整式的运算法则
整式的运算法则
整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=?
),(都是正整数）（n m a a m n n m =
)()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+ 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-
整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数
【注意】（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数 相同。
（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要 注意单项式的符号。
（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 （5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
（6）
),0(1
);0(10为正整数p a a a a a p p ≠=
≠=-
（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得
的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。 一、选择（每题2分，共24分） 1．下列计算正确的是（ ）．
A ．2x 2·3x 3=6x 3
B ．2x 2+3x 3=5x 5
C ．（－3x 2）·（－3x 2）=9x 5
D ．
54x n ·25
x m =12x m+n
2．一个多项式加上3y 2－2y －5得到多项式5y 3－4y －6，则原来的多项式为（ ）． A ．5y 3+3y 2+2y －1 B ．5y 3－3y 2－2y －6 C ．5y 3+3y 2－2y －1 D ．5y 3－3y 2－2y －1 3．下列运算正确的是（ ）．
A ．a 2·a 3=a 5
B ．（a 2）3=a 5
C ．a 6÷a 2=a 3
D ．a 6－a 2=a 4 4．下列运算中正确的是（ ）．
A．1
2
a+
1
3
a=
1
5
a B．3a2+2a3=5a5C．3x2y+4yx2=7 D．－mn+mn=0
二、填空（每题2分，共28分）
6．－xy2的系数是______，次数是_______．
8．x_______=x n+1；（m+n）（______）=n2－m2；（a2）3·（a3）2=______．
9．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时，?若坐飞机飞行这么远的距离需_________．
10．a2+b2+________=（a+b）2a2+b2+_______=（a－b）2
（a－b）2+______=（a+b）2
11．若x2－3x+a是完全平方式，则a=_______．
12．多项式5x2－7x－3是____次_______项式．
三、计算（每题3分，共24分）
13．（2x2y－3xy2）－（6x2y－3xy2）14．（－3
2
ax4y3）÷（－
6
5
ax2y2）·8a2y
17．（x－2）（x+2）－（x+1）（x－3）18．（1－3y）（1+3y）（1+9y2）19．（ab+1）2－（ab－1）2
四、运用乘法公式简便计算（每题2分，共4分）
20．（998）221．197×203
五、先化简，再求值（每题4分，共8分）22．（x+4）（x－2）（x－4），其中x=－1．
23．[（xy+2）（xy－2）－2x2y2+4]，其中x=10，y=－1 25
．
六、解答题（每题4分，共12分）
24．已知2x+5y=3，求4x·32y的值．25．已知a2+2a+b2－4b+5=0，求a，b的值．
幂的运算
一、同底数幂的乘法（重点）
1.运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
用式子表示为： n m n m
a a a
+=?(m 、n 是正整数)
2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即
()
m n p m m p a a a a m n p ++??=、、为正整数
注意点：
（1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不
变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.
（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转
化为相同的底数，再按法则进行计算.
【典型例题】
1．计算（－2）2007+（－2）2008的结果是（）
A ．22015
B ．22007
C ．－2
D ．－22008 2．当a<0，n 为正整数时，（－a ）5·（－a ）2n 的值为（） A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数
3．（一题多解题）计算：（a －b ）2m －
1·（b －a ）2m ·（a －b ）2m+1，其中m 为正整数．
4．（一题多变题）（1）已知x m =3，x n =5，求x m+n ．
（2）一变：已知x m =3，x n =5，求x 2m+n ；
（3）二变：已知x m =3，x n =15，求x n ．
二、同底数幂的除法（重点）
1、同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
公式表示为：()0,m n m n a a a a m n m n -÷=≠>、是正整数，且. 2、零指数幂的意义
任何不等于0的数的0次幂都等于1.用公式表示为：()010a a =≠.
3、负整数指数幂的意义
任何不等于0的数的-n(n 是正整数)次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，用公式表
示为()1
0,n n a a n a
-=≠是正整数
4、绝对值小于1的数的科学计数法 对于一个小于1且大于0的正数，也可以表示成10n a ?的形式，其中
110,a n ≤<是负整数.
注意点：
(1) 底数a 不能为0，若a 为0，则除数为0，除法就没有意义了；
(2) (
)0,a m n m n ≠>、是正整数，且是法则的一部分，不要漏掉.
（3） 只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1.
【典型例题】 一、选择
1．在下列运算中，正确的是（）
A ．a 2÷a=a 2
B ．（－a ）6÷a 2=（－a ）3=－a 3
C ．a 2÷a 2=a 2－
2=0 D ．（－a ）3÷a 2=－a
2．在下列运算中，错误的是（）
A ．a 2m ÷a m ÷a 3=a m －
3 B ．a m+n ÷b n =a m
C ．（－a 2）3÷（－a 3）2=－1
D ．a m+2÷a 3=a m －1
二、填空题
1．（－x 2）3÷（－x ）3=_____．2．[（y 2）n ] 3÷[（y 3）n ] 2=______． 3．104÷03÷102=_______． 4．（－3.14）0=_____． 三、解答
1．（一题多解题）计算：（a －b ）6÷（b －a ）3．
2．（巧题妙解题）计算：2－
1+2－
2+2－
3+…+2
－2008
．
3、已知a m =6，a n =2，求a 2m －3n
的值．
π
4．（科外交叉题）某种植物的花粉的直径约为3.5×10－5
米，用小数把它表示出来．
三、幂的乘方（重点）
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
公式表示为：()()n
m mn a a m n =、都是正整数.
注意点：
（1） 幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数.
（2） 指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开.
【典型例题】
1．计算（-a 2）5+（-a 5）2的结果是（）
A ．0
B ．2a 10
C ．-2a 10
D ．2a 7 2．下列各式成立的是（）
A ．（a 3）x =（a x ）3
B ．（a n ）3=a n+3
C ．（a+b ）3=a 2+b 2
D ．（-a ）m =-a m 3．如果（9n ）2=312，则n 的值是（）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 4．已知x 2+3x+5的值为7，那么3x 2+9x-2的值是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6
6.计算：
（1） （2） 补充：
同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：
四、积的乘方
运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。 用式子表示为：
()
n n n
b a b a ?=?(n 是正整数)
扩展
2
33
3
4
2
)(a a a a a +?+?2
24
4
2)()(2a a a ?+?
p n m p n m a a a a -+=÷?
