(2010·湖北)函数f (x )＝3sin ? ??
??x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为 (
) A.π
2
B ．π
C ．2π
D ．4π 4．(2010·北京海淀高三上学期期中考试)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2
＋cos 2x 的最
小正周期为
(
)
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．π
5．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点? ??
??4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 (
) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
探究点一 求三角函数的定义域 例1 (2011·衡水月考)求函数y ＝
2＋log 1
2
x ＋tan x 的定义域．
变式迁移1 函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域为________________________．
探究点二 三角函数的单调性
例2 求函数y ＝2sin ? ??
??π4－x 的单调区间．
变式迁移2 (2011·南平月考)(1)求函数y ＝sin ? ??
??π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间；
(2)求函数y ＝3tan ? ??
??π6－x 4的周期及单调区间．
探究点三 三角函数的值域与最值
例3 已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π
2
]，函数的最大值为1，最
小值为－5，求a 和b 的值．
变式迁移3 设函数f (x )＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－3，试确定g (x )＝
b sin(ax ＋π
3)的周期．
转化与化归思想的应用
例 (12分)求下列函数的值域：
(1)y ＝－2sin 2
x ＋2cos x ＋2；
(2)y ＝3cos x －3sin x ，x ∈[0，π
2
]；
(3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x . 【答题模板】
解 (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2＝2cos 2
x ＋2cos x
＝2(cos x ＋12)2－1
2
，cos x ∈[－1,1]．
当cos x ＝1时，y max ＝4，
当cos x ＝－12时，y min ＝－12，故函数值域为[－1
2
，4]．[4分]
(2)y ＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π
6
)
∵x ∈[0，π2]，∴π6≤x ＋π6≤2π
3
，
∵y ＝cos x 在[π6，2π
3]上单调递减，
∴－12≤cos(x ＋π6)≤3
2
∴－3≤y ≤3，故函数值域为[－3，3]．[8分]
(3)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－1
2
，且|t |≤ 2.
∴y ＝t ＋t 2－12＝12
(t ＋1)2
－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；
当t ＝2时，y max ＝1
2＋ 2.
∴函数值域为[－1，1
2
＋2]．[12分]
【突破思维障碍】
1．对于形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]的函数在求值域时，需先确定ωx ＋φ的范围，再求值域．同时，对于形
如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋c 的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y ＝a 2＋b 2
sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，从而求得函数的最值．
2．关于y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c (或y ＝a sin 2
x ＋b sin x ＋c )型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．
提醒：不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．
1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)．
2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．
3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间来求．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·黄山月考)已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，1
2
]，则b －
a 的值不可能是 ( )
A.π3
B.2π3 C ．π D.4π3
2．(2010·安徽6校高三联考)已知函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A 、B
两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间是 ( )
A.?
?????2k π－π6，2k π＋π6 (k ∈Z ) B.?
?????2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z ) C.?
?????2k π－2π3，2k π＋π3 (k ∈Z ) D.?
?????2k π－π6，2k π＋5π6 (k ∈Z ) 3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π
4
，则
f ? ????π4的值是 ( )
A ．0
B ．1
C ．－1 D.π
4
4．函数y ＝－x cos x 的部分图象是图中 ( )
5．(2011·三明模拟)若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π
4
]上单调递增，则函数f (x )
可以是( )
A ．1
B ．cos x
6．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴
的距离的最小值是π
8，则f (x )的最小正周期是________．
7．函数f (x )＝2sin x
4
对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小
值为________．
8．(2010·江苏)定义在区间?
????0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象的
交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011·厦门月考)已知函数f (x )＝2cos 4x －3cos 2
x ＋1
cos 2x
，求它的定义域和值域，
并判断它的奇偶性．
10．(12分)(2010·福建改编)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π
6
)＋a (ω>0)与g (x )＝
2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．
(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间；
(3)当x ∈[0，π
2
]时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．
11．(14分)(2010·安徽合肥高三二模)已知向量a ＝(sin x ，23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3.
(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；
(2)若函数y ＝f (x ＋θ) (0<θ<π
2
)为偶函数，求θ的值．
答案 自主梳理
1．R R {x |x ≠k π＋π
2，k ∈Z } [－1,1] [－1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶
函数 奇函数 [2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z ) [2k π＋π2，2k π＋3
2
π](k ∈Z ) [2k π－π，
2k π](k ∈Z ) [2k π，2k π＋π](k ∈Z ) (k π－π2，k π＋π
2
)(k ∈Z )
2．2k π＋π2(k ∈Z ) 2k π－π
2(k ∈Z ) 3.2k π(k ∈Z ) 2k π＋π(k ∈Z ) 4.(k π，0)(k
∈Z ) ? ????k π＋π2，0(k ∈Z ) ? ??
