幂函数(教师版)
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二次函数与幂函数
1．幂函数
(1)定义：形如y ＝x α
(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． (2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)
f (
x
)＝ax ＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax ＋bx ＋c (a <0)
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
1．已知点M ??
?
?
33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为( )
A ．f (x )＝x 2
B ．f (x )＝x －
2
C ．f (x )＝x 12
D ．f (x )＝x 答案：B
2．已知f (x )＝x 2－2mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－∞，2]
1．辨明两个易误点
(1)对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在
第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
2．会用两种数学思想
(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．
(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．
[做一做]
3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )
A.????0，120
B.????－∞，－120
C.????120，＋∞
D.???
?－120，0 解析：选C.由题意知?
????a ＞0，Δ＜0，即?????a ＞0，1－20a ＜0，得a ＞120.
4．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为( )
A ．[0，1]
B ．[1，2]
C ．(1，2]
D ．(1，2)
解析：选B.如图，由图象可知m 的取值范围是[1，2]．
,[学生用书P 24～P 25])
考点一__幂函数的图象及性质________________
(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )
(2)当0 的大小关系是________． [解析] (1)设幂函数的解析式为y ＝x α， ∵幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)， ∴2＝4α，解得α＝1 2 . ∴y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数， 当0 (2)如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0，1)上的图象，由此可知h (x )>g (x )>f (x )． [答案] (1)C (2)h (x )>g (x )>f (x ) [规律方法] 幂函数的图象特征 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 1.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·x n 2 －3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0， ＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2 D ．1或2 解析：选B.由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3.当n ＝1时，f (x )＝x － 2＝1x 2在(0，＋∞)上是减函数；当n ＝－3时，f (x )＝x 18在(0，＋∞)上是增函数．故n ＝1 符合题意，应选B. 考点二__求二次函数的解析式____________ 已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )的解析式； (2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式． [解] (1)由于f (x )有两个零点0和－2， 所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a . 由于f (x )有最小值－1， 所以必有? ????a ＞0 －a ＝－1， 解得a ＝1. 因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x . (2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上， 所以－y ＝(－x )2＋2(－x )， 即－y ＝x 2－2x ，y ＝－x 2＋2x ， 故g (x )＝－x 2＋2x . [规律方法] 在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式： (1)已知三个点的坐标，应选择一般式； (2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式； (3)已知函数图象与x 轴的交点坐标，应选择零点式． [注意] 求二次函数的解析式时，如果选用的形式不当、引入的字母系数过多，会加大运算量，易出错． 2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确 定此二次函数的解析式． 解：法一：(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得? ????4a ＋2b ＋c ＝－1， a － b ＋ c ＝－1， 4ac －b 2 4a ＝8，解得?????a ＝－4，b ＝4，c ＝7. ∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)， ∴抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝1 2 . ∴m ＝1 2 .又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ????x －122 ＋8. ∵f (2)＝－1， ∴a ????2－122 ＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4????x －122 ＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用零点式)： 由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8，即4a （－2a －1）－a 2 4a ＝8. 解得a ＝－4或a ＝0(舍去)， ∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 考点三__二次函数的图象与性质(高频考点)______ 高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，难度偏大，属中高档题． 