()np mp p
n m
b a b a
= (m 、n 、p
是正整
数)
注意点：
（1） 运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果;
（2） 运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式.
【典型例题】
1．化简(a 2m ·a n+1)2·(-2a 2)3所得的结果为____________________________。
2．( )5
=(8×8×8×8×8)(a ·a ·a ·a ·a) 3．如果a≠b ，且(a p )3
·b
p+q
=a 9b 5成立，则p=______________，q=__________________。
4．若，则m+n 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．-3
5．的结果等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积进（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．（科内交叉题）已知（x －y ）·（x －y ）3·（x －y ）m =（x －y ）12，求（4m 2+2m+1）－2（2m 2
－m －5）的值．
课后作业
一．选择题（共13小题）
1．碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米=0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（ ）
A ．0.5×10﹣9
米 B ．5×10﹣8
米
C ．5×10﹣9米
D ．5×10﹣10
米
2．﹣2.040×105
表示的原数为（ ） A ．﹣204000 B ．﹣0.000204 C ．﹣204.000 D ．﹣20400 3．（2007?十堰）下列运算正确的是（ ）
A ．a 6?a 3=a 18
B ．（a 3）2a 2=a 5
C ．a 6÷a 3=a 2
D ．a 3+a 3=2a 3
4．（2007?眉山）下列计算错误的是（ ）
A ．（﹣2x ）3=﹣2x 3
B ．﹣a 2?a=﹣a 3
()()
b a b a b a m n n m 5321221=-++()2
3220032232312??
? ??-?-???? ??--y x y x y x 10103y x 10103-y x 10109y x 10
109-y x b a 2
43--y x b a +33
1y x 46y x 23-y x 233
8-y x 4
6-
C．（﹣x）9÷（﹣x）3=x6D．（﹣2a3）2=4a6
5．下列计算中，正确的是（）
A．x3?x4=x12B．a6÷a2=a3
C．（a2）3=a5D．（﹣ab）3=﹣a3b3
6．（2004?三明）下列运算正确的是（）
A．x2?x3=x6B．（﹣x2）3=x6
C．（x﹣1）0=1 D．6x5÷2x=3x4
7．若（2x+1）0=1则（）
A．x≥﹣B．x≠﹣
C．x≤﹣D．x≠
8．在①（﹣1）0=1；②（﹣1）3=﹣1；③3a﹣2=；④（﹣x）5÷（﹣x）3=﹣x2中，正
确的式子有（）
A．①②B．②③
C．①②③D．①②③④
9．若a=（﹣）﹣2，b=（﹣1）﹣1，c=（﹣）0，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
10．通讯卫星的高度是3.6×107米，电磁波在空中的传播速度是3×108米/秒，从地面发射的电磁波被通讯卫星接受并同时反射给地面需要（）
A．3.6×10﹣1秒B．1.2×10﹣1秒
C．2.4×10﹣2秒D．2.4×10﹣1秒
11．下列计算，结果正确的个数（）
（1）（）﹣1=﹣3；（2）2﹣3=﹣8；（3）（﹣）﹣2=；（4）（π﹣3.14）0=1
A．1个B．2个
C．3个D．4个
12．下列算式，计算正确的有
①10﹣3=0.0001；②（0.0001）0=1；③3a﹣2=；④（﹣x）3÷（﹣x）5=﹣x﹣2．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
13．计算：的结果是（）
A．B．
C．D．
二．填空题
14．（2005?常州）=_________；=_________．
15．已知（a﹣3）a+2=1，则整数a=_________．
16．如果（x﹣1）x+4=1成立，那么满足它的所有整数x的值是_________．
17．下雨时，常常是“先见闪电，后听雷鸣”，这是由于光速比声速快的缘故．已知光在空气中的传播速度约为3×108米/秒，而声音在空气中的传播速度约为3.4×102米/秒，则光速是声速的_________倍．（结果保留两个有效数字）
18．（2011?连云港）在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米．数据“0.000 0963”用科学记数法可表示为
_________．
19．若3x+2=36，则=_________．
20．已知a3n=4，则a6n=_________．
21．多项式﹣5（ab）2+ab+1是_________次_________项式．
三．解答填空题
22．计算：
（1）=_________；
（2）（4ab2）2×（﹣a2b）3=_________．
23．已知：2x=4y+1，27y=3x﹣1，则x﹣y=_________．
24．（2010?西宁）计算：=_________．
25．计算：
（1）（﹣2.5x3）2（﹣4x3）=_________；
（2）（﹣104）（5×105）（3×102）=_________；
26．计算下列各题：（用简便方法计算）
（1）﹣102n×100×（﹣10）2n﹣1=_________；（2）[（﹣a）（﹣b）2?a2b3c]2=_________；
（x3）2÷x2÷x+x3÷（﹣x）2?（﹣x2）=_________；（4）
（3）
=_________．
27．把下式化成（a﹣b）p的形式：15（a﹣b）3[﹣6（a﹣b）p+5]（b﹣a）2÷45（b﹣a）5= _________．
28．如果x m=5，x n=25，则x5m﹣2n的值为_________．
29．已知：a n=2，a m=3，a k=4，则a2n+m﹣2k的值为_________．
30．比较2100与375的大小2100_________375．
因式分解
教学目标：
1.知识与技能：掌握运用提公因式法、公式法分解因式，培养学生应用因式分解解决问题的能力.
2.过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法.
3.情感态度与价值观：通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想.
教学重、难点：用提公因式法和公式法分解因式.
知识详解
知识点1 因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
例如：
(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.
怎样把一个多项式分解因式？
知识点2提公因式法
多项式m a+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.m a+mb+mc=m(a+b+c)就是把m a+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是m a+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4a b+2a=2a(4a b-2b+1).
探究交流
下列变形是否是因式分解？为什么？
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)； (2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n.
典例剖析
例1 用提公因式法将下列各式因式分解.
(1) -x3z+x4y；(2) 3x(a-b)+2y(b-a)；
分析：(1)题直接提取公因式分解即可，(2)题首先要适当的变形，再把b-a化成-(a-b)，然后再提取公因式.
