关于奇完全数的研究

关于奇完全数的研究

姓名：XXX 专业班级：信息与计算科学2005XXXXXX 指导教师：XXX

摘要

本文首先介绍了完全数的一些基本性质和当前研究状况，鉴于偶完全数与梅森素数一一对应的特殊关系,接着对梅森素数进行了介绍。

完全数各因子（除1）的倒数和等于1，也就是有若干个循环小数相加，它们的和是1。于是本文又对循环小数的性质进行了讨论，并得出了可喜的结果：两个循环节位数不相等的小数相加，它们的和不会等于1；偶完全数的非2幂因子项的倒数的循环节位数相等。在这个过程中意外的得到了“一个素数，只要非2与5，那么它就会整除一个全1数”。

迄今为止,人类共发现46个完全数,且均为偶完全数.是否有奇完全数存在,至今尚未解决。本文在奇完全数存在的条件下,研究了奇完全数的各因子倒数循环节的规律，得到两个性质：奇完全数的各因子倒数的循环节位数不会是互异的素数；奇完全数的各因子倒数的循环节位数不会相等。

【关键词】完全数；梅森素数；循环节；奇完全数

Study on the Odd Perfect Number

Abstract：This thesis firstly introduce some of the basic nature and current research status of the Perfect Number.In view of Even Perfect Number correspondence with Mersenne prime,then Mersenne prime to have been introduced.

The toal multiplicative inverse of all factor (except 1)of Odd Perfect Number equal 1,in other words,some recurring decimal for adder,the sum equal 1.Then reserth on the recurring decimal,have some encouraging conclusions:if two recurring decimal for adder,have unequal recurrent length,then sum of them can't equal 1; Even Perfect Number non-2 factor have equal recurent length.And have a surprise conclusion:a prime,if it is not 2、5,can divide a all 1 number.

So far, 46 perfect numbers have been found, and they are all Even Perfect Numbers. It is not known whether or not there exists an Odd Perfect Number. In the paper, on the supposition that Odd Perfect Number do exist,give two conclusions:the length of factor's multiplicative inverse of Odd Perfect Number can't all prime number,and can't all equal!

Keywords: perfect number; Mersenne prime; recurrent number; odd perfect number

目录

符号说明.................................................................................................................... - 1 - 第1章前言.............................................................................................................. - 2 - 第2章预备知识...................................................................................................... - 5 - 第3章梅森素数...................................................................................................... - 7 -

3.1有关概念、定理.......................................................................................... - 8 -

3.2 梅森素数判定法的算法设计..................................................................... - 8 -

3.3有关梅森素数分布规律的研究.................................................................. - 9 -

3.4现今的46个梅森素数...............................................................................- 10 - 第4章循环小数.....................................................................................................- 12 - 第5章奇完全数.....................................................................................................- 19 - 结论.........................................................................................................................- 21 - 致谢.........................................................................................................................- 22 - 参考文献...................................................................................................................- 23 -

符号说明

本文中未加说明的字母均表整数，以下是全篇通用符号，如在个别地方有不同含义则将明确说明。其他符号会在所含章节说明。

1、)(m σ表示正整数m 的正因子(包括1与m )的和；

2、b a |表示a 能整除b ；

3、)(n ?表示欧拉函数；

4、p M 表示由正整数p 所形成的梅森数,记为12-=p

p

M ；

5、gcd(,)m n 表示整数n m 和的最大公约数

6、lcm (,)m n 表示整数n m 和的最小公倍数

7、)2(1

2+n M π表示当1

22+

8、120.n a a a 表示这是一个无限循环小数，循环节为12n a a a ； 9、(s)RF 表示整数s 的真因子；

第1章 前言

数论是数学中最古老、最纯粹的一个重要数学分支[13]。数论在数学中的地位是独特的，素有“数学王子”之称的19世纪德国数学大师高斯就曾说过“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠”。因此数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”：费马大定理、孪生素数问题、哥德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题…

数论的一个主要任务，就是研究整数（尤其是正整数）的性质[4

，12]

