北师大统计学基础习题答案3

北师大统计学基础习题答案

Exercise 3

1. Show thatxn+1---11212=(xn+1+nxn);sn+1=(1-)sn+(xn+1-xn)2;and use n+1nn+1

-2Splus (or R) language to write programme of computing xn and sn, -1n1n22where xn=∑xi; and sn=. (x-x)n∑ini=1n-1i=1-

n-1n

Solution:Since xn=∑xi, then nxn=∑xi and ni=1i=1-

n--111n+`

(xn+1+nxn)=(xn+1+∑xi)=xi=xn+1 ∑n+1n+1n+1i=1i=1

So xn+1--1=(xn+1+nxn) n+1

2Since sn=1(xi-xn)2, then ∑n-1i=1-

--n2sn+1-1n+1=∑(xi-xn+1)2 ni=1----=xn+1+nxn21111222(x-x)+(x-x)=(x-x+x-x)+(x-)n+1n+1nnn+1∑i∑in+1n+1ni=1nni=1nn+1nn

-----1n2n1n--n22=∑(xi-xn)+∑(xi-xn)(xn-xn+1)+∑(xn-xn+1)+(xn+1-xn)2

2ni=1ni=1ni=1(n+1)

--1n1n-xn+1+nxn2n22)+(x-x)n=∑(xi-xn)+∑(xn- n+1ni=1ni=1n+1(n+1)2

-xn+1-xn2121n2=(1-)sn+∑()+(x-x) nn+12nni=1n+1(n+1)n--

--121n22 =(1-)sn+(x-x)+(x-x)nnn+1n+122n(n+1)(n+1)

-121=(1-)sn+(xn+1-xn)2 n(n+1)

-121(xn+1-xn)2 So s=(1-)sn+nn+1

Program: We give the program by generating 100 standard normal

random numbers. The program is:

>x=rnorm(100,0,1) 2n+1

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