小结运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：
(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不能再分解.
(2)如果出现像(2)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少。这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).
(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成幂的形式.
学生做一做把下列各式分解因式.
(1) (2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b) ；(2) 4p(1-q)3+2(q-1)2
知识点3公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).
(2)完全平方公式：a2±2a b+b2=(a±b)2.其中，a2±2a b+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
探究交流
下列变形是否正确？为什么？
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.
例2 把下列各式分解因式.
(1) (a+b)2-4a2；(2)1-10x+25x2；(3)(m+n)2-6(m+n)+9.
分析：本题旨在考查用完全平方公式分解因式.
学生做一做把下列各式分解因式.
(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；(2)(x+y)2-4(x+y-1).
综合运用
例3 分解因式.
(1)x3-2x2+x；(2) x2(x-y)+y2(y-x)；
分析：本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式.
小结解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式. 是三项式考虑用完全平方式，最后，直到每一个因式都不能再分解为止.
探索与创新题
例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=.
分析：完全平方式是形如：a2±2a b+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
学生做一做若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k=.
课堂小结
用提公因式法和公式法分解因式,会运用因式分解解决计算问题.
各项有“公”先提“公”，首项有负常提负，某项提出莫漏“1”,括号里面分到“底”。
自我评价知识巩固
1.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于( )
A.3
B.-5
C.7.
D.7或-1
2.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
3.分解因式：4x2-9y2=.
4.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
5.把多项式1-x2+2xy-y2分解因式
思考题分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10.
【知识考点】
1. 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把连接而成表示的式子叫做代数
式.
2. 代数式的值：用代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的叫做代
数式的值. 3. 整式
（1）单项式：由数与字母的组成的代数式叫做单项式（单独一个数或也是单项式）.单项式中的叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的叫做这个单项式的次数. (2) 多项式：几个单项式的叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫 做多项式的,其中次数最高的项的叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做. (3) 整式：与统称整式.
4. 同类项：在一个多项式中，所含相同并且相同字母的也分别相等的项叫做同类项. 合并
同类项的法则是相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数。 5. 幂的运算性质: a m ·a n =； (a m )n =； a m ÷a n ＝_____； (ab)n =. 6. 乘法公式：
(1) =++))((d c b a ； （2）（a ＋b ）(a －b)＝；
(3) (a ＋b)2＝；(4)(a －b)2＝. 7. 整式的除法
⑴ 单项式除以单项式的法则：把、分别相除后，作为商的因式；对于只在被除数里含有的
字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
【知识考点】
1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的的形式．分解因式要进行到每一个因式都
不能再分解为止．
2. 因式分解的方法：⑴，⑵ ，
⑶，
3. 提公因式法：=++mc mb ma __________ _________.
4. 公式法:⑴=-2
2
b a ⑵ =++2
2
2b ab a ， ⑶=+-2
2
2b ab a .
5. 十字相乘法：()=+++pq x q p x 2．
6．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“套”（公式）．三“十字”四“查”. 7．易错知识辨析
注意因式分解与整式乘法的关系；
一、选择题（第小题4分，共24分）
1．下列计算中正确的是 （ ）
A ．
5322a b a =+ B ．44a a a =÷ C ．842a a a =? D ．()63
2a a -=- 2．()()
22a ax x a x ++-的计算结果是 （ ） A ．3232a ax x -+ B ．33a x - C ．3232a x a x -+D ．322322a a ax x -++
3．下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有 （ ）
①()
523623x x x -=-?； ②()
a b a b a 22423-=-÷；
③()52
3a a =； ④()()23
a a a -=-÷-
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．若2x 是一个正整数的平方，则比x 大1的整数的平方是
（ ）
A ．12+x
B ．1+x
C ．122++x x
D ．122+-x x 5．下列分解因式错误 的是 （ ）
A ．()
123-=-x x x x B ．()()2362-+=-+m m m m C ．()()16442-=-+a a a D ．()()y x y x y x -+=+22
6．如图，矩形花园ABCD 中，AB=a ，AD=b ，花园中建有一条矩形道路LMQP 及一条平行四边形道路RSTK ，若LM=RS=c ，则花园中可绿化部分的面积为（ ）
A ．2b ac ab bc ++-
B ．ac bc ab a -++2
C ．2c ac bc ab +--
D ．ab a bc b -+-22
二、填空题（每小题4分，共28分）
7．（1）当x ___________时，()0
4-x 等于
__________；
（2）()
()
=-÷??
?
? ??2004
2003
2002
15.132___________
8．分解因式：=-+-ab b a 2122__________________________.
9．要给n 个长、宽、高分别为x 、y 、z 的箱子打包，其打包方式如图所示，则打包带的总长至少要___________________（用含n 、x 、y 、z 的代数式表示）
10．如果()()63122122=-+++b a b a ，那么b a +的值为________________. 11．下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如
()n b a +（n 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出()n
b a +展开式中所缺的系数。
()()()3
2233222332b ab b a a b a b ab a b a b
a b a +++=+++=++=+ 则()4322344
_____________b ab b a b a a b a ++++=+
12．某此植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽，发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ），照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为_____________.（精确到0.001）
13．某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面，第一次铺2块，如图（1）；第2次把第1次铺的完全围起来，如图（2）；第3次把第2次铺的完全围起来，如图（3）……依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次镶嵌后所使用的木板总数_____________.