。由于整

数的性质复杂深刻，难以琢磨，因此数论长期以来一直被认为是一门优美漂亮、纯之又纯的数学学科。其中初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重要的内容。

公元前6世纪以前，古希腊人在对整数的因子分解过程中，发现有些数具有下面奇特的性质，就是它的所有真因子（即除自身以外的约数）之和等于这个数本身！称之为完全数[10，11，12]。例如6，它有1，2，3，6四个约数，除去其本身，其余三个数相加：1+2+3=6。在仅依靠手工计算的年代下，古希腊人只发现了4个完全数，分别是： 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+31+62+124+248

8128=1＋2＋4+8＋16＋32+64＋127+254＋508+1016＋2032+4064 毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”

公元前300年左右，古希腊学者欧几里得（Euclid ）在其《几何原本》中给出了寻找完全数的方法“如果p 和12-p 都是素数，那么自然数)12(21-?-p p 一

定是完全数”，并给出了证明，以下文中称之为欧几里得完全数定理。人们发现4个完全数后，吸引了许多的数学家去探觅完全数珠宝。

1644年，法国数学家梅森（M. Mersenne,1588--1648）在没有证明的情况下武断的说：当257≤p 时，只有当p 取2，3，5，7，13，17，19，31，67，127和257时，)12(21-?-p p 是完全数，而对于其余的整数p ，)12(21-?-p p 为合数[7，

8，9]

。这就是历史上著名的“梅森猜测” ，而形如12-p 的数被称为“梅森数”，

其中的素数称为“梅森素数”。梅森猜测中包含着若干错漏，人类花了200多年才辨明其真伪。但考虑到他是手工计算得到的结论，已经足以让我们向他致敬。

后来，人们发现欧几里得完全数定理只是一个偶数是完全数的充分条件。

1730年，欧拉（Euler ）[19]证明了定理“如果n 是偶完全数，则n 是12(21)

p p n -=?-形式，其中p 是素数，12-p 是梅森素数”。这是欧几里得完全数定理的逆定理。根据欧几里得与欧拉两个互逆定理可知，找到一个形如12-p 的素数，即找到一个偶完全数，而形如12-p 的素数恰为梅森素数。至此人们终于发现：偶完全数与梅森素数是一一对应的。

在长期的研究过程中发现得到，偶完全数有许多优美的性质。例如： 1）它们都能写成连续自然数之和。 如：6 = 1+2+3；

28 = 1+2+3+4+5+6+7； 496 = 1+2+3+……+30+31；

2）它们的全部因数（除1）的倒数之和都是1。 如：1/2+1/3+1/6=1；

1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1； 3）除了6之外,各位数字连续相加后，和为1. 如：28,2+8=10,1+0＝1；