高考对二次函数图象与性质的考查主要有以下两个命题角度： (1)二次函数图象的识别问题； (2)二次函数的最值问题． (1)(2015·郑州模拟)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( ) (2)已知函数f (x )＝－x 2 ＋2ax ＋1－a 在x ∈[0，1]时有最大值2，求a 的值． [解析] (1)A 项，∵a <0，－b 2a <0，∴b <0.又∵abc >0，∴c >0，由图知f (0)＝c <0，故A 错； B 项，∵a <0，－b 2a >0，∴b >0，又∵abc >0，∴c <0，而f (0)＝c >0，故B 错；C 项，∵a >0，－ b 2a <0，∴b >0，又∵ab c >0，∴c >0，而f (0)＝c <0，故C 错；D 项，∵a >0，－b 2a >0，∴b <0，又∵abc >0，∴c <0，由图知f (0)＝c <0，故选D. [答案] D (2)解：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a ≥1时，y max ＝a ； 当0＜a ＜1时，y max ＝a 2－a ＋1； 当a ≤0时，y max ＝1－a . 根据已知条件得，?????a ≥1a ＝2或?????0＜a ＜1a 2－a ＋1＝2或? ????a ≤0 1－a ＝2， 解得a ＝2或a ＝－1. [规律方法] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、 轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； (2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解． 3.(1)(2015·山东黄岛月考)两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是( ) (2)设函数y ＝x 2 －2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，求g (a )． 解析：(1)选D.函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显 然－b 2a 与－a 2b 同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧．只有D 满足． (2)解：∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1， ∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内， ∴应进行讨论． 当－2 －2a ； 当a >1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1. 综上，g (a )＝? ????a 2－2a ，－2 －1，a >1. ,[学生用书P 26]) 方法思想——三个“二次”间的转化 若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)由f (0)＝1，得c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ， ∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴?????2a ＝2，a ＋b ＝0.∴?????a ＝1，b ＝－1. 因此，所求解析式为f (x )＝x 2－x ＋1. (2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1，1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1，1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0，得m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． [名师点评] 二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不 等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点． (2015·合肥模拟)已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R )． (1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值； (2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b 的取值范围． 解：(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系，得? ????x 1＋x 2＝－2b ， x 1x 2＝c . 即? ????－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1. (2)由题知，f (1)＝1＋2b ＋c ＝0， 所以c ＝－1－2b . 记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1， 则?????g （－3）＝5－7b >0 g （－2）＝1－5b <0g （0）＝－1－b <0g （1）＝b ＋1>0 ?15 ， 即实数b 的取值范围为????15，57. 1．(2015·福建三明质检)已知幂函数f (x )＝x α 的图象过点(4，2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( ) A.3 B ．± 3 C ．±9 D ．9 解析：选D.由函数f (x )＝x α过点(4，2)，可得4α＝22α ＝2，所以α＝12 ，所以f (x )＝x 1 2＝x ， 故f (m )＝m ＝3?m ＝9. 2．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象的最高点为(－1，－3)，则b 与c 的值是( ) A ．b ＝2，c ＝4 B ．b ＝2，c ＝－4 C ．b ＝－2，c ＝4 D ．b ＝－2，c ＝－4 解析：选D.根据已知条件得到方程组 ?????b 2＝－1，－3＝－1－b ＋c ， 解得b ＝－2，c ＝－4. 3．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么( ) A ．f (2) ∴f (x )关于x ＝2对称，又开口向上． ∴f (x )在[2，＋∞)上单调递增，且f (1)＝f (3)． ∴f (2) 即f (2) 4．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若a ＝c ，则函数f (x )的图象不可能是( ) 解析：选D.由四个选项知，图象与x 轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若 只有一个交点，则x 1＝x 2，由于a ＝c ，所以x 1x 2＝c a ＝1，比较四个选项，可知选项D 的x 1<－ 1，x 2<－1，所以D 不满足． 