三、解答题
14．（12分）计算：()()[]
y x y x x y xy y x x 232223÷---
15．（18分）已知22+=n m ，22+=m n （n m ≠），求332n mn m +-的值。
16．（18分）某商店积压了100件某种商品，为使这批货物尽快脱手，该商店采取了如下销售方案，将价格提高到原来的2.5倍，再作3次降价处理：第一次降价30%，标出“亏本价”；第二次降价30%，标出“破产价”；第三次降价30%，
标出“跳楼价”。3次降价处理销售结果如下表：
（1）“跳楼价”占原价的百分比是多少？
（2）该商品按新销售方案销售，相比原价全部售完，哪种方案更赢利？
北师大版七年级数学下册整式运算提高题附答案
1 / 3 整式的运算提高题 一、 填空题： 1．已知11=-a a ，则2 21a a + = 4 41a a + = 2．若10m n +=，24mn =，则22m n += . 3.-+2 )23(y x =2 )23(y x -. 4.若84,32==n m ,则1232-+n m = . 5.若10,8==-xy y x ,则22y x += . 6.当k = 时,多项式83 13322+---xy y kxy x 中不含xy 项. 7.)()()(12y x y x x y n n --?--= . 8、若016822=+-+-n n m ，则______________,==n m 。 9、若16)3(22 +-+m x 是关于x 的完全平方式，则________=m 。 10、边长分别为a 和a 2的两个正方形按如图(I)的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 ． 11．()()()24212121+++的结果为 . 二、选择题： 12. 如果(3x 2y －2xy 2)÷M=－3x+2y ，则单项式M 等于( ) A 、 xy ； B 、－xy ； C 、x ； D 、 －y 13．若a=（－0.4）2 , b=－4 －2 , c=2 41-? ? ? ??-,d=0 41? ? ? ??-, 则 a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ） （A ） a 幂的运算与整式的乘除知识点 一、幂的运算： 1.同底数幂相乘文字语言：_________________________；符号语言____________. 例1.计算：（1）103×104； （2）a ? a 3 （3）a ? a 3?a 5 (4) x m ×x 3m+1 例2.计算：(1)(-5) (-5)2 (-5)3 (2)(a+b)3 (a+b)5 （3）-a·(-a)3 （4）-a 3·(-a)2 （5）(a-b)2·(a-b)3 （6）(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5 （7）x 3? x 5+x ? x 3?x 4 同底数幂法则逆用符号语言:_________________ 例1：（1） ( ) ( ) ( ) ( ) 222225?=?= （2） () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33333336 ?=?=?= 例2：(1)已知a m ＝3，a m ＝8，求a m+n 的值. (2)若3n+3=a ，请用含a 的式子表示3n 的值. 2.幂的乘方文字语言： ___________________________；符号语言____________. 例1.计算：（1）( );105 3 （2）()4 3b ； （3）()().3 553a a ? （4）()() () 2 443 22 32x x x x ?+? （5）()() ()()3 35 2 10 25 4 a a a a a -?-?-?-+）（ （6）()[ ]()[]4 33 2y x y x +?+ （7）()()()[]2 2 n n m m n n m -?-- 幂的乘方逆用符号语言:_________________ 例1：（1）) () () (6 4 (2 3 (_____) (_____) (____) (___) 12 a a a a a ==== （2）) () ((_____) (______) a a a n m mn ===)((__)a m =)((___)a n （3） 3 9(____) 3= 一、 知识点详解 整式的有关概念 1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个 数或一个字母也是代数式。 2、单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成b a 23 13-。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如c b a 235-是6次单项式。 多项式 1、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项多项式 中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式 的次数。 ①单项式和多项式统称整式。 ②用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 ③注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 2、同类项：所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 3、去括号法则 ①括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。 ②括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。 4、整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=? ),(都是正整数）（n m a a mn n m = )()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+ 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- 整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数 整式的乘除 一．幂的运算： 1.若16,8m n a a ==，则m n a += 2.已知2,5m n a a ==，求值：（1）m n a +； （2）2m n a +。 3.23,24,m n ==求322m n +的值。 4.如果254,x y +=求432x y ?的值。 5.若0a >，且2,3,x y a a ==则x y a -的值为 6.已知5,5,x y a b ==求25x y -的值 二．对应数相等： 1.若83,x x a a a ?=则x =__________ 2.若432 82,n ?=则n =__________ 3.若2153,m m m a a a +-÷=则m =_________ 4.若122153()()m n n a b a b a b ++-?=，求m n +的值。 5.若235232(3)26,m n x y x y xy x y x y --+=-求m n +的值。 6.若 312226834,m n ax y x y x y ÷=求2m n a +-的值。 7.若 25,23,230,a b c ===试用,a b 表示出c 变式：25,23,245,a b c ===试用,a b 表示出c 8.若22(),x m x x a -=++则m =__________a = __________ 。 9.若a 的值使得 224(2)1x x a x ++=+-成立，则a 的值为_________。 三．比较大小：（化同底或者同指数） 1.在554433222,3,4,5中，数值最大的一个是 2.比较505与2524的大小 变式：比较58与142的大小 四．约分问题（注意符号）： 初一数学下册《整式的运算》知识点归 纳 初一数学下册《整式的运算》知识点归纳 一、整式 单项式和多项式统称整式。 a)由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 b)单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数，系数为1或-1。 )一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数 a)几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数 b)单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数。多项式的每一项都是单项式，一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。