??k π2，0(k ∈Z ) 5.x ＝k π＋π2(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z ) 自我检测
1．C 2.D 3.D 4.D 5.A 课堂活动区
例1 解题导引 求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．
解 要使函数有意义，
则?????
2＋log 1
2
x ≥0，
x >0，tan x ≥0，
x ≠k π＋π2
k ∈Z ，
得?
????
0 2k ∈Z . 所以函数的定义域为 ???? ??x |0 2或π≤x ≤4. 变式迁移1 ???? ??π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z 解析 由题意得 ? ?? ?? 1－2cos x ≥02sin x －1>0?????? cos x ≤1 2sin x >1 2 ， 解得????? π3＋2k π≤x ≤5π 3 ＋2k π，k ∈Z π6＋2k π 6＋2k π，k ∈Z ， 即x ∈?? ?? ??π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z . 例2 解题导引 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)． 解 y ＝2sin ? ?? ??π4－x 可看作是由y ＝2sin u 与u ＝π4－x 复合而成的． 又∵u ＝π 4－x 为减函数， ∴由2k π－π2≤u ≤2k π＋π 2(k ∈Z )， 即2k π－π2≤π4－x ≤2k π＋π 2 (k ∈Z )， 得－2k π－π4≤x ≤－2k π＋3π 4 (k ∈Z )， 即? ?????－2k π－π4，－2k π＋3π4(k ∈Z )为 y ＝2sin ? ????π4－x 的递减区间． 由2k π＋π2≤u ≤2k π＋3π 2 (k ∈Z )， 即2k π＋π2≤π4－x ≤2k π＋3π 2 (k ∈Z )， 得－2k π－5π4≤x ≤－2k π－π 4 (k ∈Z )， 即? ?????－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )为 y ＝2sin ? ?? ??π4－x 的递增区间． 综上可知，y ＝2sin ? ?? ??π4－x 的递增区间为 ???? ??－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )； 递减区间为? ?????－2k π－π4，－2k π＋3π4 (k ∈Z )． 变式迁移2 解 (1)由y ＝sin ? ?? ??π3－2x ， 得y ＝－sin ? ????2x －π3， 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π 2＋2k π， 得－π12＋k π≤x ≤5π 12＋k π，k ∈Z ， 又x ∈[－π，π]， ∴－π≤x ≤－712π，－π12≤x ≤512π，11 12 π≤x ≤π. ∴函数y ＝sin ? ????π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为? ?????－π，－712π，??????－π12，512π，???? ??1112π，π. (2)函数y ＝3tan ? ?? ??π6－x 4的周期 T ＝π???? ??－14＝4π. 由y ＝3tan ? ????π6－x 4 得y ＝－3tan ? ?? ??x 4－π6， 由－π2＋k π 2＋k π得 －43π＋4k π 3 π＋4k π，k ∈Z ， ∴函数y ＝3tan ? ????π6－x 4的单调递减区间为? ?? ??－43π＋4k π，83π＋4k π (k ∈Z )． 例3 解题导引 解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最值，再由方程的思想解决问题． 解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2 3 π， ∴－ 32≤sin(2x －π 3 )≤1， 若a >0，则?? ? 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得?? ? a ＝12－63 b ＝－23＋123 ； 若a <0，则?? ? 2a ＋b ＝－5 －3a ＋b ＝1， 解得?? ? a ＝－12＋63 b ＝19－123 . 综上可知，a ＝12－63，b ＝－23＋12 3 或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3. 变式迁移3 解 ∵x ∈R ， ∴cos x ∈[－1,1]， 若a >0，则????? a ＋ b ＝1－a ＋b ＝－3，解得? ???? a ＝2b ＝－1； 若a <0，则? ?? ?? a ＋ b ＝－3 －a ＋b ＝1，解得? ?? ?? a ＝－2 b ＝－1. 所以g (x )＝－sin(2x ＋π3)或g (x )＝－sin(－2x ＋π 3 )，周期为π. 课后练习区 1．A [画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π 3 ]，故 选A.] 2．B [由题意知，函数的最小正周期为π，则ω＝1， 故f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ? ????x －π6的单调增区间满足： 2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π 2 (k ∈Z ) 解得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π 3 .] 3．A 4．D 5．D [因为y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2，即－π4≤x ≤3π 4 ， 满足题意，所以函数f (x )可以是－cos x ．] 6.π2 解析 依题意得T 4＝π8，所以最小正周期T ＝π 2 . 7．4π 解析 由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)、f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，而当x 4 ＝ 2k π－π2，即x ＝8k π－2π (k ∈Z )时，f (x )取最小值；而x 4＝2k π＋π2 ，即x ＝8k π＋2π (k ∈Z )时，f (x )取最大值， ∴|x 1－x 2|的最小值为4π. 8.23 解析 线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x ＝5tan x ，x ∈? ????0，π2， 解得sin x ＝23.所以线段P 1P 2的长为2 3 . 9．解 由题意知cos 2x ≠0，得2x ≠k π＋π 2 ， 解得x ≠k π2＋π 4 (k ∈Z )． ∴f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π2＋π 4 ，k ∈Z }． ……………………………………………………………………………………………(3分) 又f (x )＝2cos 4x －3cos 2 x ＋1 cos 2x ＝2cos 2x －1cos 2 x －12cos 2 x －1 ＝cos 2x －1＝－sin 2 x ，……………………………………………………………………(6分) 又∵定义域关于原点对称， ∴f (x )是偶函数．