双曲线标准方程的推导
双曲线标准方程的推导
把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于
12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，
两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集
P ={}122M MF MF a -=
分析：当│M F 1│>│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│=2a (M 在双曲线右支上)
当│M F 1│<│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│= -2a (M 在双曲线左支上)
设动点M 的坐标为（x,y ）
双曲线标准方程的推导：
当│M F 1│-│M F 2│=2a 时，有：
(x +c )2+y 2- (x ?c )2+y 2=2a (移项)
? (x +c )2+y 2=2a+ (x ?c )2+y 2（两边平方）
?(x+c)2+y2=4a2+4a(x?c)2+y2+(x?c)2+y2(展开)
?x2+2cx+c2+y2=4a2+4a(x?c)2+y2+x2-2cx+c2+y2(移项) ?x2?x2+2cx+2cx +c2?c2+y2-y2=4a2+4a(x?c)2+y2（合并同类项）
?4cx=4a2+4a(x?c)2+y2（两边除以4）
?cx=a2+a(x?c)2+y2（移项）
?cx-a2=a(x?c)2+y2（两边平方）
?c2x2-2a2cx+a4=a2[(x?c)2+y2](展开)
?c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2](展开)
?c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项）
?-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项）
?c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式）
?（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替）
?b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2）
?x 2
a2-y
2
b2
=1(a>0,b>0)
当│M F1│-│M F2│=-2a时，有：
(x+c)2+y2-(x?c)2+y2=-2a (移项)
?(x+c)2+y2=-2a+(x?c)2+y2（两边平方）
?(x+c)2+y2=4a2-4a(x?c)2+y2+(x?c)2+y2(展开)
?x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(x?c)2+y2+x2-2cx+c2+y2(移项)
?x2?x2+2cx+2cx +c2?c2+y2-y2=4a2-4a(x?c)2+y2（合并同类项）
?4cx=4a2-4a(x?c)2+y2（两边除以4）
?cx=a2-a(x?c)2+y2（移项）
?cx-a2=?a(x?c)2+y2（两边平方）
?c2x2-2a2cx+a4=a2[(x?c)2+y2](展开)
?c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2](展开)
?c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项）
?-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项）?c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式）
?（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替）
?b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2）
?x 2
a2-y
2
b2
=1(a>0,b>0)
通过以上推导可知，一个方程x
2
a2
-y
2
b2
=1(a>0,b>0)涵盖了动点M左
右两支运动轨迹，而不是一支运动轨迹。故称其为“双曲线标准方程”。
双曲线及其标准方程
§9．6 双曲线 1．双曲线的概念 平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫____________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0： (1)当________时，P点的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是____________； (3)当________时，P点不存在． 标准方程 x2 a2 － y2 b2 ＝1 (a>0，b>0) y2 a2 － x2 b2 ＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝± b a x y＝± a b x 离心率e＝ c a ，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线 的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的 半虚轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) [难点正本疑点清源] 1．双曲线中a，b，c的关系 双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图)，
它的三边长分别是a 、b 、c ．易见c 2＝a 2＋b 2 ， 若记∠AOB ＝θ，则e ＝c a ＝1 cos θ ． 2．双曲线的定义用代数式表示为||MF 1|－|MF 2||＝2a ，其中2a <|F 1F 2|，这里要注意两点： (1)距离之差的绝对值． (2)2a <|F 1F 2|． 这两点与椭圆的定义有本质的不同： ①当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； ②当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； ③当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； ④当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在． 3．渐近线与离心率 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a ＝ b 2 a 2＝c 2－a 2a 2 ＝e 2 －1．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 1．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程 是 _____________________________________________________________________． 2．双曲线mx 2 ＋y 2 ＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝___________________________． 3．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________． 4．(2011·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 2 9 ＝1有相同的焦点，且 双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________． 5．若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的 离心率为 ( ) A ． 5 B ．5 C ． 2 D ．2 题型一 双曲线的定义 例1 已知定点A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程． 探究提高 双曲线的定义理解到位是解题的关键．应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支．若是一支，是哪一支，以