多项式中每一项都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数，一个多项式的次数只有一个，它是所 含各项的次数中最高的那一项次数 a)整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式 b)括号前面是“-”号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要相乘。 二、同底数幂的乘法 是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要注意以下几点： a)法则使用的前提条是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式; b)指数是1时，不要误以为没有指数; )不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加;而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加; d)当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为; e)公式还可以逆用： a)幂的乘方法则：是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。 b) )底数有负号时，运算时要注意，底数是a与时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将3化成-a3 1、《整式》中的思想方法与思维技巧 2、整式的乘法新题例析 3、完全平方公式要点精析 4、因式分解经典试题分析 5、因式分解中常见的错误辨析 6、整式除法运算新题放送 7、正确理解与灵活运用乘法公式 8、因式分解在赛题中的应用 9、整式的乘法错解剖析 10、聚焦特征，活用乘法公式 1、《整式》中的思想方法与思维技巧 本章中蕴含着丰富的数学思想，下面以例说明如何运用这些数学思想指导我们解决问题． 1、“特殊→一般→特殊”的思想方法 在本章中，许多性质与法则的得出，都是先举出一些具体的例子，然后找出它们的共同特征，加以推广，概括出一般化的结论，再把所得结论应用于具体的解题过程中。例如：同底数幂的乘法的性质． 2、分类讨论的数学思想方法 例如：多项式4x2＋1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，那么这个单项式是什么？ 析解：根据已知多项式的特点，我们可以把添加的单项式分为：①四次式(可添4x4)， ②二次式(添－4x2)，③一次式(±4x)，④常数(－1)． 3、数形结合的数学思想方法 多项式的乘法常常可以看作是某种图形的面积，本章有许多这样数形结合的例子．例如：课本P180，根据图形面积说明平方差公式．P182，根据图形面积说明完全平方公式． 例．如图是用四张相同的矩形拼成的图形，请你利用图 中的阴影部分的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等 式：． 析解：因大正方形的边长为a＋b，小正方形的边长为a－b， 所以(a＋b)2－(a－b)2＝ （a2＋2a b＋b2）－（a2－2a b＋b2）＝4a b． 故填：(a＋b)2－(a－b)2＝4a b． 4、整体代入的思想方法 例如课本P185页第7题：已知a＋b＝5，a b＝3，求a2＋b2的值． 析解：直接求出a、b的值有一定的困难，但可对所求代数式a2＋b2，我们可添 项，变为：a2＋2a b＋b2－2a b＝(a＋b)2－2a b，然后整体代入求值． 5、逆向思维技巧 由于整式的乘除及因式分解都是恒等变形的过程，因此恰当地利用本章的一些性质、法则、公式进行逆向解题，常常可以起到简化运算，化难为易的作用． 例如课本P193第7题：已知2m＝a，32n＝b，求23m+10n． 析解：先逆用幂的乘方：(a m)n=a mn，再逆用积的乘方：(ab)n=a n b n． 由2m＝a，得(2m)3＝a3，即23m＝a3， 由32n＝b，得(25n)2＝b2，即210n＝b2， ∴23m+10n＝23m·210n＝a3b2． 由此可见正确地运用数学思想方法往往可使问题化繁为简、化难为易，起到事半功倍之效． 2、整式的乘法新题例析 整式的乘法是本章的重要内容，也是中考试题中常见的题型，下面请欣赏几例．一、定义运算类 例1．（吉安市）如果“三角形”表示，“方框”表示， 求×的值。 【分析】这是一道定义新的运算，按定义的规则代入运算即可，考查了学生对问题的理解运用能力。 解：×＝9m n×(－4n2m5)＝－36m6n3． 二、数形结合类 例2．如图甲是一个平行四边形，将其裁成四个相同的等腰梯形后，恰好能拼成如图乙的 整式的运算测试题一 一、选择题 1．下列计算正确的是（） A． B．C． D． 2．等于（） A． B．C． D． 3．若，那么A等于（） A． B． C．0 D． 4．已知，则下列计算正确的是（） A． B．C． D． 5．一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加了24cm，这个正方形原来的边长是（） A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm 二、填空题 1．一台电视机成本价为元，销售价比成本价增加25％，因库存积压，所以就按销售价的70％出售．那么，每台实际售价为________元． 2．下列整式中单项式有_________，多项式有_________． ，，，－2 3．多项式中，次数最高的项是________，它是________次的，它的系数是_________． 4．若代数式的值是6，则代数式的值是_________． 5．请写一个系数为负分数，含有字母的五次单项式________． 三、解答题 6．计算： （1）（2）（3）（4） （5）（6） （7） 7．先化简，再求值： （1）其中． （2）其中． 8．对于算式． （1）不用计算器，你能计算出来吗？ （2）你知道它计算的结果是几位数吗？个位是几？ 9．某种液体中每升含有个有害细菌，某种杀虫剂1滴可杀死个此种有害细胞．现要 将这种2升液体中的有害细菌杀死，要用这种杀虫剂多少滴？若10滴这种杀虫剂为升，那么，你知道要用多少升杀虫剂吗？ 整式的运算测试题二 一、填空题 1．； 2．； 3． 4．计算的值是__________ 5．； 6．一个正方体的棱长是厘米，则它的体积是_________立方厘米． 7．如果，那么 8．有n个不同且非0正整数的积是a，如果每个数扩大到5倍，则它们的乘积是_________ 9．； 10．已知，，， ，……，根据前面各式的规律可猜测： ．（其中n为自然数） 二、选择题 11．在下列各式中的括号内填入的是（?? ） 整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=? ),(都是正整数）（n m a a mn n m = )()(都是正整数n b a ab n n n = 2 2))((b a b a b a -=-+ 2 222)(b ab a b a ++=+ 2 222)(b ab a b a +-=- 整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数 【注意】（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。 （2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数 相同。 （3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要 注意单项式的符号。 （4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 （5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。 （6） ),0(1 );0(10为正整数p a a a a a p p ≠= ≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得 的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。 一、选择（每题2分，共24分） 1．下列计算正确的是（）． A．2x2·3x3=6x3B．2x2+3x3=5x5 C．（－3x2）·（－3x2）=9x5D．5 4 x n· 2 5 x m= 1 2 x m+n 2．一个多项式加上3y2－2y－5得到多项式5y3－4y－6，则原来的多项式为（）．A．5y3+3y2+2y－1 B．5y3－3y2－2y－6 C．5y3+3y2－2y－1 D．5y3－3y2－2y－1 3．下列运算正确的是（）． A．a2·a3=a5B．（a2）3=a5C．a6÷a2=a3D．a6－a2=a4 4．下列运算中正确的是（）． A．1 2 a+ 1 3 a= 1 5 a B．3a2+2a3=5a5C．3x2y+4yx2=7 D．－mn+mn=0 二、填空（每题2分，共28分） 6．－xy2的系数是______，次数是_______． 8．x_______=x n+1；（m+n）（______）=n2－m2；（a2）3·（a3）2=______． 