量子阱能级与波函数的MATLAB实现

哈尔滨师范大学

学年论文

题目量子阱能级和波函数的MATLAB实现

学生王勇

指导教师孙文军教授

年级2010级

专业物理学（通用技术）

系别物理系

学院物理与电子工程学院

哈尔滨师范大学

2013年5月

量子阱能级与波函数的MATLAB 实现

王勇

摘 要：在量子力学中，通过对求解一维多量子阱束缚态能级满足的超越方程，我们可以求出量子阱的能级表达式。另外，通过薛定谔方程求出对氢原子波函数满足的方程，在MATLAB 中通过程序的编辑，可以方便地绘制量子阱能级和波函数的空间分布图，指出MATLAB 软件是解决量子力学可视化的有效工具。 关键词：MATLAB ；量子阱能级；波函数

量子力学作为物理类学生必修的一门专业课. 一直以来以教师难教、学生难学而著称，量子力学主要研究微观尺度下粒子的行为与相互作用/，例如量子力学中的许多概念如角动量理论，波函数等抽象难懂. 一些量子力学现象如隧道效应、势垒反射等与宏观现实不相符. 同时这些理论和现象无法直接用肉眼观察，使得这些理论和现象更加晦涩难懂. 因此，在量子力学教学中引入多媒体教学.，增加动态直观的演示，是进行教学改革、也是将晦涩难懂的抽象理论化为形象生动的图像理论。而选择一种操作简单、功能强大的多媒体制作软件是进行教育改革的前提，针对量子力学计算复杂、物理量具有矩阵形式等特点. 我们最终选择了具有强大计算能力同时又有极强图像处理能力的数学软件——MATLAB 。

一、MATLAB 软件介绍

MATLAB 是美国MATH WORK 公司从1982年开始推出的一套高性能的数值计算和可视化软件， 它集数值分析、矩阵运算和图形显示于一体. 构成了一个方便的、界面友好的用户环境，MATLAB 程序设计语言结构完整. 且具有良好的移植性,易学易用.此外. 它还提供了解决各类问题的工具箱，MATLAB 已成为应用学科、计算机辅助分析、设计、仿真和教学不可缺少的软件.

MATLAB 具有强大的图形绘制能力. 为科学研究提供了极大的方便，MATLAB 可以绘制二维、三维乃至四维图形.而且能对图形进行线型、立体、色彩、光线、视角等控制,用户只须指定绘图方式. 并提供充足的绘图数据. 用很少的程序指令就可得到直观、形象的图形结果.借助于MATLAB 的数值计算和图形处理技术.我们可以方便地绘制氢原子波函数的空间分布图. 直观感受微观状态下电子行为,加深对理论、概念的理解。

二、一维多量子阱能级和氢原子波函数模型的建立

（一）一维多量子阱能级

由量子理论知，一维多量子阱满足的薛定谔方程为

n n n E V dx d m h ψψ=??

????+-2

2

22

一维多量子阱共有n 个常数位势，其高度分别用n V ,V ,,V ,V ,V 1-n 321 来标志，选

21V V 和阶跃点的坐标为零（0x 1=），1j ,V +j V 阶跃点的坐标为j x ，第j 个位势的宽度为1=-=j j j x x a 。通常将Vn V 1与称之为外区位势，两个外区位势的小者记为max V ，而j V 称为内区位势，内区位势的最小者为j V 。

设电子处于一维多量子阱中，当电子的能量满足max min V V <

缚

态

的

解

，

否

则

只

有

非

束

缚

态

解

.

当

个区域的波函数有限性要求的时，可以直接写出满足n V E V max min <<

()x ik A x 1

e 1,21

-=ψ （1）

()x ik x ik e A e A x 2

2

2.22,12-+=ψ （2）

()3

3

3.23.13ikx

x ik e A e A x -+=ψ （3）

··· ··· ···

()x ik n x

ik

n n m e A e A x 222,22,12n ------+=ψ （4）

()x ik x

ik

n n n n e A e A x 111n 21,11------+=，ψ (5)

()x ik n n n

e A x ,1=ψ (6)

试中

)

E (2k J j j V m -=

(j=1,2,3, ,n) (7)

其中，j k 是实数还是虚数应视E 与j V 的数值而定，一般情况下将j k 作为复数处理。 首先，由波函数在x=1x -n 处的连接条件

)x ()x (111---=n n n n ψψ （8） 可知 1111

1,11,21,1-----=+---n n n n n n x ik n x ik n x ik n e A e A e

A （9）

再利用波函数一阶导数的连接条件 n

n n

n n n

m m x )x ()(11

11----'=

'ψψ （10）

得到

11111,111

1,21-n 1A ---------=

-n n n n n n x ik n n

n n n x ik n x ik e A m k m k e A e ， （11）

为简捷计，令 n

n n n m k m k B 11

1-n --= （12）

将式（9）加上式（11）与减去式（11）， 分别得到 11

1n ,11n 1,1)1(21

-----+=

n n n n x ik x ik n e A B e

A （13） 11

1n ,111n ,2)1(2

1

-------=n n n n x ik n x ik e A B e

A (14) 其次，由波函数在2-=n x x 处的连接条件

()()2122----=n n n n x x ψψ （15） 可知

2121222

21,21,12n 22n 1--------------+=+n n n n n n n n x ik n x ik n x ik x ik e A e A e A e