双曲线及其标准方程详解
2．2 双曲线 2．2.1 双曲线及其标准方程 【课标要求】 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】 1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点 ) 自学导引 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？ 提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示． (2)若“常数大于|F 1F 2|”(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点 的位置？ 提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 名师点睛 1．对双曲线定义的理解 (1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在． (2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上． (3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)． (4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．” 2．双曲线的标准方程 (1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程． (2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，
求双曲线标准方程的技巧
求双曲线标准方程的技巧 在求双曲线标准方程时,如果能根据已知条件设出方程的合理形式，可以简化运算,优化解题过程。下面结合例题介绍求双曲线标准方程的方法。 一 双曲线的一般方程 例1 求经过点(3,P ,() Q -的双曲线标准方程。 分析 双曲线的标准方程有两种形式:22x a -2 2y b ＝１(a >０,b >０）或22y a -22x b ＝1（a ＞ 0，b >0)，可以讨论解决。也可以应用下面的方法解决。 解 设双曲线方程为2 Ax +2 By =1（AB ＜0）。因为所求双曲线经过点 ( 3,P ,() Q -，所以9281,7249 1. A B A B +=??+=?解得A ＝－175,B ＝125。故所求双曲线 方程为225y －2 75 x ＝1。 说明 求双曲线标准方程一般用待定系数法，当双曲线的焦点位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,一般设双曲线方程为2Ax ＋2 By ＝1(AB <０),这样可以简化运算。 二 等轴双曲线 例２ 等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上,与直线x －2y =0交于两点A 、B ， 且AB = 分析 根据等轴双曲线的特点,可以设含有一个参数的方程2 x －2 y =2 a (a >０）,求出 a 即可。 解 设等轴双曲线方程为2 x -2 y =2 a （a ＞０）。由222,20. x y a x y ?-=?-=?解得交点A 、B 的 坐标分别为 、? ? 。因为AB 3=所以a ＝3。故所求双曲线方程为2 x －2 y =9。 说明 等轴双曲线是一类特殊的双曲线,它有一些特殊的性质,比如：离心率e ,渐近线方程为y =x ±且互相垂直等等。 三 共焦点双曲线 例３ 已知过点() 2，且与双曲线216x -2 4 y ＝１有共同焦点的双曲线的标准方程。
双曲线及其标准方程(1)
双曲线及其标准方程(1) 福建师大附中苏诗圣 教学目标：理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的意义；能根据定义，按求曲线方程的步骤导出双曲线的标准方程，并能熟练写出两类标准 方程；培养学生分析问题能力和抽象概括能力。学会用辩证的观 点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性， 并从中发现数学曲线的简洁美和对称美，培养学生学习数学的兴 趣。 教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程． (解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出 双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．) 教学难点：双曲线的标准方程的推导 (解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导 类比．) 教学方法：启发式 教学过程：复习椭圆的定义及标准方程→新知探索→数学实验→双曲线→展示现实生活中的双曲线→双曲线的定义 →对定义的思考→双曲线标准方程的推导→例与练 →课堂小结→作业→研究性学习 一、复习引入： 前面我们已经学习了椭圆的有关知识，请同学们回忆一下椭圆的定义。 问题1：椭圆的定义是什么？ (板书)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 二、新知探索 1、思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样 点是否存在？若存在，轨迹会什么？ 2、实物拉链演示：双曲线的形成(请同学参与协助画图) (取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边的长度相等，现将 其中的一边剪掉一段(长为2a)，两端点分别固定在黑板的两个定点 F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉
双曲线及其标准方程练习题
课时作业(十) [学业水平层次] 一、选择题 1．方程x 22＋m －y 2 2－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围( ) A ．－2＜m ＜2 B ．m ＞0 C ．m ≥0 D ．|m |≥2 【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A 2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 2 16＝1 B.y 29－x 2 16＝1 C.x 29－y 2 16＝1(x ≤－3) D.x 29－y 2 16＝1(x ≥3) 【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16， ∴P 点的轨迹方程为x 29－y 2 16＝1(x ≥3)． 【答案】 D 3．(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A.x 22－y 2 3＝1 B.x 23－y 2 2＝1 C.x 24－y 2 ＝1 D ．x 2 －y 2 4＝1 【解析】 由? ?? |PF 1|· |PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(25)2 ， ?(|PF 1|－|PF 2|)2＝16， 即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C 4．已知椭圆方程x 24＋y 2 3＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C ．2 D ．3 【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝2 1＝2. 【答案】 C 二、填空题 5．设点P 是双曲线x 29－y 2 16＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________. 【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝ a 2＋ b 2＝5. (1)若点P 在双曲线的左支上，
