第1章 应用时间序列分析

Applied Econometric Time Series 应用时间序列分析

王雪标

东北财经大学数学与数量经济学院

第一章引言

对某些随机变量来说，在任一时刻都可以对其进行观测，并得到一系列数据。这时称为连续随机过程，记()

x t。然而，在经济学中，大多数数据都是经过等时间长度做观测而得到的。如，每小时，每天，每周，每月，每季度，每年。这时称为离散时间序列，记

x。

t

一个时间序列是按照时间参数而排列的数值序列。如，每日某种股票的收盘价、每月失业人数，每年GDP，…，等等。

对一个随机过程进行观测而得到的时间序列

x可称做为这个

t

随机过程的一个实现。时间序列分析的基本目的是利用随机过程的观测序列（实现），对这个随机过程的基本特征、性质做推断。在分析中的第一步通常是形成一个统计量，分析数据的统计特征，根据统计特征，利用数据构造模型，这个模型与随机过程的生成机制有类似的性质。

因而，时间序列经济学家的主要任务是利用经济数据，建立相对简单的模型，也可以建立一系列分析方法，将序列分解为趋势性部分、周期性部分和不规则性部分，对经济现象进行解释、假设检验和预测。

趋势性方程：10.1t T t =+ 季节性方程： 1.6sin(6)t S t π

=

无规则性方程：10.7t t t I I ε-=+，t ε为t 期随机扰动项。

这三个方程是典型的差分方程。一般来说，差分方程是指一个变量的值表示成这个变量滞后值、时间和其它变量的函数。趋势和季节项是时间的函数，不规则项是它本身滞后项和随机扰动

t ε的函数。

时间序列分析主要处理、估计含有随机元素的差分方程，估计单个序列或向量（包含许多相关的序列）的一些性质。

最简单的时间序列是白噪声（white noise ） 白噪声t ε是最基本的时间序列，满足下面条件： 1）12()(,,)(1t t t t t E E E t εεεεε--==- 处所有信息)0=

2）()cov()0t t j t t j E εεεε--== 3）12()(,,)(1t t t t t

Var Var Var t εεεεε--==- 处所有信息2)εσ=

前两个条件说明，t ε不存在序列相关(serial correlation)，第三个条件说明t ε是条件同方差（conditional homoskedasticity ）。

p 阶自回归过程)(p AR

在经济系统中通常有大量的时间序列有下面形式：

t 处值=1t -处值的期望+误差项

如果将1t -处值的期望取为1t -期值的固定比例，误差项取为白噪声序列。这时就是1阶自回归。

1t t t y y αε-=+

如果将1t -处值的期望取为过去值的加权平均，这时就是高阶自回归。

p 阶自回归过程（也叫线性差分方程）

1p

t j t j t

j y y αε-==+∑ 或

1

p

t j t j t

j y y αε

-=-=∑

定义滞后算子B 如下：

1t t By y -=,

212t t t t B y BBy By y --===,

,j t t j B y y -=

,j t t j B y y -+=

上述p 阶自回归过程可写成

()t t a B y ε=,

其中1

()1p

j j j a B B α==-∑

这个自回归过程的一般解是

12t t t y y y =+

这里1t y 是齐次方程()0t a B y =的解，2()t t y b B ε=是特解。这里的滞后算子表示为：1()1p

j j j a B B α==-∑，()1()b B a B =

方程∑==-=p

j j

j z z 1

01)(αα

称为()0t a B y =的特征方程。

对于一阶齐次方程

1t t y y α-=

解为t t y A α=， A 是依赖于初值的常量。 对于二阶齐次方程

1122t t t y y y αα--=+

则，可能的解的形式为

1122t t t y A A θθ=+

代回方程得

1212111121221222(1)(1)0

t t A A θαθαθθαθαθ------+--=，如果

1112,θθ--是方程212()10a z z z αα=--=的根，则1122t t t y A A θθ=+确实是方程

1122t t t y y y αα--=+的解。可利用初值的条件，确定12,A A 。

对于一般的p 阶方程

11p

t j t j y y α-==∑

有解

1

p

t

t k k k y A θ==∑

这里1k θ-是方程()0a z =的根（假设没有重根）。如果1k θ-是复根，则有共轭对应，形为cos()t k k B kt θφ+，对于充分大的t ，解的形式将由00t A θ所控制，0max(,1,2,,)k k p θθ== 。

如果0

1θ<，解是平稳

的。如果0

1θ>，解是（发散的）爆炸性的。

解是平稳的充分必要条件是：()0a z =的根在单位园1z =之外，

把它称为平稳性条件。

本课程将介绍一维和多维时间序列的建模方法，包括预测方法；介绍如何估计时间序列的不规则部分；当数据显示波动和相对平滑时，方差如何估计；趋势的估计（趋势是确定性的还是随机性的）；多维向量差分方程的特征性质；多维模型中趋势的估计。