5．(2015·吉林松原调研)设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，已知f (m )<0，则( ) A ．f (m ＋1)≥0 B ．f (m ＋1)≤0 C ．f (m ＋1)>0 D ．f (m ＋1)<0 解析：选C.∵f (x )的对称轴为x ＝－1 2 ，f (0)＝a >0， ∴f (x )的大致图象如图所示． 由f (m )<0，得－1 解析：依题意可设f (x )＝a (x －2)2 －1， 又其图象过点(0，1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝1 2 . ∴f (x )＝1 2 (x －2)2－1. 答案：f (x )＝1 2(x －2)2－1 7．已知(0.71.3)m ＜(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________． 解析：∵0.71.3＜0.70＝1＝1.30＜1.30.7， ∴0.71.3＜1.30.7，∴m ＞0. 答案：(0，＋∞) 8．设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3，2]上有最大值4，则实数a 的值为________． 解析：此函数图象的对称轴为x ＝－1.当a >0时，图象开口向上，x ＝2时取得最大值，所 以f (2)＝4a ＋4a ＋1＝4，解得a ＝3 8 ；当a <0时，图象开口向下，x ＝－1时取得最大值，所以 f (－1)＝a －2a ＋1＝4，解得a ＝－3. 答案：－3或3 8 9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m ) －1 (m ∈N *)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m 2＋m 为偶数， ∴函数f (x )＝x (m 2＋ m )－1 (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数． (2)∵函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2 ＋m ) －1，即212 ＝2(m 2＋ m ) －1 ， ∴m 2 ＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N * ，∴m ＝1，f (x )＝x 12 . 又∵f (2－a )>f (a －1)， ∴?????2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1， 解得1≤a <32 ， 故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1. 满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a <3 2 . 10．(2015·辽宁五校第二次联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x ) ＝x 2 ＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象： (1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式； (3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1，2])，求函数g (x )的最小值． 解：(1)f (x )在区间(－1，0)，(1，＋∞)上单调递增． (2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)， ∴f (x )＝? ????x 2－2x （x ＞0）， x 2＋2x （x ≤0）. (3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值； 当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值； 当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值． 综上可得g (x )min ＝?????1－2a （a ≤0）， －a 2 －2a ＋1（0＜a ≤1），2－4a （a ＞1）. 1．方程x 2 ＋ax －2＝0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A.????－23 5，＋∞ B ．(1，＋∞) C.????－235，1 D.? ???－∞，－235 解析：选C.令f (x )＝x 2＋ax －2， 由题意，知f (x )的图象与x 轴在[1，5]上有交点， 则?????f （1）≤0，f （5）≥0. 解得－235≤a ≤1. 2．已知函数f (x )＝? ????x 2 ＋ax ＋1，x ≥1 ax 2＋x ＋1，x <1，则“－2≤a ≤0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.当a ＝－1时，f (x )＝? ????x 2－x ＋1，x ≥1 －x 2＋x ＋1，x <1，作出图象可知(图略)，函数f (x )在R 上不是单调递增函数，所以充分性不满足；反之，若函数f (x )在R 上是单调递增函数，则当a ＝0时满足，当a ≠0时，－a 2≤1，a <0且－12a ≥1，解得－12≤a <0.即－1 2 ≤a ≤0，所以能够推 出－2≤a ≤0，故“－2≤a ≤0”是“函数f (x )在R 上单调递增”的必要不充分条件． 3．已知函数f (x )＝x －2m 2 ＋m ＋3 (m ∈Z )为偶函数，且f (3) 解析：∵f (x )是偶函数，∴－2m 2 ＋m ＋3应为偶数． 又f (3) －2m 2 ＋m ＋3 ，整理得??? ? 35－2m 2 ＋m ＋3 <1， ∴－2m 2＋m ＋3>0，解得－1 2 . 又m ∈Z ，∴m ＝0或1. 当m ＝0时，－2m 2＋m ＋3＝3为奇数(舍去)； 当m ＝1时，－2m 2＋m ＋3＝2为偶数． 故m 的值为1. 答案：1 4．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数， 设x 0为均值点， 所以f （1）－f （－1）1－（－1） ＝m ＝f (x 0)， 即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根， 解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1 所以实数m 的取值范围是0 5．是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1，1]时，值域为[－2，2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由． 解：f (x )＝(x －a )2＋a －a 2. 当a ＜－1时，f (x )在[－1，1]上为增函数， ∴? ????f （－1）＝1＋3a ＝－2f （1）＝1－a ＝2?a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时，?????f （a ）＝a －a 2 ＝－2 f （1）＝1－a ＝2 ?a ＝－1； 当0＜a ≤1时，? ????f （a ）＝a －a 2 ＝－2 f （－1）＝1＋3a ＝2?a 不存在； 当a ＞1时，f (x )在[－1，1]上为减函数， ∴? ????f （－1）＝1＋3a ＝2f （1）＝1－a ＝－2?a 不存在． 