金属塑性成形部分

1、名词解释

5）应力张量：6）主应力图：7）对数应变：8）平面应力状态：9）平面应变：11）屈服应力（真实应力）：

轴对称应力状态位移位移分量对数应变主应变主切应变应变速率屈服表面屈服轨迹π平面本构方程全量理论真实应力滑移线滑移线场

3.动态再结晶图：将不同变形温度和在此温度下的不同变形程度、以及发生再结晶后空冷所得的晶粒大小，

画成立体图。称为第二类再结晶图或动态再结晶图。

4. 金属材料在受到拉伸应力时，显示出很大的延伸率而不产生缩颈与断裂现象，把延伸率能超过100%的

现象叫做“超塑性”。超塑性变形的一般特点：1、大伸长率；2、无缩颈；3、低流动应力；4、易成形。5．细晶超塑性是指在一定的恒温下，在应变速率和晶粒度都满足要求的条件下所呈现的超塑性。

又称为结构超塑性或恒温超塑性

6．相变超塑性是指在一定外力作用下，使金属或合金在相变温度附近反复加热和冷却，经过一定的循环次数后获得很大的伸长率。又称为动态超塑性。

8. 从能量观点看，塑性变形时金属所吸收的能量，绝大部分转变为热能，这种现象称为热效应。

由于塑性变形过程中所产生的热量而使变形体温度升高的现象，称为温度效应。

温度效应与下列因素有关。（1）变形温度（2）应变速率（3）变形程度

9.物体变形时所承受的应力状态是表示物体内所承受力的情况，点的应力状态：是指受力物体内一点任意方

位微分面上所受的应力情况

10. 屈服准则：又称塑性条件(plastic conditions)或屈服条件(yield conditions)，它是描述不同应力状态下变形体

某点进入塑性状态并使塑性变形继续进行所必须满足的力学条件。

1、塑性变形：材料在一定外力作用下，利用其塑性而使其成型并获得一定力学性能的加工方法。

2、塑性：在外力作用下使金属材料发生塑性变形而不破坏其完整性的能力。

3、滑移：晶体在力的作用下，晶体的一部分沿一定的晶面和晶向相对于晶体的另一部分发生相对移动或切变。

4、滑移面：滑移中，晶体沿着相对滑动的晶面。滑移方向：滑移中，晶体沿着相对滑动的晶向。

5、孪生：晶体在切应力作用下，晶体一部分沿着一定的晶面和一定的晶向发生均匀切变。

张量：由若干个当坐标改变时，满足转换关系的分量所组成的集合。

6、晶粒度：金属材料晶粒大小的程度。

7、变形织构：在塑性变形时，当变形量很大，多晶体中原为任意取向的各个晶粒，会逐渐调整其取向而彼此趋于一致。这种由于塑性变形的结果而使晶粒具有择优取向的组织。

8动态再结晶：在热塑性变形过程中发生的再结晶。

动态回复:动态回复是在热塑性变形过程中发生的回复。发生在层错能较高的金属中。

9、主应力：切应力为0的微分面上的正应力。

10、主方向：主应力方向，主平面法线方向。

11、主应力空间：由三个主方向组成的空间

12、主切应力：切应力达到极值的平面上作用得切应力。

13、主切应力平面：切应力达到极值的平面。

14、主平面:应力空间中，可以找到三个互相垂直的面，其上均只有正应力，无切应力，此面就称为主平面。

15、平面应力状态：变形体内与某方向轴垂直的平面上无应力存在，并所有应力分量与该方向轴无关的应力状态。

16、平面应变状态：物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变形，而该平面的法线方向没有变形的变形状态。

17、理想刚塑性材料：研究塑性变形时，既不考虑弹性变形，又不考虑变形过程中的加工硬化的材料。

18、理想弹塑性材料：塑性变形时，需考虑塑性变形之前的弹性变形，而不考虑硬化的材料。弹塑性硬化材料：塑性变形时，既要考虑塑性变形前的弹性变形，又要考虑加工硬化的材料。

19、刚塑性硬化材料：研究塑性变形时，不考虑塑性变形之前的弹性变形，需考虑变形过程中的加工硬化的材料。

20、屈服轨迹：两相应力状态下屈服准则的表达式在主应力坐标平面上的几何图形，一条封闭的曲线。

21、屈服表面：屈服准则的数学表达式在主应力空间中的几何图形是一个封闭的空间曲面称为屈服表面。

22、应变增量：以物体在变形过程中某瞬时的形状尺寸为原始状态，在此基础上发生的无限小应变。

23、增量理论：

24、全量应变：反映张量在某一变形过程或变形过程中的某个阶段结束时的应变。 25、比例加载：在加载过程中，所有的外力一开始就按同一比例加载。

26、干摩擦：接触表面没有其他外来介质，仅是金属与金属之间的摩擦。通常所说的干摩擦是指不加任何润滑剂的摩擦。

27、流体摩擦：当变形金属与工具表面之间的润滑剂层较厚，两者表面完全被润滑剂隔开，这种状态下的摩擦称为~~。

28、磷化：塑性成形时润滑前在坯料表面上用化学方法制成一层磷酸盐或草酸盐薄膜，呈多孔吸附润滑剂。

29、皂化：将磷化处理后的坯料进行润滑处理方法，常用硬脂酸钠或肥皂等故称~。 30、纤维组织：若变形程度很大，则晶粒呈现为一片如纤维状的条纹，称为纤维组织。

热变形 变形金属在完全再结晶条件下进行的塑性变形 .热效应 金属在塑性变形时的发热现象

.动态再结晶 在热变形过程中，在应力作用下的再结晶

附加应力 物体不均匀变形受到其整体性限制而引起的物体内相互平衡的应力 弹塑性共存定律 在塑性变形过程中存在弹性形变

1．上限法的基本原理是什么？

答：按运动学许可速度场来确定变形载荷的近似解，这一变形载荷它总是大于真实载荷，即高估的近似值，故称上限解。

条件应力：室温下在万能材料拉伸机上准静态拉伸（3102-?<ε /S ）标准试样，记录下来的拉伸

力P 与试样标距的绝对伸长l ?之间的关系曲线称为拉伸图。若试样的初始横截面面积为

0A ，标距长为0l ，则条件应力0

σ，，0

A P =

σ

真实应力 试样瞬时横截面A 上所作用的应力Y 称为真实应力，亦称为流动应力。A

P Y =

，

2、填空

1）按照成形特点，塑性成形可分 和 ；其中前者的一次加工又有 、 、 ；二次加工又有 、 。

2）塑性加工按照成形时的温度可分为 热成形 、 温热成形 、 冷成形 。

3）外力可分为 面力（接触力） 和 体积力 ；其中前者又可分为 、 、 。 4）在外力作用下，物体各质点之间就会产生相互作用的力叫做 内力 ；单位面积上的内力叫 应力 ；主平面上的正应力叫 主应力 ；切应力为零的微分面的正应力叫 。