双曲线及其标准方程练习题一
《双曲线及其标准方程》练习题一 1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方 程是( ) －y 216＝1 －x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) －y 2 16＝1(x ≥3) 2．“ab<0”是“方程c by ax =+22表示双曲线”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( ) －y 24＝1 －x 24＝1 C.x 23－y 22＝1 －y 2 16＝1 4．方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分 5．双曲线x 216－y 2 9＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距 离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 6．圆P 过点 ，且与圆 外切，则动圆圆心P 的轨迹方程（ ）． A ． ； B ． C ． D ． 7．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) B ．1或－2 C ．1或12 D ．1 8. 已知ab<0，方程y= —2x+b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的（ ） 9．双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是_______。 10．过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的焦点且垂直于x 轴的弦的长度为_____。
双曲线及其标准方程(一)
双曲线及其标准方程（一） 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．通过对双曲线标准方程的推导，提升学生求动点轨迹方程的水平； 3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）； 5．培养学生发散思维的水平 教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点： 教 具：多媒体 教学过程： 一、复习引入： 1 椭圆定义： 平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭 圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 2.椭圆标准方程： （1）2222=+b y a x （2）2222=+b x a y 其中22b c a +=二、讲解新课： 1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于2 1F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即 a MF MF 221=- 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距 概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于2 1F F ” 2．双曲线的标准方程： 根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证 明 12 222=-b y a x ，此即为双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -，其中222 b a c += 若坐标系的选择不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在 y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y x ,互换，得到122 22=-b x a y ，此也是双曲线的标准方程 3．双曲线的标准方程的特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种： 焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：122 22=-b y a x (0>a ,0>b )； 焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：122 22=-b x a y (0>a ,0>b ) (2)c b a ,,相关系式222 b a c +=成立，且0 ,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系有三种情况。 4.焦点的位置：从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2 x 、2 y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即 2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上 5.双曲线与椭圆之间的区别与联系 三、讲解范例： 例1 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F -，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程 变题1：将条件改为双曲线上一点P 到 1F ,2F 的距离的差等于6,如何? 变题2：将条件改为双曲线上一点P 到1F ,2F 的距离的差的绝对值等于10,如何? 例2 四、课堂练习： 五、小结 ： 1、双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，)0,0(122 22>>=-b a b x a y 焦点 在 y 轴上 c b a ,,相关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系：能够为 a b a b a ><=,,
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程 （第一课时） （一）教学目标 掌握双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程，能根据条件求简单的双曲线标准方程． （二）教学教程 【复习提问】 由一位学生口答，教师板书． 问题1：椭圆的第一定义是什么？ 问题2：椭圆的标准方程是怎样的？ 【新知探索】 1．双曲线的概念 如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程双是怎样的呢？ （1）演示 如图，定点、是两个按钉，是一个细套管，点移动时， 是常数，这样就画出双曲线的一支，由是同一个常数，可以画出双曲线的另一支． 这样作出的曲线就叫做双曲线． （2）设问