496,4+9+6＝19,1+9＝10,1+0＝1；

迄今为止，人类只发现46个完全数，它们全都是偶完全数，是否有奇完全数一直是个迷[3]。很多数学家已经写过许多研究论文来研究这一问题，

且目前人们已知道不存在小于300

10的奇完全数，然而仍然没有人能给出结论性地证明奇完全数不存在。因为目前为止，奇完全数像是诗中的小矮人：

昨晚我在楼梯上遇到

一个从不在那儿出现的小矮人

今天再没出现过

我但愿他真的消失

——无名氏如果用小整数做一些实验，可能会猜测[3]：对所有奇数n，都有()2

σ<。

n n

如果猜测成立，可证明不存在奇完全数。但这个猜测并不成立，它的第一个反例3

σ=。这个例子告诉我们及时对大量的945357

n==??，注意(945)1920

小数值进行过检验，仍未必是真理。给予数值数据提出猜想完全可行，但数学家坚持要求严格的证明，以为这样的数据会给人以误导。

下面是一些奇完全数的研究现状[2]。奇完全数的下界已被Brent，Cohe n及te Riele等人[23]提升到300

10,Brandstein证明了奇完全数的最大素因子大于6

10。Cohen[24]?，而Iannucci则证明了奇完全数的第二大素因子大于5

510

证明了奇完全数包含一个大于20

10的素数幂因子，而Sayers则证明了奇完全数至少有29（不一定不相同）个素因子。John Leech希望找到像Descartes给出的数

2222

37111322021

那样的假奇完全数：如果加以把22021当做是素数的话，那么该数就是一奇完全数。

本文在研究循环小数的基础上，给出了两个奇完全数存在的性质：奇完全数的各因子（除1）倒数的循环节位数不会是互异的素数；奇完全数的各因子倒数的循环节位数不会相等。并得到了一个意外的结论：一个素数，只要大于5，那么它就会被一个全1数整除”。

文中所有证明均为独立完成，所得出的结论如与其他文献雷同，只属偶然。

第2章 预备知识

本章介绍了一些与本文主要内容有关的初等数论的基本概念与定理,其中的定理的证明请参考文献[1]、[3]、[5]。

定义2.1[5] 设,,0a b Z a ∈≠，如果存在q Z ∈使得b aq =，那么就说b 可被a 整除，记作|a b ，且称b 是a 的倍数，a 是b 的约数（也称为除数、因数）。b 不能被a 整除就记作|a b /。

定义2.2[5] 一个大于1的整数,如果它的正因数只有1及它本身,就叫做素数；否则叫做合数。其中1既不是合数，也不素数。2是唯一的偶素数。

定理2.1[1，3，5，6] 素数具有无穷多个。

证明：用反证法，假设有有限多个素数，它们分别是12,,,n p p p ，令n p 为其中最大素数，那么试问1231****n n P p p p p p -=- 为素数还是合数。容易得出

P

不会被12,,,n p p p 中的任何一个整除，于是P 就是新的素数，矛盾！因此假

设是错的，既素数具有无穷多个。证毕。

设1234,52,3,5,,p p p p p === 是全体素数按大小顺序排成的序列，以及

1231****n p n n

P p p p p p -=- 。

由直接计算得：

571113171923291,23,199,2297,30013,41*12451,9699667,2819*79139,P P P P P P P P ========

313753*122069683,21701*9241993P P ==

这里除了第一个为1外，接着的四个为素数，第六个为合数，第七个为素数，剩下的三个为合数，但每一个合数n

p P 都有一个大于n p 的素数。至今还不知道是

否有无穷多个n p 使n

p P 是素数，也不知道是否有无穷多个n p 使得n

p P 为合数。

定理2.2[5] （i ）1a >是合数的充要条件是a de =，1,1d a e a <<<<； （ii ）若1d <，q 是素数且|d q ，则d q =。

定理2.3[5] 若a 是合数，则必有素数|p a 。 定理2.4[5] 设整数2a ≥，那么，a 能唯一的写成

s

a s a a p p p a 2

1

21=,0>i a ),,2,1s i =

其中)(j i p p j i <<是素数，(1)式叫做a 的标准分解式。

定义2.3[5] 如果()2n n σ=，则称n 为完全数。

定义2.4[3] 若一个完全数是偶数，则称它为偶完全数；若一个完全数是奇数，则称它为奇完全数。

定理2.5 （Euclid ）如果p 和12-p 都是素数，那么自然数12(21)p p -?-一定是完全数。

定理2.6 （Euler ）每一个偶完全数都是形如12(21)p p -?-的自然数，其中的

p

和12-p 都是素数。

定义2.5 如果无限小数的小数点后，从某一位起向右进行到某一位止的一

节数字循环出现，首尾衔接，称这种小数为循环小数，这一节数字称为循环节．

公理2.1 分数化为小数形式只有两种：有限小数，无限循环小数。 定理2.7（费马小定理） 若p 为素数并且a 为整数，则(m od )p a a p ≡。特别的若a 不被p 整除，则11(m od )p a p -≡。