9．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时，?若坐飞机飞行这么远的距离需_________． 10．a2+b2+________=（a+b）2a2+b2+_______=（a－b）2 （a－b）2+______=（a+b）2 11．若x2－3x+a是完全平方式，则a=_______． 12．多项式5x2－7x－3是____次_______项式． 三、计算（每题3分，共24分） 整式的有关概念 1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个 数或一个字母也是代数式。 2、单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示， 如 4 1 a 2 b ，这种表示就是错误的，应写成 13 a 2 b 。一个单项式中，所有字母的指 3 3 数的和叫做这个单项式的次数。如 a 3 b 2 c 是 6 次单项式。 5 多项式 1、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项多项式 中不含字母的项叫做常数项。 多项式中次数最高的项的次数， 叫做这个多项式 的次数。 ①单项式和多项式统称整式。 ②用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式 的值。 ③注意：（ 1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （ 2）求代数式的值， 有时求不出其字母的值， 需要利用技巧，“整体” 代 入。2、同类项：所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常 数项也是同类项。 3、去括号法则 ①括号前是“ +”，把括号和它前面的“ +”号一起去掉，括号里各项都不变号。 ②括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。 4、整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 整式的乘法： a m ? a n a m n (m, n 都是正整数 ) （ a m n a mn (m, n 都是正整数 ) ） (ab )n a n b n (n 都是正整数 ) (a b)(a b) a 2 b 2 (a b) 2 a 2 2ab b 2 (a b) 2 a 2 2a b b 2 整式的除法： m n m n ( , 都是正整数 , a 0) a a a m n 《整式的运算》拔高题专项练习 1、若0352=-+y x ，则y x 324?的值为 。 2、在()()y x y ax -+与3的积中，不想含有xy 项，则a 必须为 。 3、若3622=+=-y x y x ，，则y x -= 。 4、若942++mx x 是一个完全平方式，则m 的值为 。 5、计算2002200020012?-的结果是 。 6、已知()()7112 2=-=+b a b a ，，则ab 的值是 。 7、若()()q a a pa a +-++3822中不含有23a a 和项，则=p ，=q 。 8、已知2 131??? ? ?-=+x x x x ，则的值为 。 9、若n m n m 3210210,310+==，则的值为 。 10、已知2235b a ab b a +==+，则，的值为 。 11、当x = ，y = 时，多项式11249422-+-+y x y x 有最小值，此时这个最小值是 。 12、已知()()2212 3--==+b a ab b a ，化简，的结果是 。 13、()()()()()121212121232842+??????++++的个位数字是 。 14、计算()()2222b ab a b ab a +-++的结果是 。 15、若()()[]1320122 ---=+++ab ab ab b b a ，则的值是 。 16、计算()()123123-++-y x y x 的结果为 。 17、若x x x 204412，则=+- 的值为 。 18、 ()2101--= 。 19、若()()206323----x x 有意义，则x 的取值范围是 。 20、若代数式5021422++-+y x y x 的值为0，则=x ，=y 。 21、计算()()()()205021.010432--?-?-÷-的结果为 。 22、已知199819992000201x x x x x ++=++，则的值为 。 23、多项式62 1143--++b a ab a m 是一个六次四项式，则=m 。 24、若代数式7322++a a 的值是8，则代数式9642-+a a 的值为 。 25、已知y x y xy xy x -=-=-，则，1220的值为 。 26、已知()3 353x y y x y x -++-=-，则代数式的值等于 。 27、如果2221682=??x x ，则x 的值为 。 28、若()4323n n a a ，则=的值为 。 29、计算() 20016006125.02?-的结果为 。 整式的运算 综合提高 一、选择题 1．下列各式计算正确的是（ ） A ．7232)(m m m =? B ．10232)(m m m =? C ．12232)(m m m =? D ．25232)(m m m =? 2．下列计算正确的是（ ） A ．623623a a a =? B ．623523a a a =? C ．523523a a a =? D ．523623a a a =? 3．下列计算式中，正确的是（ ） A ．22a a a =? B ．1)2(2 2+=+a a C ．33)(a a -=- D ．22)(ab ab = 4．第二十届电视剧飞天奖今年有a 部作品参赛，比去年增加了40%还多2部.设去年参赛作品有b 部，则b 是（ ） A ． % 4012++a B ．2%)401(++a C ．%4012+-a D ．2%)401(-+a 5．把1422-+x x 化成k h x a ++2)(（其中a ，h ，k 是常数）的形式是（ ） A ．3)1(22-+x B ．2)1(22-+x C ．5)2(22-+x D ．9)2(22-+x 6．若+-=+22)32()32(b a b a （ ）成立，则括号内的式子是（ ） A ．ab 6 B ．ab 24 C ．ab 12 D ．ab 18 7．计算)3)(3(b a b a ---等于（ ） A ．2269b ab a -- B ．2296a ab b -- C ．229a b - D ．2 29b a - 8．)23)(3(2-+-x mx x 的积中不含x 的二次项，则m 的值是（ ） A ．0 B ． 32 C ．32- D ．2 3- 9．小华计算其整式减去ac bc ab 32+-时，误把减法看成加法，所得答案是 第一章 整式的运算知识点汇总 一. 整式 ※1. 单项式 ①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式. 单独一个数或字母也是单项式. ②单项式的系数是这个单项式的数字因数. 作为单项式的系数，必须连同前面的性质符号. 一个单项式只是字母的积,并非没有系数,它的系数为1，如mn 的系数为1. ③一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. ※2.多项式 ①几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项叫做常数项.一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数. ②含有字母的单项式有系数,多项式没有系数. 单项式和多项式都有次数, 一个多项式的次数只有一个,就是各项的次数中最高的那一项的次数. 多项式的每一项都是单项式,一个多项式的项数就是这个多项式中单项式的个数. ※3.整式 单项式和多项式统称为整式. ?? ??????其他代数式多项式单项式整式代数式 二. 整式的加减 ¤1. 整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单 项式. ¤2. 括号前面是“－”号,去括号时,括号内各项要变号 三. 同底数幂的乘法 ※同底数幂的乘法法则: n m n m a a a +=?(m,n 都是正整数) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 应用法则运算时,要注意以下几点:（难点、易错点） ①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式； ②单独字母指数是1时，不要误以为没有指数； ③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加； ④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n m a a a a ++=??（其中m 、n 、p 均为正数）； ⑤公式还可以逆用：n m n m a a a ?=+（m 、n 均为正整数） 解题技巧专题：整式求值的方法 ――先化简再求值，整体代入需谨记 ?