综上可得，a ＝－1. ∴存在实数a ＝－1满足题设条件． 6．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1， F (x )＝? ????f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2 . ∴F (x )＝?????（x ＋1）2 ，x ＞0， －（x ＋1）2 ，x ＜0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1 x －x 在(0，1]上恒成立． 又1x －x 的最小值为0，－1 x －x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0. 故b 的取值范围是[－2，0]． 函数与基本初等函数 函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都 有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区 间，分别记做 [,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③ ()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π ≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2 ()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2 ()4()()0b y a y c y ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． 函数的表示法 （5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对 应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念 ①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一 .. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围：基本不等式；考试时间：100 分钟；命题人：聂老师 题号一二三总分 得分 第 I 卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题 1．化简的结果为（） A． 5B．C．﹣D．﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 ．函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 ， 2] 上的最大值比最小值大3 ，则a的值为 （） A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析：结合指数函数的性质，当0 a 1 ，函数为减函数.则当 x 0 时， o 1 ，当 x 2 时，函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ，则1 a ， 4 解得 a 2 （负舍） . 2 考点：指数函数的性质. 3．指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数，则 a 的取值范围是（） A．a 1 B． a 2 C． 0 a 1 D． 1 a 2 【答案】 B 【解析】 试题分析：对于指数函数 x 1 时，函数在R上是增函数，当 0 a 1时，y a ，当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知：a 1 1 即， a 2 . 考点：指数函数的性质 . 4．若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】 A Word 完美格式 【解析】 试题分析：由题意，得 2m 3 1 m 1 ，解得 ． 考点：幂函数的解析式． 5．若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点，则（ ） A ． 1 m 2 B ． m 1 m 2 或 C ． m 2 D ． m 1 【答案】 B 【解析】 试题分析： y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数，则必有 m 2 3m 3 1，得 m 1 1, m 2 2 ， 又函数图象不过原点，可知其指数 m 2 0 ， m 1 1, m 2 2 均满足满足，故正确选项 为 B. 考点：幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数，说明幂的系数必须为 1，即 可得含有 m 的方程；其次幂函数的图象不过原点，说明指数为负数或者零，即可得含 有 m 的不等式 . 在此要注意， 00 是不存在的， 也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6．设 2, 1, 1 ,1,2,3 ，则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】 C 【解析】 试题分析：因为 a y x 是奇函数，所以 a 应该为奇数，又在 (0, ) 是单调递增的，所 以 a 0 则只能 1,3 ．考点：幂函数的性质 . 7．已知函数 ，若 ，则实数 （ ） A ． B ． C ． 2 D ． 9 【答案】 C 【解析】因为 ， 所以 ． 例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，1 2 时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数 解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数． 答案C 例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 1 5 (7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋ ∞)上为增函数，求实数t的值． 分析关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p|、|q|互 质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x p q 是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝ x p q 的奇偶性与p的值相对应． 解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0. 当t＝0时，f(x)＝x 7 5 是奇函数； 当t＝－1时，f(x)＝x 2 5 是偶函数； 当t＝1时，f(x)＝x 8 5 是偶函数，且 2 5 和 8 5 都大于0，在(0，＋∞)上为增函数． 