§1.4.2 正、余弦函数的奇偶性、单调性
§1.4.2 正、余弦函数的奇偶性、单调性
学习目标：1.掌握正、余弦函数的有关性质并会运用.
2.熟记正、余弦函数的单调区间，并利用单调性解题. 学习重点：三角函数的值域、奇偶性、单调性. 学习难点：求三角函数的单调区间，根据图象求值. 学习过程：
一、情境设置
在已学过的内容中，我们要研究一个函数，往往从哪些方面入手？ 二、探究研究
问题1.在同一直角坐标系中作y=sinx,y=cosx (x ∈R)的图象，观察它们的图象，你能得到一些什么性质？分别列出y=sinx, y=cosx x ∈R 的图象与性质
问题2.观察y=sinx, y=cosx x ∈R 图象，探求y=sinx, y=cosx 的对称中心及对称轴. 三、教学精讲
例1：求下列函数的最大值及取得最大值时x 的集合 (1)3
cos x y = (2)x y 2sin 2-= 变式训练：（1）若)3
cos(x
y -
=呢？ 变式训练：（2）若|2sin |2x y -=呢？
例2:判断下列函数奇偶性
（1）f(x)=1-cosx （2）g(x)=x-sinx 变式训练：3、判断下列函数的奇偶性： ⑴x x x f cos |sin |)(?=： ； ⑵x x x f +=3tan )(： ⑶x x x f cos )(+=： . 例3 .求)
32sin(π
+
=x y 的单调增区间
变式训练：（1）求)3
2cos(π
+
=x y 的单调增区间 （2）求)3
2sin(π
+-=x y 的单调增区间
（3）求)6
2cos()3
2sin(π
π
-
++
=x x y 的单调增区间
例4.求下列函数的值域
（1）x y 2sin 23-= （2）x x y sin |sin |+= （3）2sin 2cos 2-+=x x y
（4）x
x x y sin 1cos sin 22+=
（5）??
???
?-∈+=6,6
),3
2sin(2πππx x y
变式训练：1.已知
b x a x f +-
=)3
2sin(2)(π
的定义域为[0，
2
π]，函数的最大
值为1，最小值为-5，求a,b 的值.
2
1
π5
4sin π45cos -π5
32
sin π12
5cos
??????ππ23,2??
??????????πππ2,23,2,0????????????πππ2,23,2,0??
?
???ππ23,22.求当2
32cos sin 2--
+=a x a x y 的最大值为1时a 的值.
四、巩固练习
1、.函数y=sinx,y ≥ 时自变量x 的集合是_________________.
2、.把下列三角函数值从小到大排列起来为：_____________________________
， ， ， 3、.函数x 2sin 2y =的奇偶数性为（ ）. A. 奇函数 B. 偶函数
C ．既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数
4、下列四个函数中，既是 上的增函数，又是以π为周期的偶函
数的是（ ）.
A. sinx y =
B. y=x 2sin
C. cosx y =
D.x 2cos y = 5、函数[]π2,0x cosx,3
2
y ∈-=，其单调性是（ ）.
A. 在[]
π,0上是增函数，在[],2ππ上是减函数 B. 在 上是增函数，在 上分别是减函数 C. 在[]ππ2，
上是增函数，在[]π,0上是减函数 D. 在 是增函数，在 上是减函数
五、小结反思：
⑴正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都可以在图象上被充分地反映出来，所以正、余弦函数的图象十分重要.