A ，，

（16） 再利用波函数一阶导数的连接条件

()()1

212

22------'=

'n n n

n n n

m x m x ψψ （17）

得到

()

212122221,21n 122,221A ----------------=-n n n n n n n n x ik n x ik n x ik n x ik n e A e A B e A e ，，

（18） 将式（16）加上式（18）与减去式（18），分别得到

()()2121222,221,12n 2,112

1B 121

-------------++=

n n n n n n x ik n n x ik n x ik n e A B e A e A

（19）

()()2221221,221,122,212

1121

-------------++-=

n n n n n n x ik n n x ik n n x ik n e A B e A B e A

（20） 然后，用类似的方法做下去，可以得到x=j x 处的结果，即

()()j j j j j

j x ik j j ik j x ik j A A e

A 11e

B 121e B 121

1,2x !,1j ,1++-++-++=

(21)

()()j j j j j

j ik j j ik j j x ik j A B A B e

A x 1,2x 1,1,211e 12

1e 121

++-++-++-=

(22) 上述两式具有明显的递推形式。当j=2时，由于，2

122x x a a =+=，故

()()2

3232

2e 12

1e 121e 3223122

1a ik a ik a ik A B A B A --++=，，， （23）

()()2323a 3,223,122,212

1121

ik a ik x

ik e A B e A B e

A j

j --++-=

（24） 若依次将3,1A ,3,2A ,4,1A ,4,2A , ,1,1-n A ,1,2-n A 代入上述两

式，则2,1A 与2.2A 是能量E 的函数，当然，它们还与各区的位势大小，宽度及电子的有效质量有关，此外，皆与n 1，A 成正比。

式（24）与式（23）之比为

()()()()222

32

32

32323,221,322,321,321,2

2,2e 1e A B 1e A 1e A B -1A A a k i a

ik a ik a ik a ik e A B B ---++++=

（25）

最后，再利用在x=0处波函数及其一阶导数连续的条件，容易得到

2,22,11,2A A +=A (26) 2,22,11,21

22

1A A k -=-

A m k m （27） 由上述两式可以解出

2,111,212212,1)A B 1-(121)A k (121=-=

m k m A (28)

2,11

1,212212,2)A B 1(121)A k (121+=+=

m k m A (29) 上述两式之比为

1B 1111

1A A 111

11,2

2,2-+=-

+

=B B B （30）

若取1V ＝3V ＝V ，2V ＝０，m m m ===321m ，a a 22=，则

()ia E V m i V E m k k =-=-=

=

22）（ （31）

k mE

k ==

22 显然，在上述条件下，一维多量子阱已经简化为高度为Ｖ宽度为２ａ的非对称的方势阱。

由式可知

()()()()

21214i 1111B B B B e ka

--++=

（32）

由于

k

ia

k k B ia k k k B ====232121; （33） 将上式可以改写为 2

2222222)2sin()2cos(a

k ka

i a k a k ia k ia k ka i ka e

ka

i +±+-±=-+±=+= 进而可知

???????

?--=E V n 2E)-E(V 2arctan 21

21ka π （34）

利用反三角函数的关系

?

?

?

??-=212arctan arctan 2x x x （35） 式（36）可以改写成

???

? ??--=E V E n E m a arctan 2122

2π （36） 此即有限深非对称方势阱能量本征值满足的超越方程，与上节给出的完全一致。

Matlab 仿真图形：

Matlab 程序如下：

syms y x; a=10; m=9.1*10; h=6.6*10; n=2;

ezplot('sqrt(2*9.1*10*100*4*pi*pi/(6.6*10*6.6*10))*sqrt(y)=1/2*2*pi-atan(sqrt(y./(x-y)))') title('sqrt(2*m*a*a*4*π*π/(h*h))*sqrt(E)=1/2*n*π-arctan(sqrt(E/(V-E))'); AXIS([-1 1 0 0.18])

（二）氢原子波函数模型的建立

由量子理论可知，氢原子体系满足薛定谔方程

())2,1(2,1)22(122

2222112r r E r r r

e r r ψψμμ=-?-?-

其中

r1(111,,z y x ),r2(222,,z y x ),21,μμ分别为电子与核的坐标和质量。引入相

对坐标和质心坐标

()()M

r r R z y x R r r r 2

21121:,,:z y,x,r μμ+=

-=

21μμ+=M 为总质量，2

12

1μμμμμ+=

为约化质量。 利用分离变量法，令()r R r ψφψ=21,r ，得

()())(12

22R R R E E M φφ-=?- )()(22

22r R r E r e ψψμ

=??????-?-

方程（3）是描写质心运动状态的波函数所满足的方程，由此可见，质心按能量为

E E -1 的自由粒子的方式运动。在氢原子问题中，我们感兴趣的是原子的内部状态，

即电子相对于核的运动状态。而方程（4）正是描写电子相对于核运动的波函数所满足的方程。解方程（4）可得，氢原子波函数为

()l m n l Y r R r lm nl ±±±=-==,,2,1,0;1,,2,1,0),,()(,,nlm ?θ?θψ

其中

()???