5）表示变形大小的一个物理量叫 应变 ；单元体棱长的伸长或缩短称为 ；再将单位长度上的线变形叫 线应变 ，又称 。（用符号 表示）

6）在求和约定中，将角标重复出现的叫 哑标 ；不重复出现的叫 自由标 ； 自由标 不包含求和的意思，但他可表示该表达式的个数。

7）张量的分解中，引起物体形变的是 应力偏张量 ；引起物体体积改变的是 应力球张量 。 8）塑性成形的摩擦可分为： 干摩擦 、 边界摩擦 、 流体摩擦 。

9）摩擦有表面凹凸学说、 分子吸附学说 、 粘附理论 三个机理。

10）常用的润滑添加剂有 油性剂 、 极压剂 、 抗磨剂 、 防锈剂 等。

11）塑性成形的润滑方法有 流体润滑 、表面磷化-皂化处理 和 表面镀软金属 。 12）主应力法解题的实质是将 平衡微分方程 和 塑性条件 联立求解。 13）塑性变形时的体积不变条件是： 0321=++εεε 。

14）常摩擦力条件的表达式为 K m =τ

1. 多晶体是有许多位向不同的晶粒组成晶粒之间存在晶界，多晶体塑性变形包括晶内变形和晶间变形两种。

2. 晶内变形 基本方式和单晶体一样为滑移和孪生。其中滑移起主要作用，孪生其次要作用。

3. 晶间变形 晶间变形的主要方式是晶粒之间相互滑动和转动。

4. 按工艺方法可将超塑性分为细晶超塑性和相变超塑性。 8. Tresca 准则物理意义：当材料的最大切应力达到某一常数时，材料就屈服。

Mises 准则物理意义：当材料的单位体积的弹性形变能达到某一常数时，质点就屈服。

9.塑性力学基本假设：连续性假设、匀质性假设、各向同性假设、初应力为零、体积力为零、体积不变假设。 .塑性变形的主变形图有3_种，其类型可用应力张量不变量_I 3_来判定。

对于强化材料，当应力状态点沿着屈服表面上运动时，称作_中性变_载，此时有_弹性_变形，而无新的_塑性__变形。 工程法实际上只用上了基本方程中的_平衡_方程和__塑性条件___方程。

应力不变量1J 的物理意义是__反映了弹性变形体积变化的大小___，应力偏量2J 的物理意义是_反映形状变化大小_。 应变增量是指_变形过程中某一极短阶段的无限小应变_，其度量基准是_变形过程中某一瞬间的尺寸 。 1. 衡量金属或合金的塑性变形能力的数量指标有 伸长率 和 断面收缩率 。

2. 所谓金属的再结晶是指 冷变形金属加热到更高的温度后，在原来变形的金属中会重新形成新的无畸变的等轴晶，直至完全取代金属的冷变形组织 的过程。

3. 金属热塑性变形机理主要有： 晶内滑移 、 晶内孪生 、 晶界滑移 和 扩散蠕变 等。

4．影响金属塑性的主要因素有： 化学成分和合金元素成分、组织状态 、 变形温度 、 应变速率 、 应力状态 。

6. 对应变张量 ，请写出其八面体线应变 与八面体切应变 的表达式。

＝ ；

＝ 。

7.如果采用数学的方式，屈雷斯加屈服条件可表述为 。

8. 金属塑性成形过程中影响摩擦系数的因素有很多，归结起来主要有 金属的种类和化学成分 、 工具的表面状态 、 接触面上的单位压力 、 变形温度 、 变形速度 等几方面的因素。

9. 变形体处于塑性平面应变状态时，在塑性流动平面上滑移线上任一点的切线方向即为该点的最大切应力方

向。对于理想刚塑性材料处于平面应变状态下，塑性区内各点的应力状态不同其实质只是 平均应力 不

同，而各点处的 最大切应力

为材料常数。

10. 在众多的静可容应力场和动可容速度场中，必然有一个应力场和与之对应的速度场，它们满足全部的静可容和动可容条件，此唯一的应力场和速度场，称之为 真实 应力场和 真实 速度场，由此导出的载荷，即为 真实 载荷，它是唯一的。

6. 常用的摩擦条件及其数学表达式： 库伦摩擦条件 ，常摩擦条件 。

7.π 平面是指： 通过坐标原点并垂于等倾线的平面，其方程为 。

8.一点的代数值最大的_主应力_的指向称为 第一主方向，由第一主方向顺时针转 所得滑移线即为 线。

9. 平面变形问题中与变形平面垂直方向的应力 σ z =

10. 在有限元法中：应力矩阵 [S]= ， 单元内部各点位移 {U}=

1. 设平面三角形单元内部任意点的位移采用如下的线性多项式来表示：

，则单元内任一点外的应变可表示为

＝ 。

1. 金属塑性变形的特点:不同时性、相互协调性和不均匀性.