⑵结合图象解题是数学中常用的方法. 六、作业布置：课本习题1.4 七．板书设计
）（2
,0π
十八班的苑美婷、郭敏双、葛玉静、岳喜福同学作业写的很好，值得表扬！下节课一定予以表扬。最近有郝阳、梁美浩、张保腾同学进步很大，能上课积极回答问题了；刘新、孟祥楠也能张口问问题了，要多加赞扬。
正弦、余弦函数的奇偶性
一、 课堂目标： 掌握函数奇偶性的定义，会判断正弦、余弦函数及其它简单函数的奇偶性 二、 要点回顾： 奇函数定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的________________ ,都有____________ 成立， 则称f(x)为这一定义域内的奇函数，奇函数的图象关于______________对称 偶函数定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的________________ ,都有____________ 成立， 则称f(x)为这一定义域内的偶函数，偶函数的图象关于______________对称 正弦函数是______________，余弦函数是______________ 若某个函数是奇函数（或偶函数），则其定义域必须是________________ 三、 目标训练： 1、 判断下列函数的奇偶性： （1）y=x sin -_______________ (2) y=x sin ______________ (3) y=3cosx+1_______________ (4) y=sinx - 1 ________________ (5) y=xsin(n π+x) (n ∈Z) (6)y=x x sin 1sin 1lg -+ (7)y=x x x cos 1sin + (8)y=x x x sin 1cos sin 12+-+ （9）y=)2 17sin( x x -?π (10)y=sin(cosx) 2、下列命题中正确的是 ( ) A.y= - sinx 为偶函数 B.y=x sin -是非奇非偶 C.y=3cosx+1为偶函数 D.y=sinx 1-为奇函数 3、下列既是（0，2 π ）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是 ( ) A.y=x 2 B.y=x sin C.y=cos2x D.y=e sin2x 4、函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=1，则sin ?? ? ?? ?+ ?2)5(ππf 的值为 ( )
函数的奇偶性与周期性练习题
函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. －2 B.－1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-，则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是（） A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ．
正、余弦函数图像和性质(奇偶性,单调性)
正弦函数、余弦函数的性质（奇偶性，单调性） 三维目标 1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用. 2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物. 重点难点 教学重点:正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法. 教学难点:正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用. 教学过程： 复习导入： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(-∞,+∞)〕. 正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x∈R ), (1)当且仅当x= 2π +2kπ,k∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x=-2π +2kπ,k∈Z 时,取得最小值-1. 对于余弦函数y=cosx(x∈R ), (1)当且仅当x=2kπ,k∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z 时,取得最小值-1.
正弦函数，余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z 且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π. 新课探究： 正弦、余弦函数的奇偶性 正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称.在R 上,y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数.教师要恰时恰点地引导,怎样用学过的知识方法给予证明? 由诱导公式:∵sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx, ∴y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数. 例、判断下列函数奇函性： 正弦、余弦函数的单调性： 通过学生充分讨论后确定,选图象上的［- 2π,2 3π］(如图4)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选[0,2π]的道理,其他类似. 图3 图4 这个变化情况也可从下表中显示出来 : (1)sin 3() (2)sin cos ()(3)1sin () y x x R y x x x R y x x R =-∈=+∈=+∈
函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等． 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题． 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意： 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 1
