2008年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案及解析)

2008年浙江省高中数学竞赛试卷及参考答案

一、 选择题 （本大题满分36分，每小题6分）

1．已知集合{

}{

}

2

2

1,,20R A y y x x B x x x =+=+-∈=>，则下列正确的是（ ） A ．{}1,A B y y => B.{}

2A B y y =>

C.{}21A B y y ?=-<<

D. {}

21A B y y y ?=<>-或

解：因为{}{}1,1, 2A y y B x x x =≥=><-或，所以有{}

1,A B y y => 正确答案为 A 。

2．当01x <<时，()lg x

f x x

=

，则下列大小关系正确的是（ ） A ．22()()()f x f x f x << B. 22()()()f x f x f x << C. 22()()()f x f x f x << D. 22()()()f x f x f x <<

解：当01x <<时，()0lg x f x x =<，22

2

()0lg x f x x =<，2

2()0lg x f x x ??=> ???

。 又因为22

22(2)0lg lg 2lg 2lg x x x x x x x x x x

---==<。所以 22

()()()f x f x f x <<。 选 C 。 3．设()f x 在[0,1]上有定义，要使函数()()f x a f x a -++有定义，则a 的取值范围为（ ）

A ．1(,)2-∞-； B. 11[,]22-； C. 1(,)2+∞； D. 11(,][,)22

-∞-?+∞

解：函数()()f x a f x a -++的定义域为 [,1][,1]a a a a +?--。当0a ≥时，应有1a a ≤-，即12a ≤

；当0a ≤时，应有1a a -≤+，即1

2

a ≥-。 因此，选 B 。 4．已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足

()(2)0PB PA PB PA PC -+-=

，则△ABC 一定为( )

A ．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形

解：因为,2PB PA AB PB PA PC CB CA -=+-=+

，所以已知条件可改写为

()0AB CB CA ?+=

。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 D 。

5．已知()()

2222212f x x a b x a ab b =++-++-是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是（ ）

A B. 2 C. D. 4

解：由已知条件可知，2

2

10a b +-=，函数图象与y 轴交点的纵坐标为2

2

2a ab b +-。令

,s cos in b a θθ==，则

22222sin cos sin cos2sin 2c s 2o a ab b θθθθθθ+=+=--+≤。因此 选 A 。

6．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）。若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为（ ）

A.

B.

C. 3

D.

32

解：建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0), B(0,1,0),S , (0,0,

)2

M ，P(x,y ,0).于是

有(,,AM MP x y == 由于AM ⊥MP ，

所以(,,0x y ?=，即34y =，

此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为 因此 选 B 。

二、填空题 （本题满分54分，每小题9分）

7．＝ 。

解：根据题意要求，2

605x x +≥+，2

0571x x +≤+≤。于是有2

715x x +=+。因此

cos 01==。因此答案为 1。

8．设,,,a b c d 为非负实数，满足

a b c d

b c d a c d a b d a b c

===

++++++++，则 a b b c c d d a

c d a d a b b c

+++++++

++++＝ 。 解：显然0a b c d +++≠，由于

a b c d

b c d a c d a b d a b c

===

++++++++，有 1111

b c d a c d a b d a b c

===

++++++++。于是有a b c d ===，故 4a b b c c d d a

c d a d a b b c

+++++++=++++。 9．设lg lg lg 111()121418x x x f x =

+++++，则

1

()()_________f x f x

+=。 解： lg lg lg lg lg lg 1111111

()()3121418121418

x x x x x x

f x f x

---+=

+++++=++++++。

10. 设实系数一元二次方程2220x ax b ++-=有两个相异实根，其中一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则

4

1

b a --的取值范围是 。 解： 根据题意，设两个相异的实根为12,x x ，且12012x x <<<<，则

1213x x a <+=-<，120222x x b <=-<。

于是有 31,12a b -<<-<<，也即有111, 342214

b a <<--<-<---

。 故有

143212b a -<-<，即取值范围为13,22??

???