2. 由于塑性变形而使晶粒具有择优取向的组织,称为:变形织构

3. 随着变形程度的增加,金属的强度 硬度增加,而塑性韧性降低,这种现象称为:加工硬化

4. 超塑性的特点:大延伸率、低流动应力、无缩颈、对应变速率的敏感性、易成形。

5. 细晶超塑性变形力学特征方程式

中的m 为:应变速率敏感指数

6. 晶粒度对于塑性的影响为:晶粒越细小,金属的塑性越好

7. 应力状态对于塑性的影响可描述为(静水压力越大)主应力状态下压应力个数越多 数值越大时,金属的塑

性越好 8. 通过试验方法绘制的塑性 — 温度曲线,称为塑性图

9. 用对数应变表示的体积不变条件为:

10. 平面变形时,没有变形方向(设为z 向)的正应力为:12132

()z m σσσσσ==+=

11. 纯切应力状态下,两个主应力数值上相等,符号相反

12. 屈雷斯加屈服准则和米塞斯屈服准则的统一表达式为:13s σσβσ-=,表达式中的系数β的取值范围

为:1 1.155β=

13. 塑性变形时,当主应力顺序123σσσ>>不变,且应变主轴方向不变时,则主应变的顺序为:123εεε>> 14. 拉伸真实应力应变曲线上,过失稳点(b 点)所作的切线的斜率等于该点的:真实应力Y b 15. 根据塑性条件可确定库伦摩擦条件表达式中的μ的极限值为（0.5---0.577） 16. 速度间断线两侧的法向速度分量:相等 17. 不考虑速度间断时的虚功(率)

方程的表达式为:

3、选择

1．塑性变形时，工具表面的粗糙度对摩擦系数的影响 A 工件表面的粗糙度对摩擦系数的影响。 Ａ、大于； Ｂ、等于； Ｃ、小于；

2．塑性变形时不产生硬化的材料叫做 A 。Ａ、理想塑性材料；Ｂ、理想弹性材料；Ｃ、硬化材料； 3． 用近似平衡微分方程和近似塑性条件求解塑性成形问题的方法称为 B 。 Ａ、解析法； Ｂ、主应力法； Ｃ、滑移线法； 4． 韧性金属材料屈服时， A 准则较符合实际的。

Ａ、密席斯； Ｂ、屈雷斯加； Ｃ密席斯与屈雷斯加；

5．由于屈服原则的限制，物体在塑性变形时，总是要导致最大的 A 散逸，这叫最大散逸功原理。

Ａ、能量； Ｂ、力； Ｃ、应变； 10．多晶体经过塑性变形后各晶粒沿变形方向显著伸长的现象称为 A 。 Ａ、纤维组织； Ｂ、变形织构； Ｃ、流线； 1 下面选项中哪个不是热塑性变形对金属组织和性能的影响( B )

A 改善晶粒组织 C 形成纤维组织

B 产生变形织构 D 锻合内部缺陷

3 已知一点的应力状态为ij

q q q q q q q

q

q σ??

??

=??????

,则该点属于( ) A 球应力状态 B 纯切应力状态 C 平面应力状态 D 单向应力状态

4 一般而言，接触表面越光滑，摩擦阻力会越小，可是当两个接触表面非常光滑时，摩擦阻力反而提高，这一现象可以用哪个摩擦机理解释（ B ） A 表面凸凹学说 B 分子吸附学说 C 粘着理论

5 计算塑性成形中的摩擦力时，常用以下三种摩擦条件，在热塑性成形时，常采用哪个（ ） A 库伦摩擦条件 B 最大摩擦条件 C 常摩擦条件

6 小应变几何方程用角标符号表示为（ ） A 、1()2j i i j u u x x ??+?? B 、i i u x ?? C 、1(

)2j i

i j

u u x x ??+?? 7 下面关于应变增量ｄε

ｉｊ

的叙述中错误的是（ ）

A 与加载过程中的某一瞬时的应力状态相对应

B 在列维－米塞斯理论中，应变增量主轴与该瞬时的应力主轴重合

C 应变增量主轴与当时的应变全量主轴不一定重合 Ｄ 应变增量ｄε

ｉｊ

对时间ｔ的导数 即为应变速率ε

ｉｊ

8 关于滑移线的说法，错误的是（ ）

A 滑移线必定是速度间断线

B 沿同一条滑移线的速度间断值为常数

C 沿滑移线方向线应变增量为零

D 直线型滑移线上各点的应力状态相同 9 根据体积不变条件，塑性变形时的泊松比ν（ C ） A ＜ 0.5 B ＞ 0.5 C ＝ 0.5 11 动可容速度场必须满足哪些条件（ ）

A 体积不变条件

B 力边界条件

C 变形体连续性条件

D 速度边界条件 12 下面哪些选项属于比例加载应满足的条件（ ） A 塑性变形量很小，与弹性变形属于同一数量级 B 外载荷各分量按比例增加

C 加载过程中，应变主轴与应力主轴固定不变且重合 Ｄ 泊松比<0.5

研究塑性力学行为时，常用的基本假设有：

A 、连续性

B 、均匀性和各向异性

C 、体积力为零 Ｄ、体积不变 如果一个角标符号带有m 个角标，每个角标取n 个值，则该角标符号代表（

D ）个元素。

A n m ?

B n m +

C n m Ｄ m

n

某受力物体内应力场为：0,,2

3,62

3322

23

12

===--=-

=+-=zx

yz

z

xy

y

x

y x c y c xy c x c xy

τ

τ

σ

τ

σ

σ

，

系数321,,c c c 的值应为：（ ）

A 3,2,1321===c c c

B 3,2,1321-==-=c c c

C 3,2,1321=-==c c c

D 无解

已知平面应变状态下的应力张量为：???

?

?

????

?=32

1σσσσij ，且有321σσσ>>，根据平面变形时的应力

状态特点可知，组成该应力张量的纯切应力状态部分可描述为：（ A ）

A ??????????????--

-2023131σσσσ B ???

???

?

???

????--

-20

2212

1σσσ

σ C ?????????????

?--20

23131σσσσ D ??

????

???

?

???

?--

-20

2

32

32

σσσσ

（多选题） 比例加载应满足哪些条件：（ ）

A 变形体不可压缩

B 加载过程中，应力主轴方向和应变主轴方向固定不变，且重合

C 外载荷各分量按比例增加

D 塑性变形和弹性变形属于同一数量级 运用屈雷斯加屈服准则判断下列应力状态使金属处于塑性状态的是：（ D ）

A ?????????

?=s s

s

ij σσσσ B ????

?

??

??

?=s s

s

ij σσ

σ

σ2.08.08.0 C ?????????

?--=s s

s

ij

σσ

σ

σ5.0 D ????

?

??

??

?=s s

s

ij σσ

σ

σ455 已知???

?

?

?????-----=40

014047

ij

σ，则ij d ε各分量的比值xy

z y

x d d d d γ

εεε:::为：（ ）

A -7:-1:-4:-4

B -3:3:0:-4

C -3:3:0:0

已知???

?

?