2 3.奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2. 若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数，则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点？ (1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． (2)判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的 每一个x ， 均有f (－x )＝－f (x )、f (－x )＝f (x )， 而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)． (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ． (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2．判断函数的奇偶性的方法 （1）定义法： 1)首先要研究函数的定义域，
函数的奇偶性及周期性综合运用
函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],
1.10基本初等函数奇偶性和周期性
1．10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点：①能够正确判断函数的奇偶性和周期性；②运用基本初等函数的性质解题。 一．基础练习 1． 写出下列函数中，奇函数是________；偶函数是________；非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2． 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++，系数,,,a b c d 满足__________时，()f x 是奇函数； 满足___________时，它是偶函数． 3． 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(2)f =________． 4． 函数sin 2y x =的周期是________；tan y x π=的周期是________． 5． 已知函数()f x 是定义在（-3，3）上的奇函数，当03x << ()f x 图象如右，则不等式 ()0f x x >的解集是____________． 二、例题讲解 例1：判断下列函数的奇偶性 （1）2 ()2||3f x x x =-- （2）22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--，实数a 的范围是____________．
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .分解
函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）
函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳
函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳 一、基础知 1．函数的奇偶性 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f (－x )＝f (x )?f (－x )－f (x )＝0?f (－x ) f (x )＝1?f (x )为偶函数； (2)f (－x )＝－f (x )?f (－x )＋f (x )＝0?f (－x ) f (x )＝－1?f (x )为奇函数． 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 二、常用结论 1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝ 1 f (x ) ，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1 f (x )，则T ＝2a (a >0)． 3．函数图象的对称性 (1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称． 考点一 函数奇偶性的判断 [典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2 |x ＋3|－3； (2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2) |x －2|－2 ； (4)f (x )＝? ??? ? x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0. [解] (1)由f (x )＝36－x 2 |x ＋3|－3，可知????? 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0?????? －6≤x ≤6， x ≠0且x ≠－6， 故函数f (x )的定 义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．
正余弦函数的奇偶性单调性
§1.4.2 正、余弦函数的奇偶性、单调性 学习目标：1.掌握正、余弦函数的有关性质并会运用. 2.熟记正、余弦函数的单调区间，并利用单调性解题. 学习重点：三角函数的值域、奇偶性、单调性. 学习难点：求三角函数的单调区间，根据图象求值. 学习过程： 一、情境设置 在已学过的内容中，我们要研究一个函数，往往从哪些方面入手？ 二、探究研究 问题1.在同一直角坐标系中作y=sinx,y=cosx (x ∈R)的图象，观察它们的图象，你能得到一些什么性质？分别列出y=sinx, y=cosx x ∈R 的图象与性质 问题2.观察y=sinx, y=cosx x ∈R 图象，探求y=sinx, y=cosx 的对称中心及对称轴. 三、教学精讲 例1：求下列函数的最大值及取得最大值时x 的集合 (1)3 cos x y = (2)x y 2sin 2-= 变式训练：（1）若)3 cos(x y - =呢？ 变式训练：（2）若|2sin |2x y -=呢？ 例2:判断下列函数奇偶性 （1）f(x)=1-cosx （2）g(x)=x-sinx 变式训练：3、判断下列函数的奇偶性： ⑴x x x f cos |sin |)(?=： ； ⑵x x x f +=3tan )(： ⑶x x x f cos )(+=： . 例3 .求)3 2sin(π+ =x y 的单调增区间 变式训练：（1）求)3 2cos(π+ =x y 的单调增区间 （2）求)3 2sin(π+-=x y 的单调增区间 （3）求)6 2cos()3 2sin(ππ - ++ =x x y 的单调增区间 例4.求下列函数的值域 （1）x y 2sin 23-= （2）x x y sin |sin |+= （3）2sin 2cos 2-+=x x y （4）x x x y sin 1cos sin 22+= （5）?? ??? ?-∈+=6,6 ),3 2sin(2πππx x y 变式训练：1.已知 b x a x f +- =)3 2sin(2)(π的定义域为[0， 2 π]，函数的最大 值为1，最小值为-5，求a,b 的值.