类型一先化简，再代入 1?先化简，再求值：2 (x2y+ 3xy2)—[ — 2 (x2y- 1) + xy2] —3xy2，其中x = 1, y= 1. 2. (蚌埠期中)已知(x—2) 2+ Iy+ 1|= 0,求5xy2—[2x2y—( 2x2y —3xy2)]的值? ?类型二先变形，再整体代入 3. (曹县期中)已知a+ 2b=—3,贝U 3 (2a—3b)—4 (a—3b) + b 的值为( ) A.3 B. —3 C.6 D. —6 4. (盐城校级期中)已知a+ b= 4, c—d=—3,则(b+ c) — ( d —a)的值为___________ 5. (金乡县期中)先化简，再求值：(3x2+ 5x —2)— 2 (2x2+ 2x —1)+ 2x2—5,其中 x2+ x — 3 = 0.【方法16】 ?类型三利用“无关”求值或说理 1 6. 已知多项式2x2+ mx —卫+ 3 — ( 3x —2y + 1 —nx2)的值与字母x的取值无关，求多项式(m + 2n) — ( 2m —n)的值. 7. 老师出了这样一道题：“当a= 2015, b = —2016 时，计算(2a3—3a2b—2ab2) — ( a3—2ab2+ b3) + ( 3a2b—a3+ b3)的值?”但在计算过程中，同学甲错把“a= 2015”写成“ a =-2015”，而同学乙错把“ b=—2016”写成“―20.16”，可他俩的运算结果都是正确的，请你找出其中的原因，并说明理由.【方法17】 ?类型四与绝对值相关的整式化简求值 8. 已知a, b, c在数轴上的位置如图所示.化简：|a— 1|—|c—b|—|b—1|+ |—1 —c|. —*___ ] _________ I _____ B_____ I ___ ?_____ _ c -I 0 b I a 数学幂的运算测试卷(提高卷) 一、选择题(每题3分，共15分) 1．下列各式中(n 为正整数)，错误的有 ( ) ①a n +a n =2 a 2n ；②a n ·a n =2a 2n ； ③a n +a n = a 2n ； ④a n ·a n =a 2n A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 2．下列计算错误的是 ( ) A ．(－a )2·(－a )=－a 3 B ．(xy 2) 2=x 2y 4 C ．a 7÷a 7=1 D ．2a 4·3a 2=6a 4 3．x 15÷x 3等于 ( ) A ．x 5 B ．x 45 C ．x 12 D ．x 18 4．计算2009 20122011 1-2332）（）（）（??的结果是 ( ) A ．23 B ．3 2 C ．－2 3 D ．－3 2 二、填空题(每题3分，共21分) 6．计算：a 2·a ·a 3 =___________；(x 2) 3÷(x ·x 2) 2=__________． 7．计算：[(－n 3)] 2=__________；92×9×81－310=___________． 8．若2a +3b=3，则9a ·27b 的值为_____________． 9．若x 3=－8a 9b 6，则x=______________． 10．计算：[(m 2) 3·(－m 4) 3]÷(m ·m 2) 2÷m 12__________． 11．用科学记数法表示0．000 507，应记作___________． 二、解答题(共64分) 13．(本题满分12分)计算： (1) a 3÷a ·a 2； (2)(－2a )3－(－a )·(3a )2 (3)t 8÷(t 2·t 5)； (4)x 5·x 3－x 7·x+x 2·x 6+x 4·x 4． 整式的运算 整式的加减 一、整式的有关概念 1．单项式 （1）概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系，例如：2x 可以看成12x ?，所以2x 是单项式；而2x 表示2与x 的商，所以2 x 不是单项式，凡是分母中含有字母的就一定不是单项式. （2）系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 例如：212 x y -的系数是12 -；2r π的系数是2.π 注意：①单项式的系数包括其前面的符号；②当一个单项式的系数是1或1-时，“1”通常省略不写，但符号不能省略. 如：23,xy a b c -等；③π是数字，不是字母. （3）次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数. 注意：①计算单项式的次数时，不要漏掉字母的指数为1的情况. 如322xy z 的次数为1326++=，而不是5；②切勿加上系数上的指数，如522xy 的次数是3，而不是8；322x y π-的次数是5，而不是6. 2．多项式 （1）概念：几个单项式的和叫做多项式. 其含义是：①必须由单项式组成；②体现和的运算法则. （2）项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几个单项式就叫几项式.例如：2231x y --共含有有三项，分别是22,3,1x y --，所以2231x y --是一个三项式. 注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是1-，而不是1. （3）次数：多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数. 注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和. 例如：多项式2242 -+中，22 235 x y x y xy - 2x y的次数是4，4 3x y 的次数是5，2 5xy的次数是3，故此多项式的次数是5，而不是45312 ++=. 3．整式：单项式和多项式统称做整式. 4．降幂排列与升幂排列 （1）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列. （2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列. 注意：①降（升）幂排列的根据是：加法的交换律和结合律；②把一个多项式按降（升）幂重新排列，移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动；③在进行多项式的排列时，要先确定按哪个字母的指数来排列. 例如：多项式244233 -+---；按y y xy x y x y x 32 32 xy x y x y x y ----按x的升幂排列为：422334 的降幂排列为：423234 y x y xy x y x --+--. 32 二、整式的加减 1．同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项. 注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关. 例如：23 -是同 2a b与32 3b a 类项；而23 5a b却不是同类项，因为相同的字母的指数不同. 2a b与32 2．合并同类项 (1) (2) (3) (4) 口算：1．_____________. 2．=_____________. 3．=_____________. 4．=_____________. 5．=_____________. 6．=_____________. 7．=_____________. 8．=_____________. 9．=_____________. (1)5(-x3)4·(-3x4)3÷(-18x5)； (2)[5ab3-2b2(3a2+2ab)]÷(-ab2)； (3)(a-2)·(-3an)2-(9an+1+5a)·an；(4)[6(2x-y)3-4y(y-2x)2]÷2(y-2x)2。 (1)[(a-b)2+ab]·(a+b)； (2)(x-3y)(x+3y)(x4+9x2y2+81y4)； (3)(x+)2(x2-x+)2； (4)(x-4y+2z)(x+4y-2z)。 (1)(-5.5)1997×()1997； (2) ； (3)1998×1996-19972； (4) 。 先化简再求值 (x-y)2+(3x-2y)(2x+y)-x(6x-y),其中x=,y=1。 ①(2a2 - a - 9)·(-9a) ②(x-y)( x2+xy+y2) ③(2x－y)(2x＋y)＋y(y－6x) ④ ⑤ 三．化简与求值：（a＋b）（a－b）＋（a＋b）2－a(2a＋b)，其中a=，b＝－ １。（10分） 21． 22． 23．．24． ． 25．．26． ． 27．应用乘法公式进行计算：． 28．先化简，再求值：，其中．31．已知：，，求的值．9． 10．． 11．．12． 13．14． 4、5、 6、7、 8、简便运算：9、 10、 11、 12、 13、 15、化简求值其中 (6)(-3a3)2·a3+(-4a)2·a7-(5a3)3 (7)3x(3x2-2x-1)-2x2(x-2) (8) (9)(2a-3b)(a+5b) （9）；（10） （11） (12）； 中考数学整式速算技巧 今天为同学们整理分享的是关于中考数学的整式乘除技巧，以助于同学们可以快速计算，接下来就让我们一起来学习一下吧，希望可以帮助到有需要的同学们。 