?????---=150

01040410

ij

σ，则ij d ε各分量的比值xy

z y

x d d d d γ

εεε:::为：（ ）

A 10:-10:15:-4

B 5:-15:10:-4

C 5:-15:10:-9

D 15:-5:20:1 （多选题）已知一滑移线场如图所示，下列说法正确的有：（ ）

A C 点和

B 点?角相等，均为4/π

B 如果已知B 、

C 、

D 、

E 四点中任意点的平均应力，就可以求解其他三点的平均应力

C D 点和E 点?角相等，均为12/π- D 由跨线定理可知，C

E

B

D

?

?

?

?

-=-

已知某点的应力分量为???

?

?

?????=13

390005ij

σ，则主应力为（ ） A 0,5,10321===σσσ B 1,9,5321===σσσ C 2,5,12321-===σσσ D 5.2,5.7,5321===σσσ

4、判断

1．按密席斯屈服准则所得到的最大摩擦系数μ=0.5。（×）

2．塑性变形时，工具表面的粗糙度对摩擦系数的影响小于工件表面的粗糙度对摩擦系数的影响。（×）3．静水压力的增加，对提高材料的塑性没有影响。（×）

4．在塑料变形时要产生硬化的材料叫理想刚塑性材料。（×）

5．塑性变形体内各点的最大剪应力的轨迹线叫滑移线。（√）

6．塑性是材料所具有的一种本质属性。（√）

7．塑性就是柔软性。（×）

8．合金元素使钢的塑性增加，变形拉力下降。（×）

9．合金钢中的白点现象是由于夹杂引起的。（×）氢引起的

10．结构超塑性的力学特性为m

k

S'ε

=，对于超塑性金属m =0.02-0.2。（×）

11．影响超塑性的主要因素是变形速度、变形温度和组织结构。（√）

12．屈雷斯加准则与密席斯准则在平面应变上，两个准则是一致的。（×）

13．变形速度对摩擦系数没有影响。（×）

14．静水压力的增加，有助于提高材料的塑性。（√）

15．碳钢中冷脆性的产生主要是由于硫元素的存在所致。（×）

16．如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分量，也自然满足协调方程，则不必校验其是否满足连续性条件。（×）

17．在塑料变形时金属材料塑性好，变形抗力就低，例如：不锈钢（×）

4、解答

1.变形织构可分为：丝织构和板织构

多晶体塑性变形时伴随有晶粒的转动，尽管这些转动不像单晶体转动那样自由，但当变形量很大时多晶体中原为任意取向的各个晶粒会逐渐调整其取向而趋于一致。这种由塑性变形的结果而使晶粒具有择优取向的组织称为变形织构。

2热塑性变形对金属的组织和性能的影响主要表现在以下几点：

1．改善晶粒组织2．锻合内部缺陷3．形成纤维状组织4．破碎并改善碳化物和非金属夹杂物分布

5．改善偏析：在一定程度上改善铸造组织的偏析是由于热变形破碎枝晶和加速扩散所致。

4应力张量：表示点应力状态的九个应力分量构成一个二阶张量，称为应力张量

应变偏张量和应变球张量：应变球张量和应变偏张量分别表示体积变化和形状变化

5 .等效应力：八面体切应变绝对值的3

2倍所得之参量称为等效应力也成为广义应力或应力强度。

特点1等效应力是一个不变量。2等效应力在数值上等于单向拉伸（或压缩）时的拉伸（或压缩）应力3等效应力并不代表某一实际平面上的应力，故不能在某一特定平面上表示出来

4等效应力表示了三个主应力的综合效果，可以理解为代表一点的应力状态中应力偏张量的综合作用。等效应力

主轴坐标系下：

等效应力

任意坐标系下：

6．主应变简图：（主应力简图）受力物体内一点的应力状态，可用作用在应力单元体上的主应力来描述，只用主应力的个数及符号来描述一点应力状态的简图称为主应力图。（9种）

三个主应变中绝对值最大的主应变，反映了该工序变形的特征，称为特征应变。

1 .当时，ε2＝0，应变状态为ε1＞0，ε2＝0，ε3＜0，且ε1＝－ε3，属于剪切类变形（平面应变）。

2.当时，σ2＞0，应变状态为ε1＞0，ε2＞0，ε3＜0，属于压缩类变形。

3.当时，σ2＜0 ，应变状态为ε1＞0，ε2＜0，ε3＜0，属于伸长类变形。

7.比较两屈服准则的区别：

（1）物理含义不同：Tresca：最大剪应力达到极限值K Mises：畸变能达到某极限

（2）表达式不同;

（3）几何表达不同Tresca准则：在主应力空间中为一垂直π平面的正六棱柱；

Mises准则：在主应力空间中为一垂直于π平面的圆柱。

(π平面:在主应力坐标系中，过原点并垂直于等倾线的平面)

两准则的联系：

（1）空间几何表达：Mises圆柱外接于Tresca六棱柱；在π平面上两准则有六点重合；

（2）通过引入罗德参数和中间主应力影响系数β，可以将两准则写成相同的形式：

8.塑性应力应变关系的特点：

1 应力与应变之间的关系是非线性的，全量应变主轴与应力主轴不一定重合；

2 变形是不可逆的，与应变历史有关，即应力-应变关系不再保持单值关系；

3 塑性变形时可以认为体积不变，即应变球张量为零，泊松比v=0.5；

4 对于应变硬化材科，卸载后再重新加载时的屈服应力就是卸载时的屈服应力，比初始屈服应力要高。

9.塑性成形中摩擦的分类

1.干摩擦：当变形金属与工具之间的接触表面上不存在任何外来的介质，即直接接触时产生的摩擦。

2.边界摩擦：当坯料与工具之间的接触表面上加润滑剂时，随着接触压力的增加，坯料表面凸起部分被压平，润滑剂被挤入凹坑中，被封存在里面，这时在压平部分和模具之间存在一层极薄的润滑膜，接触表面就处在被这种单分子膜隔开的状态，这种单分子膜润滑的状态。