定理2.8 设p 是素数，a 是任何整数且0(mod )a p ≡/，则数

,2,3,,(1)a a a p a -

(m o d )

p 与数

1,2,3,,(1)p -

(m o d )

p 相同，尽管它们的次序不同。

定理2.9 设p 是素数，1

1

1,p j

j k S k

-=≥=

∑。则

定义2.6 设m 是正整数，1,2,,m 中与m 互素的数的个数记作()m ?，称为欧拉函数。若p 为素数，那么1()p p p ααα?-=-。

定理2.10（?函数公式） （i ）如果p 为素数，且1α≥，则

1

()p p p

α

α

α?-=-。

（ii ）如果gcd(,)1m n =，则()()()mn m n ???=。

定理2.11（欧拉-费马定理） 若gcd(,)1a n =，则()1(m od )n a n ?≡。

1(m od ),1|0(m od ),1|p p k

s p p k --?≡?

-/

?

第3章 梅森素数

根据欧几里得与欧拉两个互逆定理可知，找到一个形如12-p 的素数，即找到一个偶完全数，而形如12-p 的素数恰为梅森素数。鉴于偶完全数与梅森素数一一对应这特殊关系,本章节将对梅森素数进行介绍。

公元前300多年，古希腊数学家欧几里得用反证法证明了素数有无穷多个，并提出了少量素数可写成21p -（其中指数P 为素数）的形式。此后许多数学家，包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等都研究过这种特殊形式的素数，而17世纪的法国数学家梅森（M.Mersenne ）是其中成果最为卓著的一位。

由于梅森学识渊博，才华横溢，并是法兰西科学院的奠基人[4，8，9]，为了纪念他，数学界就把21p -型的数称为“梅森数”，并以p M 记之（其中M 为梅森姓氏的首字母）；如果p M 为素数，则称之为“梅森素数”(Mersenne prime)。2300多年来，人类仅发现46个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数学海洋中的璀璨明珠”。梅森素数一直是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点。

梅森素数貌似简单，但研究难度却很大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。1772年，瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了31M （即31212147483647-=）是第八个梅森素数。它具有10位数字，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已，他因此获得了“数学英雄”的美誉。难怪法国大数学家拉普拉斯（https://www.360docs.net/doc/5f14143524.html,place ）向他的学生们说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”在“手算笔录年代”，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。

梅森素数是否有无穷多个，梅森素数有什么样的分布规律等问题都是强烈吸引着一代又一代研究者的世界著名问题。

3.1有关概念、定理[1，13]

定义3.1 形如21p -数(其中p 为素数)称为梅森数。特别的若21p -为素数，称为梅森素数。

定理3.1 若 1p >，且1p a -为素数，则2a =及p 为素数。

定理3.2 若p 3(mod4)≡为素数，则21|p p M +当且仅当21p +为素数。并且在21p +为素数时，若3p >，则p M 为合数。

推论3.1 对于p =11，23，83，131，179，191，239和251，p M 分别有因子23，47，167，263，359，383，479和503.

定理3.3 若|(2)p n M p >，则1(mod 8)n ≡±，并且1(mod )n p ≡。

3.2 梅森素数判定法的算法设计

电子计算机的出现，大大加快了探究梅森素数的步伐。1952年，美国数学家鲁滨逊等人将著名的卢卡斯－雷默方法编译成计算机程序，使用SWAC 型计算

机在短短几小时之内，就找到了5个梅森素数：521607127922032281M M M M M 、、、和。

1963年9月6日晚上8点，当第23个梅森素数11213M 通过大型计算机被找到时，美国广播公司（ABC ）中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为让全世界都分享这一成果，以至把所有从系里发出的信封都盖上了“1121321-是个素数”的邮戳。

以下是用C++语言实现的可实际使用的卢卡斯-雷默判定算法： int Lucas_Lemer (int p) //p 为指数值 { //21p -为素数返回1；为合数返回0 int s=4; int i,s1; int a;

s1=pow(2,p)-1; for (i=3;i<=p;i++) {

a=pow(s,2)-2;

s=a%s1; }

return(s==0?1:0); }

3.3有关梅森素数分布规律的研究[13]