故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 2 5 . 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件 t ∈Z 给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．-1 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1 log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。 一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ． 33 39= C ．4 343 3 )(y x y x +=+ D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 目录 专题21 函数及其表示 (1) 专题22 函数的定义域与值域 (1) 专题23 函数的单调性与最值 (2) 专题24 函数的奇偶性与周期性 (4) 专题25 二次函数与幂函数 (6) 专题26 对数与对数函数 (7) 专题27 函数的图象 (8) 专题28 函数与方程 (10) 专题29 分段函数 (11) 专题210 新定义函数 (13) 专题21 函数及其表示 1【2014高考安徽卷理第6题】设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623( πf （ ） A.21 B 23 C 0 D 21- 【答案】A 【曹亚云·解析】231717()()sin 666f f πππ=+ 111117()sin sin 666 f πππ=++ 551117()sin sin sin 6666f ππππ=+++ 0sin sin sin 666πππ=+-+ 12 = 2【2014江西高考理第3题】已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ） A 1 B 2 C 3 D -1 【答案】A 【曹亚云·解析】()()11f g = |(1)|51g ?= ()10g ?= 10a ?-= 1a ?= 专题22 函数的定义域与值域 3【2014江西高考理第2题】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ） A )1,0( B ]1,0[ C ),1()0,(+∞-∞ D ),1[]0,(+∞-∞ 【答案】C 【曹亚云·解析】20x x ->，10x x ∴><或所以选C 4【2014山东高考理第3题】函数的定义域为（ ） A B C D 【答案】C 【曹亚云·解析】()22log 10x ->2log 1x ?>或2log 1x <-，解得 2x >或 102x ∴ <> 专题23 函数的单调性与最值 5【2014高考北京版理第2题】下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ） A ．y =．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+ 【答案】A 【曹亚云·解析】因为函数y =[1,)-+∞ 上单调递增，所以选项A 正确； 因为函数2(1)y x =-在区间(,1)-∞ 上单调递减，在区间[1,)+∞ 上单调递增，所以选项B 错误； 因为函数2x y -=在区间(,)-∞+∞ 上单调递减，所以选项C 错误； 因为函数0.5log (1)y x =+在区间(1,)-+∞ 上单调递减，所以选项D 错误； “高中数学师生群”QQ 群号码：341383390，欢迎各位在读高中学生加入，欢迎各位一线高中数学教师加入 “高中数学教师俱乐部”QQ 群号码：44359573，欢迎各位一线高中数学教师加入注：该群为教师群，拒绝学生申请 6【2014高考福建卷第4题】若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ） 1)(log 1 )(22-=x x f )21,0(),2(+∞),2()21,0(+∞ ),2[]21,0(+∞ 高一数学期末复习幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 3、1．指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是 （ ） A ．log c a =b B ．log c b =a C ．log a b =c D ．log b a =c 4、若210,5100==b a ，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ） A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0> 2014届高考数学二轮复习资料 专题三：三角函数（教师版） 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函 数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2 π, 2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; (2)“1”的替换: 22 sin cos 1αα+=; (3)切弦互化:弦的齐次式可化为切； (4)角的替换:2()()ααβαβ=++-,()2 2 αβ αβ ααββ+-=+-=+ ; (5)公式变形:2 1cos 2cos 2αα+= , 2 1cos 2sin 2 αα-=, tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-; §3.3 幂函数 一、基础过关 1．幂函数y ＝f(x)的图象过点(4，1 2 )，那么f(8)的值为 ( ) A ．2 6 B ．64 C.2 4 D.164 2．函数y ＝x 1 2 －1的图象关于x 轴对称的图象大致是 ( ) 3．下列是y ＝x 2 3 的图象的是 ( ) 4．图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一 象限的图象，已知n 取±2，±1 2 四个 值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为 ( ) A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－1 2 5．给出以下结论： ①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点； ③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的序号为________． 6．函数y ＝x 12 ＋x － 1的定义域是________． 7．写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： (1)y ＝x 2＋x － 2； (2)y ＝x 12＋x －12； (3)f(x)＝x 12＋3(－x)14. 8．已知函数f(x)＝(m 2＋2m)·xm 2 ＋m －1，m 为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 二、能力提升 9．设a ＝(35)25，b ＝(25)35，c ＝(25)2 5 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>b B ．