3.流体摩擦：当变形金属与工具表面之间的润滑剂层较厚，两表面完全被润滑剂隔开，此时的润滑状态称为流体润滑，这种状态下的摩擦称为流体摩擦。

10.摩擦机理

1.表面凹凸学说：认为摩擦是由于接触表面上的凹凸形状所引起的

2.分子吸附学说：认为摩擦的原因是由于接触表面上分子之间相互吸引的结果

3粘着理论：认为当两个表面接触时，接触面上某些接触点处压力很大，以致发生粘接或焊合，当两表面产生相对运动时，粘接点被切断而产生相对滑动。

11. 防止产生裂纹的原则措施：

1）增加静水压力2）选择和控制合适的变形温度和变形速度3）提高原材料的质量

4）采用中间退火，以便消除变形过程中产生的硬化、变形不均匀、残余应力等

12.晶粒细化可以提高金属材料的屈服强度、疲劳强度、塑性和冲击韧度，降低钢的脆性转变温度

影响晶粒大小的主要因素：1加热温度2变形程度3机械阻碍物

细化晶粒的主要途径：（1）在原材料冶炼时加入一些合金元素及最终采用铝、钛等作脱氧剂

（2）采用适当的变形程度和变形温度（3）采用锻后正火等相变重结晶的方法

13库仑摩擦条件：不考虑接触面上的粘合现象（即全滑动），认为摩擦符合库仑定律。其内容如下：

（1）摩擦力与作用于摩擦表面的垂直压力成正比例，与摩擦表面的大小无关；

（2）摩擦力与滑动速度的大小无关；（3）静摩擦系数大于动摩擦系数。

其数学表达式为：或

14常摩擦力条件

最大摩擦条件：当接触表面没有相对滑动，完全处于粘合状态时，单位摩擦力（）等于变形金属流动时的

临界切应力k，即：= k

摩擦力不变条件：认为接触面间的摩擦力，不随正压力大小而变。其单位摩擦力是常数，即常摩擦力定律，其表达式为：=m·k 式中，m为摩擦因子

1.塑性加工的优点及金属在外力作用下变形的阶段。

组织、性能好；材料利用率高；尺寸精度高；生产效率高。

（2）弹性变形；塑性变形；断裂。

2.塑性力学的基本假设。张量及其不变量的基本性质。

连续性假设；匀质性假设；各向同性假设；初应力为零假设；体积不变假设。

存在张量不变量；张量可以叠加和分解；张量可分对称张量、非对称张量、反对陈张量；二阶对称张量存在三个主轴和三个主值（如取主轴为坐标轴，则两个小角标不同的分量都将是0，只留下两个下角标相同的分量称为主值）。

3.金属塑性变形的主要机理（单晶体、多晶体）。滑移和孪生两种塑性变形机理的主要区别。晶内变形包括滑移和孪生（单）；晶间变形是晶粒之间的相对滑动和转动（多）。

①变形方式孪生是使一部分晶体整体发生均匀的切变；而滑移则集中在一些滑移面上。②变形后的位向孪生使一个晶体的两部分沿一个公共晶面构成了镜面对称关系；而滑移则不改变晶体的位向。③原子位移距离不同孪生时，孪晶带中的原子沿孪生方向的位移量为原子间距的的分数值；而滑移为原子间距的整数倍。④孪生变形困难一般先滑移，滑移困难后，发生孪生，二者交替进行。

4.金属超塑性概念，超塑性的种类。影响材料超塑性的因素。

金属材料在受到拉伸应力时，显示出很大的延伸率而不产生缩颈与断裂现象，把延伸率能超过100%的现象叫做“超塑性”。

超塑性效应有大伸长率，无颈缩，低流动应力，对应变速率的敏感性，易成型的特点。

细晶超塑性，相变超塑性。

应变速率，变形温度，组织结构，晶粒度，应力分布。

解释超塑性变形的机理。

答：超塑性变形行为是很复杂的，变形机理也还处在研究探索之中。目前有这样几种解释：①晶界滑移的作用；②扩散蠕变的作用；③动态回复和动态再结晶的作用。

5.应力偏张量和应力球张量的物理意义。

应力偏张量只能使物体产生形状变化，而不能使物体产生体积变化，为原应力张量分解出球张量后得到，存在三个不变量J1' ,J2' ,J3'。

应力球张量表示球应力状态只能使物体产生体积变化，而不能使物体产生形状变化；任何方向都是主方向且主应力相同无切应力。

6.体积不变条件。

θ=εx+εy+εz=0塑性变形时，三个线应变分量不全同号，绝对值大的与另外两个异号。

7.平面应力状态及平面应变状态的特点，平面应变状态及轴对称应力应变关系的证明。

（1）变形体内各质点在与某方向轴(例x)垂直的平面上没有应力作用，该方向为主方向；应力分量与该轴无关，对其偏导数为0所有应力分布可在xy面内表示出来。

（2）

8.Trssca、Mises准则的物理意义及几何意义，两个准则的相同点和不同点。其在π平面上的几何表示，它们为何种情况下差别最大？

（1）意义：

屈雷斯加准则：变形体某点的最大切应力达到定值材料就屈服；π平面上为正六边形。

米赛斯准则：一定变形条件下，弹性形状改变能打到某一定值材料就屈服；π平面上为一个圆。（2）共同点屈服准则的表达式都和坐标的选择无关，等式左边都是不变量的函数；三个主应力可以任意置换而不影响屈服，同时认为拉应力和压应力的作用是一样的；各表达式都和应力球张量无关。