由于梅森素数在正整数中的分布是时疏时密极不规则的，因此研究梅森素数的重要性质——分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中，提出了一些猜想。英国数学家香克斯、法国数学家伯特兰和托洛塔、印度数学家拉曼纽杨、美国数学家吉里斯和德国数学家伯利哈特等都曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测,但他们的猜测有一个共同点，就是都以近似表达式给出，而与实际情况的接近程度均难如人意。

1992年中国数学家周海中运用联系观察法和不完全归纳法，首次给出了梅森素数分布的猜想

猜想：当1

2222+<

p （n=0，1，2，3，…）时，梅森数p M 有121-+n 个梅森素数。

并且椐此作出了如下推论：

推论：当1

22+

--=++n n M n π。 这一形式优美的表达式加深了人们对梅森素数重要性质的了解，为人们探寻新的梅森素数提供了方便；后来这一重要成果被国际上称为“周氏猜测”。 著名的《科学美国人》杂志上有一篇评价文章指出，“这一成果是梅森素数研究中的一项重大突破”。

3.4现今的46个梅森素数

43112609

2-1，这个在普通人看起来颇为奇特的数字，近来正让国际数学界乃至科技界为之欣喜若狂。这是人类迄今为止发现的第46个也是最大的梅森素数。它有12978189位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下来，这个梅森素数的长度可超过50公里！这一发现被著名的《时代周刊》评为“2008年度50项最佳发明”之一，排名在第29位。

下面列出人类迄今为止所发现的46个梅森素数，发现时间及发现者：

注：GIMPS(Great Internet Mersenne Prime Search,伟大的因特网梅森质数搜索活动) 为了激励人们寻找梅森素数，设在美国的电子新领域基金会（EFF）不久前向

全世界宣布了为通过GIMPS项目来探寻梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过1000万位数的个人或机构颁发10万美元。后面的奖金依次为：超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。由于史密斯发现的梅森素数已超过1000万位，他将有资格获得EFF颁发的10万美元大奖。其实，绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱，而是出于乐趣、荣誉感和探索精神。

第4章 循环小数

定义4.1 如果偶完全数的因子是2 的幂形式，称其为2幂因子项，否则称非2幂因子项。

例如：28的2幂因子项为：1，2，4；

非2幂因子项为：7，14，28。

在研究偶完全数的过程中，我们发现偶完全数的非2幂因子项的倒数的循环节位数是相同的。下面就讨论循环小数的一些性质。

定理4.1 正整数a (1a >)的倒数1a

能化为有限小数的充要条件是a 仅含有

2或5的因数。

证明：充分性 设

1210.n

a a a a

= ，则

1

2

1211(10

10

)

10

n n n n

a a a a

--=

+++

那么由 121210(1010)n n n n a a a a --=+++ (1a >) 可得 |10n a 。

既 a 仅含有10的因数2或5。

必要性 设 1

2

25n n

a =，令12max(,)n n n =

则有 1

2

1

2

1111(10

)(2

5

)

10

25

10

n n n n n

n n n

n

a

--=

=

所以

1a

是一个不会超过n 位的有限小数，得证。

定理4.2[14，16，18] 分数b a

能化为有限小数的充要条件是a 仅含有2或5的因数。

证明：方法同定理4.1。

推论4.1 除素数2，5外，每个素数的倒数都是无限循环小数。 定理4.3 素数p 的倒数

1p

至多是1p -位循环小数。(5)p >

证明：假设1p

是n 位循环小数， 则必有101(m od )n p ≡

令2112110(m od ),10(m od ),,10(m od ),10(m od )n n n n c p c p c p c p ++≡≡≡≡ 则易知11c ,1n n c c +==，由于每个(1,2,,)i c i n = 仅取1,2,,1p - 里面的值一次，所以

1p

至多是1p -位循环小数，得证。

定理4.4[15] 如果素数p 的倒数

1p

的循环节位数为l ，则l 必能整除1p -。

(5)p >

证明：因为l 是循环节的位数，所以l 是第一个满足101(m od )x p ≡的数，又由费马小定理有 1101(mod )p p -≡，所以|1l p -，得证。