虽然时间序列分析的主要内容是预测，由于大量经济变量的动态变化特征，使我们可以利用时间序列（随机差分方程）来分析验证有关经济理论。 看下面三个例子： 1．

随机游动假说：

随机游动模型解释了股票每天价格的变化应该是不相关的、有零均值。如果已知在t 天买一份股票，在下一天卖掉可以得到预期的利润的话，那么大量投机就会驱使现价上涨。同样，如果一份股票预期要贬值，没人会想持有这个股票。这个模型认为：股票价格应当满足随机差分方程 11t t t y y ε++=+

或

11++=?t t y ε

这里

t y =在

t 天一份股票的价格，=+1t ε有零均值、不相关的随机

扰动项。

现在考虑更一般的随机差分方程

1011t t t y y ααε++?=++

检验随机游动假设就是检验限制条件010==αα，拒绝这个限制等价于拒绝随机游动假说。

2导出（reduced ）型方程和结构方程：

将一个差分方程组分解成几个单方程模型是有用的。为了说明这个重要问题，考虑Samuelson (1939)的经典模型： t t t y c i =+

（1.1）

1, 01,t t ct c y αεα-=+<< (1.2)

1(),

0t t t it i c c βεβ-=-+> (1.3)

这里,t t y c 和t i 表示在t 期实际GDP 、消费和投资。在这个Keynesian 模型中，,t t y c 和t i 是内生变量。前一期GDP

1t y -

和前一期消费1

t c -被称为前定的或滞后的内生变量。

it ct ,εε称为消费和投资的零均值扰动项，βα,是要估计的参数。

第一个方程说明：总产出（GDP ）等于消费与投资之和。第二个方程说明：消费等于前一期的GDP 的比例加上随机扰动项。第三个方程是加速原理：投资和消费变化成比例，消费的增长促使了新的投资。误差项it ct ,εε代表了这个方程不能解释的消费和投资部分。

方程（1.1）是结构方程（内生变量与其它内生变量当期之间的关系），内生变量t y 依赖于其它内生变量t c 、t i 的现期值。 导出型方程是将一个内生变量表示成它的滞后值、其它内生变量的滞后值、外生变量的现值和滞后值及扰动项的方程。按此说法，消费函数（1.2）是导出型：现期消费只依赖于滞后收入和随机扰动项ct ε的现期值。投资方程（1.3）不是导出型，因为它依赖于现期消费t c 。

为了得到投资的导出型方程，将（1.2）代人投资方程中，得

11[]t t ct t it i y c βαεε--=+-+

11t t ct it y c αβββεε--=-++

注意，这是投资的导出型方程，但不是唯一的。可以将（1.2）滞后一期获得121t t ct c y αε---=+，利用这个表达式，导出型投资方程可写成

121()()t t t ct ct it i y y αββεεε---=-+-+

（1.4）

同样，对于GDP 的导出型方程可通过将（1.2），（1.4）代人（1.1）中，得

121(1)(1)t t t ct it ct y y y αβαββεεβε---=+-+++-

（1.5）

方程（1.5）是导出型方程（一维情况）；t y 可表示成本身的滞后项和扰动项的函数。一维模型对于预测是非常有用的，因为，你可以用现值和过去值进行预测。利用一维时间序列的技术可以估计（1.5）。一旦你获得了α和β的估计，利用1y 到t y 的观测值，可以预测序列的所有将来值（12,,...)t t y y ++

本课程也考虑多维模型（所有变量被认为是联合内生的），也讨论由导出模型推出结构型模型的限制条件（可识别条件）。

3、误差修正：远期和现期交易价格

某种商品或金融产品在现期市场中或将来的某一时刻能被买和卖，例如，假设在现期（t 期）市场某种外汇的价格是t s 美

元，远期价格是t f 美元。到t +1期，投机者付t f 美元。因为现期汇率可以1t s +的价格卖，投机者能挣的利润是

1t t s f +-

无偏的远期利率(UFR)假说认为：投机行为的预期利润为零。远期、现期汇率有下面关系：

11t t t s f ε++=+

(1.6)

这里1t +ε有零均值。

在（1.6）中，t 期的远期汇率是t +1期现期汇率的无偏估计。因此，假如你收集到了这两种数据，并估计了回归方程

1011t t t s f ααε++=++

如果能断定1,010==αα，且E (1t +ε)=0，则

UFR 假设成立。

当1t +ε=0时，远期和现期市场被说成是长期均衡。只要1t s +偏离t f 时，在下一期将会有一些必要的调整，以恢复均衡。 考虑调整过程： 2112[],0t t t t st s s s f αεα++++=--+> （1.7）

111[],

0t t t t ft f f s f βεβ+++=+-+>

（1.8）

这里，1ft 2st ,++εε均值都为零。

这两个方程说明了联立调整机制，这个动态模型被称为误差修正模型。因为，变量与前一期偏离长期均衡的偏差有关。如果现期汇率1t s +等于远期汇率t f ，现期汇率与远期汇率预期不变。如果现期汇率与远期汇率之间有正偏差，10t t s f +->，则现期汇率将下降，远期汇率将上升。