①定点、与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？ 请学生回答，不能．指出必须“在平面内”． ②到与两点的距离的差有什么关系？ 请学生回答，到与的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，即是一个常数． ③这个常是否会大于或等？ 请学生回答，应小于且大于零．当常数时，轨迹是以、 为端点的两条射线；当常数时，无轨迹． （3）定义 在此基础上，引导学生概括出双曲线的定义： 平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程 现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导． （1）建系设点 取过焦点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立在直角坐标系（如图）．
设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，则、，又设点与、的距离的差的绝对值等于常数． （2）点的焦合 由定义可知，双曲线上点的集合是 （3）代数方程 （4）化简方程 由一位学生演板，教师巡视， 将上述方程化为 移项两边平方后整理得： 两边再平方后整理得： 由双曲线定义知即，∴， 设代入上式整理得： 这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是、，这里． 如果双曲线的焦点在轴上，即焦点，，可以得到方程 这个方程也是双曲线的标准方程． 教师应当指出： （1）双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义中有“差”，则方程“－”号连接，
双曲线及其标准方程(1)
双曲线及其标准方程 （1） 理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的意义；能根据定义，按求 曲线方程的步骤 导出双曲线的标准方程， 并能熟练写出两类标准 方程； 培养学生分析问题能力和抽象概括能力。 学会用辩证的观 点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性， 并从中发现数学曲线的简洁美和对称美， 培养学生学习数学的兴 趣。 双曲线的定义和双曲线的标准方程． （ 解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出 双曲线的定 义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识． 双曲线的标准方程的推导 （解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程 的推导 类比． ） 教学过程：复习椭圆的定义及标准方程 7 新知探索 7 双曲线 7 展示现实生活中的双曲线 7 对定义的思考 7 双曲线标准方程的推导 7 课堂小结 7 作业 7 研究性学习 一、 复习引入： 前面我们已经学习了椭圆的有关知识， 请同学们回忆一下椭圆的定义。 问题 1：椭圆的定义是什么？ （板书）平面内与两定点 F i 、F 2的距离的和等于常数（大于|F I F 2|）的点的 轨迹叫做椭 圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做焦距。 二、新知探索 思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样 点是否存在？ 若存在，轨迹会什么？ 2、实物拉链演示：双曲线的形成（请同学参与协助画图） （取一条拉链，拉开它的 一部分，在拉开的两边的长度相等，现将 其中的一边剪掉一段（长为2a ），两端点分别固定在黑板的两个定点 F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉 教学方法： 启发式 福建师大附中 苏诗圣 教学目标： 教学重点： 教学难点： 数学实验 7 双曲线的定义 7 例与练 1、
2.3.1双曲线及其标准方程公开课教学设计
§2.3.1双曲线及其标准方程 海南华侨中学王芳文 1．教学背景 1.1 学生特征分析 我授课班级是海南侨中理科班，方法储备上，学生经过学习，已经基本适应高中数学学习规律，但是学习方法还是停留在简单模仿，反复练习层次上，对知识的生成与发展，区别与联系认识不深，缺少抽象概括及分析综合能力。 知识储备上，学生已经系统的学习了直线方程，圆的方程以及椭圆的相关知识，学生熟知椭圆的定义，会根据题目条件求简单的椭圆的标准方程。但是由于接触学习椭圆的时间还相对较短，对椭圆的基本性质了解不深，而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困难。把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。 1.2教师特点分析 自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。 不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。 1.3 学习内容分析 1、内容分析：学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 2、例题分析： 温故：帮助学生复习椭圆的定义，提出问题。 探究：如图，实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分；
2.3.1 双曲线及其标准方程
§ 2.3双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距 双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________． 2．双曲线的标准方程 (1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F 1__________，F 2__________. (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________. (3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________． 一、选择题 1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上 3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m ＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A .12 B ．1或3 C .1＋22 D .2－12 5．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆
双曲线的标准方程