。 11．已知,R αβ∈，直线

1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y

αβαβ

+=++

的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++= 。 解：由已知可知，可设两直线的交点为00(,)x x -，且,in s s co αα为方程

00

1sin cos x x t t ββ

-+=++，

的两个根，即为方程20sin c (cos )sin os (cos )i 0s n t t x ββββββ-++-=+ 的两个根。因此

cos (sin sin cos )ααββ+=-+， 即

cos sin c in s s o ααββ+++=0。

12．在边长为1的正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上。AD 的长度的最小值为 。

解：设,AD x ADE α=∠=，作△ADE 关于DE 的对称图形，A 的对称点G 落在BC 上。在△DGB 中，

1sin

sin(23

3

)

x x π

π

α--

=

2sin(2)

3

x π

α-?=

当sin(2)13

π

α-

=

时，即3min x =

=。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

13．已知椭圆C ：222

21x y a b +=（0a b >≥），其离心率为4

5

，两准线 之间的距离为

25

2

。（1）求,a b 之值；（2）设点A 坐标为(6, 0)，B 为 椭圆C 上的动点，以A 为直角顶点，作等腰直角△ABP （字母A ， B ，P 按顺时针方向排列），求P 点的轨迹方程。

解：（1）设c 为椭圆的焦半径，则

2425

,54

a c c a ==。 于是有a ＝5，

b ＝3。

（2） 解法一：设B 点坐标为(,)s t ，P 点坐标为(,)x y 。于是有

6(6)AB s t AP x y =-=-

（，）, ，。

因为AB AP ⊥

，所以有

6(6)(6)(6)0s t x y s x ty --=--+=（，），。

(A1 )

又因为ABP 为等腰直角三角形，所以有 AB=AP ，即

=。 (A2 )

由（A1）推出222

2

6(6)6(6)

ty t y s s x x -=-?-=--，代入（A2），得226t x =-（） 从而有 22

6y s =-（）

，即6s y =+（不合题意，舍去）或6s y =-。 代入椭圆方程，即得动点P 的轨迹方程22

661925

x y --+=（）（）

。 解法二： 设11(,)B x y ,(,),P x y AB r =，则以A 为圆心，r 为半径的圆的参数方程为

6cos sin x r y r α

α

=+??

=?。 设AB 与x 轴正方向夹角为θ，B 点的参数表示为

11

6cos sin x r y r θ

θ=+??

=?， P 点的参数表示为

00

6cos(90)6sin ,cos sin(90)

x r x r y r y r θθθθ?=+-=+??

??=-=-???即. 从上面两式，得到

11

66x y y x =-??

=-?。

又由于B 点在椭圆上，可得

22

(6)(6)1925

x y --+=。 此即为P 点的轨迹方程。

解：（I ）1

x ≥2x ≥-。 于是有

（1）{

22

0022a x x a x x ?-??≥≥≤≤-。 因此 当0a ≤

时，有12x ≤≤；当01a ≤≤时，有12x ≤≤；

当14a ≤≤

2x ≤≤；当4a >时，空集。

（2） 22

02021

4

a

a

x x x x a x ??

-??

????≥≥≥≥≥-≥?+?。

此时有 当0a ≤时，有2x ≥；当01a ≤≤时，有2x ≥；当14a ≤≤时，有2x ≥；当4a >时，14

x a

≥

+。

（II ）

1x

（3）{

2200

0a x x x x a ≥≥≥-?-?

?。 因此 当0a ≤时，有01x

≤<；当01a ≤≤1x <；当1a >时，空集。

（4）22220

0a x x x a x a x x

??-????≥≥≤≥-≤?-?。

因此 当0a ≤时，有0x ≤；当0a >时，空集。

综合（1）－（4）可得

1411x ≥--。

当0a ≤时，有x R ∈；当04a ≤≤

时，有x ≥4a >时，14

x a

≥

+。

解：设非负等差数列{}n a 的首项为10a ≥，公差为0d ≥。

（1）因为2m n p +=，所以2222m n p +≥，2p mn ≥，2m n p a a a +=。

从而有2

(·)p m n a a a ≥。 因为112()2

(1)

n n n a a n n S n d a +-=

=+，所以有 122121(1)(1)()2 222 22

222n m p

n n m m S S m n a d

n m p

pa d p p

pa d S -+-+=++

+-=+-+=≥

()()()2

11112

2

2

1211·22()()()()4

422n n m m n m n p m p p p

p n a a m a a S a a a a mn S a a p

a a p a a a a a S ++=

++++??++== ?=?