不同点屈雷斯~加没有考虑中间应力的影响，三个主应力大小顺序不知时，使用不便；米赛斯~

考虑了中间应力的影响，使用方便。

（3）在平面应变情况下差别最大，最大相差15.5% 9. 弹性应力应变关系及塑性应力应变关系的特点。

（1） 弹性~应力与应变呈线性关系，应力主轴与应变主轴重合；变形可逆与加载过程无关瞬时外载决定；可认为体积变化，泊松比v ＜0.5

（2） 塑性~应力与应变不成线性关系，应力主轴与应变主轴不一定重合；变形不可逆，与变形历史有关；可认为体积不变化，泊松比v=0.5；塑性变形过程存在加工硬化

10. 简单加载与复杂加载的应力分量变化特点，Levy-Mises 增量理论的应力应变关系的基本假设及其表达式。应力应变的顺序对应关系。

（1） 简单加载：应力分量按比例加载；只加载不卸载；应力与应变的主轴重合。 复杂加载：不满足简单加载条件。

增量理论：或

（2） 材料是刚塑性材料，即弹性应变增量为0，塑性应变增量就是总的应变增量。材料符合米屈服准则。 每一加载瞬时，应力主轴与应变增量主轴重合。塑性变形时体积不变。

假设应变增量与应力偏量成正比，得Levy-Mises 方程

d λ——瞬时非负比例系数，加载时 d λ>0，卸载时d λ=0

11. 真实应力应变曲线的简化形式及近似表达式。 幂指数硬化曲线Y=B ∈n 次方

刚塑性硬化曲线Y=σs+B1∈m 次方 钢塑性硬化直线Y=σs+B2∈ 理想钢塑性水平直线Y=σs

12. 变形温度及变形速度对真实应力应变曲线的影响。

（1） 冷变形时，温度效应显著，强化被软化所抵消，最终表现出的是：变形速度的影响不明显，动态时的真实应力-应变曲线比静态时略高一点，差别不大。

（2） 在高温变形时温度效应小，变形速度的强化作用显著，动态热变形时的真实应力-应变曲线必静态时高出很多。

（3） 温变形时动态真实应力-应变曲线比静态时的曲线增高的程度小于热变形时的情况。 （4） 高温变形时速度影响大，低温变形时速度影响小。

13. 摩擦产生的相关学说，常用的摩擦条件及数学表达式，塑性成形过程摩擦的基本分类及特点。影响摩擦系数的主要因素。

（1）表面凹凸学说、分子吸附学说、粘着理论

（2）库伦摩擦条件：T=μPn 或τ=μσn 正压力不大，变形量小；常摩擦力条件：τ=mK ，当m=1为最大摩擦力条件

（3）干摩擦、边界摩擦、流体摩擦。特点：伴随有变形金属的塑性流动；接触面上压强高；实际接触面积大；不断有新的摩擦面产生；常在高温下产生摩擦。

（4）金属种类和化学成分；工具的表面状态；接触面上的单位压力；变形温度；变形速度 14. 主应力法的基本原理，板料成型的特点。

（1） 将应力平衡微分方程和屈服方程联立求解。

（2） 板料成型时，坯料大都只有一个版面与模具接触，另一个为自由表面；成型过程中大多在室温下进行，故必须考虑材料的加工硬化；变形区的板料厚度是变化的；必要时还需考虑板料的各向异性的影响。

s σσ=0

321=++=++εεεεεεd d d d d d z y x λ

σεd d ij ij '=λσεd d ij ij '=

15.简述有限元法的一般解题步骤

（1）把变形体看成是有限数目单元体的集合。分片近似对，每一个单元选择函数来近似描述其场变量。将各个单元所建立的关系式加以集成，得到一个与有限个节点相关的总体方程。（2）连续体的离散化。选择满足某些要求的联系单元节点和单元内部各点的位移（或速度）的插值函数。建立单元的刚度矩阵或能量泛函。建立整体方程。解方程求未知节点的位移。由节点位移，得用几何方程和物理方程，求整个变形的应变场、应力场。

16.热塑性变形的主要软化机制。

动态回复。金属即使在远高于静态再结晶温度下，塑性加工时，一般只发生动态回复，且对于有些金属甚至变形程度很大，也不发生动态再结晶，所以其为主要软化机制。

17.影响晶粒大小的主要因素。

加热温度，包括变形前的加热温度和固溶处理时的加热温度；

变形程度，影响晶粒再结晶从而影响晶粒大小；

机械阻碍物，会对晶界起到钉扎的作用，阻止晶界的迁徙，同时变形速度、原始晶粒度和化学成分也会影响晶粒度。

18.对数应变的特点。

能表示变形的实际情况；可叠加应变；可比应变。

19.塑性成形过程润滑剂的特点及分类。

液体润滑剂：植物动物矿物油、有机化合物液体；固体润滑剂：干性固体润滑剂、软化性固体润滑剂、无机盐类

20.应变速率对金属塑性的影响机理。

(1) 增加应变速率会使金属的真实应力升高，是由于塑性变形的过程较复杂，需有一定的时间进行。

(2) 增加应变速率，由于无足够时间进行回复或再结晶，因而软化过程不充分使金属的塑性降低。

(3) 增加应变速率，会使温度效应增大和金属的温度升高，这有利于金属塑性的提高。

综上所述，应变速率的增加，既有使金属塑性降低的一面，又有使金属塑性增加的一面，这两方面因素综合作用的结果，最终决定了金属塑性的变化。

24.说明冷塑性变形对金属组织和性能的影响？

1) 对组织的影响冷塑性变形后，金属的晶粒形状发生变化，变化趋势大体同金属的宏观变形一致，变形程度大时会产生纤维组织。

2) 晶粒内部也会产生亚结构，位错密度会增加。

3) 晶粒位向的改变，多晶体中原为任意取向的各个晶粒，会逐渐调整其取向而变为彼此趋于一致形成具有择优取向的组织，成为变形织构。

4) 性能的变化，随变形程度的增加，金属的强度、硬度增加，而塑性韧性下降，利用这一现象，出现加工硬化。

压力加工中外摩擦有何特点？试分析压力加工中经常使用的润滑剂种类及润滑机理。

答: 外摩擦特点：接触面压力大，润滑困难，摩擦应力高；温度条件恶劣(如高温)；接触条件不断变化，表面状态不一。(4分)

塑性加工所使用的润滑剂种类有液体润滑剂,固体润滑剂两大类。(2分)

液体润滑剂主要是通过适当的粘度较大的活性形成一层稳定结实的润滑膜。

固体润滑剂：固体本身的剪切强度低于被加工材料的剪切强度。

简述在塑性成形过程中润滑剂的选用原则。

（1）润滑剂应有良好的耐压性能，在高压作用下，润滑膜仍能吸附在接触表面上，保持良好的润滑状态；

（2）润滑剂应有良好耐高温性能，在热加工时，润滑剂应不分解，不变质；

（3）润滑剂有冷却模具的作用；

（4）润滑剂不应对金属和模具有腐蚀作用；

（5）润滑剂应对人体无毒，不污染环境；

（6）润滑剂要求使用、清理方便、来源丰富、价格便宜等。

3．在塑性加工中润滑的目的是什么？影响摩擦系数的主要因素有哪些？

答：（1）润滑的目的是:减少工模具磨损；延长工具使用寿命；提高制品质量；降低金属变形时的能耗。

（2）影响摩擦系数的主要因素：

1）金属种类和化学成分； 2）工具材料及其表面状态； 3）接触面上的单位压力； 4）变形温度； 5）变形速度； 6）润滑剂

论述塑性成型过程中摩擦的特点。

接触面上的压强高；伴随变形金属的塑性流动； 实际接触面积大；不断有新的摩擦面产生； 在高温下产生，有氧化皮。

钢锭经过热加工变形后，组织和性能有什么变化? 1） 热塑性变形可以改善晶粒组织 2） 锻合内部缺陷，消除了某些铸造缺陷，较铸态具有较佳的机械性能； 3） 破碎并改善碳化物和非金属夹杂物在钢中的分布，使其均匀地分布在钢中； 4） 形成纤维组织，使材料的性能得到改善； 5） 改善偏析，一定程度上改善铸造组织的偏析。 举例说明对数应变具有可叠加性和可比性。