双曲线定义、标准方程 一. 教学内容： 双曲线定义、标准方程 （一）双曲线的定义 1. （1）图示：取一拉链，在拉开两边上各选一点，分别固定在F1、F2上，|F1F2|＝2c，即|PF1|－|PF2|＝2a，得到的图形，我们称为双曲线一支（加绝对值两支） 3. 定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数c小于|F1F2|的点的轨迹叫双曲线。 （1）焦点：F1、F2，焦距：|F1F2| （2）定义重点： ①绝对值 ②小于|F1F2| 若去掉①则为一支；去掉②，2a＝2c射线，2a＞2c无曲线，2a＝0是F1F2的中垂线。 （二）双曲线的标准方程 （1）推导：①建系；②写出集合；③坐标化；④化简 图象特征： ［注意］ 1. 位于标准位置，才能有标准方程； 3. 判断双曲线焦点的位置由函数的正负决定（不比大小），若x2的函数为正，则焦点在x轴上，反之则在y轴上。 4. 记住a、b、c的关系： 一般地：第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 线叫做双曲线的准线，这个常数e叫做离心率。 理解： ①第二定义的隐含条件：定点在直线外，否则轨迹是除去交点的两条相交直线。 ③双曲线的离心率的定义是：双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。（几何意义） 2. 焦半径及焦半径公式 定义：双曲线上一点到焦点的距离叫做双曲线上这点的焦半径。 （4）等轴双曲线： 渐近线：（定义：若曲线上的点到某一直线的距离为d，当点趋向于无穷远时，d能趋近于0，则这条直线称为该曲线的渐近线） 【典型例题】 例1. 一炮弹在某处爆炸，在F1（－5000，0）处听到爆炸声的时间比在F2（5000，0） 么样的曲线上，并求爆炸点所在的曲线方程。 解：6000（米），因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上。
《双曲线及其标准方程》教学设计
《双曲线及其标准方程》教学设计
《双曲线及其标准方程》教学设计 一、设计理念 1.课标解读： 《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：（1）高中数学课程应设立“数学探究”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的 条件，以激发学生的数学学习兴趣。（2）高中数学课程应注重提高学生的数学思 维能力，在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、 归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、反思与建构等思维过程，提高学生 对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断的能力（3）高中数学课程实施 应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，删减繁琐的计算、人为技巧化的 难题和过分强调细枝末节的内容。（3）高中数学课程提倡实现信息技术与课程内 容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质；提倡利用信息技 术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，加强数学教学与信息技术的结合。（4）高中数学课程应建立合理、科学的评价体系；评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注数学学习的过程；过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等 过程的评价，关注对学生在学习过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流 的意识的评价。 基于课表理念的指导，本节课教学方法选择以问题探究、练习为主、以讲授法辅。教学过程侧重知识的自主建构和应用，重视信息技术在教学中的辅助作用。 2.高考解读： 解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质。因此，在解题的过程中计算占了很大的比例，对 运算能力有较高的要求，但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，所以曲线的定义和性质是解题的基础。解析几何试题除考查概念与定义、基本元 素与基本关系外，还突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想等思想方法。 3.教材解读： 本节课的教学内容是《数学选修2-1》第二章《圆锥曲线与方程》§ 3.1“双曲线及其标准方程”，教学课时为1课时。圆锥曲线是一个重要的 几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有 着广泛的应用，同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材，而双 曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，作为最后一种圆锥曲线来学习充分 考虑到了知识学习由易到难的教学要求。双曲线可以与椭圆类比学习，主 要内容是：①探求轨迹（双曲线）；②学习双曲线概念；③推导双曲线标准
求双曲线标准方程的技巧
求双曲线标准方程的技巧 在求双曲线标准方程时，如果能根据已知条件设出方程的合理形式，可以简化运算，优化解题过程。下面结合例题介绍求双曲线标准方程的方法。 一 双曲线的一般方程 例1 求经过点(3,P ,() Q -的双曲线标准方程。 分析 双曲线的标准方程有两种形式：22x a －22y b ＝１（a ＞０，b ＞０）或22y a －2 2 x b ＝１（a ＞０，b ＞０），可以讨论解决。也可以应用下面的方法解决。 解 设双曲线方程为2 Ax ＋2 By ＝１（AB ＜０）。因为所求双曲线经过点 ( 3,P ,() Q -，所以9281,7249 1. A B A B +=??+=?解得A ＝－175，B ＝125。故所求双曲 线方程为225y －2 75 x ＝１。 说明 求双曲线标准方程一般用待定系数法，当双曲线的焦点位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，一般设双曲线方程为2Ax ＋2 By ＝１（AB ＜０），这样可以简化运算。 二 等轴双曲线 例２ 等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，与直线x －2y ＝０交于两点A 、B ， 且AB ＝ 分析 根据等轴双曲线的特点，可以设含有一个参数的方程2 x －2 y ＝2 a （a ＞０），求出a 即可。 解 设等轴双曲线方程为2 x －2 y ＝2 a （a ＞０）。由222, 20.x y a x y ?-=?-=? 解得交点A 、B 的坐标分别为 、? ?。因为AB 3a ＝ a ＝３。故所求双曲线方程为2x －2y ＝９。 说明 等轴双曲线是一类特殊的双曲线，它有一些特殊的性质，比如：离心率e ，渐近线方程为y ＝x ±且互相垂直等等。 三 共焦点双曲线
双曲线及其标准方程练习题答案及详解
双曲线及其标准方程练习题 高二一部数学组 刘苏文 2017年5月2日 一、选择题 1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1
双曲线标准方程的推导
双曲线标准方程的推导 把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于 12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点， 两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集 P ={}122M MF MF a -= 分析：当│M F 1│>│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│=2a (M 在双曲线右支上) 当│M F 1│<│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│= -2a (M 在双曲线左支上) 设动点M 的坐标为（x,y ） 双曲线标准方程的推导： 当│M F 1│-│M F 2│=2a 时，有： (x +c )2+y 2- (x ?c )2+y 2=2a (移项) ? (x +c )2+y 2=2a+ (x ?c )2+y 2（两边平方）