人教版高中数学必修4试题 1.4.2.2正、余弦函数的单调性与最值
1.4. 2.2正、余弦函数的单调性与最值 基础知识和技能训练(九) 1．函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A.???? ??－π4，π4 B.?????? π4，3π4 C.? ?? ???0，π2 D.???? ??π2，π 解析 ∵y ＝cos2x ， ∴2k π≤2x ≤π＋2k π(k ∈Z )， 即k π≤x ≤π 2＋k π(k ∈Z )． ∴? ?? ???k π，k π＋π2(k ∈Z )为y ＝cos2x 的单调递减区间． 而? ?? ? ??0，π2显然是上述区间中的一个． 答案 C 2．函数y ＝cos ? ????x ＋π6，x ∈??????0，π2的值域是( ) A.? ???? －32，12 B.?????? －12，32 C.???? ?? 32，1 D.? ??? ?? 12，1 解析 由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π 3， ∴－12≤cos ? ????x ＋π6≤3 2，选B. 答案 B
3．设M 和m 分别表示函数y ＝1 3cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( ) A.23 B ．－23 C ．－43 D ．－2 解析 依题意得M ＝13－1＝－23，m ＝－1 3－1 ＝－4 3，∴M ＋m ＝－2. 答案 D 4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 解析 cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°. sin80°＞sin12°＞sin11°， 即cos10°＞sin168°＞sin11°. 答案 C 5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间??? ? ??0，π3上单调递增，在区间???? ?? π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32
函数的奇偶性与周期性试题(答案)
函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( ) A ．f(x)＝x2＋x B ．f(x)＝tan x C ．f(x)＝x ＋sin x D ．f(x)＝lg 1－x 1＋x 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f(x)g(x)是偶函数 B ．|f(x)|g(x)是奇函数 C ．f(x)|g(x)|是奇函数 D ．|f(x)g(x)|是奇函数 3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，若f(a)＝23 ，则f(－a)＝( ) A.23 B ．－23 C.43 D ．－43 4．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3) D ．(－1,0)∪(0,1) 6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3a ＋1 ，则a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a≥23 B ．a<－1 C ．－1 函数的奇偶性及周期性 1．函数的奇偶性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． [小题体验] 1．下列函数中为偶函数的是() A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x|D．y＝2－x 答案：B 2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________. 答案：－1 3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________. 答案：x(1－x) 1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－ x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)． 3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性． [小题纠偏] 1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－1 2 解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝1 3.又f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，∴a ＋b ＝1 3 . 2．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时， f (x )＝ ? ???? －4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ????32＝________. 解析：由题意得，f ????32＝f ????－12＝－4×????－122＋2＝1. 答案：1 考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透) [题组练透] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－ x ； (4)(易错题)f (x )＝4－x 2 |x ＋3|－3 ； (5)(易错题)f (x )＝????? x 2＋x ，x >0， x 2－x ，x <0. 解：(1)∵由? ???? x 2－1≥0， 1－x 2≥0，得x ＝±1， ∴f (x )的定义域为{－1,1}． 又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性 一、选择题 1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin x 2 B ．y ＝cos x 2 C ．y ＝cos x D ．y ＝cos 2x D [A 中函数是奇函数，B 、C 中函数的周期不是π，只有D 符合题目要求．] 2．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是 ( ) B [由f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称． 由f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的周期为2.故选B.] 3．函数f (x )＝sin ? ? ???ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω等于( ) 【有知识题：84352090】 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 B [由已知得2π|ω|＝π 5，又ω＞0， 所以2πω＝π 5，ω＝10.] 4．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期为( ) A ．π2 B ．π C ．2π D ．4π B [因为函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致，由函数y ＝ |cos x |的图象(略)知其最小正周期为π，所以y ＝|cos x |－1的最小正周期也为π.] 5．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ? ????π4＝1，则f ? ?? ?? 3π4的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 B [由已知得f (x ＋π)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )， 所以f ? ????3π4＝f ? ????3π4－π＝f ? ????－π4＝－f ? ???? π4＝－1.] 二、填空题 6．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数． 其中错误的是________(填序号). 【有知识题：84352091】 ①④ [φ＝0时，f (x )＝sin x ，是奇函数，φ＝π 2时，f (x )＝cos x 是偶函数．] 7．若函数f (x )＝2cos ? ? ???ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,4)，则正整数ω 的最大值为________． 6 [T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π 2＜ω＜2π， ∴ω的最大值是6.] 8．若f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝cos x －sin x ，当x ＜0时，f (x )的解析式为________． f (x )＝－cos x －sin x [x ＜0时，－x ＞0， f (－x )＝cos(－x )－sin(－x )＝cos x ＋sin x ， 因为f (x )为奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－cos x －sin x ， 即x ＜0时，f (x )＝－cos x －sin x ．] §4.8正弦、余弦函数的单调性（一） 班级 学号 姓名 一、 课堂目标： 能正确地求出正弦、余弦函数及一些简单复合函数的单调区间 二、 要点回顾： 1增函数定义回顾：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x 1, x 2，当x 1 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一 判断函数的奇偶性 函数的奇偶性与周期性专题练习 一、选择题 1.(2019·肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析 y ＝x cos x 为奇函数，y ＝e x ＋x 2为非奇非偶函数，y ＝lg x 2－2与y ＝ x sin x 为偶函数. 答案 B 2.(2019·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0，1)内是增函数 B.奇函数，且在(0，1)内是减函数 C.偶函数，且在(0，1)内是增函数 D.偶函数，且在(0，1)内是减函数 解析 易知f (x )的定义域为(－1，1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，则y ＝f (x )为奇函数， 又y ＝ln(1＋x )与y ＝－ln(1－x )在(0，1)上是增函数， 所以f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )在(0，1)上是增函数. 答案 A 3.已知函数f (x )＝x ? ?? ??e x －1e x ，若f (x 1) §4.8正弦、余弦函数的奇偶性 班级 学号 姓名 一、 课堂目标： 掌握函数奇偶性的定义，会判断正弦、余弦函数及其它简单函数的奇偶性 二、 要点回顾： 奇函数定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的________________ ,都有____________ 成立， 则称f(x)为这一定义域内的奇函数，奇函数的图象关于______________对称 偶函数定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的________________ ,都有____________ 成立， 则称f(x)为这一定义域内的偶函数，偶函数的图象关于______________对称 正弦函数是______________，余弦函数是______________ 若某个函数是奇函数（或偶函数），则其定义域必须是________________ 三、 目标训练： 1、 判断下列函数的奇偶性： （1）y=x sin -_______________ (2) y=x sin ______________ (3) y=3cosx+1_______________ (4) y=sinx - 1 ________________ (5) y=xsin(n π+x) (n ∈Z) (6)y=x x sin 1sin 1lg -+ (7)y=x x x cos 1sin + (8)y=x x x sin 1cos sin 12+-+ （9）y=)2 17sin( x x -?π (10)y=sin(cosx) 2、下列命题中正确的是 ( ) A.y= - sinx 为偶函数 B.y=x sin -是非奇非偶 C.y=3cosx+1为偶函数 D.y=sinx 1-为奇函数 3、下列既是（0，2 π ）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是 ( ) A.y=x 2 B.y=x sin C.y=cos2x D.y=e sin2x 4、函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=1，则sin ??? ?? ?+?2)5(ππf 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1/2 D.1 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇函数偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做 偶函数 图象特征关于原点对称关于y轴对称 2. (1)周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√) (7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√) (9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一判断函数的奇偶性 第三节 函数的奇偶性与周期性 ? 基础知识 1．函数的奇偶性? ?函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． ?若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f (－x )＝f (x )?f (－x )－f (x )＝0?f (－x ) f (x )＝1?f (x )为偶函数； (2)f (－x )＝－f (x )?f (－x )＋f (x )＝0?f (－x ) f (x )＝－1?f (x )为奇函数． 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． ? 常用结论 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝ 1 f (x ) ，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1 f (x )，则T ＝2a (a >0)． 3．函数图象的对称性 (1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称． 考点一 函数奇偶性的判断 [典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2 |x ＋3|－3； (2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2) |x －2|－2 ； (4)f (x )＝???? ? x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0. [解] (1)由f (x )＝36－x 2 |x ＋3|－3，可知????? 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0?????? －6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6， 故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定 义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数． (2)由? ???? 1－x 2≥0， x 2－1≥0?x 2＝1?x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－ x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数． (3)由? ???? 1－x 2>0，|x －2|－2≠0?－1函数的奇偶性及周期性
正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
正弦、余弦函数的单调性
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性专题练习
正弦、余弦函数的奇偶性
函数的奇偶性与周期性
6.函数的奇偶性与周期性考点及题型