可加性：设材料有L0-----L1----L2； 1

2120

101ln

;ln

l l l l =∈=∈ ； 020

21

20

11201ln

ln ln

=∈=+=∈+∈l l l l l l 具有可加性

设材料由L-----2L 然后由2L------L

%692

1ln

2ln

%;692ln 2ln

-===∈===∈-

+

l

l l

l 大小相等方向相反，具有可比性。

项目

弹性应力应变关系 塑性应力应变关系

应力与应变是否呈线性关系 是 否 应力主轴是否与应变主轴重合 是 否 变形是否可逆

是

否

体积是否变化，泊松比=？

是，v<0.5 否,V=0.5

3．请简述弹性变形时应力 - 应变关系的特点。

答：弹性变形时应力 - 应变关系有如下特点：

(1) 应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合。

(2) 弹性变形是可逆的，与应变历史（加载过程）无关，即某瞬时的物体形状、尺寸只与该瞬时的外载有关，而与瞬时之前各瞬间的载荷情况无关。

(3) 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积的变化，泊松比 。

4. 纯剪切应力状态有何特点？

答：纯剪切应力状态下物体只发生形状变化而不发生体积变化。

纯剪应力状态下单元体应力偏量的主方向与单元体应力张量的主方向一致，平均应力 。 其第一

应力不变量也为零。

5. 塑性变形时应力应变关系的特点？

答：在塑性变形时，应力与应变之间的关系有如下特点：

(1) 应力与应变之间的关系是非线性的，因此，全量应变主轴与应力主轴不一定重合。

(2) 塑性变形时，可以认为体积不变，即应变球张量为零，泊松比 。

(3) 对于应变硬化材料，卸载后再重新加载时的屈服应力就是报载时的屈服应力，比初始屈服应力要高。 (4) 塑性变形是不可逆的，与应变历史有关，即应力－应变关系不再保持单值关系。 1．请简述有限元法的思想。

答：有限元法的基本思想是：

(1) 把变形体看成是有限数目单元体的集合，单元之间只在指定节点处铰接，再无任何关连，通过这些节点传递单元之间的相互作用。如此离散的变形体，即为实际变形体的计算模型；

(2) 分片近似，即对每一个单元选择一个由相关节点量确定的函数来近似描述其场变量（如速度或位移）并依据一定的原理建立各物理量之间的关系式；

(3) 将各个单元所建立的关系式加以集成，得到一个与有限个节点相关的总体方程。

解此总体方程，即可求得有限个节点的未知量（一般为速度或位移），进而求 得整个问题的近似解，如应力应变、应变速率等。

所以有限元法的实质，就是将具有无限个自由度的连续体，简化成只有有限个自由度的单元集合体，并用一个较简单问题的解去逼近复杂问题的解。 2. Levy-Mises 理论的基本假设是什么？

答： Levy-Mises 理论是建立在以下四个假设基础上的：

(1) 材料是刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总的应变增量；

(2) 材料符合 Mises 屈服准则，即

；

(3) 每一加载瞬时，应力主轴与应变增量主轴重合；

(4) 塑性变形时体积不变，即 ，所以应变增量张量就是应变增量偏

张量，即

。

4．简述在塑性加工中影响金属材料变形抗力的主要因素有哪些？ 答：（1）材料（化学成分、组织结构）；

（2）变形程度； （3）变形温度； （4）变形速度；

（5）应力状态；

（6）接触界面（接触摩擦） 8．简述金属塑性加工的主要优点?

答：（1）结构致密，组织改善，性能提高。 （2）材料利用率高，流线分布合理。

（3）精度高，可以实现少无切削的要求。 （4）生产效率高。

1．试简述提高金属塑性的主要途径。 答：(1) 提高材料的成分和组织的均匀性；

(2) 合理选择变形温度和变形速度； (3) 选择三向受压较强的变形方式； (4) 减少变形的不均匀性。

5．为什么说在速度间断面上只有切向速度间断，而法向速度必须连续？

答：现设变形体被速度间断面SD 分成①和②两个区域；在微段dS D 上的速度间断情况如下图所示。

根据塑性变形体积不变条件，以及变形体在变形时保持连续形，不发生重叠和开裂可知，垂直于dS D 上的速度分量必须相等，即??-21n

n

u u ，而切向速度分量可以不等，造成①、②区的相对滑动。其速度间断值为??-=21][t

t

u u Vt

6．何谓屈服准则？常用屈服准则有哪两种？试比较它们的同异点？

答：（1）屈服准则：只有当各应力分量之间符合一定的关系时，质点才进入塑性状态，这种关系就叫屈服准则。

（2）常用屈服准则：密席斯屈服准则与屈累斯加屈服准则。

（3）同异点：在有两个主应力相等的应力状态下，两者是一致的。对于塑性金属材料，密席斯准则更接近于实验数据。在平面应变状态时，两个准则的差别最大为15.5%

计算题

1.金属塑性变形时，已知某点的应力状态MPa，（i，j=x，y，z），试写出其张量分解方程，指出分解张量的名称，并说明它们与什么变形有关？最后求出的比值。

1/3[40+(-60)+50]=10

错误！未找到引用源。MPa=错误！未找到引用源。MPa + 错误！未找到引用源。MPa =错误！未

找到引用源。=30：（-70）：40=3：（-7）：4

2．塑性变形时已知某点的应力状态为σij=MPa（i.j=x,y,z），写出其张量

分解方程，指出各分解张量的名称，并说明它们各与什么变形有关，该σij对应的塑性变形类型是什么？

σm=错误！未找到引用源。=-30

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+ 错误！未找到引用源。（MPa）。错误！未找到引用源。球张量，引起物体体积变化，错误！未找到引用源。偏张量，引起物体形状变化

由I3（撇）=101X103 MPa > 0，对应延伸型应变ε（+ - -）

3.在σx，τxy作用下的屈服曲面如图所示，图3.中两条弧线的含义是什么？在图中有a,b,c,d四种加载路径，哪些是简单加载？哪些是复杂加载？哪些路径具有相同的塑性变形？为什么？