…………………………………………………………………………(8分) 显然－sin 2 x ∈[－1,0]， 又∵x ≠k π2＋π 4 ，k ∈Z ， ∴－sin 2 x ≠－12 . ∴原函数的值域为 ???? ??y |－1≤y <－12或－1 2 分) 10．解 (1)∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同， ∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋π 6 )＋a (3分) ∴f (x )的最小正周期T ＝2π 2 ＝π.………………………………………………………… (4分) (2)当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π 2，k ∈Z ， 即k π＋π6≤x ≤k π＋2π 3 (k ∈Z )时，函数f (x )单调递减， 故函数f (x )的单调递减区间为 [k π＋π6，k π＋2π3 ](k ∈Z )．………………………………………………………………… (8分) (3)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π 6 ]，………………………………………………… (10分) ∴2sin(2·π2＋π 6 )＋a ＝－2， ∴a ＝－1.………………………………………………………………………………(12分) 11．解 f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2 x － 3 ＝sin 2x ＋23·1－cos 2x 2 － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ? ????2x －π3.………………………………………………………(4分) (1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π 2 ，k ∈Z ， 解得单调递减区间是???? ??k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . ……………………………………………………………………………………………(8分) (2)f (x ＋θ)＝2sin ? ????2x ＋2θ－π3. 根据三角函数图象性质可知， y ＝f (x ＋θ) ? ????0<θ<π2在x ＝0处取最值， ∴sin ? ????2θ－π3＝±1， ∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π 12 ，k ∈ Z .……………………………………………………(12分) 又0<θ<π2，解得θ＝5π 12 .………………………………………………………………… (14分) 三角函数的图象与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数 （数学4必修）第一章 三角函数（上）[基础训练] 一、选择题 1．设α角属于第二象限，且2cos 2cos α α -=，则2 α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0 -； ③)10tan(-；④9 17tan cos 107sin πππ.其中符号为负的有（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 3．02120sin 等于（ ） A ．23± B ．23 C ．23- D ．2 1 4．已知4sin 5 α= ，并且α是第二象限的角，那么 tan α的值等于（ ） A .43- B .34 - C .43 D .34 5．若α是第四象限的角，则πα-是（ ） A .第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 6．4tan 3cos 2sin 的值（ ） A .小于0 B .大于0 C .等于0 D .不存在 二、填空题 1．设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限． 2．设MP 和OM 分别是角18 17π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①0< 4．设扇形的周长为8cm ，面积为2 4cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 。 5．与02002-终边相同的最小正角是_______________。 三、解答题 1．已知1tan tan αα， 是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根， 且παπ273< <，求ααsin cos +的值． 2．已知2tan =x ，求 x x x x sin cos sin cos -+的值。 3．化简：)sin()360cos() 810tan()450tan(1)900tan()540sin(00000x x x x x x --?--?-- 4．已知)1,2(,cos sin ≠≤ =+m m m x x 且， 求（1）x x 33cos sin +；（2）x x 44cos sin +的值。 数学4（必修）第一章 三角函数（上） [基础训练] 一、选择题 1.C 22,(),,(),2422k k k Z k k k Z π π α π παππππ+<<+∈+<<+∈ 当2,()k n n Z =∈时， 2α在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时，2α在第三象限； 而cos cos cos 0222α αα =-?≤，2α∴在第三象限； 2.C 00sin(1000)sin 800-=>；000 cos(2200)cos(40)cos 400-=-=> 三角函数图象性质一览表 正弦定理、余弦定理及应用 设ABC △的外接圆的半径是R ，内切圆的半径是r ，()c b a p ++=2 1 是半周长。 1、正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===，或 C B A c b a sin :sin :sin ::= 变式：A R a sin 2=；B R b sin 2=；C R c sin 2= R a A 2sin = ；R b B 2sin =；R c C 2sin = 2、余弦定理： A bc c b a cos 2222-+=； B ac c a b cos 2222-+=； C ab b a c cos 2222-+= 推论：bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab c b a C 2cos 2 22-+= 3、面积公式：B ac A bc C ab S A B C sin 2 1 sin 21sin 21=== △ 变式：⑴C B A R abc R S A B C sin sin sin 241 2== △ ⑵()()()c p b p a p p S A B C ---=△（海伦秦九韶公式） 4、常用结论： ⑴B A B A b a sin sin >?>?> ⑵b a B A B A =?=?=sin sin ⑶若B A 2sin 2sin =，则B A B A =?=22或2 22π π=+?