a>b>c C ．c>a>b D ．b>c>a 10．函数f(x)＝x α，x ∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 11．若(a ＋1)－12<(3－2a)－1 2 ，则a 的取值范围是________． 12．已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，1 4 )． (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)当x 为何值时，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x) 幂函数练习题及答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分，共50分). 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是??( ) A ．y x =43? B.y x =32 C ．y x =-2 ? D.y x =- 14 ２．函数2 -=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是???( ） Ａ. 4 1 ?Ｂ．1-?Ｃ．4 D.4- 3.下列所给出的函数中，是幂函数的是? ?( ） A.3 x y -=?Ｂ．3 -=x y ? C.3 2x y =?Ｄ．13 -=x y 4.函数3 4x y =的图象是? ( ） Ａ． B. Ｃ． D ． 5．下列命题中正确的是? ? ( ) Ａ.当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(０，0)和(1，1）点 C.若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 ６.函数3 x y =和3 1x y =图象满足 ? （ ) A.关于原点对称 Ｂ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 ? D.关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|,满足 ( ） A.是奇函数又是减函数 B.是偶函数又是增函数 C.是奇函数又是增函数 ?D ．是偶函数又是减函数 8．函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是 ( ） A ．]6,(--∞ ? B ．),6[+∞- C.]1,(--∞ ? D.),1[+∞- 9. 如图１—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ) Ａ．102431<<<<<αααα Ｂ．104321<<<<<αααα Ｃ.134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< １0． 对于幂函数5 4 )(x x f =,若210x x <<，则 )2( 21x x f +，2 ) ()(21x f x f +大小关系是( ) A.)2( 21x x f +>2)()(21x f x f + ?Ｂ. )2(21x x f +<2) ()(21x f x f + C ． )2( 21x x f +=2 ) ()(21x f x f + ? D. 无法确定 二、填空题：请把答案填在题中横线上(每小题6分,共2４分). １１．函数y x =- 3 2 的定义域是 . 12．的解析式是?? . 1３．9 42 --=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数,则整数a 的值是 . 1４．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y m n k ∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 ． 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤（共76分) . 1５．（1２分)比较下列各组中两个值大小 （１)06072088089611 611 53 53 ..(.)(.).与；（）与-- 1α 3α 4α 2α 高考复习---利用函数性质研究函数图像专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．函数2||1 ()x x f x e -=的图象大致为（ ）. A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 先由函数解析式，判断函数奇偶性，排除A,B ；再由特殊值验证，排除D ，进而可得出结果. 【详解】 因为()21x x f x e -=，所以()()21 x x f x f x e --==，因此()f x 为偶函数，所以排除选项A,B ， 又()23 21f e =<，所以排除D. 故选C 【点睛】 本题主要考查函数图像的识别，一般先考虑函数奇偶性，再特殊值验证，属于常考题型. 2．函数f （x ）=的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解，即可得到答案． 【详解】 由题意，函数满足()()x -x f x f x e e -==-=-+，即()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，又由当x 0>时，()f x 0>恒成立，排除A ，D ， 故选C ． 【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数值的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，再利用函数值排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．函数()21cos 1x f x x e ??=- ?+?? 图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用奇偶性可排除A 、C ；再由(1)f 的正负可排除D. 经典例题透析 类型一、求函数解析式 例1.已知幕函数y = (nr-m-])x,,,2-2m~3,当xw(0, + 8)时为减函数，则幕函数y二___________________ . 解析：由于丁 =(加2—血—1)#宀2心为幕函数， 所以m2— \ = \,解得m = 2 ,或m = —\. 当ni = 2时，nr -2m-3 = -3 , y = x~3在(0, + 8)上为减函数； 当m = -l时，/7?2-2m-3 = 0, y = %° =1(x^0)在(0, + ?)上为常数函数，不合题意，舍去. 故所求幕函数为y = x-3. 总结升华：求慕函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白需函数的定义是关键. 类型二、比较幕函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. 4 4 _ 3 _ 3 (1)3」4万与兀了；(2)(-近门与(-73)^. 4 4_4 解：⑴由于幕函数y = ?