定理4.5 任何素数p 都可以整除一个全1数。(2,5)p p ≠≠

证明：设这个素数的倒数的循环节位数为l ，因101(m o d )

l

p

≡，所以|101l p -

令101l

h p

-=

，则h 正是这个小数的循环节，整理有：129(10101)l l hp --=++

3p ≠时，gcd(,9)1p =，

所以9|h ，于是1

2

(10

10

1)

9

l l h p

--++=

。3p =时，易知3|111。

也就是说如果这个素数的倒数的循环节位数为l ，那么这个素数（除3）可以整除一个l 位的全1数。

定理4.6 一个循环小数只有除以素数2或5时，才不会改变它的循环节位数，除非素数p 整除它的循环节。

证明：设这个小数为120.n a a a ，循环节为n 位，所得新小数的循环节为

m 位12m b b b 。则m 必不小于n 。若m n <，容易证明120.n a a a 是不大于m 位的

循环小数，与已知矛盾。

1） 当12|n p a a a ，可知新小数循环节位数仍为n ，特别的无非是前几位是0，

即m n =；

2） 当12|n p a a a / ，且5p >时，由定理2.9则p 必整除 1

2

121212(10

10

10)10p p n

n n n a a a a a a a a a --+++=

(共1p -组)，于是新

小数的循环位数为(1)m p n =-?。

3） 当12|n p a a a / ，且2p =或5时，设12(m od )n a a a k p ≡ ，因|10p ，所以

1210(m od )n

n k a a a k p ?+≡ ，现在的循环节可看做是1210n

n k a a a ?+ ，且每次除

p

后，商与余数相等，所以没有改变循环节的位数。

定理4.7 有两个小数相加，设它们的循环节长分别为,m n ，它们和的循环

节长为l ，那么|(,)l lcm m n 。

证明：对于新小数，易知对应于它的两个加数，从若干位后每(,)lcm m n 位是相同的。从三角函数得到启示：sin x 的周期为2π，这里的周期是最小周期，其实4,6,8πππ 也是sin x 的周期。可以类似定义，如果h 是某小数的循环节的最小长度，则称h 是循环节的基长度，2,3,4,h h h 等称为循环节的非基长度。由于这里的(,)lcm m n 并不一定是循环节的基长度，而l 是基长度，所以有|(,)l lcm m n 。

定理4.8 有两个小数,a b ，设它们循环节位数为相异的素数,p q ，它们和的循环节长为l ，则l p q =?。

证明：因,p q 为素数，设p q <，所以(,)lcm p q pq =。又|(,)l lcm p q ，所以l 只能等于1，p ，q ，p q ?中的一个。由于(,)lcm p q 是它的一个循环节，写出这两个小数对应循环的前(,)lcm p q 项

12121212121212..p p p p p q p q p q

a a a a a a a a a a a a

b b b b b b b b b b b b

1)如果1l =，

令12311(m od )21(m od )31(m od )(1)1(m od )

q p n q p n q p n q q p n q -?+≡?

+≡??

+≡???-+≡?? ，则12311q n n n n b b b b b -===== 。 由定理2.8可知1231,,,q n n n n - 即为2,3,4,,q ，尽管它们的次序不同，也即

123q

b b b b ====

这与b 的循环节长度为q 矛盾。

2)如果l p =，同样有123q b b b b ==== ，矛盾。 3)如果l q =，同理可推出123p a a a a ==== ，矛盾。 4)因1,,l l p l q ≠≠≠,则l p q =?。证毕。

引理4.1 设有数,m n ，gcd(,)A m n =，令01231m od()1(m od )21(m od )

31(m od )(/1)1(m od )x m n x m n x m n x m m A n x m ≡??

+≡??+≡??