整式的乘法： 1) 单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的因式。 2) 单项式与多项式相乘法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 3) 多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 整式的除法 1) 单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除作为上的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2) 多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。 四、因式分解——把一个多项式化成几个整式的积的形式 1) 提公因式法：(公因式——多项式各项都含有的公共因式)吧公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。取各项系数的最大公约数作为因式的系数，取相同字母最低次幂的积。公因式可以是单项式，也可以是多项式。 2) 公式法：A.平方差公式; B.完全平方公式一、代数式 1. 概念：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数与字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 2. 代数式的值：用数代替代数式里的字母，按照代数式的运算关系，计算得出的结果。 二、整式 单项式和多项式统称为整式。 1. 单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。 2) 单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。 3) 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 2. 多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。 幂的四大运算法则 一、知识提要 1. 一个单项式中，所有字母的叫做这个单项式的次数；一个多项式中，，叫做这个多项式的次数． 2. 幂的四大运算法则： ①同底数幂相乘，，．表示； ②同底数幂相除，，．表示； ③幂的乘方，，．表示； ④积的乘方等于．表示． 3. 我们规定： ①单独的一个数或字母也是； ②单独一个非零数的次数是； ③a 0 ； ④a -P ． 二、精讲精练 1. 代数式x x 32 52-，y x 22πx 1，5-，a ，0中，单项式的个数是． 2. 在代数式a 3，4 x ，y +2，-5m 中，为单项式， 3. 2 32y x -的系数是；22b a π-的系数是，次数是. 4. 若62y x -与n m y x 313-的和仍是单项式，则=n m ． 5. 多项式-3x 2y 2+6xyz +3xy 2-7是次项式，其中最高次项为． 6. 多项式(1231224+-+-+xy y x y x y x a b 是关于x ，y 的四次多项式，则 a b 7. 如果一个多项式的次数是6，则这个多项式的任何一项的次数都( A ．小于6 B ．等于6 C ．不大于6 D ．不小于6 8. 65105104???； x a ?x 2a -1?x b +1； 2034a a a a a =?=?）（）（． 9. 已知a m =2，a n =3，则a m +n ； 已知a n -3a 2n +1=a 10则n = ； 已知a =10，a =2，则a 10. (-12n -1?(-12n ?(-12n +1 m 3?m 6-(-m 2?m 3(-m 4； (x -y 6?(x -y 4(y -x 3； ((=-+?+--?-+342 (c b a c b a c b a 11. -0.2-3；当x (3x + 21 0=1； (02 3(1----π；=-÷--02 14. 3( 4 3(π 12. (-a 3n +1÷(-a n ； ÷a m =1(a ≠0 ； a 2m ÷a m -1 ． 13. (3 n a (m 2 3?m n =m 9, 则n ； (3a 2 3+(a 2 2?a 2 14. [(a 2 1- 3]2； [(-x 3]4?(-x 5 (-x 2 3?(-y 2-(-x 3 2?(-y 2 15. =?-1011002 5. 0(； 1.整式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 23 13-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式． 几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式． 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． 注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入 (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整 体”代入． 2.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意：(1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号． 去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号． 整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项． 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：n m n m a a a +=?(n m ,都是正整数)． 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．如：()mn n m a a =(n m ,都是正整数)． 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂 相乘．如：()n n n b a ab =(n 为正整数)． 单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：单项式乘以单项式的结果仍然是单项式． 单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项 整式乘除的提高题 题组一：变式计算（1） 1、已知223a b +=，2ab =，求①2()a b +；②2()a b - 2、已知3a b +=，2ab =，求①2()a b +；②22a b +；③2()a b - 3、已知4a b -=，1ab =，求①2()a b -；②22a b +；③2()a b + 4、已知5x y +=，2215x y +=，求xy 的值 题组二：学会配方 完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+ 2222()a ab b a b -+=- 1、26x x ++ =2()????????? 2、24x x -+ =2()????????? 3、216x +???????+=2()????????? 4、2412m mn -+ =2()????????? 5、24914m m ++ =2()????????? 题组三：变式计算（2） 1、已知15a a +=，求221 a a +的值； 2、已知1 7a a -=，求221 a a +的值； 3、已知22114a a +=，求①1a a +；②2 1() a a - 题组四：简便计算 1、 10298? 2、 19952005? 3、 224114510541?-? 题组五：巧算 1、 24816(12)(12)(12)(12)(12)+++++ 2、2481632(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x ++++++ 3、2481111(1)(1)(1)(1)2222 ++++ 4、242(1)(1)(1)(1)n a a a a ++++L L幂的运算与整式的乘除知识点复习
整式及其运算
整式的乘除提高练习题(供参考)
初一数学下册《 整式的运算》知识点归纳
《整式乘法》中的思想方法与思维技巧
整式的运算测试题及答案
整式的运算法则
初中整式及其运算重点学习的知识点重点学习的及重点学习的练习.doc
A《整式的运算》拔高题专项练习
整式的运算综合提高
整式的运算知识点汇总
(完整版)解题技巧专题：整式求值的方法
整式的乘除测试题(提高)
整式的运算技巧
整式的乘除(大量计算题、能力提高题)
中考数学整式速算技巧
幂的四大运算法则(整式的运算)解读
整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧
整式的乘除提高题