=+B A B A ⑷和诱导公式有关的变式： 2cos 2sin C B A =+；2cos 2sin B C A =+；2 cos 2sin A C B =+； 2sin 2cos C B A =+；2sin 2cos B C A =+；2sin 2cos A C B =+ ()C B A sin sin =+；()B C A sin sin =+；()A C B sin sin =+; ()C B A cos cos -=+；()B C A cos cos -=+；()A C B cos cos -=+ ⑸B c C b a cos cos +=；A c C a b cos cos +=；A b B a c cos cos += 5、注意两角和与差公式、二倍角公式和半角公式、辅助角公式的应用。 6、注意函数()?ω+=x A y sin 的知识在三角形中的应用： 比如求()??? ??+ =82 1sin 2πA x f ，?? ? ??∈4,0πA 的最大值。 三角函数的图象与性质 1.(2020·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝cos ? ? ???ωx ＋π6在[－π，π]的图象大致如图，则f (x )的 最小正周期为( ) A.10π 9 B.7π6 C.4π3 D.3π2 解析 由图象知π 解析 T ＝2π 1＝2π，故①正确. 当x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π 6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，故②错误. y ＝sin x 的图象 y ＝sin ? ?? ?? x ＋π3的图象，故③正确.故选B. 答案 B 3.(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间? ???? π4，π2单调递增的是( ) A.f (x )＝|cos 2x | B.f (x )＝|sin 2x | C.f (x )＝cos|x | D.f (x )＝sin|x | 解析 易知A ，B 项中函数的最小正周期为π 2；C 中f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，D 中f (x )＝sin|x |＝?????sin x ，x ≥0， －sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x ) 均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，排除C ，D. 又当x ∈? ????π4，π2时，2x ∈? ?? ?? π2，π， 则y ＝|cos 2x |＝－cos 2x 是增函数，y ＝|sin 2x |＝sin 2x 是减函数，因此A 项正确，B 项错误. 答案 A 4.(2020·江苏卷)将函数y ＝3sin ? ? ???2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的 图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________. 解析 将函数y ＝3sin ? ? ???2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ?????? 2? ????x －π6＋π4＝3sin ? ????2x －π12.令2x －π12＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴的方程为x ＝k π2＋7π24，k ∈Z ，分析知当k ＝－1时，对称轴为直线x ＝－5π 24，与y 轴最近. 答案 x ＝－5π 24 5.(2020·北京卷)若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值 三角函数的图象与性质 ——正弦函数、余弦函数的性质 【教学目标】 1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3．掌握正弦函数的周期及求法。(n )si y A x ω?＝＋ 【教学重点】 正、余弦函数的性质。 【教学难点】 正、余弦函数性质的理解与应用。 【教学过程】 一、讲解新课： （1）定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集［或］， R (,)-∞+∞分别记作： sin y x x ∈R ＝，cos ,y x x =∈R （2）值域 ，1sin 1x ≤≤--1cos 1 x ≤≤也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是。[ ]-1,1其中正弦函数，sin y x =x ∈R （1）当且仅当，时，取得最大值1。 x 2k 2π π=+k ∈Z （2）当且仅当，时，取得最小值。 x 2k 2π π=+k ∈Z 1- 而余弦函数，cos y x ＝x ∈R 当且仅当，时，取得最大值1，时，取得最小值。 2x k π=k ∈Z (21)x k π=+k ∈Z 1-（3）周期性 由，()知： sin(2)sin x k x π+=cos(2)cos x k x π+=k ∈Z 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值()f x T x 时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周()()f x T f x +=T 期。 由此可知，，，…，，，…(且)都是这两个函数的周期。2π4π2π-4π-2k πk ∈Z 0k ≠对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正()f x 数就叫做 的最小正周期。()f x 注意： 1．周期函数定义域，则必有，且若则定义域无上界；则定义域x ∈M x T M +∈0T ＞0T ＜无下界； 2．“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数（如） ()f x ()()001f x t f x +3．往往是多值的（如，，，…，，，…都是周期）周期中最T sin y x =2π4π2π-4π-T 小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） ()f x 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，(且)都是它的2k πk ∈Z 0k ≠周期，最小正周期是2π （4）奇偶性 由sin()sin x x -=-可知：为奇函数 ()cos x cosx -＝sin y x =为偶函数 cos y x =∴正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称 三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???- 三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 三角函数图像与性质复习 教案目标： 1、掌握五点画图法，会画正余弦、正切函数图象以及相关的三角函数图象及性质。 2、深刻理解函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。 重点：五点作图法画正余弦函数图象，及正余弦函数的性质，及一般函数) sin(?ω+=x A y 的图象。 难点：一般函数)sin(?ω+=x A y 的图象与性质。 【教案内容】 1、引入： 有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下4个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿过马路26次；我还想再过这样的星期六0次。” 