?

?+++-??? ????? ??-=na r l l n F na r na r N r l

nl l 2,22,12exp R n ,

归一化常数())2,22,1()!

1(!

1)!12(2

223

nl na r

l l n F l n n l n a N +++---++=

为合流超几何函

数，球谐函数()()())(cos ,)s (412!

!

)

1(,lm θθπ

?θ?m

l im l m m

p e co p l m l m l Y +?

+--=为勒让德函数. 取320211200100ψψψψ，，，四个氢原子波函数为例，首先利用坐标变换公式

??

?

??===θ?θθθcos sin sin cos sin x r z r y r 把球坐标变化为直角坐标系，

再计算出过原点的截面上的波函数解析解如下：

[]())exp(

23a 1

2

20100a

y x Y X +-

-=

π

ψ

[]()

)2exp(2241

02

22

2

200a y x y x a a

Y X +-+-=πψ

[]???

?

?

?+-=-a y x x a za Y X 2exp 41

02

225211ψ []???

?

?

?+--=-a y x x z a z x 3exp )2(6811

02

2222

7

320πψ

利用MATLAB 编程语言，可以很容易地做出以上四个波函数的空间三维分布图

Matlab程序如下：

x=linspace(-10,10,100);

y=linspace(-10,10,100);

a=0.529;

[x,y]=meshgrid(x,y);

Z=(1/sqrt(pi))*a^(-3/2)*exp(-sqrt(x.^2+y.^2)/a);

subplot(2,2,1);

mesh(x,y,Z)

title('Ψ_{100}[X O Y]=(1/sqrt(π))*a^{-3/2}*exp(-sqrt(x^2+y^2)/a)')

x=linspace(-20,20,100);

y=linspace(-20,20,100);

[x,y]=meshgrid(x,y);

Z=1/(4*sqrt(2*pi*a))*(2*a-sqrt(x.^2+y.^2)).*exp(-sqrt(x.^2+y.^2)/(2*a)); subplot(2,2,2);

mesh(x,y,Z)

title('Ψ_{200}[X O Y]=1/(4*sqrt(2*π

*a))*(2*a-sqrt(x^2+y^2))*exp(-sqrt(x^2+y^2)/(2*a))')

x=linspace(-20,20,100);

y=linspace(-20,20,100);

[x,y]=meshgrid(x,y);

Z=(1/(4*sqrt(2*pi)))*a^(-5/2)*x.*exp(-sqrt(x.^2+y.^2)/(2*a));

subplot(2,2,3);

mesh(x,y,Z)

title('Ψ_{211}[X O Y]=(1/(4*sqrt(2*π)))*a^{-5/2}*x*exp(-sqrt(x^2+y^2)/(2*a))') x=linspace(-20,20,200);

z=linspace(-20,20,200);

[x,z]=meshgrid(x,z);

Y=(1/(81*sqrt(6*pi)))*a^(-7/2)*(2*z.^2-x.^2).*exp(-sqrt(x.^2+z.^2)/(3*a)); subplot(2,2,4);

mesh(x,z,Y)

title('Ψ_{320}[X O Z]=(1/(81*sqrt(6*

π)))*a^{-7/2}*(2*z^2-x^2)*exp(-sqrt(x^2+z^2)/(3*a))')

三、总结

MATLAB数学软件操作简单,功能强大,在量子力学教学中充分利用其数值计算和绘

图功能,一方面可以加深对抽象概念的理解，另一方面也能培养学生使用计算机解决复

杂物理问题的能力。

参考文献：

[1] 井孝功：量子力学，哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009年第2版.

[2] 曾谨言：量子力学，北京：科学出版社，2002.322-325.

[3] 何仁斌：MATLAB66工程计算及应用，重庆：重庆大学出版社，，2001.137-146.

[4] 赵永芳, 井孝功. 利用透射系数研究周期位的能带结构.大学物理，2000.

Quantum well energy levels and wave functions of MATLAB

WANGYONG

Abstract: In quantum mechanics, By solving the one-dimensional quantum well bound state energy levels to meet the transcendental equation, We can calculate the energy levels of expression of the quantum well, Furthermore, By the Schrodinger equation, to hydrogen atom wave function satisfies equation, hrough the program in MATLAB editor, You can easily draw the quantum well energy levels and wave functions of spatial distribution, Pointed out that quantum mechanics MATLAB software is the solution an effective tool for visualizing.

Keyword：MATLAB；Level quantum wells; Wave function