亍(x>0)单调递减且3」4 <龙，???3.14万 > 兀了. _3 (2)由于y =兀5这个幕函数是奇函数.???f (-x) =-f (x) —_ 3 _ 3 _ 3 _ 3 _ _因此，(一血门二一(血)V,(―巧)V =—(內)V ,而y = (x>0)单调递减，且血 3 3 3 3 3 3 ???(血戸 >"门即(一血门v( 总结升华. (1)各题中的两个数都是“同指数”的幕，因此可看作是同一个幕函数的两个不同的函数值，从而可根据幕函数的单调性做出判断. (2)题(2)中，我们是利用幕函数的奇偶性，先把底数化为正数的幕解决的问题.当然，若直接利用x<0 上幕函数的单调性解决问题也是可以的. 举一反三 【变式一】比较O.805, O.905, 0.9皿的大小. 思路点拨:先利用幕函数)=兀"的增减性比较0?8°5与0.9°"的大小，再根据幕函数的图象比较0.9°"与0.9七5的大小. 解：y = x Q-5^.(0, + oo)上单调递增，且0.8 v 0.9 , .?,0.805 <0.905. 作出函数y = X05与歹=兀七5在第一象限内的图彖， 易知0.严< 0.9心. 指数函数、对数函数、幂函数的图 像与性质 欧阳光明（2021.03.07） （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==) 0() 0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 n 为奇数 n 为偶数 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0,r、s∈Q); ②(a r)s=a rs(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0 第四讲 幂函数、与反函数 一、知识梳理 1．幂函数： ①定义：形如a y x =（a 为常数）的函数叫幂函数。 当0>a 时，图象过定点)0,0(和)1,1(；当0a 时，函数图象在第一象限剧烈增长； 当0n 时，都过)0,0(和)1,1(，0 高三数学专题复习总结-(幂函数)经典 1 / 1 2 高三数学专题复习 （幂函数）经典 1．设? ????? --∈3,2,1,21,1,2α，则使幂函数a y x =为奇函数且在(0,)+∞上单调递增的a 值的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．设11,0,,1,2,32a ? ?∈-???? ，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．对于幂函数f(x)=45x ，若0＜x 1＜x 2，则12( )2x x f +，12()()2 f x f x +的大小关系是( ) A. 12( )2x x f +＞12()()2f x f x + B. 12()2x x f +＜12()()2 f x f x + C. 12()2x x f +=12()()2 f x f x + D. 无法确定 4．设函数y ＝x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 5．下列说法正确的是( ) A ．幂函数的图像恒过(0,0)点 B ．指数函数的图像恒过(1,0)点 C ．对数函数的图像恒在y 轴右侧 D ．幂函数的图像恒在x 轴上方 6．若0>>n m ，则下列结论正确的是（ ） A. 22m n < B. 22 m n < C. n m 22log log > D. 11m n > 7．若函数32)32()(-+=m x m x f 是幂函数，则m 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 8．幂函数y f x =()的图象经过点1 42 (,)，则(2)f （ ） A. 14 B. 12 - 9．幂函数35m y x -=，其中m N ∈，且在(0,)+∞上是减函数，又()()f x f x -=， 则m =（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 10．已知幂函数()m f x x =的图象经过点（4，2），则(16)f =（ ） 专题11 幂函数 （幂函数的定义与图像，幂函数的性质） 知识梳理 一、幂函数 1、幂的有关概念： 正整数指数幂：*)n n a a a a n N =?????∈个 （ 零指数幂：01(0)a a =≠ 负整数指数幂：*1 (0,)p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂： m *n (0,,1)n m a a a m n N n =>∈>且 *11 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a -== >∈> 2、幂函数的定义： 形如k y x =的函数叫幂函数。 注意：幂函数的底数是变量x ，系数是1，高中阶段指数取有理数k 。 3、幂函数的图象. 根据幂函数的定义域,先作出其在第一象限的图象,再由其奇偶性作出其他象限的图形,具体见下图,()k y x k Q =∈的图象. 其中,*,2,,n m N m m n ∈≥互质. 4、幂函数的性质 所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1） ?k>0时：（图A ） （1）图象都通过（0，0），（1，1）； （2）在第一象限内，函数值随x 的增大而增大（增函数）。 ?k<0时；（图B ） （1）图象都通过点（1，1）（2）在第一象限内，函数值随x 的增大而减小（减函数） （3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近。 ?设幂函数k y x =的指数q k p = ，其中p 、q 互素 当p 是偶数时，k y x =的定义域关于原点不对称，故它是非奇非偶函数； 当p 是奇数时，如果q 是偶数，那么k y x =是偶函数；如果q 是奇数，那么k y x =是奇函数 当0k ≠时，幂函数的单调区间是整个定义域，或是将定义域分为两个单调区间.具体情况可由上述图像直观得到 热身练习 1、下列命题中正确的是（） A 当m=0时，函数m y x =的图像是一条直线 B 幂函数的图像都经过（0,0）， （1,1）两点 C 幂函数m y x =图像不可能在第四象限内 D 若幂函数m y x =为奇函数，则 抽象函数周期性的探究（教师版） 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特探究一下抽象函数的周期性问题. 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 () f x ，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. : 命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 【 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A、B→ C （2001年全国高考第22题第二问） ∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) ) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期(完整版)高考函数专题复习-教师版
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