2、三角函数知识体系及回忆正余弦函数的概念和周期函数： 正弦函数： 余弦函数： 周期函数： 注意： 最小正周期： 一般函数)sin(?ω+=x A y 中：A 表示 ，ω表示 及频率： ，相位： 。 正切函数： 3、三角函数的图象： 值域:tan ;tan .2 2 22 x x x x x x π π π π < → →+∞>- →-→-∞当且时，当且时， 单调性:对每一个k Z ∈，在开区间(,)22 k k π π ππ- +内，函数单调递增. 对称性:对称中心：( ,0)()2 k k Z π ∈，无对称轴。 五点作图法的步骤： （由诱导公式画出余弦函数的图象） 【例题讲解】 例1 画出下列函数的简图 (1)1sin y x =+[0,2]x π∈(2)cos y x =-[0,2]x π∈ (3)2sin y x =[0,2]x π∈ 例2 (1)方程lg sin x x =解得个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2)3[, ]22x ππ ∈- 解不等式3 sin 2 x ≥- 4([,])33x ππ∈- 例3已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x π π π =-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域。 例4已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的周期为π， 且图象上一个最低点为2( ,2)3 M π -. (Ⅰ)求()f x 的解读式；（Ⅱ）当[0, ]12 x π∈，求()f x 的最值. 例5写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性： (1)1tan()26 y x π=-；(2)tan(2)4y x π =-． 【过手练习】 1、函数sin(2)3 y x π =+ 图像的对称轴方程可能是（） A ．6x π =- B ．12 x π =- C ．6x π = D ．12 x π = 2、已知函数)0)(sin(2>+=ωφωx y 在区间[0，2π]的图像 如下，那么ω=（） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 3 1 3、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度， 所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6 π B ．3 π C ．12 π D ．23 π 2．已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则 只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π 个长度单位 3．若113sin cos αα +=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3 π的值为（ ） A ．12 B ． 3 2 C ．12- D ．32 - 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -．2 1k - C 2 1k -．2 1k k -- 6．若sin a = -45 ，a 是第三象限的角，则sin()4 a π +=（ ） （A ）-7210 （B ） 7210 （C ）2 - 10 （D ） 210 7 ．若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ） A ．3 4- B ．4 3- C ．4 3 D ．3 4 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是 （ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数2（ωφ），φ＜2 π的图象，那么 A.ω=11 10，φ=6 π B.ω=10 11，φ6π C.ω=2，φ=6 π D.ω =2，φ6 π 10．要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的 图象（ ） A ．向左平移3 π个单位 B ．向右平移3 π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12 π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象 三角函数专题辅导 课程安排 制作者：程国辉 专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数 三角函数的图象与性质 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． ．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 ．三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 求下列函数的定义域： 例1 π](k∈Z) ． 形使函数定义域扩大． 到．注意不要遗漏． ． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果) 是 [ ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域． 三角函数复习专题 一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时，max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ? ? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理：在ABC ?中有: 函 数 性 质 ①正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ?外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式：111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 二、练习题 1、角α的终边过点 b b 则且（,5 3 cos ),4,--=α的值（ ） A 、3 B 、-3 C 、3± D 、5 2、已知2π θπ<<,3 sin()25 πθ+=-，则tan(π-θ)的值为（ ） A ．34 B ．43 C ．34- D ．4 3 - 3、2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 4、为得到函数πcos 3y x ? ?=+ ?? ?的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π 6个长度单位 B ．向右平移 π 6 个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移 5π 6 个长度单位 5、()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 是( ) A. y = 2sin(x -4π) B. y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8 π ) 高考复习正弦、余弦的图象和性质 【考纲要求】 1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义. 2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π的性质（如单调性、最大和最小值、与x 轴交点等）,理解正切函数在区间(,)22 ππ -的单调性. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、“五点法”作图 在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)，( ,1)2 π， (,0)π，3( ,-1)2 π ，(2,0)π 考点二、三角函数的图象和性质 名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,} 2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值 域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 单调增区间: 单调增区间: 单调增区间： 应用 三角函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质 余弦函数的 图象与性质 正切函数的 图象与性质 要点诠释： ①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域． ②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题. 考点三、周期 一般地，对于函数()f x ，如果存在一个不为0的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 (+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的 最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）. 要点诠释： 应掌握一些简单函数的周期： ①函数sin()y A x ω?=+或cos()y A x ω?=+的周期2T π ω = ； ②函数tan()y A x ω?=+的周期T πω = ； ③函数sin y x =的周期=T π； 三角函数的图象与性质 一、选择题 1.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ? ? ???2x ＋π6，④y ＝ tan ? ? ???2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ? ? ???2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ? ? ???2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A. 答案 A 2.(2017·石家庄模拟)函数f (x )＝tan ? ? ???2x －π3的单调递增区间是( ) A.?????? k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.? ???? k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.? ?? ???k π－π12，k π＋ 5π12(k ∈Z) D.? ? ???k π＋π6，k π＋ 2π3(k ∈Z) 解析 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋ 5π 12(k ∈Z)，所以函数y ＝tan ? ????2x －π3的单调递增区间是? ???? k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)，故选B. 答案 B 3.(2017·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1 B.3，－2 C.2，－1 D.2，－2 解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1， 令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2， 科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 4.3三角函数的图象及性质应用 考纲定位 理解三角函数的性质，并利用其性质解决一些简单问题； 【典型例题】 1、如图所示，它是sin(),(0,0),|| 2014届高考数学二轮复习资料 专题四 三角函数（教师版） 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公 式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、 sin()y A x ω?=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题 等. 预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式. 三角函数图象与性质 类型一 学会踩点 [例1] (本题满分12分)已知函数f (x )＝cos x ·sin ? ???? x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在闭区间x ∈???? ?? －π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知得f (x )＝cos x ·? ????12sin x ＋3 2cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x － 32cos 2 x ＋3 4(2分) ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34＝14sin 2x －3 4cos 2x (4分) ＝12sin ? ? ? ??2x －π3.(6分) 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π 2＝π.(7分) (2)因为f (x )在区间??????－π4，－π12上是减函数，在区间?????? －π12，π4上是增函数．(10分) f ? ???? －π4＝－14，f ? ????－π12＝－12，f ? ?? ??π4＝14.(11分) 所以，函数f (x )在闭区间?????? －π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.(12分) 评分细则：得分点及踩点说明 (1)第(1)问无化简过程，直接得到f (x )＝12sin ? ? ???2x －π3，扣5分．每一步用公式正确 就得分． (2)化简结果错误，但中间某一步正确，给2分． (3)第(2)问只求出f ? ???? －π4＝－14，f ? ????π4＝14得出最大值为14，最小值为－14，得1分． (4)若单调性出错，只得1分． (5)单调性正确，但计算错误，扣2分．高中数学三角函数的图象与性质题型归纳总结
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4.3三角函数的图象及性质应用
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