?(x+c)2+y2=4a2+4a(x?c)2+y2+(x?c)2+y2(展开) ?x2+2cx+c2+y2=4a2+4a(x?c)2+y2+x2-2cx+c2+y2(移项) ?x2?x2+2cx+2cx +c2?c2+y2-y2=4a2+4a(x?c)2+y2（合并同类项） ?4cx=4a2+4a(x?c)2+y2（两边除以4） ?cx=a2+a(x?c)2+y2（移项） ?cx-a2=a(x?c)2+y2（两边平方） ?c2x2-2a2cx+a4=a2[(x?c)2+y2](展开) ?c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2](展开) ?c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项） ?-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项） ?c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式） ?（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替） ?b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2） ?x 2 a2-y 2 b2 =1(a>0,b>0)
双曲线及其标准方程解答
2. 2 双曲线 2. 2.1 双曲线及其标准方程 【课标要求】 1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2 ?会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. 【核心扫描】 1?用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程. (重点) 2 ?与双曲线定义有关的应用问题. (难点) 01二课前探翌学 挑醪盘落实 自学导引 1.双曲线的定义 把平面内与两个定点 F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数 (小于IF 1F 2I)的点的轨迹叫做 双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 试一试：在双曲线的定义中，必须要求 “常数小于IF 1F 2I”，那么“常数等于IF 1F 2I” , “常数大于IF 1F 2I”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？ 提示 (1) 若“常数等于IF 1F 2I”时，此时动点的轨迹是以 F 1， F 2为端点的两条射线 F 1A ，F 2B(包括端点)，如图所示. ~A~~P__B~ 想一想:如何判断方程 予—泊=1(a>0，b>0)和* —詁=1(a>0，b>0)所表示双曲线的焦点 的位置？ 提示 如果x 2 项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上，如果y 2 项的系数是正的，那么焦点 在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点 在哪一个坐标轴上. 名师点睛 1.对双曲线定义的理解 (1) 把定常数记为 2a ，当2a<|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当 2a = IF 1F 2I 时，其轨迹是以 F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a>|F 1F 2|时，其轨迹不存在. (2) 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支.若 F 1、F 2表示双曲线的左、右焦 点，且点P 满足|PF 1|— |PF 2|= 2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|—|PF 1|= 2a ，则点P 在 左支上. (3) 双曲线定义的表达式是 ||PF 1|— |PF 2|| = 2a(0<2a<|F 1F 2|). (4) 理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距 离.” (2)若“常数大于IF 1F 2I”，此时动点轨迹不存在. ⑶若“常数为0”，此时动点轨迹为线段 F 1F 2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程
双曲线及其标准方程导学案
双曲线及其标准方程 学习目标：掌握双曲线的定义及标准方程，进一步理解坐标法的思想； 学习重点：了解双曲线的定义； 学习难点：双曲线标准方程的推导过程； 学习过程： 一、复习与问题： 1、复习：椭圆的定义 椭圆的标准方程： 2、问题：平面内与两定点的距离的和等于常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，平面内与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢 二、双曲线的定义： 双曲线的定义：把平面内 的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 合作探究：试说明在下列条件下动点M 的轨迹各是什么图形 ),,2,2,(212121都为正常数是两定点，c a c F F a MF MF F F ==- （1）当21MF MF -=2a 时，点M 的轨迹 （2）当12MF MF -=2a 时，点M 的轨迹 （3）当2a =2c 时，动点M 的轨迹 （4）当2a >2c 时，动点M 的轨迹
（5）当2a =0时，动点M 的是轨迹 三、双曲线的标准方程： 1、焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 建系： 设点： 若焦距为2c (c >0),则1F ，2F ，又设点M 与两焦点的距离差的绝对值等于常数2a ，由双曲线的定义得： （整理过程） 由曲线与方程的关系知所求方程为双曲线的标准方程， 双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在 ，焦点坐标为 2、焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为 ， 它所表示的双曲线的焦点在 ，焦点坐标为 思考:如何根据双曲线的标准方程确定焦点的位置
双曲线及其标准方程习题
双曲线及其标准方程习 题 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
[学业水平训练] 1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( ) A．双曲线B．双曲线的一支 C．两条射线D．一条射线 解析：选D.依题意|PM|－|PN|＝2＝|MN|， 所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条射线． 2．若方程x2 10－k ＋ y2 5－k ＝1表示双曲线，则k的取值范围是( ) A．(5,10) B．(－∞，5) C．(10，＋∞) D．(－∞，5)∪(10，＋∞)解析：选A.由题意得(10－k)(5－k)<0，解得5