?

≤

于是

12

12p m n n m n p p p

m S S S S S S S S S S ++=≥=

。 （2）

1200720061003

10051004102007

041004

121111112*10031200711

n n S S S S S S S S S S =??????=++++ ? ? ????++??+≥+=

?∑

又因为501004113·10031004

1004()1001004210041004505

2d a a S a d ==≤+

+≤，所以有 1004

2007

1120072007

101040052008.n n S S =≥≥≥∑

15．设非负等差数列{}n a 的公差0d ≠，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：

1）若*,,m n p N ∈，且2m n p +=，则

112m n p

S S S +≥； 2）若503

1

,1005a ≤则2007

112008n n

S =>∑。

四、附加题（本大题满分50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。选考B 卷的学生选做本大题，不计入总分。） 16．设122008,,,ααα 为2008个整数，且19i α≤≤（1,2,,2008i = ）。如果存在某个

{1,2,,2008}k ∈ ，使得2008位数1200811k k k ααααα+- 被101整除，试证明：对

一切{1,2,,2008}i ∈ ，2008位数

1200811i i i ααααα+- 均能被101整除。

解： 根据已知条件，不妨设k ＝1，即2008位数012208ααα 被101整除，只要能证明2008位数2013082αααα 能被101整除。

事实上，200620081220020077220108101010A ααααααα==++++ ，

2007232200620081208301101010B αααααααα=++=++

从而有

45025021110081210(101)[(10)1][(99991)1][999911]A B N αααα-=-=-=+-=+-，

即有

1109999B A N α=-。

因为101,1019999A ，所以101B 。 利用上述方法依次类推可以得到

对一切{1,2,,2008}i ∈ ，2008位数1200811i i i ααααα+- 均能被101整除。 17. 将3k （k 为正整数）个石子分成五堆。如果通过每次从其中3堆中各取走一个石子，而

最后取完，则称这样的分法是“和谐的”。试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明。

解： 分法是和谐的 充分必要条件 是 最多一堆石子的个数不超过k 。 下面设五堆石子的个数分别为a,b,c,d,e （其中b c d e a ≥≥≥≥）。

“必要性”的证明： 若分法是和谐的，则把a 所对应的石子取完至少要取a 次，这a 次每次都要取走3个石子。如果 a k >，则33a k >，即把a 所对应的一堆取完时，需取走的石子多于五堆石子的总数。矛盾。因此最多一堆石子的个数不能超过k 。

“充分性”的证明：（数学归纳法）

（1） 当1k =时，满足“a k ≤” 的分法只能是1，1，1，0，0。显然这样的分法是和谐

的。

（2） 假设k n ≤时，满足“a k ≤” 的分法是和谐的。 （3） 当1k n =+时，若1a n ≤+，且分法a,b,c,d,e 是不和谐的，则分法a －1,b －1,c －1, d,

e 也是不和谐的。由（2）及必要性的证明，可知

max{1,1,1,,}a b c d e n --->。

因为b c d e a ≥≥≥≥，所以max{1,1,1,,}max{1,}a b c d e a d n ---=->。 若1a d -≥，则有 1a n ->。这与 1a n ≤+矛盾。

若1a d -<，则有 1c b a d n n ≤≤≤≤+<，从而有1a b c d n ====+，于是有 3(1)4(1)n a b c d e n e +=++++=++，这是不可能的。矛盾。 因此当1a n ≤+时，分法a,b,c,d,e 是和谐的。