4． 蛛网模型

1．确定性蛛网模型：

,0t t d a p γγ=-> ,0t t s b p ββ*=+>

t t s d =

这里t d =t 期小麦的需求，t s =t 期小麦的供给，t p =t 期小麦的市场价格，

t p *=

农民对t 期小麦的预期价格。参数

,,,0, (a b a b a b γβ>>>且保证均衡价格为正），蛛网模型的关键是农民使用上期价格作为市场价格的预期1t t p p *-=

可得一阶常系数差分方程

1()()/t t p p a b β

γγ

-=-

+- 初始条件0t p p = 0()()t t a b a b

p p βγβγγβ

--=

+--++

这个稳定条件的经济解释是：供给曲线的斜率（β

1

)ds /dp t t 为，

需求曲线斜率的绝对值γ

1

)dd /(-dp t t 为。如果供给曲线比需求曲线

更陡峭，即1/1/,

/1βγβγ><或时， 系统是稳定的。

2．带有随机供给冲击的蛛网模型

下面用具有随机供给冲击的蛛网模型来说明农产品价格的波动性。如小麦价格由下面供需决定：

0,p a d t t >-=γγ 0,

p b s t t t >++=*βεβ t t d s =

这里

=t d t 期小麦的需求 =t s t 期小麦的供给 =t p t

期小麦的市场价格

=*t p 农民对

t 期小麦的预期价格

=t ε零均值的供给冲击。

参数b a ( b a ,0,,b ,a >>>且βγ保证均衡价格为正）

假设消费者可按市场价任意购买小麦。在种植期，农民不知道小麦在收割时的价格，他们的供给依赖于预期价格*t p ，与实际小麦市场不同，这里不允许有囤积。蛛网模型的关键是农民使用上期价格作为市场价格的预期

1t t p p -*=

点E 代表价格和小麦数量达到长期均衡。在这个随机模型中的均衡概念不同于传统的蛛网模型。如果这个系统是稳定的，价格会趋于E 点。随机均衡是指供给冲击会使系统经常偏离E 点。

长期均衡价格是容易解出的。如果令}{t ε都为0，

p p p 1t t =???==-，且令供给=需求，则可得长期均衡价格为

)/()b a (p βγ+-=

均衡供给量、需求量为 )/()b a (βγγβ++

为了分析这个系统的动态性质，我们假设农民在t 期生产小麦数量s 。但是，有一个负的供给冲击，使实际生产量为t s ，点1，为了简单，假设这供给冲击的后续值都为零。（)02

t 1t =???==++εε。

在t+1期时，t 1t p p =*+。他们生产1t s +，点2。但，当价格降到1t p +时，消费者愿意买1t s +，点3。重复这个过程，一直到达点E 。

但这个均衡不一定对所有供给、需求曲线都能达到。为了求出稳定条件， t t 1t p a p b γεβ-=++-

或

γεγγ

β

//)b a (p )(p t 1t t --+-

=- 这是一阶线性差分方程。为了得到一般解：

数量

价格

∑∞

=--+--+-=0

i t

i t i t )/(A )/(1b a p γβεγβγβγ

如果我们知道在某个初始期的价格，则我们可确定A 。因为一般解对每期都成立，所以

∑∞

=--+--+-=0

i 0

i i 0)/(A )/(1b a p γβεγβγβγ

因而可求出A ，可得

∑-=-+---+--+-=1t 0i 0t i t i t )b a p ()()/(1b a p β

γγβεγβγβγ

（1.9）

由此可看出，t p 将振荡在长期均衡价格上下。如果t ,()ββγγ

<收敛

到零。如果t ,

()β

βγγ

>将发散。这个稳定条件的经济解释是：供给

曲线的斜率（β

1

)ds /dp t t 为，需求曲线斜率的绝对值γ

1

)dd /(-dp t t 为。

如果供给曲线比需求曲线更陡峭，即1/1/,/1βγβγ><或时， 系

统是稳定的。

3．供给冲击效应

供给冲击对小麦价格的当期影响效应是t t p ε对的偏导数：

γ

ε1

p t t -=?? （1.10）

这个方程被称为影响乘数，它反映了在t 期t ε改变一个单位对t p 的影响。供给每下降一个单位，价格上升1/γ单位。

可以求出供给冲击对以后各期的影响效应。由（1.9）可知

2

t 1t )(1p γ

β

γβγε=--=??+

类似地，

n t n t ))(1(p γ

β

γε--=??+ 这些乘数的时间路径被称为脉冲反应函数，脉冲反应函数在时间序列分析中有重要应用，它显示了一个变量被一个随机冲击影响的整个时间路径。这里显示了小麦市场供给冲击的效应。也可分析货币供给或产出冲击对实际GDP 的影响路径。