内弧线：初始屈服切面

外弧线：后继屈服切面

OAB 、OCD是简单加载

OAD、OABD是复杂加载

OAB与OABD具有相同的塑性变形，因为B-D是中性变载，只有弹性应变量改变，塑性应变量不变。

4.用轧制或平锤压缩方法生产双金属层状复合板。设坯料原始厚度相同，但硬度不相同。若工具工件上下接触面和切向速度一致，试定性预测复合后两层材料的厚与薄，并简述理由。

变形后软层薄，硬层厚

理由：由塑条σ1-σ3=σr或者σe=σt材料软容易达到塑性条件，变形大，薄

由形状改变比解：U D=I2 / 2G 材料软G小，U D大，变形大，薄

由F=nσ·K f，F=υ（5，W/h，K f），K f小，则W / h大，则H小，薄

2 、如图所示，设有一半无限体，侧面作用有均布压应力，试用主应力法求单位流

动压力 p 。（ 12 分）

取半无限体的半剖面，对图中基元板块（设其长为l ）列平衡方程：

（ 1 ）…… 2'

其中，设，为摩擦因子，为材料屈服时的最大切应力值，、均取绝对值。

由 (1) 式得（ 2 ）…… 2'

采用绝对值表达的简化屈服方程如下

（ 3 ）…… 1' 从而（ 4 ）…… 2'

将（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）式联立求解，得（ 5 ）…… 2'

在边界上，，由（ 3 ）式，知，代入（ 5 ）式得

…… 2'

最后得（ 6 ）…… 1'

从而，单位流动压力（ 7 ）…… 2'

3 、（ 10 分）一理想刚塑性体在平砧头间镦粗到某一瞬间，条料的截面尺寸为2a × 2a ，长度为 L ，较 2a 足够大，可以认为是平面变形。变形区由 A 、 B 、 C 、 D 四个刚性小块组成（如图示），此瞬间平砧头速度为ú i =1。（下砧板认为静止不动）

试画出速端图并用上限法求此条料的单位变形力 p*。

解：根据滑移线理论，可认为变形区由对角线分成

的四个刚性三角形组成。刚性块 B 、 D 为死区，随

压头以速度 u 相向运动；刚性块 A 、 C 相对于 B 、 D

有相对运动（速度间断），其数值、方向可由速端图

完全确定。

…… 4'

u * oA = u * oB = u * oC = u * oD =u/sin θ = …… 2'

根据能量守恒

2P * · 1 ＝ K （ u * oA

＋ u * oB

＋ u * oC ＋ u * oD ） …… 1'

又

＝

＝

＝

＝

a …… 1'

所以单位流动压力 P *= ＝ 2K …… 2'

1．圆板坯拉深为圆筒件如图1所示。 假设板厚为t , 圆板坯为理想刚塑性材料，材料的真实应力为S ，不计接触面上的摩擦 ,且忽略凹模口处的弯曲效应 , 试用主应力法证明图示瞬间的拉深力为： 0

002ln d R S t d P βπ=

（a ）拉深示意图 （b ）单元体

图1 板料的拉深

答：在工件的凸缘部分取一扇形基元体，如图所示。沿负的径向的静力平衡方程为：

()()2sin

02

r r r d rd t d r dr d t drt θθσθσσθσ-++-=

展开并略去高阶微量，可得：

r

dr )

(d r r θσ+σ-=σ

由于r σ是拉应力，θσ是压应力，故

13,r θ

σσσσ==-，得近似塑性条件为：

βσ

=σ+σ=σ-σθr 31

联解得：C r ln r +σβ-=σ-

式中的

000ln r R R C R σσσσβσ-

-

-

===为的积分中值,=S 。当时，，得。最后得拉深力为

002ln

d R S t d P βπ=

3．图3所示的圆柱体镦粗，其半径为r e ，高度为h ，圆柱体受轴向压应力σZ ，而镦粗变形接触表面上的摩擦力τ＝０.２Ｓ（Ｓ为流动应力）， σze 为锻件外端（r=r e ）处的垂直应力。 （1）证明接触表面上的正应力为：

（2）并画出接触表面上的正应力分布； （3）求接触表面上的单位流动压力ｐ， （4）假如r e ＝100MM ，Ｈ＝150MM,Ｓ=500MP a ， 求开始变形时的总变形抗力Ｐ为多少吨？ 解： （1）证明

该问题为平行砧板间的轴对称镦粗。设,S 、

μ=τ对基元板块列平衡方程得：

d h )dr r )(d (dr rd 22

d sin

hdr 2rd h r r r =θ??+σ+σ-θτ-θσ+θ??σθ

因为2

d 2

d sin

θ≈

θ，并略去二次无穷小项，则上式化简成：

0rhd hdr rdr 2hdr r r =σ-σ-τ-σθ

假定为均匀镦粗变形，故：

θθσ=σε=εr r ;d d

最后得：

()ze

e z r r h

στσ+-=

2

dr h

d r τσ2-

=

该式与精确平衡方程经简化后所得的近似平衡方程完全相同。 按密席斯屈服准则所写的近似塑性条件为：

r

z r z d d ;S σ=σ=σ-σ

联解后得：

dr h

d z τσ2-

= C r h

2z +τ-

=σ

当

e r r =时，2ze e C r h

τσ=+

最后得：ze e z

r r h

στσ

+-=

)(2

（3）接触表面上的单位流动压力为：

ze e r 0

ze e 2

e

r 0

z 2e

h r 32rdr 2)r r (h 2r 1dF r

1F

P p e

e

σ+τ=π??

?

???σ+-τ

π=

σπ=

=

?

?

=544MP

（4）总变形抗力:

p r P 2

e ?π==1708T

4．图4所示的一平冲头在外力作用下压入两边为斜面的刚塑性体中，接触表面上的摩擦力忽略不计，其接触面上的单位压力为q ，自由表面AH 、BE 与X 轴的夹角为γ，求： （1）证明接触面上的单位应力q=K （2+π+2γ）； （2）假定冲头的宽度为2b ，求单位厚度的变形抗力P ； 解： （1）证明

1）在AH 边界上有：

4

xy y AH =τ=σγ

-π=

ω

故0y 1

=σ=σ， x

3σ=σ