+≡???-+≡?? ，那么

0123,,,,,x x x x x

互不相等。

证明：假设(,0

,/1i j x x i j i j m A =≠≤<-，于是有(m o d )i n j n m ≡，即

|()m i j n -

。

两边分别除以最大公约数A ，令/M m A =，/N n A =，有

|()M i j N

-

因gcd(,)A m n =，所以N 中不含有M 的因子，即|M i j -。 又

/1i j m A M

-≤-<

推出

|M i j -/

矛盾。所以假设不成立。得到123,,,,x x x x 互不相等。证毕。

定理4.9 有两个小数,a b ，它们循环节位数分别为素数p ，合数s ，且

gcd(,)1p s =，它们和的循环节长为l ，则l p s =?。

证明：因gcd(,)1p s =，所以(,)lcm p s p s =?。写出对应循环的前p s ?项。

123123123123123123p p p s s s

a a a a a a a a a a a a

b b b b b b b b b b b b

1) 如果l p =

令12311(m od )21(m od )31(m od )(1)1(m od )

s p k s p k s p k s s p k s -+≡??

+≡??

+≡???-+≡?? ，则有12311s k k k k b b b b b -===== 依据引理4.1，知1231,,,,s k k k k - 互不相等。于是得到结论：1b 每隔p 位就会有个与之相等的k

j b 对应。同理可推出23,,,l b b b 每隔p 位就会有个与之相等的k

j

b 对应。推出数b 的循环节位数|s p ，矛盾。 2) 如果l s =

根据定理4.8中1）的证明可推出数a 位一位循环小数，矛盾。 3) 如果|l s

由2)可知l s =时不会成立，而此时的s 依然是循环节——非基循环节位数。所以|l s 不会成立。 4) 如果()l RF s p =?

令123/11(m od )21(m od )31(m od )(/1)1(m od )

p s l l j s l j s l j s p s l l j s ?-?+≡?

+≡??

+≡????-+≡?? ，则有123/11ps l j j j kj b b b b b -===== 同样依据引理4.1，我们会推出|s l ，即|()s RF s p ?,不可能。矛盾。 综上所述：l p s =?

推论4.2 有若干小数相加，设它们的循环节长分别为,,,,m n r s ，它们和的循环节长为l ，那么|(,,,,)l lcm m n r s 。特别的若,,,,m n r s 为相异的素数，则

***l m n r s = 。

证明：方法同定理4.7，4.9，略。

定理4.10 有两个小数,a b 相加，对应的循环节长分别为,m n ，其中m n >，它们和的循环节长为l ，那么|,|l m l n //，特殊的|n m ，则|,|l m l n /。

证明：由于(,)lcm m n 是它的一个循环节，写出这两个小数对应循环的前

(,)lcm m n 项

12121212121212..n n n n n m n m n m

a a a a a a a a a a a a

b b b b b b b b b b b b

因为|(,)l lcm m n ，设(,)/g lcm m n l = 1)假设l n =，

令12311(m od )

21(m od )31(m od )(1)1(m od )

g l k m l k m l k m g l k m -?+≡?

+≡??

+≡???-+≡?? ，则1231111111g k k k k a b a b a b a b a b -+=+=+=+==+ ， 推出

12311g k k k k b b b b b -=====

由引理4.1易知1231,,,,g k k k k - 互不相等，于是得到结论：1b 每隔l 位就会有个与之相等的k

j b 对应。同理可推出23,,,l b b b 每隔l 位就会有个与之相等的k

j b 对

应。所以数a 至多为l 位循环小数，与已知矛盾。

2)当,|l n l n ≠，这时的n 为非基长度循环节位数，但仍为循环节长。根据假设1）的结论，我们容易证明假设2）不成立。

3)当(,)lcm m n m =时，此时的l 可以为m 的因子，但这个因子不整除n ； 当(,)lcm m n m ≠，l m =时，易证不能成立，方法同步骤1。 综上所述：循环节长度 |,|l m l n /，否则|,|l m l n //。

推论4.3 有两个小数,a b 相加，对应的循环节长分别为,,m n m n ≠，那它们的和不会等于1。

证明：通过定理4.10的结论: |,|l m l n /时，1l >